10   L'IPERBOLE

L’IPERBOLE

L'IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti P del piano cartesiano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi, F1 ed F2, detti fuochi.

Il punto medio tra i fuochi si chiama centro dell'iperbole.

Per ottenere l’equazione cartesiana dell’iperbole, generalmente si considera un’iperbole che ha il centro

nell'origine degli assi e i fuochi disposti sull'asse x oppure sull'asse y. In questo modo l’equazione dell’iperbole risulta molto più semplice.

EQUAZIONE DELL'IPERBOLE CON I FUOCHI SULL'ASSE X

Come esempio, applichiamo la definizione di iperbole per trovare l’equazione dell’iperbole avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse x, F1(-5;0) ed F2(5;0) e la differenza delle distanze dai fuochi

d1-d2=8. (Osservare che F1F2 =10d1−d2 =8 perché in un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’iperbole. Per definizione di iperbole deve risultare: F₁P− PF₂ =8

Cioè

(

x+5

) (

2+ y−0

)

2 −

(

x−5

) (

2+ y−0

)

2 =8 si sviluppano i prodotti notevoli; x2 +10x+25+y2 − x2−10x+25+ y2 =8 si porta un radicale al 2° membro;

2 2 2 2 25 10 8 25 10x y x x y

x + + + = + − + + si elevano i due membri al quadrato;

2 2 2 2 2 2 25 10 16 25 10 64 25 10x y x x y x x y x + + + = + − + + + − + + si semplifica; 10x=64−10x+16 x2 −10x+25+y2 si isola il radicale; 20x−64=16 x2−10x+25+y2 si divide per 4; 5x−16=4 x2−10x+25+y2 si eleva al quadrato; 25x2 −160x+256=16

(

x2 −10x+25+y2

)

si moltiplica; 25x2 −160x+256=16x2−160x+400+16y2 si semplifica;

25x2 +256=16x2+400+16y2 si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y; 25x2 −16x2 −16y2 =400−256 si sommano i termini simili;

9x2 − y16 2 =144 si divide per 144 in modo da ottenere 1 al 2° membro;

144 144 144 16 144 9x2 ₋ y2 ₌ si trasforma e si semplifica; 1 16 144 9 144 2 2 = − y x si semplificano le frazioni; 1 9 16 2 2 = − y x

equazione finale dell’iperbole.

In generale, se i fuochi si trovano sull’asse x, la distanza tra i fuochi si indica con 2c e la differenza delle distanze di P dai fuochi si indica con 2a.

Cioè risulta: F₁F₂ =2c e F₁P−F₂P=2a

Poiché in un triangolo un lato è sempre maggiore della differenza degli altri due, deve essere:

0 2 2c a ca c2 a2 c2−a2  e si pone c2−a2 =b2

L’equazione generica di un’iperbole con i fuochi sull’asse x è del tipo: ₂ 1

2 2 2 = − b y a x

Conoscendo la forma canonica dell’iperbole con i fuochi sull’asse x, si può determinare l’equazione dell’iperbole senza applicare la definizione, ma semplicemente ricordando che: 2 2 2

a c b = −

Ad esempio, per scrivere l’equazione dell’iperbole con F1(-5;0) ed F2(5;0) e la differenza delle distanze dai

fuochi d₁− d₂ =8, si può osservare che: c=5 ;

2a=8 e quindi a=4; b2=c2-a2=25-16=9

quindi l’equazione canonica: ₂ 1

2 2 2 = − b y a x diventa: 1 9 16 2 2 = − y x

Per dimostrare la formula generale, applichiamo la definizione di iperbole per trovare l’equazione dell’iperbole avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse x, F1(-c;0) ed F2(c;0) e la differenza delle distanze dai

fuochi d1-d2=2a (con c>a)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’iperbole. Per definizione di iperbole deve risultare: F₁P−F₂P=2a

Cioè

(

x+c

) (

2+ y−0

)

2 −

(

x−c

) (

2 + y−0

)

2 =2a si sviluppano i prodotti notevoli; x2+2cx+c2 +y2 + x2−2cx+c2+y2 =2a si porta un radicale al 2° membro;

2 2 2 2 2 2

2 2

2cx c y a x cx c y

x + + + = + − + + si elevano i due membri al quadrato;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2cx c y a x cx c y a x cx c y x + + + = + − + + + − + + si semplifica; 2cx=4a2−2cx+4a x2 −2cx+c2+y2 si isola il radicale; 4cx−4a2 =4a x2 −2cx+c2 +y2 si divide per 4; cx−a2 =a x2−2cx+c2+y2 si eleva al quadrato; c2x2 +a4 −2a2cx=a2

(

x2 −2cx+c2+y2

)

si moltiplica; c2x2+a4−2a2cx=a2x2 −2a2cx+a2c2 +a2y2 _{si semplifica;}

2 2 2 2 2 2 2 2 4 a c a y a x a x

c − − = − si raccoglie a fattore comune; 2

(

2 2

)

2 2 2

(

2 2

)

a c a y a a c x − − = −

Siccome c>a, risulta anche c2_>a2 _{e quindi c}2_-a2 _>0

Per ottenere una equazione più semplice si pone c2-a2 =b2 e risulta:

x2b2−a2y2 =a2b2 si divide per a2 b2 in modo da ottenere 1 al 2° membro; _{2 2} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b a y a b a b x _{− =} si semplifica e si ottiene: ₂ 1 2 2 2 = − b y a x

che è l’equazione canonica (in forma normale) dell’iperbole.

LE PROPRIETA’ DELL’IPERBOLE

CALCOLO DEI SEMIASSI, DEI VERTICI, DEGLI ASINTOTI, DEI FUOCHI E RAPPRESENTAZIONE GRAFICA.

EQUAZIONE DELL'IPERBOLE CON I FUOCHI SULL'ASSE Y

Come esempio, applichiamo la definizione di iperbole per trovare l’equazione dell’iperbole avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse y, F1(0;-4) ed F2(0;4) e la differenza delle distanze dai fuochi

d1-d2=6. (Osservare che F1F2 =8d1−d2 =6 perché in un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’iperbole. Per definizione di iperbole deve risultare: F1P− PF2 =6

Cioè

(

x−0

) (

2+ y+4

)

2 −

(

x+0

) (

2+ y−4

)

2 =6 si sviluppano i prodotti notevoli; x2 +y2 +8y+16− x2 +y2 −8y+16=6 si porta un radicale al 2° membro; x2 +y2 +8y+16 =6+ x2 +y2 −8y+16 si elevano i due membri al quadrato; x2 +y2+8y+16=36+x2+y2−8y+16+12 x2 +y2−8y+16 si semplifica; 8y=36−8y+12 x2+y2−8y+16 si isola il radicale;

−3 x2 +y2−8y+16 =9−4y si eleva al quadrato; 9

(

x2+y2 −8y+16

)

=81+16y2 −72y si moltiplica; 9x2+9y2−72y+144=81+16y2 −72y si semplifica;

9x2 +9y2 +144 =81+16y2 si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

9x2 +9y2 −16y2 =81−144 si sommano i termini simili;

9x2− y7 2 =−63 si divide per 63 in modo da ottenere -1 al 2° membro;

63 63 63 7 63 9 2 2 − = − y x si trasforma e si semplifica; 1 7 63 9 63 2 2 − = − y x si semplificano le frazioni; 1 9 7 2 2 − = − y x

equazione finale dell’iperbole.

In generale, se i fuochi si trovano sull’asse y, la distanza tra i fuochi si indica con 2c e la differenza delle distanze di P dai fuochi si indica con 2b.

Cioè risulta: F1F2 =2c e F1P−F2P=2b

Siccome in un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, deve essere: 2c2b cb c2 b2 c2−b2 0 e si pone c2 −b2 =a2

L’equazione generica di un’iperbole con i fuochi sull’asse y è del tipo: ₂ 1

2 2 2 − = − b y a x

Conoscendo l’equazione canonica dell’iperbole con i fuochi sull’asse y, si può determinare l’equazione dell’iperbole senza applicare la definizione, ma semplicemente ricordando che: 2 2 2

b c a = −

Ad esempio, per scrivere l’equazione dell’iperbole con F1(0;-4) ed F2(0;4) e la differenza delle distanze dai

fuochi d1-d2=6, si può osservare che:

c=4 ;

2b=6 e quindi b=3; a2=c2-b2=16-9=7

quindi l’equazione canonica: ₂ 1

2 2 2 − = − b y a x diventa: 1 9 7 2 2 − = − y x

Per dimostrare la formula generale, applichiamo la definizione di iperbole per trovare l’equazione dell’iperbole avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse y, F1(0;-c) ed F2(0;c) e la differenza delle distanze dai

fuochi

d1-d2=2b. (con b<c)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’iperbole. Per definizione di iperbole deve risultare: F₁P−F₂P=2b

Cioè

(

x−0

) (

2+ y+c

)

2 −

(

x−0

) (

2+ y−c

)

2 =2b si sviluppano i prodotti notevoli; x2 +y2 +c2+2cy− x2 +y2 +c2−2cy =2b si porta un radicale al 2° membro; x2 +y2 +c2+2cy =2b+ x2+y2+c2 −2cy si elevano i due membri al quadrato; x2 +y2+c2+2cy=4b2 +x2 +y2+c2−2cy+4b x2 +y2 +c2−2cy si semplifica; 2cy=4b2−2cy+4b x2+y2+c2−2cy si isola il radicale; 4cy−4b2 =4b x2+ y2+c2−2cy si divide per 4; cy−b2 =b x2 +y2+c2−2cy si eleva al quadrato; c2y2 +b4−2b2cy=b2

(

x2+y2 +c2 −2cy

)

si moltiplica; c2y2+b4 +2b2cy=b2x2+b2y2 +b2c2+2b2cy si semplifica;

c2y2 +b4 =b2x2+b2y2 +b2c2 _{si portano al 1°membro tutti i termini che contengono x ed y;}

c2y2 −b2x2−b2y2 =b2c2 −b4 si raccoglie a fattore comune; −b2x2+y2

(

c2−b2

) (

=b2 c2−b2

)

Siccome c>b, risulta anche c2>b2 e quindi c2-b2 >0 e si può porre c2-b2=a2 L’equazione diventa: 2 2 2 2 2 2 a b a y x b + =

− si divide per b2 _a2 _{in modo da ottenere 1 al 2° membro;}

_{2 2} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b a y a b a b x _{+ =} − si semplifica; 1 2 2 2 2 = + − b y a x

si cambia il segno e si ottiene;

₂ 1 2 2 2 − = − b y a x

che è l’equazione canonica dell’iperbole con i fuochi sull’asse y.

CALCOLO DEI SEMIASSI, DEI VERTICI, DEGLI ASINTOTI, DEI FUOCHI E RAPPRESENTAZIONE GRAFICA.

INTERSEZIONI DELL’IPERBOLE CON UNA RETTA

LE RETTE TANGENTI AD UN’IPERBOLE PASSANTI PER UN PUNTO

CONDIZIONI PER DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UN’IPERBOLE

Per determinare l’equazione di un’iperbole sono necessarie due condizioni, poiché due sono i coefficienti da determinare nell’equazione: ₂ 1 2 2 2 = − b y a x oppure ₂ 1 2 2 2 − = − b y a x

Queste condizioni possono essere: - passaggio per un punto;

- conoscenza di un fuoco; - conoscenza di un vertice; - conoscenza di un asintoto; - conoscenza dell’eccentricità; - tangenza di una retta.

PROPRIETA’ OTTICA DELL’IPERBOLE

CURVE DEDUCIBILI DALL’IPERBOLE

Sono grafici di funzioni che si possono ricondurre all’equazione di un’iperbole.

DOMINI PIANI LIMITATI DA IPERBOLI

L’IPERBOLE TRASLATA

L’IPERBOLE EQUILATERA

L’IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI