0. Lezione introduttiva: Breve Introduzione al Calcolo Infinitesimale.

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Politecnico di Milano Analisi e Geometria 1 Anno accademico 2020 / 2021

Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali Politecnico di Milano

Materiale didattico, avvisi e informazioni sul corso:

https://home.aero.polimi.it/lastaria/

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 1/22

Suddivisione in squadre per le esercitazioni: in base al Codice Persona di 8 cifre (Attenzione: non `e il Numero di Matricola).

Squadra 1: Codice Persona con ultima cifra dispari: Gioved`ı 16:15/19:15,

Aula LM6 (La Masa, Edificio B15); Aula virtuale. Prof.ssa Barbara Balossi.

Squadra 2: Codice Persona con ultima cifra pari: Gioved`ı 16:15/19:15,

Aula L14 (Campus La Masa, Edifico B12); Aula virtuale: prof. Mauro Saita.

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Alcuni testi

E. Giusti, Analisi Matematica 1, Terza edizione interamente riveduta, Bollati Boringhieri, 2009.

G. Crasta - A. Malusa, Matematica 1, Teoria ed esercizi, Pitagora.

C.Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica I, Seconda edizione, Springer. (Anche in inglese).

P. Lax, M. Terrell, Calculus with Applications, 2nd Ed., Springer.

Quando nasce la scienza? Cos’`

e una teoria scientifica?

Aspetti caratteristici di una teoria scientifica (‘matematica’):

Due livelli: gli enti teorici (matematici) (si pensi alla

Geometria; Elementi di Euclide, 300 a.C.) sono utilizzati come modelli (semplificati) della realt`a fisica.

Le applicazioni al mondo reale sono basate su regole di corrispondenza tra gli enti teorici e gli “oggetti concreti”. L’ambito di validit`a delle regole di corrispondenza `e limitato.

Metodo dimostrativo. (Carattere ipotetico-deduttivo delle

teorie scientifiche matematiche).

La scienza moderna non nasce con Galileo e Newton, ma con Euclide, Archimede, Eratostene, Aristarco di Samo. Le sue origini vanno retrodatate di 2000 anni: nasce verso la fine del quarto secolo a.C., nell’ambito della civilt`a ellenistica.

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Esistono infiniti numeri primi. (Euclide)

Teorema (“Esistono infiniti numeri primi ”. Euclide, Elementi, libro IX, Proposizione 20)

I numeri primi sono pi`u numerosi di qualunque assegnata quantit`a di numeri primi.

Algoritmo del massimo comun divisore. (Euclide)

Teorema (Algoritmo di Euclide. Elementi, Libro VII, Prop. 2) Siano a, b numeri interi positivi, a > b. Effettuiamo le divisioni successive: a = q1b + r1 b = q2r1 + r2 r1 = q3r2 + r3 · · · = · · · rn−2 = qnrn−1 + rn rn−1 = qn+1rn

Allora l’ultimo resto non nullo rn `e il massimo comun divisore di a e b.

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Grandezze incommensurabili. (Euclide, Elementi, libro X.)

Teorema (“Irrazionalit`a di √2”)

La diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili.

L’algoritmo di Euclide (M,c.d.) applicato ai segmenti non termina mai se, e solo se, i segmenti sono incommensurabili .

Frazioni continue. √ 2 = 1 + 1 2 + 1 2+ 1 2+ 1 2+ 1 2+ 1 2+ 1 2+ 1 2+···

Approssimazione di π. ‘Misura del Cerchio’(Archimede)

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Cos’`

e il Calcolo Infinitesimale?

Newton, Method of Fluxions (1671; pubblicato postumo nel 1736).

I. Data la lunghezza dello spazio in modo continuo (cioè, in tutti i tempi), trovare la velocità del moto a ogni istante assegnato. II. Data la velocità del moto in modo continuo, trovare la lunghezza dello spazio percorso a ogni tempo assegnato.

Cos’`

e il Calcolo Infinitesimale?

Tentativo di descrizione (pi`u che una ‘definizione’):

La matematica del cambiamento di grandezze che variano con

continuit`a e delle relazioni tra di esse. Curve: cambio nella direzione.

Moto: cambio nella posizione.

Concetti, risultati e strumenti fondamentali

Derivata Rapidit`a di variazione di una quantit`a. Integrale Somma totale di parti infinitesimali.

Teorema Fondamentale del Calcolo: relazioni tra derivazione e integrazione.

Equazioni differenziali. (Esempio: F = ma).

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Derivata: Rapidit`

a istantanea di variazione

Definizione

La derivata di f in x0, denotata f0(x0), `e il limite del rapporto incrementale: f0(x0) = lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0) h

(se questo limite esiste finito).

f (x0+ h) ∼ f (x0) + f0(x0)h (h piccolo)

Variazione ∆f = f0(x0)h (h piccolo)

La derivata e il Problema delle Tangenti

Problema delle Tangenti

Pendenza della secante: ∆y_∆x

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La derivata e il Problema della Velocit`

a Istantanea

Caduta libera di un corpo (Galileo)

Posizione all’istante t: s(t) = 1₂gt2 Velocit`a v (t) all’istante t: v (t) = s0(t) = gt

Piccolo tratto percorso da t a t + dt: v (t) dt = gt dt

Archimede (287-212 a.C.). Area del segmento parabolico.

ADB + BEC = 1

4ABC e cos`ı via. Iterando: Area = ABC + 1₄ABC + ₄12ABC + · · · +

1

4nABC + · · ·

Area = ABC 1 + 1₄ + ₄12 + + · · · +

1

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Somma infinita: 1 +

1₄

+

₄12

+ · · · +

1 4n

+ · · · =

4 3

(Archimede)

1 2 1 2 0

La serie geometrica. (Esempio di somma infinita).

Se 0 < q < 1, +∞ X n=0 qn = 1 + q + q2 + · · · + qn + · · · = 1 1 − q

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Il Metodo (Archimede). Legge della Leva per calcolare

aree, volumi e centri di gravit`

a.

Integrale: Somma totale di parti ‘infinitesimali’.

Definizione (Integrale come limite di somme (Riemann, 1854)) Z b a f (x ) dx = lim |∆|→0 X i f (x_i∗)∆xi

dove |∆| = maxi =1,...,m ∆xi `e la massima lunghezza dei sotto-intervalli

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Esempio fondamentale della relazione Derivata/Integrale

Integrale della velocit`a = Spazio percorso

Velocit`a in t: v (t) = s0(t), (Supponiamo v continua) Spazio percorso nell’intervallino di tempo ∆ti : v (t_i∗)∆ti Spazio s(t) − s(t0) percorso da t0 a t: lim |∆|→0 X i v (t_i∗)∆ti = Z t t₀ v (τ ) d τ = s(t) − s(t0) `

E una versione del Teorema Fondamentale del Calcolo (I): Rt

t₀ s

0_{(τ ) d τ = s(t) − s(t0)}

Teorema Fondamentale del Calcolo (II)

Grafico di f

Supponiamo f continua. Definiamo: F (x ) =

Z x a

f (u) du

= Area sotto il grafico di f da a fino a x

a x x + h

f (x )

F (x +h)−F (x )

h =

Area del ‘rettangolino’ grigio

Base Esiste x

∗ _{∈ [x, x + h]:}

= h f (x_h?) = f (x?) → f (x ) (per h → 0). Segue: Teorema Fondamentale del Calcolo Infinitesimale

Se f `e continua, _d dx

Rx

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Teorema in: Newton, ‘De Quadratura Curvarum’

“Cos`ı, se le aree ABC , ABDG sono descritte dalle ordinate BC , BD che avanzano con moto uniforme sulla base AB, le flussioni delle loro aree saranno tra loro in rapporto come le ordinate che descrivono BC e BD, e possono essere rappresentate per mezzo di

quelle ordinate, perch´e quelle ordinate stanno tra loro come gli incrementi nascenti delle aree.? (Isaac Newton, De Quadratura

Curvarum, manoscritto del 1691-1692)

Argomenti di riflessione

1) L’attuale concetto di scienza `e lontano dalla epist´eme (ἐπιστήμη) dei greci.

2) La pretesa di risolvere il senso del mondo nella descrizione matematico-quantitativa che la scienza d`a del mondo stesso `e superstizione scientifica (Karl Jaspers).