Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 1
Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno accademico 2009-2010
Dott.ssa Sara Ferrari e-mail sara.ferrari@ing.unibs.it
Esercitazioni: martedì 8.30-10.30 venerdì 9.30-11.30
Attenzione: le lezioni del venerdì iniziano esattamente alle 9.30.
Ricevimento studenti: venerdì 8.30-9.25 presso il dipartimento di matematica (via Valotti). Le tracce per le esercitazioni saranno reperibili alla pagina:
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Matrice
Una matrice m x n a coefficienti in un campo KKKK è una ‘tabella’ con:
m righe n colonne
i cui elementi, detti entrate, appartengono al campo KKKK.
Esempi di campi sono: Q
Q il campo dei numeri razionali, R
RR
R il campo dei reali, C
CC
C il campo dei numeri complessi.
Esempio
−
2
2
4
0
3
π
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La notazione (…) è equivalente a
[
…]
oppure ║…║. Per rappresentare una generica matrice di m righe e n colonne useremo la seguente:
=
n m m m n na
a
a
a
a
a
a
a
a
A
, 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1...
...
...
M
O
M
M
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola.
Notazione più sintetica è:
( )
n j m i j ia
A
,..., 11,..., , ===
dove ai,j è l’elemento che si trova in posizione (i,j)
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 4 Nell’esempio precedente:
−
=
2
2
4
0
3
π
B
b1,1=-3 b1,2=… b1,3=… b2,1=… b2,2=… b2,3=…con bi,j∈ RRRR e gli indici i=1,2 e j= l, 2, 3.
L’insieme delle matrici di dimensioni mxn sullo stesso campo
K
è indicato conK
m,n.Q
m,nha per oggetti le matrici mxn a entrate razionali,R
m,n ha per oggetti le matrici mxn a entrate reali,C
m,n ha per oggetti le matrici mxn a entrate complesse.Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 5
a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a coefficienti in K.
(
a
a
a
n)
A
=
1,1 1,2...
1, ∈K
1,nb) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni mx1 a coefficienti in K. 1 , 1 , 1 , 2 1 , 1 m m
K
b
b
b
B
∈
=
M
c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni nxn a coefficienti in K. Il numero n è detto ordine della matrice quadrata.
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=
n n n n n n n nc
c
c
c
c
c
c
c
c
c
a
c
c
c
c
c
C
, 3 , 2 , 1 , , 3 3 , 3 2 , 3 1 , 3 , 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 3 , 1 2 , 1 1 , 1...
...
...
...
M
O
M
M
M
appartiene a Kn,n ma di solito tale insieme si indica Mn(K). Ovviamente n=m=1 è una matrice con
un’unica entrata C=(c1,1). Esempi 5 , 1 3 4 6 3 2 0 2 1 R A ∈ − =
è una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali.
1 , 5 0 31 2 2 R e B ∈ − − − =
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è una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali.
) ( ∈ − − − − − − − − = R 2 0 5 5 0 3 2 1 3 2 8 0 3 3 0 4 2 3 3 12 0 1 7 6 2 5 4 3 5 2 0 0 0 1 0 1 6 5 M C π
è una matrice quadrata di ordine 6 con 6×6=36 entrate coefficienti reali.
Operazioni con le matrici
La somma di matrici Siano A, B due matrici diK
m,n.Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 8 = + = + n m m m n n n m m m n n b b b b b b b b b a a a a a a a a a B A , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 ... ... ... ... ... ... M O M M M O M M n m n m n m m m m m n n n n K b a b a b a b a b a b a b a b a b a , , , 2 , 2 , 1 , 1 , , 2 , 2 2 , 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 , 1 , 1 2 , 1 2 , 1 1 , 1 1 , 1 ... ... ... ∈ + + + + + + + + + = M O M M
Quindi la matrice A+B ha in posizione (i,j) l’elemento ottenuto sommando ai,j e bi,j in K:
( )
( )
(
)
n j m i j i j i n j m i j i n j m i j ib
a
b
a
B
A
,..., 11,..., , , ,..., 11,..., , ,..., 11,..., , ==+
===
+
===
+
Osservazioni:1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.
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2) La matrice
O
diK
m,n con entrate tutte nulle oi,j=0 per ogni i=1,…,m e j=1,…,n funge da elemento neutro rispetto alla somma diK
m,n ed è detta matrice nulla diK
m,n:O+A=A+O=A. Esercizio
Date le seguenti matrici:
= = = = 3 5 0 1 2 1 -3 0 D , 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -C , 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 B , 5 2 0 2 -3 10 1 -A
Calcolare, ove sia possibile, A+B, B+C, A+D, A+A, B+(B+B) e (B+C)+C.
a) A+B: l’operazione non è definita in quanto… b) B+C: l’operazione è definita e la matrice
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 10 = − + + − + + + − + + + − + = + = + ) 2 ( 7 2 5 ) 2 ( 4 6 0 4 3 3 2 0 0 1 0 0 ) 1 ( 2 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 C B + = 5 2 5 2 6 1 3 2 0 1 1
c) A+D: l’operazione non è definita in quanto… d) A+A: l’operazione è definita
= = + = + 5 4 0 4 -6 20 2 -... 5 2 0 2 -3 10 1 -5 2 0 2 -3 10 1 -A A
e) B+(B+B) le operazioni sono definite:
= + + = + + 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 B) B ( B − = − + = 21 15 12 0 9 0 3 0 6 14 10 8 0 6 0 2 0 4 7 5 4 0 3 -0 1 0 2
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f) (B+C)+C le operazioni sono definite:
= + + = + + 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 7 5 4 0 3 -0 1 0 2 C C) (B + = − − − + + = 3 2 2 5 0 12 5 3 4 0 1 0 2 2 2 6 4 3 21 0 0 5 2 5 2 6 1 3 2 0 1 1
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
( )
n j m i j i a A ,..., 11,..., , == = è possibile calcolare( )
n j m i j i a A A ,..., 11,..., , 2 == = + ,( )
n j m i j i a A A A ,..., 11,..., , 3 ) ( == = + + e così via.Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di
K
m,n e λ∈K
uno scalare. Indichiamo λA una matrice diK
m,n così definita: = = n m m m n n n m m m n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a A , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 ... ... ... ... ... ... λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ M O M M M O M M Esempio − = − = − 6 2 3 6 18 -12 -2 -0 0 3 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -3 3C = = 3 3 3 3 3 3 3 10 0 2 2 2 10 -3 2 5 0 1 2 1 -3 0 2 D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (i,j) l’elemento ai,j moltiplicato per lo scalare λ in
K
.Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 13
Esercizi da svolgere
Si eseguano, quando possibile, le seguenti operazioni con le matrici: A+B, C+D, A+C; A - B, C – D, B – C; -A, 2B, -3C, -2D; A – 2B, 2C + D , 2A+3D. − − = = − = − − − = 0 2 1 1 0 2 1 0 0 1 -2 3 1 0 0 0 2 1 1 0 2 0 2 2 1 1 3 2 0 1 D C B A
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Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra matrice riga e matrice colonna.
Siano A, matrice riga di
K
1,n, e B, matrice colonna diK
n,1: indichiamo con A·B un elemento diK
così definito(
)
1,1 1,1 1,2 2,1 1, ,1 1 , 1 , 2 1 , 1 , 1 2 , 1 1 , 1 ... ... n n n n a b a b a b b b b a a a B A = + + + = ⋅ M Osservazione:il prodotto è definito solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.
Esempio
(
)
3 2 1( 4) 2 5 0 3 6 3 2 3 5 4 2 0 2 1 3 = − + − + ⋅ + ⋅ = − − −Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 15 mentre
(
)
− − 1 3 2 2 2 1 3 non è definito.Allora, date A ∈
K
m,n e B ∈K
n,p, definiamo il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B:(
)
i j i j i n n j j n j j n i i i j i a b a b a b b b b a a a B A ,1 1, ,2 2, , , , , 2 , 1 , 2 , 1 , ... = + +...+ = ⋅ MOsservazione: il prodotto è definito perché il numero delle colonne di A è n per ipotesi uguale al numero di righe di B.
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Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B può essere così scritto:
( )
( )
h j n h h i n h j h n h h i j iB
a
b
a
b
A
, ,..., 1 , ,..., 1 , ,..., 1 ,∑
= = ==
⋅
=
⋅
Esempio Date = = 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -C 5 2 0 2 -3 10 1 -Ail prodotto tra una riga di A e una colonna di C è sempre definito. Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C è: 5 4 ) 2 ( 5 2 6 0 0 2 2 6 0 5 2 0 2 3 2 = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − − − = ⋅C A
Attenzione: il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non è definito.
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Definiamo ora il prodotto tra due matrici:
date due matrici A ∈
K
m,n e B ∈K
n,p, definiamo il prodotto AB una matrice diK
K
K
K
m,p il cui elemento in posizione (i,j) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B(
)
i j i j i n n j j n j j n i i i j i a b a b a b b b b a a a AB ,1 1, ,2 2, , , , , 2 , 1 , 2 , 1 , , ... ... ) ( = + + + = M j h n h h i b a , ,..., 1 ,∑
= ⋅ = Osservazioni:1) Il prodotto AB è definito solo se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B. Se il prodotto AB è definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B.
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2) Se è definito AB, non è detto che lo sia BA: per esempio A matrice di
R
3,2 e B matrice diR
2,13) Se sono definiti AB e BA non è detto che AB=BA: esempio A matrice di
R
2,1 e B matricedi
R
1,2. Esempi = = = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -C 5 2 0 2 -3 10 1 -H ACalcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC.
= = 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 5 2 0 2 -3 10 1 -AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 19 = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − + ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − = ) 2 ( 5 2 6 0 0 ) 2 ( ) 2 ( 3 6 10 0 ) 1 ( 2 5 2 0 4 0 ) 2 ( 2 3 10 4 0 ) 1 ( ) 2 ( 5 2 3 2 0 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 3 2 10 ) 1 ( ) 1 ( − + = 5 4 ... 2 5 2 3 2 40 5 6 ... CA impossibile perché… = = ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -CH = = 2 -... 2 -0 0 1 -6 4 ... 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 1 0 HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data A∈
M
n(K
) è possibile definireLezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 20
b) Date A, B∈
M
n(K
) è sempre possibile calcolareAB e BA (in genere matrici diverse).
c) Indicata con In =(ik,j)k,j=1,…,n la matrice così
definita:
ik,j=0 se k≠j
ik,j= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi A∈
M
n(K
).In è la matrice che funge da unità (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di ordine n su
K
ed è dettamatrice identica.
Esempio C 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -CI3 = = = C 2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -2 -2 2 -6 4 3 21 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 C I 3 = = =
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare, quando possibile, AB, BA, CD, DC; A2 , BC, BD; A2 – I3, A(A2-3B). − − = − = − − = − − − = 0 1 1 4 3 1 0 0 1 1 -3 2 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 0 2 1 1 1 2 1 1 D C B A