UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione I appello di Fisica Generale 2 – 26 Gennaio 2021

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I appello di Fisica Generale 2 – 26 Gennaio 2021

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Si prenda un anello di carica lineare 𝜆 = 10

C/m e raggio 𝑅 = 20 cm. Il suo asse viene orientato verso la coordinata z con il centro dell’anello nell’origine. Una carica 𝑞 = −10

C e massa 𝑚 = 1 g viene lanciata all’istante 𝑡

con velocità 𝑣

= 8 m/s dal punto di coordinata 𝑧

= −0.1 m verso il centro dell’anello.

1) Qual è la coordinata massima raggiunta dalla carica? 𝑧

2) Mostrare che nel limite 𝑧 ≪ 𝑅 il moto è approssimativamente armonico. Derivare la pulsazione 𝜔. Giustificare perché il risultato è corretto solo se 𝑣

≪ 2(𝜆|𝑞|) (𝜖 ⁄

𝑚)

3) Un piano isolante infinito con densità di carica 𝜎 viene successivamente sistemato ortogonalmente all’asse z sul semiasse positivo. Determinare la densità di carica necessaria affinchè il campo elettrico totale agente sulla particlella all’istante 𝑡

sia nullo in 𝑧

. 𝜎

1) Il potenziale sull’asse z dell’anello vale:

𝑉 = 𝜆2𝜋𝑅

4𝜋𝜀

√ 𝑧

+ 𝑅

= 2𝜀 𝜆

?1 + 𝑧

𝑅

.

Si conserva l’energia meccanica fra posizione iniziale e finale, in cui la velocità è nulla:

∆𝐸

+ ∆𝑈 = 0

− 𝑚𝑣

2 + 𝑞 C 𝜆𝑅

2𝜀

2𝑧

+ 𝑅

− 𝜆𝑅

2𝜀

2𝑧

+ 𝑅

D = 0 1

2𝑧

+ 𝑅

= 1

2𝑧

+ 𝑅

+ 𝜀

𝑚𝑣

𝑞𝜆𝑅 = 1

𝐶 ⇒ 𝑧

= 2𝐶

− 𝑅

= 57.6 𝑐m 2) L’equazione del moto (qE = ma) è

𝑞 𝜆𝑅𝑧

2𝜀

( 𝑧

+ 𝑅

)

= 𝑚 𝑑

𝑧 𝑑𝑡

𝑑

𝑧

𝑑𝑡

+ |𝑞|𝜆𝑅𝑧

2𝑚𝜀

( 𝑧

+ 𝑅

)

= 0 Approssimando per 𝑧 ≪ 𝑅

𝑑

𝑧

𝑑𝑡

+ |𝑞|𝜆

2𝑚𝜀

𝑅

𝑧 = 0 per cui la pulsazione è

𝜔 = M |𝑞 𝜆|

2𝜀

𝑚 𝑅

= 37.6 Hz

Il moto è armonico solo se in 𝑧

la carica ha velocità molto inferiore a quella di fuga ottenuta da 𝑚𝑣

2 − |𝑞| 𝜆𝑅

2𝜀

2𝑧

+ 𝑅

= 0 ovvero

𝑣

= |𝑞|𝜆𝑅 𝑚𝜀

2𝑧

+ 𝑅

Approssimando per 𝑧 ≪ 𝑅

𝑣

≪ M |𝑞|𝜆 𝑚𝜀

3) La carica del piano deve essere negativa. Il campo elettrico totale in 𝑧

vale

𝐸

= 𝜎 𝜀

+ 𝜆

2𝜀

𝑧

𝑅

(𝑧

+ 𝑅

)

= 0 da cui

𝜎 = 𝜆 2

𝑧

𝑅

(𝑧

+ 𝑅

)

= −1.79 × 10

C/m

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Problema 2

Due fili, percorsi da corrente di intensità i = 0.2 A uscente dal foglio e paralleli all'asse z, attraversano il piano (xy) nell'origine e in un punto posto in b = 2 cm lungo l'asse.

1) Si trovi il campo magnetico 𝐵 V⃗ nei punti P e Q situati rispettivamente sull’asse x a 𝑥

= 3 cm e sull’asse y a 𝑦

= 3 cm.

2) Tenendo fisso un dipolo magnetico 𝑚 VV⃗ = (0.01 Am

) 𝑢V⃗

e spostandolo dal punto P al punto Q, quanta energia si guadagna o si perde (specificare) ?

3) Quale punto bisognerebbe scegliere sull'asse y come punto finale della spostamento in modo da non avere nessuna variazione dell'energia potenziale?

1) Il campo magnetico si trova applicando la legge di Biot-Savart e decomponendo il vettore dovuto al secondo filo nelle sue componenti lungo gli assi:

𝐵V⃗

= 𝜇

𝑖

2𝜋𝑥

𝑢V⃗

+ 𝜇

𝑖

2𝜋𝑑 cos 𝛼 𝑢V⃗

+ 𝜇

𝑖

2𝜋𝑑 sin 𝛼 𝑢V⃗

dove

𝛼 = tan

(𝑥

/𝑏) ~ 56.31° e 𝑑 = 2𝑏

+ 𝑥

= 3.6 cm perciò

𝐵 #⃗

~ 6.15 × 10

𝑢 #⃗

+ 2.25 × 10

𝑢 #⃗

Similmente, ma ancor più facilmente, si trova:

𝐵V⃗

= − 𝜇

𝑖

2𝜋𝑦

𝑢V⃗

− 𝜇

𝑖

2𝜋(𝑦

− 𝑏) 𝑢V⃗

~ − 5.33 × 10

𝑢V⃗

2) Bisogna calcolare l'energia potenziale associata ai due punti:

∆𝑈 = 𝑈

− 𝑈

= −𝑚 VV⃗ ∙ 𝐵V⃗

+ 𝑚 VV⃗ ∙ 𝐵V⃗

= −𝑚j𝐵

− 𝐵

k = 5.95 × 10

J

3) Affinché non ci sia cambiamento dell'energia potenziale 𝑈

= 𝑈

e questo implica, esplicitando 𝑈

e rendendolo variabile,

−𝑚j𝐵

− 𝐵

k = 0 ⇒ 𝐵

= 𝐵

dove 𝐵

è una costante, per cui y va trovato dall'equazione:

− 𝜇

𝑖 2𝜋 m 1

y + 1

y − 𝑏 o = 𝐵

⇒ m 1 y + 1

y − 𝑏 o = − 2𝜋𝐵

𝜇

𝑖 = 𝐾 ovvero

𝐾𝑦

− 𝑦(𝑏𝐾 + 2) + 𝑏 = 0 che porge

𝑦 ~ + 1.07 cm oppure 𝑦 ~ − 12.1 cm

P x Q

y

b

P d

x

b B

1

2

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Problema 3

Un fascio di onde, polarizzate sul piano 𝜋, di potenza 𝑃

= 300 mW e sezione 𝐴

= 0.01 m

, si propaga in un mezzo trasparente di indice di rifrazione 𝑛

= 1.8. Il fascio incide con angolo di incidenza 𝜃

su un dielettrico trasparente di indice di rifrazione 𝑛

= 1.5 appoggiato su una superficie di indice di rifrazione 𝑛

= 1.4. Si osserva che il fascio non emerge dalla seconda interfaccia, fra i mezzi di indici di rifrazione 𝑛

e 𝑛

. Determinare:

1) la potenza dell’onda riflessa sulla seconda interfaccia 𝑃′

2) l’ampiezza del campo elettrico dell’onda riflessa sulla seconda interfaccia 𝐸′

Sapendo che alla lunghezza d’onda 𝜆 = 600 nm si osserva un minimo d’interferenza fra il fascio riflesso dalla prima interfaccia e il fascio che riemerge nel mezzo di indice di rifrazione 𝑛

dopo la riflessione sulla seconda interfaccia, determinare

3) il minimo spessore della lamina di indice di rifrazione 𝑛

d

𝑆𝑖 𝑟𝑖𝑐𝑜𝑟𝑑𝑖 𝑟

= tan(𝜃

− 𝜃

)

tan(𝜃

+ 𝜃

)

1) La legge di Snell della rifrazione applicata alle due interfacce porge 𝑛

sin 𝜃

= 𝑛

sin 𝜃

= 𝑛

essendoci riflessione totale sulla seconda interfaccia. Gli angoli di incidenza e rifrazione sulla prima interfaccia sono pertanto

𝜃

= sin

𝑛

𝑛

= 0.891 rad = 51.06° e 𝜃

= sin

𝑛

𝑛

= 1.204 rad = 68.96°

Determinati questi angoli è possibile calcolare il coefficiente di trasmissione all’interno del mezzo di indice di rifrazione 𝑛

.

𝑇

= 1 − 𝑅

= 1 − C tan(𝜃

− 𝜃

) tan(𝜃

+ 𝜃

) D

(

= 0.9652

Data la condizione di riflessione totale sulla seconda interfaccia la potenza dell’onda trasmessa attraverso la prima interfaccia coincide con la potenza dell’onda riflessa sulla seconda interfaccia

𝑃′

= 𝑃

= 𝑇

𝑃

= 289 mW 2) La sezione del fascio dell’onda riflessa alla seconda interfaccia è

𝐴

= 𝐴

cos 𝜃

cos 𝜃

= 0.0057 m

per cui la sua intensità è

𝐼′

= 𝑃′

𝐴

= 𝑛

2𝑍

(𝐸′

)

= 50.6 W/m

e quindi

n ₁ θ

n ₂ n ₃

θ

d

B

① ②

② ①

𝐸′

= M 2𝑍

𝑃′

𝑛

𝐴

= M 2𝑍

𝑃′

𝑛

𝐴

cos 𝜃

cos 𝜃

= 159.6 V/m 3) I coefficienti di Fresnel per riflessione sulle due interfacce sono

𝑟

= tan(𝜃

− 𝜃

)

tan(𝜃

+ 𝜃

) = 0.1866 e 𝑟

= tan(𝜃

− 𝜋 2 ⁄ ) tan(𝜃

+ 𝜋 2 ⁄ ) = 1

Essendo ambedue positivi, non c’è alcun sfasamento fra il fascio incidente e il fascio riemergente, per cui la differenza di fase in caso di interferenza distruttiva è

𝛿 = 4𝜋𝑑𝑛

𝜆 cos 𝜃

= (2𝑚 + 1)𝜋 e quindi imponendo m = 0 per ottenere lo spessore minimo

𝑑 = 𝜆

4𝑛

cos 𝜃

= 279 nm