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2. Limite infinito di una funzione in un punto
Consideriamo la funzione: ( )2 1 ( ) 2 f x x = −
definita in ℝ−{ }2 , e quindi il valore di non è calcolabile in x =2, che è comunque un punto di accumulazione per il dominio di f x( ). Quest’affermazione tuttavia non esaurisce tutte le informazioni che riguardano la funzione nel punto x=2, dato che è immediato rendersi conto che quando ci si avvicina ad esso f x( ) mostra una certa regolarità nel comportamento. Osserviamo infatti la tabella che mostra l’andamento della funzione per valori dell’ascissa che si accostano a 2 per eccesso e per difetto. Come si vede in entrambi i casi, a mano a mano che si procede verso x=2, la funzione tende a crescere indefinitamente verso numeri positivi sempre maggiori. Questa importante informazione non è espressa dalla semplice affermazione che f x( ) non è calcolabile in
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x = , in quanto non riguarda il valore assunto dalla funzione in un punto ma piuttosto descrive il suo comportamento in un intorno del punto.
Qui di seguito riportiamo l’andamento della funzione nell’intorno di x =2 per visualizzare meglio quanto espresso dalle tabelle:
Analogamente a quanto è stato fatto nel caso di una funzione che stabilizza il suo comportamento attorno ad un numero ℓ quando l’ascissa si avvicina ad x0, possiamo definire un’operazione matematica che esprima quantitativamente il fatto che la f x( ) tende a crescere indefinitamente quando l’ascissa si approssima ad x0. Si tratta di una definizione che, come già detto, è di tipo “dinamico”:
Definizione: Sia x0 un punto di accumulazione per il dominio di una funzione f x( ). Si dice che il limite per x che
tende ad x0 di f x( ) è uguale ad infinito positivo se:
0 0 M 0 0 M M δ tale che se x x δ ∀ > ∃ > < − < allora: ( ) f x >M In questo caso si scrive:
0 lim ( ) x→x f x = +∞ 6 8 2.5 4 2.2 25 2.1 100 2.01 10000 2.0005 40000 2.0001 10 2.0000 0 ( ) 1 1 x f x 6 8 1.5 4 1.8 25 1.9 100 1.99 10000 1.995 40000 1.999 10 1.999 ( 0 ) 9 1 x f x 2 x = x0−δM x0 x0+δM M x ( ) f x
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Come si vede si sta sfidando la funzione ad essere più grande di un valore scelto a piacere da noi, che viene chiamato M . Ecco il dialogo fra l’osservatore e la funzione:L’osservatore chiede ad ( )f x : “Puoi essere più grande di qualsiasi M che mi passa per la testa, quando ci si
avvicina ad x0?”
La risposta della funzione è: “Sì, purché tu scelga la tua x nell’intorno (x0−δM,x0+δM)”
L’osservatore replica:“ E cosa sarebbe mai questoδM ?”
Risposta di ( )f x : “Con δM intendo un numero positivo che va calcolato di volta in volta a seconda del valore di M
che hai scelto.”
Di nuovo l’osservatore: “E come faccio a calcolarlo?” La funzione: “Devi risolvere la disequazione ( )f x >M ”
In maniera del tutto analoga è possibile caratterizzare rigorosamente il comportamento di una funzione che decresce indefinitamente quando ci si avvicina ad un valore x0:
Definizione: Sia x0 un punto di accumulazione per il dominio di una
funzione ( )f x . Si dice che il limite per x che tende ad x0 di ( )f x è
uguale ad infinito negativo se:
0 0 M 0 0 M M δ tale che se x x δ ∀ > ∃ > < − < allora: ( ) f x < −M In questo caso si scrive:
0 lim ( )
x→x f x = −∞
Esercizi di verifica dei limiti infiniti in un punto
Esempio 1 Verificare il limite: 2 4 3 lim (2 8) x→ x− = +∞
Occorre mostrare che la disuguaglianza:
2 3
(2x−8) >M
è verificata in un intorno di x =4. Procediamo: 2 2 2 3 (2 8) 3 0 0 (2 8) (2 8) M x M x x − − − > ⇒ > − −
che, essendo il denominatore sicuramente positivo, si riduce a:
0 x x0+δM 0 M x −δ M − x ( ) f x
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23−M x(2 −8) >0
Per semplicità conviene porre t=2x−8 (ma non è necessario, si può anche sviluppare il quadrato):
2 3 3 3
3 Mt 0 t t
M M M
− > ⇒ = ± ⇒ − < <
Da cui tornando alla x:
3 3 1 3 1 3 2 8 4 4 2 2 x x M M M M − < − < ⇒ − < < +
Che come si vede è un intorno di x =4, che diviene sempre più stretto quanto più è grande M .
Si ha evidentemente 1 3 2 M M δ = Esempio 2 Verificare il limite: 2 2 1 lim ( 2) x→− x+ = +∞
Occorre mostrare che la disuguaglianza:
2 1
(x+2) >M
è verificata in un intorno di x = −2. Procediamo: 2 2 2 1 ( 2) 1 0 0 ( 2) ( 2) M x M x x − + − > ⇒ > + +
che, essendo il denominatore sicuramente positivo, si riduce a: 2
1−M x( +2) >0
Per semplicità conviene porre t =x+2 (ma non è necessario, si può anche sviluppare il quadrato):
2 1 1 1
1 Mt 0 t t
M M M
− > ⇒ = ± ⇒ − < <
Da cui tornando alla x:
1 1 1 1 2 2 2 x x M M M M − < + < ⇒ − − < < − + 3 M −
−
+
−
3 M 4 1 3 4 2 M − 4 1 3 2 M + 1 M −−
+
−
1 M 2 − 1 2 M − − 2 1 M − +12
Che come si vede è un intorno di x = −2, che diviene sempre più stretto quanto più è grande M .Si ha evidentemente M 1 M δ = Esempio 3 Verificare il limite: 2 3 1 lim 7 ( 3) x→− x − = −∞ +
Occorre mostrare che la disuguaglianza:
2 1 7 (x 3) M − < − +
è verificata in un intorno di x = −3. Procediamo:
(
)
2 2 2 7 ( 3) 1 1 7 0 0 ( 3) ( 3) M x M x x + + − − + < ⇒ < + +che, essendo il denominatore sicuramente positivo, si riduce a:
(
7)
( 3)2 1 0M x
+ + − <
Per semplicità conviene porre t=x+ (ma non è necessario, si può anche 3 sviluppare il quadrato): 2 1 1 1 (7 ) 1 0 7 7 7 M t t t M M M + − < ⇒ = ± ⇒ − < < + + +
Da cui tornando alla x :
1 1 1 1
3 3 3
7 M x 7 M 7 M x 7 M
− < + < ⇒ − − < < − +
+ + + +
Che come si vede è un intorno di x = − , che diviene sempre più 3 stretto quanto più è grande M .
Si ha evidentemente 1 7 M M δ = +
Verifiche di limiti infiniti in un punto: Tomo C1 p324 n 37, 39, 40
1 7 M − +
