10_esercizi_integrali_2.pdf

Integrali di funzioni razionali

1. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali: 1) Z ₁ x2_{− 3x + 2}dx 2) Z _{3x − 4} x2_{− 5x + 6}dx 3) Z _{x + 3} x2_{− 2x + 1}dx 4) Z _{x + 1} (3x + 2)2 dx 5) Z _{x + 2} 2x2_{+ 4x + 3}dx 6) Z _x3_{+ x}2_{− x − 2} x2_{+ x + 1} dx 7) Z ₁ x3_{− 1}dx 8) Z ₁ (x + 1)(x2_{− 1)}dx 9) Z _x6_{− 1} x − 1 dx 10) Z _{1 + 2x}2 x4_{− 1} dx

2. Calcolare i seguenti integrali: 1) Z ₁ ex_{+ 1}dx 2) Z _{1 + 2e}x e2x_{− 1} dx 3) Z √_x 2 +√xdx 4) Z ₁ x√x + 4dx 5) Z tan3_{x dx} 1

3. Calcolare i seguenti integrali di funzioni trigonometriche: 1) Z ₁ 2 + cos xdx 2) Z ₁ sin xdx 3) Z ₁ 1 + sin xdx 4) Z ₁ cos xdx 5) Z ₁ sin x + cos xdx Soluzioni. 1. 1) − log |x − 1| + log |x − 2| + c 2) −2 log |x − 2| + 5 log |x − 3| + c 3) log |x − 1| − 4 x − 1+ c. 4) 1 9(log |3x + 2| − 1 3x + 2) + c. 5) 1 4log(2x 2 _{+ 4x + 3) + √}1 2arctan √ 2(x + 1) + c 6) 1 2x 2_{− log(x}2_{+ x + 1) −√}2 3arctan 2x + 1 √ 3 + c 7) 1 3log |x − 1| − 1 6log(x 2_{+ x + 1) − √}1 3arctan 2x + 1 √ 3 + c 8) −1 4log |x + 1| + 1 2 1 x + 1 + 1 4log |x − 1| + c 9) 1 6x 6₊ 1 5x 5₊ 1 4x 4₊ 1 3x 3₊ 1 2x 2 _{+ x + c} 10) 3 4(log |x − 1| − log |x + 1|) + 1 2arctan x + c 2. 1) x − log(ex_{+ 1) + c} 2) −x +3 2log |e x_{− 1| −}1 2log(e x_{+ 1) + c} 2

3) 2x − 4√x + 8 log(√x + 2) + c, si pone √x = t. 4) 1 2(log | √ x + 4 − 2| − log(√x + 4 + 2)) + c, si pone √x + 4 = t. 5) 1 2(tan

2_{x − log(1 + tan}2_{x)) + c, si pone tan x = t.}

3. 1) √2 3arctan à 1 √ 3arctan x 2 ! + c 2) log ¯ ¯ ¯ ¯tanx₂ ¯ ¯ ¯ ¯+ c 3) −2 1 1 + tanx 2 + c 4) log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + tanx 2 1 − tanx 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ c 5) √1 2log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ tanx 2 − 1 + √ 2 tanx 2 − 1 − √ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ c 3