Esercizi e complementi di Analisi Complessa
Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it
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Il piano complesso
Esistono molte definizioni possibili per l’insieme dei numeri complessi. In par-ticolare C `e:
• uno spazio vettoriale su R di dimensione due in cui si `e fissata una base 1, i e si `e definito un prodotto commutativo, associativo e distributivo tale che i2= −1;
• il campo ottenuto da R aggiungendo una radice quadrata di −1; • il campo formato dalle matrici 2 × 2 tali che a11= a22 e a12= −a21;
• la chiusura algebrica di R;
• l’unico campo topologico, connesso, localmente compatto, in cui gli ele-menti non nulli formano un sottoinsieme connesso.
Esercizio 1 Dimostrare l’equivalenza delle precedenti caratterizzazioni di C (l’ultima `e pi`u difficile).
Esercizio 2 Descrivere il corpo H dei quaternioni come sottoanello delle matrici 2 × 2 a coefficienti complessi.
2
Differenziabilit`
a complessa
Visto che C `e un campo, possiamo definire la differenziabilit`a complessa come l’esistenza del limite
lim
h→0
f (z + h) − f (z) h
dove h ∈ C. Del resto, intendendo C come spazio vettoriale reale, abbiamo che, per ogni f : R2 → R2
possiamo definire il differenziale in z ∈ R2 come
l’operatore R−lineare Lz: R2→ R2 tale che
f (z + h) = f (z) + Lzh + o(khk)
per ogni h ∈ R2.
Le funzioni C−differenziabili sono le funzioni R2−differenziabili il cui
dif-ferenziale `e, in ogni punto, un operatore C−lineare, ovvero R−lineare e tale che Lz(ih) = iLz(h), dove i `e l’unit`a immaginaria, ovvero, in R2, `e la mappa
ortogonale
Esplicitando la condizione di C−linearit`a sul differenziale, si ottengono le condizioni di Cauchy-Riemann: ( ∂P ∂x = ∂Q ∂y ∂P ∂y = − ∂Q ∂x
dove f (z) = P (z) + iQ(z) con P, Q : C → R. Le funzioni C−differenziabili si dicono olomorfe.
Esercizio 3 La funzione f : C∗→ C∗ che, in coordinate polari, `e data da
f (ρ, θ) = 1 ρ, θ 2 ` e olomorfa?
Esercizio 4 Date due curve γi: [0, 1] → C, i = 1, 2, di classe C1, con γ1(1/2) =
γ2(1/2) = p e γ01(1/2), γ20(1/2) non nulli e fissata f : C → C olomorfa tale che
f0(p) 6= 0, allora le curve f ◦ γi, i = 1, 2 si intersecano in f (p) con lo stesso
angolo di γ1e γ2. Ovvero, le mappe olomorfe sono conformi.
Esercizio 5 Data f : H → H, differenziabile due volte con continuit`a come funzione su R4, tale che, per ogni q ∈ H, esiste il limite
lim
h→0h
−1(f (q + h) − f (q))
con h ∈ H, dimostrare che f (q) = a + bq per opportuni a, b ∈ H.
Esercizio 6 Sia f : C → C olomorfa; mostrare che |f0(z)|2 `e lo Jacobiano di f , come funzione da R2 in s´e.
Esercizio 7 Data una mappa f : C → C che sia conforme nel punto p ∈ C e C1 in senso reale, dimostrare che `e olomorfa in p.
Esercizio 8 Se f : C → C `e olomorfa, allora lo `e anche f (¯z).
Esercizio 9 Se f = P + iQ `e una funzione olomorfa e C2in senso reale, allora
P e Q sono funzioni armoniche. Nota: una funzione h : R2
→ R di classe C2 si dice armonica se ∂2h ∂x2+ ∂2h ∂y2 = 0
Esercizio 10 Sia P (x, y) = x2− y2; trovare Q(x, y) tale che P + iQ `e olomorfa.
Esercizio 11 Sia f = P + iQ olomorfa su un dominio (un aperto connesso) D e tale che aP + bQ = c per opportune costanti reali non nulle a, b, c. Allora f `e costante.
3
Curve
Una curva `e, fondamentalmente, l’immagine di una applicazione continua γ : [0, 1] → C
Una tale applicazione `e detta parametrizzazione della curva. A seconda dei contesti si possono fare ulteriori richieste:
• si pu`o richiedere che la funzione γ (come funzione a valori vettoriali) sia C1, e si parler`a allora di curva C1, su tutto [0, 1] (e quindi restrizione di
• si pu`o richiedere che sia una curva chiusa, ovvero che γ(1) = γ(0); • si pu`o richiedere che sia semplice, ovvero che esista una parametrizzazione
γ che sia una funzione iniettiva;
• si pu`o richiedere che sia regolare, ovvero che sia C1ed esista una
parametriz-zazione tale che γ0(t) 6= 0 (detta anch’essa regolare) per ogni t ∈ [0, 1]. E’ bene ricordare che la nomenclatura `e variabile a seconda dei testi e delle situazioni: spesso si indica con la parola curva l’applicazione γ; in altri contesti, γ viene detta, se continua, arco e, se ha per immagine una curva chiusa, laccio. Spesso quindi si troveranno gli aggettivi chiusa, semplice, regolare attribuiti alla funzione γ piuttosto che alla sua immagine.
Esercizio 12 Due diverse parametrizzazioni C1di una stessa curva si ottengono
l’una dall’altra per composizione con una funzione s : [0, 1] → [0, 1] di classe C1.
Esercizio 13 Due diverse parametrizzazioni regolari di una stessa curva si ottengono l’una dall’altra per composizione con un diffeomorfismo di [0, 1] in s´e. Esercizio 14 Data una curva regolare (quindi C1) γ, `e sempre possibile trovare
una parametrizzazione tale che kγ(t)k = L per ogni t ∈ [0, 1]. Si pu`o allora con-siderare l’applicazione σ : [0, L] → C, che ha per immagine la curva data ed `e tale che kσ0(t)k = 1 per ogni t. Tale parametrizzazione `e detta parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco (p.r.l.a.).
Esercizio 15 Trovare una parametrizzazione γn della circonferenza tale che
γ0(t) = 0 ogni volta che γ(t) `e una radice n−esima di 1. La lunghezza di una curva regolare a tratti `e data da
Z 1
0
kγ0(t)kdt
dove γ `e una parametrizzazione regolare a tratti. Se σ : [0, L] → C `e p.r.l.a., allora L `e la lunghezza della curva immagine.
Data una curva γ, C1 a tratti, sia T = {0 = t
0 < t1 < . . . < tn = 1} un
insieme di n+1 punti nell’intervallo [0, 1] che contenga i punti di non derivabilit`a di γ, definiamo la curva C1 a tratti γT, ponendo su [tk−1, tk]
γT(t) = γ(tk) t − tk−1 tk− tk−1 + γ(tk−1) tk− t tk− tk−1
Esercizio 16 Dimostrare che, fissato δ > 0, esiste tale che, se 0 < ti−ti−1<
per ogni i, allora
sup t∈[0,1] kγ(t) − γT(t)k ≤ δ sup t∈[0,1] kγ0(t) − γT0(t)k ≤ δ
Esercizio 17 Dimostrare che sup
t∈[0,1]
d(γ(t), ΓT) −→ 0
se maxi(ti− ti−1) tende a 0, con ΓT = γT([0, 1]).
Esercizio 18 Dimostrare che la lunghezza di γ `e il limite delle lunghezze di γT per maxi(ti− ti−1) che tende a 0.
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1−forme differenziali su C
Per quel che ci serve, una 1−forma differenziale su R2 `e una scrittura formale
del tipo
ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy con a, b : R2
→ Rn per un qualche n. Si dir`a che ω `e una forma differenziale
reale, complessa o vettoriale a seconda che n sia uguale ad 1, a 2 o sia maggiore di 2.
Una 1−forma differenziale sar`a detta continua, differenziabile, Ck, analitica
reale od olomorfa a seconda che le funzioni a(x, y) e b(x, y) siano continue, differenziabili, Ck, analitiche reali, olomorfe.
Se f : R2→ Rn `e una funzione C1, si definisce la forma
df =∂f ∂xdx +
∂f ∂ydy
Quindi, ad esempio, dz = dx + idy, in quanto z : R2→ C `e la funzione z(x, y) =
x + iy; oppure d sin(xy) = y cos(x)dx + x cos(y)dy.
Se n = 1, 2 possiamo definire il prodotto tra una 1−forma e una funzione nel modo ovvio:
f (x, y)ω = f (x, y)a(x, y)dx + f (x, y)b(x, y)dy
L’integrale di una 1−forma differenziale continua ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy su una curva C1 a tratti γ = γ
1+ iγ2`e definito dall’espressione
Z γ ω = Z 1 0 [a(γ1(t), γ2(t))γ10(t) + b(γ1(t), γ2(t))γ02(t)]dt
La funzione integranda `e integrabile perch`e continua, in quanto γ `e una curva C1 a tratti.
Esercizio 19 Calcolare gli integrali delle seguenti forme differenziali sulla curva γ(t) = (cos(2πt), sin(2πt)) (attenzione: la prima `e a valori reali, le altre a valori complessi): ω1= x x2+ y2dx − y x2+ y2dy ω2= x x2+ y2dx − i y x2+ y2dy ω3= x x2+ y2 − i y x2+ y2 dz ω4= x x2+ y2 − y x2+ y2 dz
Esercizio 20 Calcolare l’integrale della forma ω3sulle seguenti curve:
γ0(t) = (cos(2πf (t)), sin(2πf (t)))
γ1(t) = (a cos(2πt), b sin(2πt))
γ2(t) = (3a cos(2πt) − a cos(6πt), 3a sin(2πt) − a sin(6πt))
dove a, b sono numeri reali positivi e f : [0, 1] → [0, 1] `e una funzione C1 tale
che f (0) = 0 e f (1) = 1.
Esercizio 21 Dimostrare che, data f : C → C continua, si ha Z γ f (z)dz = Z γ f (¯z)dz
Sia γ : [0, 1] → C una curva chiusa e siano 0 = p0 < p1 < . . . < pn = 1
tali che γ|[pi,pi+1] ha la stessa immagine di γ. Indichiamo con |i|(γ) il massimo
numero n per cui `e possibile trovare n + 1 punti siffatti. Esercizio 22 |i|(γ) `e ben definito.
Esercizio 23 Se |i|(γ) = |i|(σ), esiste f : [0, 1] → [0, 1], C1a tratti con f (0) = 0
e f (1) = 1 tale che γ(t) = σ(f (t)) per ogni t ∈ [0, 1] (oppure esiste g con le stesse propriet`a tale che σ(t) = γ(g(t))).
Esercizio 24 Se γ e σ sono curve C1 a tratti, con la stessa immagine e
|i|(γ) = |i|(σ), allora
Z γ ω = Z σ ω
per ogni 1−forma continua ω.
Esercizio 25 Si considerino le curve
γ(t) =
(cos(4πt), sin(4πt)) se t ∈ [0, 1/2] (cos(2π − 4πt), sin(2π − 4πt)) se t ∈ [1/2, 1]
σ(t) = (cos(4πt), sin(4πt)) Si verifichi che |i|(γ) = |i|(σ) = 2 ma
Z γ dz z 6= Z σ dz z
Osserviamo che dz = dx + idy e d¯z = dx − idy, quindi 2dx = dz + d¯z e 2dy = i(d¯z − dz). In analogia con la formula
df =∂f ∂xdx + ∂f ∂ydy definiamo ∂f ∂z = 1 2 ∂f ∂x − i ∂f ∂y ∂f ∂ ¯z = 1 2 ∂f ∂x + i ∂f ∂y di modo che df = ∂f ∂zdz + ∂f ∂ ¯zd¯z
Le equazioni di Cauchy-Riemann si possono allora scrivere ∂f
∂ ¯z = 0
In particolare, una funzione olomorfa `e tale che df = g(z)dz per una qualche g : C → C, che sar`a la derivata complessa di f .
Esercizio 26 Se f : C → C `e olomorfa, poniamo g(z) = f (¯z). Allora dg = f0(z)d¯z
Esercizio 27 Calcolare i seguenti integrali, dove γ(t) = (cos(2πt), sin(2πt)) Z γ dz ¯ z Z γ d¯z z
