Esercizi su spazi vettoriali, sottospazi, indipendenza lineare, generatori, basi
1. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi di R3
: (a) {(a, 0, 0) | a ∈ R};
(b) {(a, 1, 1) | a ∈ R}; (c) {(a, a + c, c) | a, c ∈ R}; (d) {(a, a + c + 1, c) | a, c ∈ R}.
2. Dire quali dei seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali dello spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 3:
(a) {p(x) = a0+ a1x + +a2x 2 + a3x 3 | a0 = 0}; (b) {p(x) = a0+ a1x + +a2x2+ a3x3 | a0+ a1+ a2+ a3 = 0}; (c) {p(x) = a0+ a1x + +a2x 2 + a3x 3 | ai ∈ Z ∀i}; (d) {p(x) = a0+ a1x | a0, a1∈ R};
3. Siano u, v vettori non nulli di un R−spazio vettoriale V e sia U = {w ∈ V | w = cu + v, c ∈ R}.
Provare che U `e un sottospazio vettoriale di V se e solo se v `e proporzionale a u.
4. Sia V un K-spazio vettoriale. Provare che se u, v, w sono vettori di V linearmente indipendenti su K, allora anche u + v, u + w, v + w lo sono, mentre u + v, v + w, u − w sono linearmente dipendenti.
5. Sia V = {f : R −→ R} Dire quali dei seguenti insiemi di vettori di V sono linearmente dipendenti: (a) 2, 4sen2 x, cos2 (b) x, cosx (c) 1, senx, sen2x (d) cos2x, sen2 x, cos2 x (e) (1 + x)2 , x2 + 2x, 3 (f) 0, x, x2
6. Dire quali tra i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali: (a) {(x, y) ∈ R2 | x2 = y2 } (b) {(x, y, z) ∈ R3 | x = πy} (c) {f : R −→ R | f (0) + 2f (1) = 0} (d) {(x, y) ∈ C2 | x = iy} (su R e su C) 1
2
(e) {f : R −→ R |f (x + 2kπ) = f (x), k ∈ N} (g) {f : R −→ R |f (x) = f (−x)}
7. Sia V = Mn(R), dire se i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi e in caso
affer-mativo determinarne una base:
(1) {A ∈ V | aij = aji ∀i, j} (matrici simmetriche)
(2) {A ∈ V | aij = −aji ∀i, j} (matrici antisimmetriche)
(3) {A ∈ V | aij = 0 per i 6= j} ( matrici diagonali)
8. Siano u = (1, 1, 3) e V = (2, 4, 0). Dire quali dei seguenti vettori sono combi-nazione lineare di u e v: (3, 5, 3), (4, 2, 6), (1, 5, 6), (0, 0, 0).
9. Sia V lo spazio generato da sen2
x e cos2
x. Dire quali delle seguenti funzioni appartengono a V : cos2x, 3 + x2
, 1, senx
10. Sia V ⊂ R[X] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di V sono linearmente dipendenti:
(a) 2 − x + 4x2 , 3 + 6x + 2x2 , 2 + 10x − 4x2 (b) 3 + x + x2 , 2 − x + 5x2 , 4 − 3x2 (c) 6 − x2 , 1 + x + 4x2 (d) 1 + 3x + 3x2 , x + 4x2 , 5 + 6x + 3x2 , 7 + 2x − x2
11. Dire se sono linearmente indipendenti i seguenti insiemi di vettori: (a) {(0, 1, 1)} in R3
su R (b) {1 + i} in C su R
(c) {1, senx, cosx, sen2x} in {f : R −→ R} su R (d) {1, x + 1, x2 + 2, x3 + 3, . . . , xn+ n} in {f : R −→ R} su R (e) {f : R −→ R |f (0) = f (1) = 0} in {f : R −→ R} su R (f) {(1, 0), (0, i)} e {(1, 0), (i, 0)} in C2 su C (g) {(1, 0), (0, i)} e {(1, 0), (i, 0)} in C2 su R (h) {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = z − t = 0} in R4 su R
Dire inoltre se tali insiemi sono sottospazi e in caso contrario determinare i sot-tospazi generati.
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12. Dati i vettori u1 = (0, 0, 1), u2 = (1, −1, 2), u3 = (−2, 2, 4) di R3:
(a) dire perch´e u1, u2, u3 sono linearmente dipendenti;
(b) `e vero che ognuno dei vettori ui (i = 1, 2, 3) `e combinazione lineare dei
rimanenti?
(c) se v = (2, 4, 758), i vettori v, u1, u3 sono indipendenti?
13. Siano u = (1, 2, −2), v = (2, 0, 1), w = (1, −2, 3) vettori di R3
:
(a) determinare una base di V =< u, v, w > ;
(b) determinare un sistema di generatori di V che non sia una base; (c) provare che (3, 2, 0) /∈ V e (0, −4, 5) ∈ V ;
(d) determinare tutti i modi possibili di scrivere (0, −4, 5) come combinazione lineare di u, v, w.
14. Sia {u, v, w} una base di uno spazio vettoriale V . Provare che {u, u + v, u + v + w} `e base di V .
15. Determinare una base dei seguenti spazi vettoriali:
(a) {(x, y, z, t) ∈ R4 | 3x + y + z + t = 5x − y + z − t = 0} (b) {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 4y + 3z − t = 2x − 8y + 6z − 2t = 0} (c) {(a, b, c) ∈ R3 | b = a + c} (d) {(a, b, c, d) ∈ R4 | d = 0} (e) {(x, y, z, t) ∈ R4 | t = x + y, z = x − y} (f) {(a, b, c, d) ∈ R4 | a = b = c = d} (g) {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = −2x − y + 2z = −x + z = 0} (h) {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y + 3z = x + 5z = y + z = 0} (i) < u = (1, 1, 0), v = (2, −1, 4), w = (1, −2, 4) > 16. In R[X] sia V =< x, x + x2 + ax3 , x2 − 2x3
>. Determinare per quali a ∈ R risulta dimV = 2.
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17. Siano u1, u2, u3 vettori linearmente indipendenti di un k-spazio vettoriale U .
Per quali a ∈ k i vettori u1+ au2, u2+ au3, u1+ au3 sono linearmente indipendenti?
18. Siano V =< (1, 2, 1), (−1, 0, 3), (1, 4, 5) > e W = {(x, y, z) ∈ R3
| x − y + z = 0}. Determinare una base di V , una di W e una di V ∩ W .
19. Sia V =< (2, 0, 1), (−1, 3, 1), (1, 3, 2), (4, 0, 2) > . Determinare: (a) una base di V e completarla a una base di R3
; (b) un sottospazio W di dimensione 2 di R3
tale che V ∩ W =< (2, 0, 1) > .
20. Sia V = {(x, y) ∈ C2
| x = iy}.
Determinare una base di V su C e una base di V su R.
21. Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4
| x − y + z − t = 2x + 3y − z + 2t = 5y − 3z + 4t = 0}. Determinare una base di V .
22. Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4
| x + y − z + 2t = 2x + 3y + z − t = 0} e sia W = {(x, y, z, t) ∈ R4
| x − 2y + z + 3t = 0}. Determinare:
(a) una base di V ∩ W ; (b) una base di V + W .
23. Sia V = {(x, y, z, t) ∈ C4
| x + iy = y + iz + t = 0}. Determinare una base di V su C e completarla a base di C4
.
24. Siano V = {(x, y, z) ∈ R3
| x + y − 2z = 0} e sia u = (1, 0, 0). (a) `e vero che V + < u >= R3
?
(b) determinare un sottospazio proprio W di R3
tale che V + W = R3
.
25. Siano V = {(x, y, z, t) ∈ R4
| 2x−y+z−t = 0} e W =< (1, −2, 1, 0, (2, 0, 1, 1), (1, 2, 0, 0) >. Determinare dim V+W e una una base di V + W .
