Matrici

(1)

Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 1

Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno accademico 2009-2010

Dott.ssa Sara Ferrari e-mail [email protected]

Esercitazioni: martedì 8.30-10.30 venerdì 9.30-11.30

Attenzione: le lezioni del venerdì iniziano esattamente alle 9.30.

Ricevimento studenti: venerdì 8.30-9.25 presso il dipartimento di matematica (via Valotti). Le tracce per le esercitazioni saranno reperibili alla pagina:

(2)

Matrice

Una matrice m x n a coefficienti in un campo KKKK è una ‘tabella’ con:

m righe n colonne

i cui elementi, detti entrate, appartengono al campo KKKK.

Esempi di campi sono: Q

QQ

Q il campo dei numeri razionali, R

RR

R il campo dei reali, C

CC

C il campo dei numeri complessi.

Esempio











 −

2

4

0

3 π

(3)

La notazione (…) è equivalente a

[

…

]

oppure ║…║. Per rappresentare una generica matrice di m righe e n colonne useremo la seguente:













=

n m m m n n

a

A

, 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1

...

M

O

M

Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola.

Notazione più sintetica è:

( )

n j m i j i

a

A

,..., 11,..., , ₌=

=

dove ai,j è l’elemento che si trova in posizione (i,j)

(4)

Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 4 Nell’esempio precedente:











 −

=

2

4

0

3 π

B

b1,1=-3 b1,2=… b1,3=… b2,1=… b2,2=… b2,3=…

con bi,j∈ RRRR e gli indici i=1,2 e j= l, 2, 3.

L’insieme delle matrici di dimensioni mxn sullo stesso campo

K

è indicato con

K

m,n.

Q

m,n_{ha per oggetti le matrici mxn a entrate razionali},

R

m,n ha per oggetti le matrici _mxn a entrate reali,

C

m,n ha per oggetti le matrici _mxn a entrate complesse.

(5)

a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a coefficienti in K.

(

a

n

)

A

=

₁_,₁ ₁_,₂

...

₁_, _∈

_K

1,n

b) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni mx1 a coefficienti in K. 1 , 1 , 1 , 2 1 , 1 m m

K

b

B

∈













=

M

c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni nxn a coefficienti in K. Il numero n è detto ordine della matrice quadrata.

(6)













=

n n n n n n n n

c

a

c

C

, 3 , 2 , 1 , , 3 3 , 3 2 , 3 1 , 3 , 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 3 , 1 2 , 1 1 , 1

...

M

O

M

appartiene a Kn,n ma di solito tale insieme si indica Mn(K). Ovviamente n=m=1 è una matrice con

un’unica entrata C=(c1,1). Esempi 5 , 1 3 4 6 3 2 0 2 1 R A _∈       − =

è una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali.

1 , 5 0 31 2 2 R e B ∈               − − − =

(7)

è una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali.

) ( ∈                       − − − − − − − − = _R 2 0 5 5 0 3 2 1 3 2 8 0 3 3 0 4 2 3 3 12 0 1 7 6 2 5 4 3 5 2 0 0 0 1 0 1 6 5 M C π

è una matrice quadrata di ordine 6 con 6×6=36 entrate coefficienti reali.

Operazioni con le matrici

La somma di matrici Siano A, B due matrici di

K

m,n.

(8)

Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 8 =               +               = + n m m m n n n m m m n n b b b b b b b b b a a a a a a a a a B A , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 ... ... ... ... ... ... M O M M M O M M n m n m n m m m m m n n n n K b a b a b a b a b a b a b a b a b a , , , 2 , 2 , 1 , 1 , , 2 , 2 2 , 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 , 1 , 1 2 , 1 2 , 1 1 , 1 1 , 1 ... ... ... ∈               + + + + + + + + + = M O M M

Quindi la matrice A+B ha in posizione (i,j) l’elemento ottenuto sommando ai,j e bi,j in K:

( )

(

)

n j m i j i j i n j m i j i n j m i j i

b

a

b

a

B

A

,..., 11,..., , , ,..., 11,..., , ,..., 11,..., , ₌=

+

₌=

=

+

₌=

=

+

Osservazioni:

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.

(9)

2) La matrice

O

di

K

m,n con entrate tutte nulle o_i,j=0 per ogni i=1,…,m e j=1,…,n funge da elemento neutro rispetto alla somma di

K

m,n ed è detta matrice nulla di

K

m,n:

O+A=A+O=A. Esercizio

Date le seguenti matrici:

            =             =           =         = 3 ₅ 0 1 2 1 -3 0 D , 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -C , 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 B , 5 2 0 2 -3 10 1 -A

Calcolare, ove sia possibile, A+B, B+C, A+D, A+A, B+(B+B) e (B+C)+C.

a) A+B: l’operazione non è definita in quanto… b) B+C: l’operazione è definita e la matrice

(10)

Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 10 =             − + + − + + + − + + + − + =             +           = + ) 2 ( 7 2 5 ) 2 ( 4 6 0 4 3 3 2 0 0 1 0 0 ) 1 ( 2 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 C B             + = 5 2 5 2 6 1 3 2 0 1 1

c) A+D: l’operazione non è definita in quanto… d) A+A: l’operazione è definita

        = =         +         = + 5 4 0 4 -6 20 2 -... 5 2 0 2 -3 10 1 -5 2 0 2 -3 10 1 -A A

e) B+(B+B) le operazioni sono definite:

=                     +           +           = + + 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 B) B ( B           − =           − +           = 21 15 12 0 9 0 3 0 6 14 10 8 0 6 0 2 0 4 7 5 4 0 3 -0 1 0 2

(11)

f) (B+C)+C le operazioni sono definite:

=             +                         +           = + + 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 C C) (B             + =             − − − +             + = 3 2 2 5 0 12 5 3 4 0 1 0 2 2 2 6 4 3 21 0 0 5 2 5 2 6 1 3 2 0 1 1

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

( )

n j m i j i a A ,..., 11,..., , ₌= = è possibile calcolare

( )

n j m i j i a A A ,..., 11,..., , 2 == = + _,

( )

n j m i j i a A A A ,..., 11,..., , 3 ) ( == = + + e così via.

(12)

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di

K

m,n e λ∈

K

uno scalare. Indichiamo λA una matrice di

K

m,n così definita:

              =               = n m m m n n n m m m n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a A , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 ... ... ... ... ... ... λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ M O M M M O M M Esempio           − =             − = − 6 2 3 6 18 -12 -2 -0 0 3 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -3 3C             =             = 3 3 3 3 3 3 3 10 0 2 2 2 10 -3 2 5 0 1 2 1 -3 0 2 D 2

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (i,j) l’elemento ai,j moltiplicato per lo scalare λ in

K

.

(13)

Esercizi da svolgere

Si eseguano, quando possibile, le seguenti operazioni con le matrici: A+B, C+D, A+C; A - B, C – D, B – C; -A, 2B, -3C, -2D; A – 2B, 2C + D , 2A+3D.       − − =       =           − =           − − − = 0 2 1 1 0 2 1 0 0 1 -2 3 1 0 0 0 2 1 1 0 2 0 2 2 1 1 3 2 0 1 D C B A

(14)

Il prodotto tra matrici

Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra matrice riga e matrice colonna.

Siano A, matrice riga di

K

1,n, e B, matrice colonna di

K

n,1: indichiamo con A·B un elemento di

K

così definito

(

)

₁_,₁ ₁_,₁ ₁_,₂ ₂_,₁ ₁_, _,₁ 1 , 1 , 2 1 , 1 , 1 2 , 1 1 , 1 ... ... n n n n a b a b a b b b b a a a B A = + + +               = ⋅ M Osservazione:

il prodotto è definito solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

Esempio

(

)

3 2 1( 4) 2 5 0 3 6 3 2 3 5 4 2 0 2 1 3 = − + − + ⋅ + ⋅ = −               − −

(15)

Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 15 mentre

(

)

          − − 1 3 2 2 2 1 3 non è definito.

Allora, date A ∈

K

m,n e B ∈

K

n,p, definiamo il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B:

(

)

i j i j i n n j j n j j n i i i j i a b a b a b b b b a a a B A _,₁ ₁_, _,₂ ₂_, _, _, , , 2 , 1 , 2 , 1 , ... = + +...+               = ⋅ M

Osservazione: il prodotto è definito perché il numero delle colonne di A è n per ipotesi uguale al numero di righe di B.

(16)

Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B può essere così scritto:

( )

h j n h h i n h j h n h h i j i

B

a

b

a

b

A

_, ,..., 1 , ,..., 1 , ,..., 1 ,

∑

= = =

=

⋅

=

⋅

Esempio Date             =         = 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -C 5 2 0 2 -3 10 1 -A

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C è sempre definito. Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C è: 5 4 ) 2 ( 5 2 6 0 0 2 2 6 0 5 2 0 2 3 2 = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −           −       − = ⋅C A

Attenzione: il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non è definito.

(17)

Definiamo ora il prodotto tra due matrici:

date due matrici A ∈

K

m,n e B ∈

K

n,p, definiamo il prodotto AB una matrice di

K

m,p il cui elemento in posizione (i,j) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B

(

)

i j i j i n n j j n j j n i i i j i a b a b a b b b b a a a AB _,₁ ₁_, _,₂ ₂_, _, _, , , 2 , 1 , 2 , 1 , , ... ... ) ( = + + +               = M j h n h h i b a _, ,..., 1 ,

∑

= ⋅ = Osservazioni:

1) Il prodotto AB è definito solo se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B. Se il prodotto AB è definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B.

(18)

2) Se è definito AB, non è detto che lo sia BA: per esempio A matrice di

R

3,2 e B matrice di

R

2,1

3) Se sono definiti AB e BA non è detto che AB=BA: esempio A matrice di

R

2,1 e B matrice

di

R

1,2. Esempi           =             =         = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -C 5 2 0 2 -3 10 1 -H A

Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC.

=                     = 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 5 2 0 2 -3 10 1 -AC

(19)

Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 19 =           − ⋅ + ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − + ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − = ) 2 ( 5 2 6 0 0 ) 2 ( ) 2 ( 3 6 10 0 ) 1 ( 2 5 2 0 4 0 ) 2 ( 2 3 10 4 0 ) 1 ( ) 2 ( 5 2 3 2 0 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 3 2 10 ) 1 ( ) 1 (         − + = 5 4 ... 2 5 2 3 2 40 5 6 ... CA impossibile perché…           =                       = ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -CH           =                       = 2 -... 2 -0 0 1 -6 4 ... 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 1 0 HC

Osservazioni per le matrici quadrate

a) Data A∈

M

n(

K

) è possibile definire

(20)

b) Date A, B∈

M

n(

K

) è sempre possibile calcolare

AB e BA (in genere matrici diverse).

c) Indicata con In =(ik,j)k,j=1,…,n la matrice così

definita:

ik,j=0 se k≠j

ik,j= 1 se k=j

allora A In = In A =A qualsiasi A∈

M

n(

K

).

In è la matrice che funge da unità (rispetto al

prodotto di matrici) per le matrici quadrate di ordine n su

K

ed è detta

matrice identica.

Esempio C 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -CI₃ =             =                       = C 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 C I ₃ =             =                       =

(21)

Esercizio da svolgere

Date le matrici

determinare, quando possibile, AB, BA, CD, DC; A2 , BC, BD; A2 – I₃, A(A2-3B).           − − =       − =           − − =           − − − = 0 1 1 4 3 1 0 0 1 1 -3 2 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 0 2 1 1 1 2 1 1 D C B A