Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU ... ... ... ... ....
Prova scritta appello fuoricorso - 24/11/2016 Tempo a disposizione due ore e mezza.
Problema 1
Una nuvola sferica isolante ha un raggio R1, ha una densit`a di
carica uniforme e una carica totale Q. Concentrica con questa sfera senza carica totale vi `e un guscio sferico metallico di raggio interno R2 e raggio esterno R3, come mostrato in figura.
Determinare: a) il campo a distanza R1/2 dal centro; b) a che
distanza dal centro il campo `e massimo ed il suo valore; c) la densit`a di carica nella superficie interna ed esterna del guscio sferico; d) la differenza di potenziale tra la sfera conduttrice ed il centro della distribuzione.
(dati del problema Q = 4 nC, R1 = 1 cm, R2 = 5 cm, R = 6 cm)
Problema 2 Nel circuito mostrato in figura l’interruttore `e man-tenuto chiuso a lungo e la potenza dissipata in R2 `e
pari a P2. Determinare a) la f.e.m. del generatore b)
la carica sulle armature dei due condensatori. c) De-terminare inoltre come varia la carica dei due conden-satori se viene aperto l’interruttore e in particolare al tempo t1 dopo l’apertura dell’interruttore.
(Dati del problema C1 = 3 µF ,C2 = 6 µF , R1 =
420 Ω, R2 = 720 Ω, P2 = 14 mW , t1 = 1 ms).
Problema 3 Un corto solenoide di raggio R = 20 cm, ha una lun-ghezza ` = R pari al raggio, ha un numero N = 1000 di spire ed `e percorso da una corrente di I = 30 A. Determinare il campo di induzione magnetica a) a grande distanza z = 10R dal suo centro lungo l’asse di simmetria in modulo (in maniera esatta); b) nello stesso punto approssimando il solenoide con un dipo-lo magnetico; c) al centro del solenoide; d) ad un suo estremo.
Soluzioni: Problema 1
a)
La densit`a di carica volumetrica all’interno della sfera di raggio R1 `e pari a:
ρ = 3Q 4πR3
1
= 9.5 · 10−4 C/m3 Quindi il campo tra per 0 ≤ r ≤ R1 all’interno `e radiale e pari a:
Er=
ρr 3εo
quindi per r = R1/2 il campo vale:
Er(R1/2) = 1.8 · 105 V /m
b)
il campo `e massimo sul bordo della sfera interna e vale Er(R1) = 3.6 · 105 V /m
c)
La carica indotta sulla faccia interna del guscio `e pari a −Q quindi la densit`a sulla faccia interna vale: σ2 = − Q 4πR2 2 = −1.27 · 10−7 C/m2
mentre la carica sulla faccia esterna `e pari a Q quindi la densit`a sulla faccia esterna vale: σ3 = Q 4πR2 3 = 8.8 · 10−8 C/m2 d)
Il campo tra R1 ≤ r ≤ R2 `e radiale e pari a:
Er =
Q 4πεor2
Quindi la differenza di potenziale tra il guscio conduttore e il centro della distribuzione vale: DV = Z R1 0 ρr 3εo dr + Z R2 R1 Q 4πεor2 dr = ρR 2 1 6εo + Q 4πεo 1 R1 − 1 R2 = 4670 V Problema 2 a)
La corrente che scorre nella resistenza R2 `e per la legge di Joule applicata ai resistori pari a:
quindi: I = s P2 R2 = 4.5 mA Quindi: f = I(R1+ R2) = 5 V b)
La tensione ai capi dei due condensatori `e pari alla caduta di tensione alle resistenze in parallelo quindi:
Q10= C1R1I = 5.6 µC
Q20= C2R2I = 19 µC
c)
La carica dei due condensatori a regime con l’interruttore aperto `e pari a: Q1f = C1f = 15 µC
Q2f = C2f = 30 µC
L’equazione che descrive la prima maglia `e: f = Q1 C1 + R1 dQ1 dt Definendo τ1 = R1C1 = 2.5 ms la soluzione `e: Q1(t) = Q1f + (Q10− Q1f)e−t/τ1 → Q1(t1) = 8.7 µC
L’equazione che descrive la seconda maglia `e: f = Q2 C2 + R2 dQ2 dt Definendo τ2 = R2C2 = 2.1 ms la soluzione `e: Q2(t) = Q2f + (Q20− Q2f)e−t/τ2 → Q2(t1) = 23 µC Problema 3
Definisco il numero di spire per unit`a di lunghezza come: n = N
L
In un tratto dz0 vi sono dN = ndz0 spire che generano una corrente dI = nIdz0.
Poniamo l’origine delle coordinate al centro del solenoide. Il generico punto sul suo asse `
e z mentre il generico elemento del solenoide si trova nel punto di coordinate z0 Quindi utilizzando l’espressione trovata per una spira circolare, integrata:
Bz = 1 2µoInR 2Z L/2 −L/2 dz0 [R2+ (z0− z)2]3/2
Il campo magnetico di un solenoide lungo l’asse vale: Bz = 1 2µoI N L L/2 − z q R2 + (L/2 − z)2 + L/2 + z q R2+ (z + L/2)2 a) quindi: B10R = 1 2µoI N R R/2 − 10R q R2+ (R/2 − 10R)2 + R/2 + 10R q R2+ (10R + R/2)2 = 9.33 · 10 −5 T b)
Il dipolo magnetico del solenoide vale in modulo:
|m| = N IπR2 = 3.77 · 103 Am2
Quindi genera a grande distanza z = 10R sul suo asse un campo pari a: Bza = µo m 2πz3 = µoN I 2π1000R = 9.4 · 10 −5 T
Si noti come questo valore sia quasi eguale a quello calcolato nel punto a) c)
Al centro il campo vale: Bz = 1 2µoI N R L q R2+ (R/2)2 = 1 2µo N I R1.25 = 0.084 T d) Ad un estremo: Bz = 1 2µoI N R R √ R2+ R2 = 1 2µo N I R√2 = 0.066 T
