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Integrazione indefinita di funzioni razionali

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Academic year: 2021

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Esercizi di riepilogo e complemento 11

Integrazione indefinita di funzioni razionali

1. Calcolare gli integrali:

a)

 x

3

+ 2

x

2

+ 1 dx

x2

2 −1

2ln(1 + x2) + 2arctg x + c

b)

 x

x

2

− 3x + 2 dx

ln c(x − 2)2

x − 1



c)

 x

2

+ 1

x

3

− 4x

2

+ 5x − 2 dx

2

x − 3+ ln|x − 2|5 (x − 1)4 + c

d )

 x + 1

x

4

− 6x

3

+ 13x

2

− 12x + 4 dx

7 − 5x

x2− 3x + 2+ lnx − 1 x − 25+ c

e)

 x

3

− 5x + 2

( x − 1)

3

dx

x + 2

x − 1+ 1

(x − 1)2+ 3 ln |x − 1| + c

f )

 1

x

3

− 1 dx

1

6ln (x − 1)2 x2+ x + 1− 1

√3 arctg2x + 1

√3 + c

g)

 1

x

3

+ 1 dx

1

6ln (x + 1)2 x2− x + 1+ 1

√3arctg2x − 1√ 3 + c

h)

 1

x

4

− 1 dx

log4

x − 1 x + 1 −1

2 arctg x + c

i )

 1

x

4

+ 1 dx

√2

4

log

x2+ x√2 + 1 x2− x√

2 + 1+ arctg (x√

2 − 1) + arctg (x√ 2 + 1)

+ c

l )

 1

x

8

− 1 d x

1 2

 log 4

x − 1 x + 1 −1

2arctg x −

√2 4

 log

x2+ x√ 2 + 1 x2− x√

2 + 1+ arctg (x√

2 − 1) + arctg (x√ 2 + 1)

 + c

m)

 1

x

4

− 4x

3

+ 5 x

2

− 4x + 4 d x

− 1

5(x − 2)+ 2

25log x2+ 1 (x − 2)2+ 3

25 arctg x + c

n)

 1

6x

2

− 7x + 6 dx

√2

95arctg12x − 7√ 95 + c

o)

 1

( x

2

− x + 2)

2

dx

2x − 1

7(x2− x + 2)+ 4 7√

7arctg2x − 1

√7 + c

1

(2)

p)

 x

2

+ 1

(4x

2

− 8x + 9)

2

dx

1

16

 2(3x − 13)

5(4x2− 8x + 9)+13√5

25 arctg 2(x − 1)

√5

 + c

q)

 x(x − 1)

2

(x + 1)

2

(x

2

+ 1)

2

dx

2x2+ x + 3

2(x + 1)(x2+ 1)+ arctg x + c

r )

 x

4

(1 − x

2

)

(1 + x

2

)

4

dx

x(9x4+ 8x2+ 3)

12(1 + x2)3 −1

4 arctg x + c

2. Calcolare i seguenti integrali applicando la scomposizione di Hermite:

a)

 1

x

2

(x

2

+ 1)

2

dx

− 3x2+ 2 2x(x2+ 1)−3

2 arctg x + c

b)

 x

4

(1 − x

2

)

(1 + x

2

)

4

dx

x(9x4+ 8x2+ 3)

12(1 + x2)3 −1

4 arctg x + c

c)

 x

(x

3

+ 1)

2

dx

x2

3(x3+ 1)−1

9log√|x + 1|

x2− x + 1+

√3

9 arctg2x − 1√ 3 + c

3. Calcolare i seguenti integrali applicando il metodo “diretto”:

a)

 x − 4

( x − 2)

2

( x

2

− 2x + 2) dx

1

x − 2+3

2log |x − 2|

√x2− 2x + 2−1

2 arctg (x − 1) + c

b)

 3x

2

+ x − 2

( x − 1)

3

( x

2

+ 1) dx

4 − 5x

2(x − 1)2 +3

4log x2+ 1

(x − 1)2 − arctg x + c

c)

 x

4

+ 1

x(x

2

+ x + 1)) dx

x2− 2x

2 + log |x|

√x2+ x + 1+

√3

3 arctg2x + 1

√3 + c

d )

 1

x

4

− 1 dx

log 4

x − 1 x + 1 −1

2 arctg x + c

2

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