Universit`
a degli Studi di Padova
DIPARTIMENTO DI SCIENZE STATISTICHE Corso di Laurea Triennale in
Statistica e Tecnologie Informatiche
Relazione Finale
Analisi della stabilit`
a di un processo produttivo
presso la ditta Mevis
Relatore
Prof.ssa Giovanna Capizzi Dipartimento di Scienze Statistiche
Candidato
Francesco Bizzotto
Matricola 1051518
i
Introduzione
É di cile ispezionare o testare la qualità di un prodotto: meglio è avere un prodotto che sia qualitativamente accettabile già in fase di produzione. Que-sto richiede che il processo produttivo sia stabile e che le persone impegnate nella produzione (operatori, ingegneri e personale addetto al controllo della qualità) siano continuamente impegnate anche nel miglioramento del pro-cesso produttivo e nella riduzione della variabilità dei fattori coinvolti nella produzione. L'SPC (Statistical Process Control) è lo strumento primario per conseguire tale risultato e le carte di controllo sono lo strumento più semplice per de nire una procedura di controllo statistico di processo.
Per raggiungere questo scopo il processo deve essere in grado di produrre pezzi tali che la variabilità del valore nominale speci co del prodotto sia la più bassa possibile: il controllo statistico di un processo produttivo è un insieme di potenti strumenti, utili per raggiungere la stabilità del processo e per migliorare la produttività attraverso la riduzione della variabilità.
Ogni processo produttivo, indipendentemente da quanto ben progettato o ben aggiornato sia, è sempre soggetto ad una certa variabilità intrinseca o naturale. Questa variabilità naturale, o rumore di fondo, è il risultato del-l'eetto cumulato di molti piccoli ma ineliminabili fattori costanti o casuali. Un processo la cui variabilità sia provocata solo da fattori casuali verrà detto sotto controllo.
Tra le fonti di variabilità ne esistono tuttavia alcune che in uiscono sulla qualità risultante dei prodotti e possono essere solo occasionalmente presenti nel processo produttivo. Sono generalmente dovute a tre fattori principali: macchinari non ben funzionanti, errori dovuti agli operatori o materiali grezzi difettosi. La variabilità prodotta da questi fattori è molto più evidente di quella prodotta da fattori casuali e dà luogo in genere ad una prestazione del processo inaccettabile. Le fonti di variabilità che non sono riconducibili a fattori casuali vengono chiamate fattori speci ci. Un processo che stia funzionando in presenza di fattori speci ci verrà detto fuori controllo.
In genere i processi produttivi operano in situazioni di controllo, pro-ducendo pezzi di qualità accettabile per lunghi periodi di tempo. Possono tuttavia veri carsi fattori speci ci, apparentemente casuali, tali da compor-tare la produzione di grandi quantità di pezzi non conformi agli standard qualitativi.
L'obiettivo primario del controllo statistico di un processo produttivo è di individuare il più velocemente possibile il veri carsi di fattori speci ci: quanto più veloce è l'individuazione delle cause, tanto prima potranno esse-re avviate azioni di coresse-rezione, così da evitaesse-re la produzione di molti pezzi di
ii
qualità non accettabile. Le carte di controllo sono uno strumento ampiamen-te usato per questi scopi. Vengono inoltre usaampiamen-te per controllare i parametri di un processo e per determinare la capacità del processo stesso.
Per ultimo si ricordi che lo scopo del controllo statistico di un processo è di eliminare la variabilità all'interno del processo stesso: per quanto non sia pos-sibile eliminarla completamente, le carte di controllo costituiscono un e cace strumento per ridurla il più possibile. L'organizzazione della tesi è la seguente: il capitolo 1 contiene una breve descrizione dell'azienda, in cui è stato svolto lo stage, gli obiettivi e le attività svolte durante tale periodo ed un'introduzione ai codici analizzati nei capitoli seguenti. Nel capitolo 2 sono descritte le caratteristiche principali di tutte le metodologie utilizzate per l'analisi dei dati raccolti. Particolare attenzione è stata data alle metodologie meno comuni, come Nested Anova, Carta di accettazione e MEWMA, a dispetto delle più comuni Carta Shewhart ed EWMA.
Il capitolo 3 riporta tutte le analisi eettuate sul primo codice preso in esame:Custodia AM80S. In modo analogo al precedente, nel capitolo 4 sono riportate le analisi eettuate sul secondo codice:Verroulame. Il quinto capi-tolo contiene le conclusioni emerse alla ne del lavoro descritto nei capitoli precedenti.
Alla ne della relazione è presente l'appendice, contenente i gra ci ed i codici R utilizzati.
Indice
1 Lo stage 1 1.1 L'azienda . . . 1 1.2 Attività svolte . . . 4 1.2.1 Custodia AM80S . . . 4 1.2.2 Verroulame . . . 62 Metodologie di analisi utilizzate 11 2.1 Analisi descrittiva . . . 11
2.2 Analisi della varianza . . . 11
2.2.1 Anova standard . . . 11
2.2.2 Nested Anova . . . 13
2.3 Carte di controllo . . . 14
2.3.1 Carta Shewhart . . . 15
2.3.2 Carta di controllo in presenza di componenti di varia-zione gerarchica . . . 16 2.3.3 Carta di accettazione . . . 17 2.3.4 Carta EWMA . . . 18 2.3.5 Carta MEWMA . . . 19 2.4 Capacità . . . 19 2.4.1 Indici di capacità . . . 20 2.4.2 Indici di performance . . . 21 2.4.3 Indice di stabilità . . . 21
2.4.4 Indici di capacità per dati non-normali: il metodo di Clements . . . 22 3 Custodia AM80S 25 3.1 Altezza . . . 25 3.2 Distanza e Inclinazione . . . 32 3.3 Rotazione e Svitamento . . . 35 4 Verroulame 37 4.1 Carico . . . 38 4.2 Assialità . . . 42 iii
iv INDICE
5 Conclusioni 45
A Gra ci - Custodia AM80S - Altezza 47 B Gra ci - Custodia AM80S - Distanza e Inclinazione 51 C Gra ci - Custodia AM80S - Rotazione e Svitamento 59 D Gra ci - Verroulame 63
E Codice R 73
Elenco delle gure
1.1 Disegno della Custodia AM80S . . . 4 1.2 Immagini che mostrano l'unione tra il nucleo e la custodia . . 5 1.3 Strumento utilizzato per identi care le dierenti posizioni in
cui eettuare le misurazioni . . . 6 1.4 Immagini rappresentative del codice Verroulame . . . 7 1.5 Modello Q10: foglio in cui vengono segnate le misure rilevate
dall'addetto (in gura solo caratteristica altezza). . . 8 3.1 Gra ci per la valutazione dell'autocorrelazione presente nei dati. 25 3.2 Carte Shewhart per la sorveglianza della stabilità della media
e della deviazione standard della caratteristica altezza. . . 26 3.3 Box-plot delle medie per i fattori Colata e Settimana. . . 27 3.4 Carta Shewhart sui residui. . . 29 3.5 Carta Shewhart per la sorveglianza della media con varianza
stimata utilizzando Nested Anova. . . 30 3.6 Diagramma ad albero / Albero di regressione, caratteristica:
inclinazione. . . 33 3.7 Carta di controllo MEWMA . . . 34 3.8 Box-plot delle osservazioni per il fattore addetto. . . 35 3.9 Carta EWMA per le medie giornaliere, caratteristica: rotazione. 36 4.1 Carta Shewhart per la sorveglianza della media con limiti
variabili, caratteristica: carico e assialità. . . 38 4.2 Carta Shewhart per la sorveglianza della media applicata sui
residui, caratteristica: carico. . . 39 4.3 Box-plot delle medie campionarie in base agli interventi
eet-tuati nelle stazioni 1 e 2, caratteristica: carico. . . 40 4.4 Box-plot delle medie campionarie in base agli interventi
eet-tuati nella stazione 3, caratteristica: carico. . . 40 4.5 Carta Shewhart per le medie con limiti aggiustati,
caratteri-stica: carico. . . 41 4.6 Diagramma ad albero / Albero di regressione, caratteristica:
assialità. . . 42 v
vi ELENCO DELLE FIGURE 4.7 Carta Shewhart per il controllo della media con limiti
aggiu-stati, caratteristica: assialità. . . 44 A.1 Gra ci per valutare la normalità delle medie campionarie,
caratteristica: altezza. . . 47 A.2 Gra ci per valutare l'autocorrelazione delle medie
campiona-rie, caratteristica: altezza. . . 48 A.3 Gra ci per l'analisi dei residui (Carta Shewhart su et
σ2
, acf(et),
p-value del test di Ljung-Box per veri care l'ipotesi i residui non siano correlati), caratteristica: altezza. . . 49 A.4 Diagramma ad albero / Albero di regressione, caratteristica:
altezza. . . 49 A.5 Adattamento di un modello lineare con il fattore settimana
ai dati, caratteristica: altezza. . . 50 A.6 Nested Anova per il fattore settimana, caratteristica: altezza. 50 B.1 Diagramma ad albero e box-plot delle misurazioni per
posi-zione, caratteristica: distanza. . . 51 B.2 Summary del modello avente posizione come unico fattore e
relativo test Anova, caratteristica: distanza. . . 52 B.3 Box-plot delle misurazioni per posizione, caratteristica:
incli-nazione. . . 52 B.4 Summary del modello avente posizione come unico fattore e
relativo test Anova, caratteristica: inclinazione. . . 53 B.5 Carta Shewhart per le misure singole e carta R per le
escur-sioni mobili, caratteristica: distanza, posizione A. . . 53 B.6 Carta Shewhart per le misure singole e carta R per le
escur-sioni mobili, caratteristica: inclinazione, posizione 2. . . 54 B.7 Test anova per la posizione A della caratteristica distanza. . . 54 B.8 Procedura di regressione stepwise, caratteristica: distanza,
posizione B. . . 55 B.9 Procedura di regressione stepwise, caratteristica: distanza,
posizione C. . . 56 B.10 Diagramma ad albero / Albero di regressione, caratteristica:
distanza, posizione D. . . 57 C.1 Carta Shewhart per le misure singole, caratteristica: rotazione. 59 C.2 Carta Shewhart per le misure singole, caratteristica: svitamento. 60 C.3 Carta Shewhart per le medie giornaliere, caratteristica:
rota-zione. . . 60 C.4 Carta Shewhart per le medie giornaliere, caratteristica:
ELENCO DELLE FIGURE vii D.1 Gra ci per l'analisi dell'autocorrelazione delle medie,
caratte-ristica: carico. . . 63 D.2 Gra ci per l'analisi dell'autocorrelazione delle medie,
caratte-ristica: assialità. . . 63 D.3 Gra ci per l'analisi della normalità delle medie, caratteristica:
carico e assialità. . . 64 D.4 Gra ci per l'analisi dei residui (Carta Shewhart su et
σ2
, acf(et),
p-value del test di Ljung-Box per veri care l'ipotesi i residui non siano correlati), caratteristica: carico. . . 65 D.5 Diagramma ad albero / Albero di regressione, caratteristica:
carico. . . 66 D.6 Box-plot delle misurazioni per addetto, caratteristica: carico. 66 D.7 Box-plot delle misurazioni per colata, caratteristica: carico. . 67 D.8 Plot delle misurazioni comprese tra due interventi eettuati
in una delle tre stazioni della pressa, caratteristica: carico. . . 68 D.9 Plot delle misurazioni comprese tra due interventi eettuati
nella stazione 3, caratteristica: carico. . . 69 D.10 Nested Anova per il fattore staz3, caratteristica: carico. . . . 70 D.11 Box-plot delle misurazioni per addetto, caratteristica: assialità. 70 D.12 Box-plot delle misurazioni per colata, caratteristica: assialità. 71 D.13 Nested Anova per il fattore addetto, caratteristica: assialità. . 71
Elenco delle tabelle
1.1 Modalità di rilevazione dei dati . . . 8
1.2 Descrizione dataset . . . 9
2.1 Limiti di controllo per le carte Shewhart . . . 16
2.2 Valutazione indici di capacità. . . 21
3.1 Test di Shapiro-Wilk. . . 28
3.2 Tabella riassuntiva della modellazione delle medie campiona-rie con un autoregressivo di ordine 2 (AR(2)). . . 28
3.3 Analisi della varianza per modelli annidati, caratteristica: al-tezza. . . 30
3.4 Indici di capacità. . . 31
3.5 Analisi generale delle caratteristiche distanza e inclinazione. . 32
3.6 Analisi generale delle caratteristiche rotazione e svitamento. . 35
3.7 Indici di capacità. . . 36
4.1 Stime della media e della deviazione standard, p-value del test di Shapiro-Wilk e presenza di correlazione tra i dati. (∗vedi Fig. D.1 - D.3) . . . 37
4.2 Tabella di frequenza delle misurazioni eettuate dagli addetti. 38 4.3 Analisi della varianza per modelli annidati, caratteristica: ca-rico. . . 41
4.4 Analisi della varianza per modelli annidati, caratteristica: as-sialità. . . 43
4.5 Indici di capacità, caratteristica: carico e assialità. . . 44
Capitolo 1
Lo stage
1.1 L'azienda
Mevis di Rosà (VI) ha origine da un clamoroso errore del fondatore, Adria-no Visentin: l'acquisto di una macchina sbagliata per la tipologia di pro-dotto che voleva cominciare a realizzare. In seguito intelligenza e capacità imprenditoriali hanno fatto il resto.
Queste sono le parole del glio Federico, amministratore delegato di questa società, che spiega l'accaduto:
Nel 1961, durante la visita ad una era a Milano, passeggiando fra gli stand, mio padre è colpito ad un piede da una grossa molla rotolata giù dalla macchina che l'ha appena prodotta. Nell'osser-varla gli viene in mente che alcuni amici, occupati in imprese del distretto vicentino delle selle per biciclette, si lamentano sempre delle di coltà che incontrano nel reperire le molle, dovendo spin-gersi no a Lecco. Subito si rivolge al titolare della ditta espo-sitrice e gli commissiona una macchina, non accorgendosi però che quella scelta non è una torsionatrice, adatta alla produzione delle molle a trazione utilizzate per le selle delle biciclette, bensì una avvolgitrice, speci ca invece per molle a compressione. Nonostante il clamoroso errore, non si perde d'animo e con op-portune modi che riesce comunque a far eseguire alla sua
2 1. Lo stage china anche gli occhielli, ma il risultato nale non è certo il massimo.
Mentre si rassegna all'idea di restituirla al mittente, interviene la fortuna: dal mercato la richiesta delle molle che voleva co-struire sta crollando perché al loro posto, per le selle di biciclette, si stanno usando particolari forcelle; al contrario è in aumen-to la domanda di molle a compressione e dunque un'avvolgitrice è proprio ciò che ci vuole per far proseguire l'attività.(Borgo, 2011)
Da allora è passato più di mezzo secolo e ora presentare la Mevis come un molli cio sarebbe molto riduttivo, visto che diversi suoi prodotti entrano in altri segmenti della componentistica metallica. Nel suo corposo catalogo, infatti, oltre a tutte le tipologie di molle in lo e in nastro, troviamo bobine in rame, particolari in lo piegati e in tubo, tiranteria, contatteria, elementi tranciati e stampati, anelli ecc. Realizzati impiegando li con diametri da 0,08 a 7 mm e nastri con spessori compresi fra 0,10 e 5 mm, i prodotti suddet-ti, dopo essere stati sottoposti se necessario a speci ci trattamenti termici o super ciali, raggiungono il migliaio di clienti sparsi un po' in tutto il mondo e operanti, in ordine di importanza, nei settori automobilistico, elettromecca-nico, elettrodomestico, motociclistico e nell'equipaggiamento sportivo. Tutte le attrezzature e gli stampi impiegati per la creazione dei particolari tran-ciati e stampati, che oggi rappresentano la voce più importante dell'oerta aziendale, nascono internamente.
Continui e cospicui investimenti in impianti tecnologicamente avanzati (alcuni costruiti in casa dagli stessi suoi tecnici) abbinati ad un esteso uso
1.1 L'azienda 3 delle logiche di produzione e spedizione Just in Time e di Lean Produc-tion (Kanban) consentono alla società di garantire alla clientela una qualità rigorosa certi cata dalle normative ISO 9001 e ISO TS16949.
Il Just in Time (spesso abbreviato in JIT ), espressione inglese che signi- ca appena in tempo, è una loso a industriale che ha invertito il vecchio metodo di produrre prodotti niti per il magazzino in attesa di essere vendu-ti (detto logica push) passando alla logica pull secondo cui occorre produrre solo ciò che è stato già venduto o che si prevede di vendere in tempi bre-vi. In termini più pragmatici, ma anche riduttivi, è una politica di gestione delle scorte a ripristino che utilizza metodologie tese a migliorare il processo produttivo, cercando di ottimizzare non tanto la produzione quanto le fasi a monte, di alleggerire al massimo le scorte di materie prime e di lavorati necessari alla produzione. In pratica si tratta di coordinare i tempi di eet-tiva necessità dei materiali sulla linea produteet-tiva con la loro acquisizione e disponibilità nel segmento del ciclo produttivo e nel momento in cui debbono essere utilizzati.
Il kanban, invece, termine giapponese che letteralmente signi ca insegna, indica un elemento del sistema Just in time di reintegrazione delle scorte mano a mano che vengono consumate. Il kanban, indicante la tipologia del materiale usato per una lavorazione, è apposto su un contenitore che una vol-ta vuovol-tato viene rifornito. Il usso, in tempo reale, dell'approvvigionamento, evita gli stock di magazzino e i costi derivanti.
4 1. Lo stage Nel corso degli anni la società ha avuto una crescita continua, aprendo altri nuovi stabilimenti, non solo in Italia. Nel 2013 sono arrivati no in Cina, con la nascita di Mevis High Precision Metal Components: la prima unità produttiva e centro di sviluppo a Yangzhou.
1.2 Attività svolte
L'esperienza di stage presso la ditta Mevis è durata 350 ore e, per la prima volta, mi sono immerso in una realtà aziendale. Il primo periodo è stato de-dicato ad un orientamento nell'azienda, alla conoscenza delle persone che vi lavoravano ed alla comprensione di tutte le procedure e le logiche utilizzate dall'azienda per il controllo della qualità. Il controllo qualità eettuato nora era principalmente una registrazione cartacea delle caratteristiche fondamen-tali dei pezzi prodotti e solo in pochi casi le misurazioni venivano registrate nel gestionale SAP.
Uno degli obiettivi dello stage era appunto veri care cosa il gestionale SAP mettesse a disposizione come analisi statistiche e de nire, per le carte potenzialmente applicabili alla realtà Mevis, le modalità con cui andassero utilizzate.
Il ne ultimo dello stage è stato quello di creare una carta di controllo idonea alla sorveglianza delle caratteristiche dei codici analizzati, al ne di migliorarne il processo. Per questo tra la varietà di prodotti disponibile, si è scelto di analizzare la Custodia AM80S ed il Verroulame, poiché entrambi sono dei pezzi prodotti da molti anni, con continuità ed in grande quantità.
1.2.1 Custodia AM80S
Figura 1.1: Disegno della Custodia AM80S
Il primo codice in analisi è la Custodia AM80S, che sarà utilizzata dal cliente, come cassa di risonanza, per la produzione di avvisatori acustici. Per la creazione di questo pezzo viene utilizzata una pressa, composta da 14 stazioni, che trasforma il nastro di materia prima (acciaio dolce laminato
1.2 Attività svolte 5 per incrudimento) nella forma desiderata e l'assembla con un nucleo, pezzo metallico posizionato al centro della parte superiore della custodia (zona 1 -Fig. 1.1).
La prima stazione della pressa consiste nella tranciatura della lastra, eettuata in modo da minimizzare gli scarti. Dalla seconda alla sesta sta-zione ci sono tutte le fasi di imbottitura, che permettono la creasta-zione delle profondità tra le varie zone. Alla settima stazione avviene la calibrazione degli spigoli e delle circonferenze, che consentono di passare dall'imbottitura approssimativa alla creazione della forma nale della custodia. Nell'ottava stazione vengono eettuati tutti i fori:
- il foro centrale della zona 1, di forma decagonale, dove in seguito sarà posizionato il nucleo.
- i due fori eettuati nella zona 2, che serviranno al cliente per il posi-zionamento delle molle che creeranno la vibrazione sonora.
- un altro foro eettuato nella zona 2, il quale andrà successivamente lettato.
Nelle stazioni 9 e 10 sono realizzate le slabbrature ai fori, la lettatura al foro singolo della zona 2 e la tranciatura del pro lo esterno. Il nucleo viene assemblato con la custodia nella stazione 11, grazie ad una tavola rotante, che lo preleva e lo posiziona, ed allo stampo che lo ssa in modo permanente. Nella stazione seguente il nucleo viene coniato, cioè vengono formati otto denti sulla super cie (Fig. 1.2) che permetteranno una maggiore aderenza con la staa, la quale sarà ssata, a prodotto nito, dal cliente. Nelle ultime due stazioni viene creato il bordo esterno della zona 3, piegandolo prima a 45◦ e poi a 90◦.
Per controllare che tutti pezzi prodotti siano conformi alle richieste del cliente, vengono eettuati dei controlli in più parti dell'oggetto in esame.
6 1. Lo stage In particolare, in questa analisi, vedremo:
1. la caratteristica che indica l'altezza tra il primo livello di imbottitura (zona 3) della custodia e la parte posteriore del nucleo, che si trova all'interno della custodia. In seguito sarà indicata solamente con il termine altezza.
2. la caratteristica che indica la distanza tra il piano del primo livello di imbottitura ed il secondo livello di imbottitura della custodia (zona 2). Sarà indicata solamente con il termine distanza.
3. la caratteristica che indica l'inclinazione del primo livello di imbotti-tura. Può essere al massimo di 0.07 mm. In seguito sarà chiamata inclinazione.
4. la caratteristica che indica la forza necessaria per la rotazione della coppia nucleo/custodia. Serve per controllare che nucleo e custodia siano ben ssati tra loro ed ha una soglia minima di 16 Nm. Sarà identi cata con il termine rotazione.
5. la caratteristica che indica la forza necessaria per lo svitamento della coppia staa/custodia. Serve per controllare che la staa rimanga ssata alla custodia, un ruolo importante è svolto dai denti formati nella stazione 12 della pressa. Ha una soglia minima di 13 Nm e sarà chiamata svitamento.
Figura 1.3: Strumento utilizzato per identi care le dierenti posizioni in cui eettuare le misurazioni
1.2.2 Verroulame
Il secondo codice in analisi è il Verroulame, una speciale molla con denti, utilizzata per il movimento antero-posteriore dei sedili anteriori delle auto-mobili. I denti sono fondamentali per il bloccaggio del sedile sulle slitte. Questo codice necessità di una percentuale di zero difetti. Se, infatti, uno di
1.2 Attività svolte 7 questi denti, che incastrandosi bloccano il movimento del sedile, si rompesse in fase di frenata, permetterebbe al sedile di scorrere in avanti, creando un serio pericolo per il passeggero. Per la creazione di questo pezzo viene utiliz-zata una pressa, composta da 3 stazioni che trasformano la lastra di materia prima (acciaio laminato a freddo da trattamento termico) nella forma desi-derata. Successivamente il pezzo sarà temprato per aumentare la resistenza del materiale.
Figura 1.4: Immagini rappresentative del codice Verroulame
Le fasi
La prima stazione della pressa eettua la tranciatura della lastra e nella creazione dei fori. Nella seconda invece vengono eseguite tutte le pieghe, che permettono di dare la forma desiderata al materiale. La terza stazione, che è la più importante, eettua la calibrazione, cioè regola con la massi-ma precisione gli angoli delle piegature, ed eettua la brocciatura, cioè la ritranciatura, più ra nata, dei denti, parte fondamentale per l'utilizzo del pezzo.
Data l'elevata criticità nella sicurezza dei passeggeri, ogni pezzo viene controllato automaticamente al 100% dopo la tempratura. Nonostante que-sto viene anche eettuato un controllo, antecedente alla tempratura, sul-le due caratteristiche più importanti che saranno l'oggetto delsul-le analisi del Capitolo 4:
• la caratteristica, identi cata con il termine carico, viene misurata pri-ma della tempratura del pezzo e serve per tenere sotto controllo il carico, necessario per sbloccare la molla e permettere il movimento al sedile. La prova sica potrà essere fatta solamente quando il pezzo sarà temprato.
• la caratteristica assialità indica la centratura dei denti rispetto all'asse del pezzo. Questa quota è fondamentale perché sono proprio i denti a permettere il bloccaggio del sedile.
8 1. Lo stage Modalità di rilevazione
Nella seguente tabella (Tabella 1.1) sono riportati alcuni dettagli sui tipi di rilevazione per caratteristica di qualità: intervallo di speci ca, numero com-plessivo di osservazioni rilevate, ampiezza campionaria, frequenza di cam-pionamento, informazione sul numero di posizioni rilevate (una o quattro). Caratteristica Limiti di N◦ oss. Ampiezza Frequenza Posizioni
speci ca campionaria rilevate CUSTODIA AM80S Altezza 16.1 ± 0.1 575 5 2/h 1 Distanza 12.5 ± 0.1 460 1 2/h 4 Inclinazione 0.07 max 460 1 2/h 4 Rotazione 16 min 194 1 1/h 1 Svitamento 13 min 60 1 4/h 1 VERROULAME Carico 3.5 ± 0.5 747 5 2/h 1 Assialità 0 ± 0.35 747 5 2/h 1
Tabella 1.1: Modalità di rilevazione dei dati
Descrizione dei dataset
Tutte le rilevazioni fatte, sia per la Custodia AM80S che per il Verroulame, sono state segnate su un foglio chiamato modello Q10(Fig. 1.5).
Figura 1.5: Modello Q10: foglio in cui vengono segnate le misure rilevate dall'addetto (in gura solo caratteristica altezza).
1.2 Attività svolte 9 In questo modo non viene registrato il valore esatto della misura, ma viene segnato con una X l'intervallo in cui essa si trova. Questa modalità di rilevazione comporta un numero limitato di valori possibili, un aumento dell'imprecisione delle misurazioni ed una sottostima della varianza, come vedremo in seguito nel Capitolo 3. Per questo motivo si è deciso di tenere come valore misurato la media dei limiti dell'intervallo segnato.
Sono state riportate le misure ottenute ed i possibili fattori speci ci in un le excel, ed è stata fatta una loro analisi grazie al programma R.
Caratteristica Addetti Colata Tipo Intervento CUSTODIA AM80S Altezza 4 4 /-MP-IR-IM Distanza 4 4 /-MP-IR-IM Inclinazione 4 4 /-MP-IR-IM Rotazione 4 4 /-MP-IR-IM Svitamento 4 4 /-MP-IR-IM VERROULAME Carico 8 11 /-MP-IR-IM-stazioni Assialità 8 11 /-MP-IR-IM-stazioni
Tabella 1.2: Descrizione dataset
In riferimento alla Tabella 1.2 per Colata si intende l'identi cativo della composizione del materiale e per Tipo Intervento invece bisogna fare una distinzione tra i due codici. Entrambi hanno i 4 tipi di interventi standard (/-MP-IR-IM ), che indicano rispettivamente: nessun intervento, cambio di Materia Prima, Intervento di Regolazione, Intervento di Manutenzione. Per il secondo codice invece, ci sono altri tipi di interventi da segnalare. Infatti i moduli delle stazioni vengono cambiati frequentemente perché soggetti ad usura. Per tener conto dei cambi di modulo sono state aggiunte al dataset 3 variabili, un per ogni stazione (staz1, staz2, staz3 ), ciascuna delle quali serve per tenere il conteggio di quanti moduli sono stati utilizzati no a quel momento nella speci ca stazione. Ad esempio, al primo cambio di modulo della stazione 1, solo il valore della variabile staz1 è stato modi cato da 1 a 2, le altre due variabili, invece, sono rimaste invariate.
Inoltre è presente un'altra variabile (stazioni) che conta il numero comples-sivo di moduli usati e non fa distinzione tra le diverse stazioni.
Indicativamente le stazioni 1 e 2 vengono sostituite ogni 500.000 pezzi, la stazione 3 invece ogni 300.000 pezzi.
Capitolo 2
Metodologie di analisi
utilizzate
2.1 Analisi descrittiva
Come prima cosa è stata eettuata un'analisi descrittiva di tutte le caratte-ristiche in esame. Uno strumento molto utile in questi casi è dato dall'analisi gra ca:
• Studio degli assunti distributivi e autocorrelazione utilizzando gli isto-grammi, i normal probability plot e le rappresentazioni gra che delle autocorrelazioni campionarie e parziali.
• Per lo studio delle dierenze tra i vari gruppi delineati dai fattori presenti, sono stati utilizzati i box-plot .
• In ne, per investigare la presenza di potenziali fonti di variabilità, è stato utilizzato l'albero di regressione.
2.2 Analisi della varianza
2.2.1 Anova standard
L'analisi della varianza permette di confrontare la variabilità interna a due o più gruppi con la variabilità tra questi.
L'ipotesi alla base dell'analisi della varianza è che dati g gruppi, sia pos-sibile scomporre la varianza in due componenti: Varianza interna ai grup-pi (anche detta Varianza Within, σ2
W) e Varianza tra i gruppi (Varianza
Between, σ2 B).
In altre parole, il confronto si basa sull'idea che se la variabilità interna ai gruppi è relativamente elevata rispetto alla variabilità tra i gruppi, al-lora probabilmente la dierenza tra questi gruppi è determinata solamente
12 2. Metodologie di analisi utilizzate dalla variabilità interna, poiché la variabilità tra i gruppi non risulta essere signi cativa.
La relazione tra varianza totale σ2 riferita alle N unità (numero
com-plessivo delle osservazioni) e varianze W ithin e Between risulta essere: σ2 = σW2 + σB2
Il modello prevede che:
xij = µ + αi+ εij
con i che indica il gruppo e j che indica l'unità all'interno del gruppo. L'ipotesi nulla prevede che:
• i valori osservati derivino da una distribuzione gaussiana; • abbiano stessa media µ e stessa varianza σ2;
• αi sia uguale per tutti i gruppi (e pertanto nullo).
Siano:
g : il numero di gruppi.
ni : la numerosità dei singoli gruppi.
N =
g
X
i=1
ni : il numero complessivo di casi osservati.
SSQa : la somma degli scarti quadratici delle medie dei singoli gruppi (¯xi)
dalla media generale ¯¯x;
SSQe : la somma degli scarti quadratici dei singoli valori xij rispetto alla
media ¯xi del gruppo a cui appartengono;
SSQtot : la somma degli scarti quadratici di tutti singoli valori rispetto alla
media generale ¯¯x. Ovvero: ¯ ¯ x = 1 N g X i=1 ni X j=1 xij ¯ xi = 1 ni ni X j=1 xij SSQa= g X i=1 ni(¯xi− ¯x)¯ 2
2.2 Analisi della varianza 13 SSQe= g X i=1 ni X j=1 (xij − ¯xi)2 SSQtot= g X i=1 ni X j=1 (xij − ¯x)¯ 2 = SSQe+ SSQa
La statistica test diventa:
T = SSQa/(g − 1) SSQe/(N − g)
Tale valore viene confrontato con i valori di una variabile casuale avente la distribuzione di Fisher-Snedecor con g − 1 e N − g gradi di libertà.
2.2.2 Nested Anova
In presenza di più fonti di variabilità è necessario adottare un modello per i dati dierente rispetto a quello del capitolo precedente. Per questo motivo si utilizza una struttura annidata, che permetterà di tenere conto di tutte le fonti di variabilità presenti. Come si vedrà nei capitoli successivi, non si vorrà solamente tener conto della variabilità delle medie campionarie, ma anche di altre fonti, come ad esempio la settimana di produzione, quindi si adotterà un modello più complesso:
xijk = µ + Si+ Cij+ εijk
dove:
• Si∼ N (0, σ2S); i = 1, · · · , s
• Cij ∼ N (0, σC2); j = 1, · · · , c
• εijk ∼ N (0, σE2); k = 1, · · · , n
µè la media del processo, s è il numero delle settimane misurate, c è il nume-ro dei campioni sui quali vengono eettuate le misurazioni in ogni settimana ed n è il numero di misurazioni eettuate in ogni campione.
Questo modello ha dunque tre componenti di varianza: σ2
S, σC2 e σE2.
La componente di varianza σ2
E è stimata calcolando la varianza entro ogni
campione in ogni settimana e mediando queste sc stime: ˆ σ2E = 1 sc s X i=1 c X j=1 n X k=1 (xijk− ¯xij)2 n − 1
14 2. Metodologie di analisi utilizzate Per ottenere la stima della componente di varianza σ2
C si deve
innanzi-tutto stimare la varianza delle medie per campione, calcolata con: ˆ σC2¯ = 1 s s X i=1 c X j=1 (¯xij− ¯xi)2 c − 1 Ora, la componente di varianza dei campioni σ2
C è stimata tramite: ˆ σC2 = ˆσC2¯− ˆ σ2E n
Per ottenere la stima della componente di varianza σ2
S si deve
innanzi-tutto stimare la varianza delle medie per settimana, calcolata con: ˆ σS2¯ = s X i=1 (¯xi− ¯x)¯ 2 s − 1
Ora, la componente di varianza delle settimane è stimata tramite: ˆ σS2 = ˆσS2¯− ˆ σ2C c − ˆ σE2 cn
In modo analogo a quanto fatto per il calcolo della statistica test nel caso standard, si andrà a veri care se la variabilità dei campioni entro la settimana è ignorabile
H0 : σ2C = 0
H1 : σ2C 6= 0 Se si ri uta l'ipotesi nulla
⇒ ˆσ2C¯ = ˆσ2C+
ˆ σE2
n e se la settimana è una fonte di variazione ignorabile
H0 : σS2 = 0
H1 : σS2 6= 0 Se si ri uta l'ipotesi nulla
⇒ ˆσ2S¯= ˆσS2 + ˆ σC2 c + ˆ σ2E cn Per modelli con maggiori livelli di annidamento, il procedimento da adot-tare è lo stesso: ottenere una stima per la componente di varianza di livello più basso e usare questa per derivare quella della componente di livello più alto.
2.3 Carte di controllo
Le carte di controllo sono uno strumento statistico utile per veri care se il processo generatore dei dati sia più o meno stabile (Iacobini, 2000). Il dise-gno di una carta prevede che vengano tracciati due limiti che de niscono la regione di accettazione dell'ipotesi di stabilità, un limite di controllo inferiore (LCL)e un limite di controllo superiore (UCL). All'interno di questi viene delineata una linea centrale (LC), che indica il valore medio della nostra
2.3 Carte di controllo 15 statistica di controllo. Se la statistica cade nella regione esterna ai limiti, si conclude che il processo è fuori controllo e si segnala un allarme. Se vi è una segnalazione di allarme, ma il processo è in uno stato di in-controllo, si parla di falso allarme.
I limiti di controllo sono così calcolati: LCL = µw− Lσw
U CL = µw+ Lσw
dove w è un'opportuna statistica di controllo e L è una quantità che viene scelta in modo da avere una prestabilita performance in controllo.
Detta RL la variabile casuale Run Length che conta il numero di campioni osservati no alla segnalazione di un allarme, L è usualmente trovata in modo che E[RL] = ARL0, dove ARL0 è un valore grande scelto opportunamente.
2.3.1 Carta Shewhart
Le carte di controllo di tipo Shewhart, (Shewhart, 1931), fanno parte delle carte di controllo senza memoria. La statistica di controllo, funzione dei dati osservati, non tiene conto infatti delle informazioni provenienti dagli istanti precedenti. Gli assunti che devono essere soddisfatti perché possano applicarsi le carte di tipo Shewhart sono la normalità e l'indipendenza delle osservazioni. Questa carta è composta dalla statistica di controllo w, che misura la caratteristica da monitorare, e dai limiti di controllo.
La statistica di controllo w è data da: wt= g(xt)
I limiti di controllo, invece, soddisfano le seguenti relazioni: LCL = µw− Lσw
LC = µw
U CL = µw+ Lσw
In particolare, per determinare L, se si considera che la variabile casuale Run Lengthin controllo (RL0) abbia distribuzione geometrica RL0∼ Geom(α),
dove α = PH0{wt6∈ (LCL, U CL)}, allora ARL0 = E[RL0] =
1 α.
Nelle analisi dei capitoli successivi verrà utilizzato un ARL0 di 370, in
modo da avere una probabilità di errore di I◦ tipo (α) di 0.0027, ottenuta
quando L = 3 (L = Z1−α 2).
In questa analisi si avranno casi in cui sono stati raccolti campioni di ampiezza maggiore di 1 e casi in cui sono state raccolte misure singole (vedi Tab. 1.1 a pag. 8), per questo verranno utilizzate dierenti carte Shewhart, anche in base alla statistica di controllo di interesse (Tab. 2.1).
16 2. Metodologie di analisi utilizzate Statistica Limiti di controllo
di controllo LCL LC U CL Per n > 1 µw = ¯x σw = c¯s4 Media µw− L√σwn µw µw+ L√σwn Dev. std. c4σw− Lσwp(1 − c24) c4σw c4σw+ Lσwp(1 − c24) Per n = 1 µw = ¯x σw = M Rd2 Misure singole µw− Lσw µw µw+ Lσw Moving Range d2σw− Ld3σw d2σw d2σw+ Ld3σw
Tabella 2.1: Limiti di controllo per le carte Shewhart
2.3.2 Carta di controllo in presenza di componenti di varia-zione gerarchica
Quando l'elevata variabilità non è dovuta alla presenza di cause speciali ma al fatto che il limiti di controllo, valutati secondo la teoria delle carte Shewhart, risultano inappropriati, bisogna utilizzare un altro approccio.
La stima delle componenti di variazione è dunque utile quando si ipotizza che il processo possa esibire una variazione totale più grande di quella misurata dalla variazione entro i sottogruppi. Uno studio su 1000 processi industriali ha mostrato come il 90% esibisca una variazione delle medie tra sottogrup-pi signi cativamente sottogrup-più grande di quella misurata attraverso la variazione within.
In presenza di una variazione signi cativa tra i sottogruppi usare la variazio-ne entro i gruppi per costruire i limiti di controllo per la carta Shewhart può portare a risultati fuorvianti, mentre è più conveniente ottenere dei limiti che ri ettano anche la variazione tra i gruppi.
Si consideri dunque il caso in cui nonostante i sottogruppi razionali siano tra loro indipendenti possano esistere per ciascuna misura delle diverse compo-nenti di variazione. La teoria Shewhart standard aerma che la variazione entro i sottogruppi (σw) sia l'unica fonte di variabilità. Per la jthmisurazione
dell'ith sottogruppo si ipotizza cioè
xij = µ + σwεij
In buona parte dei processi manifatturieri questo modello non è però ade-guato. Esistono infatti fonti di variabilità aggiuntiva legate ai cambiamenti di temperatura, pressione, materiali e altri fattori. Per questo motivo, a se-conda del numero di fonti di variabilità, si utilizzano modelli dierenti, come nell'esempio del Cap. 2.2.2, in cui si utilizza tale modello:
2.3 Carte di controllo 17 I limiti di controllo aggiustati sono dunque pari a:
LCL = ˆµ − Lˆσ U CL = ˆµ + Lˆσ con ˆµ = ¯¯x e ˆσ =qσˆS2 +σˆ 2 C c + ˆ σ2 E
cn (vedi Cap. 2.2.2 per dettagli).
2.3.3 Carta di accettazione
In molte situazioni in cui vengono usate le carte di controllo, l'interesse prin-cipale è quello di ridurre la variabilità del processo e migliorarne continua-mente le prestazioni. Nel caso in cui si sia già raggiunto un elevato livello di capacità del processo, diviene a volte utile allentare il livello di sorveglianza ottenibile con le carte standard. Un modo di realizzare il controllo ridotto è attraverso l'uso delle carte di accettazione (Montgomery, 2000). La carta di controllo di accettazione tiene conto sia del rischio di giudicare erroneamente il comportamento di un processo operante a un livello di qualità soddisfa-cente (errore di I tipo), sia del rischio di accettare come buono un livello di qualità non soddisfacente (errore di II tipo). La carta di controllo viene costruita speci cando la numerosità campionaria e la frazione γ di elementi non conformi che si desidera ri utare con probabilità pari a (1 − β). In tal caso i limiti di controllo sono:
U CL = µU− Z1−β√ σ n = U SL − Z1−γσ − Z1−β√ σ n = U SL − σ Z1−γ+ Z1−β √ n (2.1) LCL = µL+ Z1−β√ σ n = LSL + Z1−γσ − Z1−β√ σ n = LSL + σ Z1−γ+ Z√1−β n (2.2) Si noti che i limiti calcolati sono interni ai valori di µL e µU, che
18 2. Metodologie di analisi utilizzate
2.3.4 Carta EWMA
Le carte Shewhart illustrate precedentemente hanno un limite: esse fanno uso solamente dell'informazione sul processo contenuta nell'ultimo istante di osservazione. Le carte EWMA, carte a medie mobili pesate esponenzial-mente (J.M. Lucas, 1990), costituiscono a tal proposito un utile alternativa, fanno infatti uso delle informazioni precedenti rendendo sensibile la carta a piccole modi che del livello medio del processo.
La statistica di controllo consiste in una media mobile ponderata delle osservazioni passate, dove viene assegnato a ciascun valore un peso, e si de nisce nel seguente modo:
wi = λxi+ (1 − λ)wi−1
dove 0 < λ ≤ 1 è la costante di lisciamento e il valore w0è la stima del valore
di riferimento µ0. Se sostituiamo wi−1 con i rispettivi valori otteniamo:
wi = λ i−1
X
j=0
(1 − λ)jxi−j+ (1 − λ)iw0
Se gli xi sono determinazioni di variabili casuali indipendenti di varianza
comune σ2, la varianza della statistica EWMA è pari a:
σ2wi = σ 2 0 n λ 2 − λ h 1 − (1 − λ)2ii Il termine: 1 − (1 − λ)2i→ 1 per i → ∞.
I limiti di controllo per la carta EWMA quindi sono:
Limiti di controllo Limiti di controllo asintotici LCL = µ0− Lσ 2 0 √ n q λ 2−λ h 1 − (1 − λ)2i i LCL = µ0− Lσ 2 0 √ n q λ 2−λ LC = µ0 LC = µ0 U CL = µ0+ Lσ 2 0 √ n q λ 2−λ h 1 − (1 − λ)2i i U CL = µ0+ Lσ 2 0 √ n q λ 2−λ
Nel caso che i parametri µ0 e σ0 siano ignoti vengono stimati
rispet-tivamente con la media e la varianza campionaria. Il parametro λ è detto costante di lisciamento esponenziale e permette di stabilire il peso che si vuol dare all'informazione presente e passata. Più grande è il suo valore (varia da 0 a 1) più grande sarà il peso dato all'informazione corrente. Ad esempio con λ = 1 non si tiene conto delle informazioni passate, infatti si ottiene una
2.4 Capacità 19 carta Shewhart.
I parametri λ e L dipendono da due valori: l'ampiezza del cambiamento nel-la media che si vuole individuare e dall'ARL in controllo. Per determinare la coppia di valori sono stati utilizzati i normogrammi di Crowder (1989), grazie ai quali, prima si potrà ricavare il valore di λ e poi, a seconda del valore ottenuto, anche il valore di L, necessario per de nire l'ampiezza dei limiti di controllo.
2.3.5 Carta MEWMA
La carta MEWMA (Multivariate Exponentially Weighted Moving Average) è una estensione della carta EWMA univariata (C.A. Lowry, 1992).
Sia x1, x2, · · · , xi, · · · una sequenza di vettori p-variati distribuiti
nor-malmente con vettore delle medie µ e matrice di dispersione Σ. Si assuma come nota la matrice di dispersione, sebbene di fatto essa venga stimata durante un periodo di base ritenuto in controllo. I vettori p-variati possono rappresentare singole osservazioni oppure possono essere medie campionarie dei sottogruppi delle osservazioni per ogni istante campionario (i = 1, 2, · · · ). L'obiettivo della carta di controllo è quello di rilevare scostamenti si-gni cativi dalla media del processo nel corso del tempo, dal vettore target µ
0.
La carta MEWMA si basa sulla seguente quantità: Zi = Λxi+ (1 − Λ)Zi−1
dove Λ rappresenta la matrice diagonale con i valori λ1, λ2, · · · , λp; si
assume che λ1 = λ2= · · · = λp = λe si pone Z0= µ0.
La quantità rappresentata sulla carta è: Ti2= (Zi− µ 0) T ΣZi −1(Z i− µ0)
In cui la matrice di covarianza è: ΣZi =
λ
2 − λ[1 − (1 − λ)
2i
]Σ
Il limite di controllo (H) è solamente superiore, poiché la quantità rap-presentata sulla carta (Ti2) è sempre positiva. Questo limite è calcolato
sempre grazie ai valori di ARL0 e λ.
2.4 Capacità
Le carte di controllo sono un potente mezzo per mantenere un processo sotto controllo statistico, indicando le azioni correttive che devono essere intraprese al ne di eliminare le cause di variabilità indesiderata.
20 2. Metodologie di analisi utilizzate Tuttavia esse non tengono conto delle speci che a cui il processo deve attenersi, come ad esempio le tolleranze di lavorazione o altre caratteristiche richieste. Il loro utilizzo non è dunque su ciente per comprendere la reale capacità di un processo, ne come questo possa essere migliorato.
La capacità si può de nire come:
L'abilità nel compiere un incarico o ottenere un risultato che viene de nito dalle speci che richieste dal cliente
A questo scopo vengono de niti gli indici di capacità, che rappresentano l'abilità del processo preso in esame di generare prodotti conformi alle spe-ci che. Essi, inoltre, permettono di riassumere in modo molto conciso i dati di un processo produttivo con il vantaggio di essere quantità adimensionali e quindi facilmente interpretabili e paragonabili tra loro.
2.4.1 Indici di capacità
Gli indici più comunemente usati sono Cp e Cpk. Essi richiedono che i dati abbiamo determinate condizioni:
• i dati devono essere distribuiti normalmente • i dati devono essere incorrelati
• il processo deve essere sotto controllo
Il Cp si basa sul rapporto tra i limiti di speci ca USL e LSL, imposti dal cliente, e la variabilità di breve periodo σST.
Cp = U SL − LSL 6σST
Il Cpk, invece, tiene conto anche della media del processo µ e rappresenta il valore minimo tra le distanze della media dai limiti di speci ca divise per 3 volte la variabilità di breve periodo σST.
Cpk = min U SL−µ 3σST µ−LSL 3σST
Il valore di Cp più comunemente accettato come limite inferiore per la determinazione se un processo sia capace è Cp = 1 .33 , assicurando dunque che, se il processo è centrato, i dati stiano più o meno dentro al 75% del campo di variabilità speci cato.
2.4 Capacità 21 Indici di capacità Valutazione
Cp ≥ 1.33 Processo Capace
1 ≤ Cp ≤ 1.33 Processo Marginalmente Capace Cp ≤ 1 Processo Non Capace Cpk = Cp Processo Centrato Cpk ≤ Cp Processo Non Centrato
Cpk = 0 Processo Centrato su uno dei limiti di speci ca Tabella 2.2: Valutazione indici di capacità.
2.4.2 Indici di performance
Gli indici di performance P p e P pk servono per valutare l'andamento del processo nel lungo periodo, per questo vengono utilizzate le medesime for-mule degli indici di capacità, sostituendo la variabilità di breve periodo σST
con la variabilità di lungo periodo σLT.
P p = U SL − LSL 6σLT P pk = min U SL−µ 3σLT µ−LSL 3σLT 2.4.3 Indice di stabilità
L'indice di stabilità valuta il rapporto tra la variabilità di lungo periodo σLT
e la variabilità di breve periodo σST.
Indice di stabilità = σLT σST con σST = ¯ s c4 e ¯s = m X i=1 si m
dove ¯s è la media delle deviazioni standard campionarie, m è il numero di campioni disponibili e c4 la costante utilizzata per correggere la distorsione
di s. σLT = v u u u u t m·n X i=1 (xi− ¯x)2 m · n − 1
22 2. Metodologie di analisi utilizzate Se il processo è stabile l'indice risulterà essere vicino ad 1. Se invece l'indice è maggiore di 1.33 signi ca che il processo è instabile, poiché non agiscono solamente cause comuni ma anche cause speciali.
2.4.4 Indici di capacità per dati non-normali: il metodo di Clements
Un'operazione necessaria prima del calcolo degli indici di capacità, è control-lare che la caratteristica di qualità X relativa al processo segua la distribuzio-ne Normale. Questo perché le proprietà enunciate distribuzio-nelle pagidistribuzio-ne precedenti, riguardanti gli indici di capacità, rimangono valide solo se non si ri uta l'ipotesi di normalità.
Nelle analisi dei prossimi capitoli verrà utilizzato il metodo di Clements (Clements, 1989) per calcolare correttamente gli indici di capacità in presenza di dati non-normali.
Questa metodologia si basa sull'ipotesi che la distribuzione di X possa essere rappresentata da una curva di Pearson. Si trova il valore di Θ del range, in modo che
P (µ − ΘσST ≤ X ≤ µ + ΘσST) = 0.9973
A partire dalle stime dell'asimmetria (2.3) e della curtosi (2.4)
p β1 = n n X i=1 (xi− ¯x)3 (n − 1)(n − 2)s3 (2.3) β2 = n(n + 1) n X i=1 (xi− ¯x)4 (n − 1)(n − 2)(n − 3)s4 − 3(n − 1)2 (n − 2)(n − 3) (2.4) esistono delle tabelle che restituiscono i valori di Θl e Θu che soddisfano
P (µ − ΘlσST ≤ X) = 0.00135 P (X ≥ µ + ΘuσST) = 0.00135 ⇒ Θ = Θu− Θl⇒ Cp= U SL − LSL ΘσST
Dopo aver stimato la media e la deviazione standard si calcolano i percen-tili aggiustati per la normalità. Il valore mediana (Θmed) è ricavato anch'esso
2.4 Capacità 23 X0.00135 = µ − ΘlσST X0.5 = µ + ΘmedσST X0.99865 = µ + ΘuσST
Dopo aver ottenuto i percentili aggiustati si potrà procedere al corretto calcolo degli indici di capacità:
Cp= U SL − LSL X0.99865− X0.00135 Cpk = min X0.5− LSL X0.99865− X0.00135 , U SL − X0.5 X0.99865− X0.00135
Capitolo 3
Custodia AM80S
3.1 Altezza
Per questa caratteristica sono state misurati 5 pezzi per campione, per questo l'analisi verterà sulle medie campionarie e non sulle osservazioni singole. Per prima cosa sono stati valutati gli assunti di normalità (Fig. A.1) ed incorrelazione (Fig. 3.1), che mostra in modo evidente la forte correlazione presente.
Figura 3.1: Gra ci per la valutazione dell'autocorrelazione presente nei dati. Per valutare la normalità è stato utilizzato anche il test di Shapiro-Wilk, da cui è risultato un p-value di 0.001, che porta al ri uto dell'ipotesi di normalità delle medie campionarie.
Queste deviazioni della normalità e la presenza di autocorrelazione po-trebbero essere dettate dalla presenza di cause speciali.
La Fig. 3.2 mostra le due carte Shewhart per la sorveglianza della stabilità della media e della deviazione standard della caratteristica altezza. Il target è posto a 16.1mm ed i limiti di speci ca de niti dal cliente a 16mme 16.2mm. I limiti a 3σ sono segnati con una linea continua ed invece i limiti a 1σ e 2σ con una linea tratteggiata.
26 3. Custodia AM80S La stima media del processo è stata calcolata facendo la media delle medie campionarie ed è risultata: ˆµ = 16.12. La stima della deviazione standard, invece, è risultata: ˆσ = ¯s
c4 = 0.01, con c4 = 0.94per n = 5. Per il calcolo
dei limiti si veda la Tabella 2.1.
Figura 3.2: Carte Shewhart per la sorveglianza della stabilità della media e della deviazione standard della caratteristica altezza.
Dal primo gra co si nota che i limiti di controllo sono molto stretti rispet-to alla variabilità mostrata dal processo. Quesrispet-to risultarispet-to è dovurispet-to al fatrispet-to che la varianza di breve periodo, calcolata con gli scarti tipo campionari, tiene conto solamente della variabilità naturale del processo e non considera le cause speciali, che in questo caso sembrano ineliminabili. Dalla carta S in-vece non si evidenzia nessun fuori controllo, ma degli andamenti compatibili con l'autocorrelazione.
Nonostante il processo risulti capace, non è però stabile; per tale ragione bisogna investigare se ci siano dei fattori che possano aver determinato tale
3.1 Altezza 27 instabilità.
Sono stati eettuati 12 interventi: un solo intervento di regolazione ed 11 cambi di materia prima. Durante un cambio di materia prima potreb-bero esserci stati anche interventi di regolazione, inoltre spesso capita che vengano eettuati dei piccoli interventi di regolazione che potrebbero non venire segnalati dagli addetti. Per questo motivo potrebbero esserci dei lievi cambiamenti nella media del processo, apparentemente non dovuti a nessun intervento.
Figura 3.3: Box-plot delle medie per i fattori Colata e Settimana. L'evidente dierenza tra le medie di ogni colata potrebbe essere dovuta ad altri fattori, come ad esempio, il periodo in cui è stata utilizzata. La colata SQ55974, infatti, è stata utilizzata nelle prime 3 settimane e risulta avere una media più alta rispetto alle altre tre.
Le variazioni che si notano non sembrano corrispondere con i cambi di giornata, però, dato che nel week-end la macchina non è in funzione, è probabile che ad inizio settimana si eettuino delle correzioni.
Per quanto riguarda gli addetti, già dalle rilevazioni cartacee, è risultato evidente che quasi tutte le osservazioni rilevate dall'addetto X (più del 60%) presentano delle ciclicità all'interno del campione.
Dal test di Shapiro-Wilk sulle medie dei campioni (Tab. 3.1) si nota inol-tre che le osservazioni dell'addetto X sono le uniche a non essere distribuite normalmente (p-value < 0.05).
L'addetto X ha lavorato solamente nella seconda e terza settimana. Po-trebbe essere la ciclicità all'interno dei suoi campioni una delle cause della non-normalità delle osservazioni. Per questo motivo sono state eliminate le osservazioni corrispondenti e valutata nuovamente la normalità all'interno di ogni settimana.
28 3. Custodia AM80S Addetto X Y W Z
Statistica 0.8756 0.9442 0.9263 0.9592 P-value 0.0046 0.6014 0.0808 0.0595
Settimane con i dati dell'addetto X
Settimana 1 2 3 4 5 Statistica 0.9231 0.8906 0.8489 0.9512 0.8978
P-value 0.4634 0.0016 0.0004 0.1448 0.1739 Settimane senza i dati dell'addetto X
Settimana 1 2 3 4 5 Statistica 0.9231 0.9697 0.7714 0.9512 0.8978
P-value 0.4634 0.6840 0.0004 0.1448 0.1739 Tabella 3.1: Test di Shapiro-Wilk.
Le osservazioni della caratteristica di qualità misurate nella seconda set-timana risultano distribuirsi normalmente, a dierenza di quelle della terza settimana che continuano ad ottenere un p-value molto piccolo dal test di Shapiro-Wilk. Per tale ragione in questa settimana altre cause speciali in- uiscono sull'andamento del processo (cambi di materiale o interventi di regolazioni).
Sono stati valutati gli assunti distributivi sul nuovo dataset e si è ottenuto un p-value di 0.0677(> 0.05) che porta al non ri uto dell'ipotesi di normalità. Una elevata correlazione invece resta ancora presente (Fig. A.2), per questo le medie campionarie sono state modellate con un modello autoregressivo (Tab.3.2).
Coe cients:
ar1 ar2 intercept 0.6604 0.2638 16.1115 s.e. 0.1030 0.1037 0.0142
σ2 estimated as 0.0001353: log likelihood = 263.16, aic = -518.33 Tabella 3.2: Tabella riassuntiva della modellazione delle medie campionarie con un autoregressivo di ordine 2 (AR(2)).
Dopo aver riscontrato la correttezza della modellazione (Fig. A.3), è stata applicata una carta Shewhart sui residui, per valutare se sono in controllo o meno (Fig. 3.4). La carta evidenzia un solo valore fuori controllo, questo costituisce un punto di partenza per l'approfondimento della presenza di eventuali cause speciali.
Per valutare quale fattore potesse essere il più discriminante è stato uti-lizzato il diagramma ad albero (Fig. A.4), in cui sembrerebbe che la colata
3.1 Altezza 29
Figura 3.4: Carta Shewhart sui residui.
sia il più discriminante, però, come detto in precedenza, la colata è molto in uenzata dal periodo di utilizzo. Per questo motivo è stato adattato un modello lineare avente il fattore Settimana (Fig. A.5).
Tutti i coe cienti, tranne la settimana3, risultano signi cativamente diversi da 0 (P r(> |t|) ' 0). Il coe ciente R2 indica che questo modello
spiega la variabilità delle medie molto bene (81%) ed il p-value della statistica F indica che si ri uta fortemente il modello nullo (con la sola intercetta).
Data l'importanza del fattore settimana è stata fatta una analisi del-la componenti di variazione gerarchica con del-la metodologia Nested Anova (Cap. 2.2.2).
Il risultato di questa analisi (Fig. A.6) ha permesso di ottenere una sti-ma della variabilità imputabile al fattore settisti-mana (ˆσS = 0.02961944), ai
campioni entro la stessa settimana (ˆσC = 0.01175216) e imputabile al caso
(ˆσE = 0.009915372).
A questo punto, calcolando le varianze nei vari livelli dell'annidamento, è stato possibile veri care se tali fonti di variabilità fossero ignorabili o meno (Tab:3.3).
30 3. Custodia AM80S Df Sum Sq Mean Sq F value P( > F ) Settimana 4 0.318988 0.079747 101.0886 0 Camp(Settimana) 85 0.067055 0.000789 8.0240 0
Within 360 0.035393 9.83146e−05
Totale 449 0.421436 0.080634
Tabella 3.3: Analisi della varianza per modelli annidati, caratteristica: altezza.
Entrambi i test hanno dimostrato che le fonti di variabilità sono signi -cative, quindi, utilizzando tale formula:
ˆ σS¯= r ˆ σS2 +σˆ 2 C c + ˆ σ2 E cn
si è ottenuto una stima della deviazione standard delle medie per settimana ˆ
σS¯ = 0.02976, che è stata adottata per il calcolo dei limiti.
Figura 3.5: Carta Shewhart per la sorveglianza della media con varianza stimata utilizzando Nested Anova.
La carta Shewhart per la sorveglianza della media in presenza di compo-nenti di variazione gerarchica (Fig. 3.5), ottenuta con la nuova stima della varianza, non presenta nessun fuori controllo, però evidenzia un andamento instabile del processo.
3.1 Altezza 31 In ne sono stati calcolati gli indici di capacità relativi alla totalità delle osservazioni e relativi alle singole settimane (tranne la prima settimana per-ché avente troppe poche osservazioni). Dalla Tabella 3.4 risulta evidente che il processo è complessivamente molto instabile (indice di stabilità calcolate sui dati di tutte e 5 le settimane). Il valore, molto grande, indica infatti che la variabilità di lungo periodo (σLT) è molto più grande della variabilità di
breve periodo (σLT).
Settimanalmente invece gli indici di stabilità si avvicinano maggiormente a valore 1 e quindi il processo sembrerebbe essere abbastanza stabile nella set-timana. Gli indici di capacità della terza settimana sono stati calcolati con il metodo di Clements poiché i dati non erano distribuiti normalmente.
Settimana ALL 2 3 4 5 Cp 3.53 4.26 2.93 3.79 2.92 Cpk 2.96 2.11 2.17 3.78 2.12 Pp 1.12 2.42 2.41 2.84 2.39 Ppk 0.94 1.20 1.89 2.83 1.73 Ind. Stabilità 3.15 1.76 1.21 1.33 1.22
32 3. Custodia AM80S
3.2 Distanza e Inclinazione
Le analisi di queste due caratteristiche verranno riportate insieme in quanto sono molti simili: entrambe sono osservazioni singole ed entrambe sono state misurate in 4 posizioni dierenti (A-B-C-D per la distanza e 2-4-6-8 per l'inclinazione).
Per prima cosa è stato riscontrato, grazie ai box-plot, ai diagrammi ad albero ed al test anova (Fig. B.1 - B.4), che il fattore posizione è molto in uente per entrambe le caratteristiche. Per questo sono state analizzate le osservazioni di ogni posizione in modo separato (Tab. 3.5).
Caratteristica 12.5 Posizione A B C D ˆ µ 12.5115 12.5284 12.5199 12.5091 ˆ σ 0.0108 0.0126 0.0118 0.0131 %diM R = 0 51 40 47 40 p-value Shapiro-Wilk ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 Correlazione Si No No Si Caratteristica 0.07 Posizione 2 4 6 8 ˆ µ 0.0337 0.0401 0.0351 0.0366 ˆ σ 0.0078 0.0059 0.0063 0.0067 %diM R = 0 39 46 39 45 p-value Shapiro-Wilk ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 Correlazione Si Si Si Si
Tabella 3.5: Analisi generale delle caratteristiche distanza e inclinazione. La riga %diMR = 0 della Tabella 3.5 indica la percentuale di Moving Range risultati nulli. Queste percentuali molto alte hanno portato alla sot-tostima della varianza, rendendola inferiore addirittura all'ampiezza dell'in-tervallo usato per la rilevazione dei dati (0.02 per la distanza e 0.01 per l'inclinazione). Il metodo di rilevazione, oltre alla sottostima della varianza ha comportato anche la non-normalità dei dati, infatti le caratteristiche mi-surate nelle dierenti posizioni non risultano essere distribuite normalmente in nessun caso.
Tenendo conto di queste considerazioni, sono state applicate le carte Shewhart per le misure singole ed R per le escursioni mobili (in appendi-ce i gra ci per la posizione A e la posizione 2, Fig. B.5 e B.6). Dai gra ci risultano alcuni punti fuori controllo in entrambe le carte, però essi sono sempre molto distanti dai limiti di speci ca, quindi i limiti tracciati non
3.2 Distanza e Inclinazione 33 sembrano essere idonei per il controllo per i motivi sopracitati.
Per quanto riguarda la caratteristica distanza, nella posizione A i fattori più in uenti sono risultati l'addetto e la settimana, valutazione fatta grazie al test anova (Fig. B.7).
Per la posizione B e C è stata adattata anche la procedura di regressione stepwise (Fig. B.8 e B.9), da cui è emerso che nella posizione B l'addetto è molto in uente e nella posizione C nessun fattore è rilevante, si accetta infatti come modello migliore il modello nullo, con la sola intercetta. Per dati rilevati nella posizione D la settimana è il fattore più in uente (vedi diagramma ad albero Fig. B.10).
Per l'inclinazione invece il fattore più in uente è sempre lo stesso: l'ad-detto (Fig. 3.6).
Figura 3.6: Diagramma ad albero / Albero di regressione, caratteristica: inclinazione.
Dato le numerose analogie tra le due caratteristiche è stato eettua-to anche un controllo multivariaeettua-to con la carta MEWMA. Si otterrà così una matrice di dati formata da 8 variabili, corrispondenti alle 4 posizioni di ciascuna caratteristica.
Sono stati scelti l'ARL0 = 370, come nei casi precedenti, e un valore
34 3. Custodia AM80S sensibile sia a piccoli che grandi cambiamenti. Tali parametri comportano alla de nizione della soglia H ad un valore di 22.68.
Figura 3.7: Carta di controllo MEWMA
La carta mostra numerosi fuori controllo, che evidenziano una instabilità del processo. Non è però possibile risalire alle cause di tali fuori controllo, né individuare la caratteristica causa dei fuori controllo.
3.3 Rotazione e Svitamento 35
3.3 Rotazione e Svitamento
Le analisi di queste due caratteristiche verranno riportate insieme in quanto sono molti simili: entrambe sono osservazioni singole ed entrambe vengono sorvegliate solamente verso il basso, esiste solo il limite inferiore di speci ca ( ssati a 16Nm e 13Nm rispettivamente, Tab. 3.6).
Caratteristica µˆ σˆ Shapiro-Wilk Correlazione 16 24.02 0.91 ' 0 Si 13 19.65 1.54 0.0049 No
Tabella 3.6: Analisi generale delle caratteristiche rotazione e svitamento. Dopo aver calcolato i limiti di controllo inferiori, utilizzando un ARL in controllo di 370
LCL = µ − z1−ασ
con α = 1 ARL0.
Viene utilizzato il quantile z1−α, invece di z1−α2, perché il controllo da
eettuare è unilaterale.
In entrambe le carte Shewhart per il controllo delle misure singole (Fig. C.1 e C.2) si nota che la prima metà delle osservazioni sono molto più variabi-li rispetto alla seconda metà. Questa maggiore variabivariabi-lità si osserva per le osservazioni rilevate dall'addetto X proprio nella prima parte del periodo preso in esame (Fig. 3.8).
Figura 3.8: Box-plot delle osservazioni per il fattore addetto.
Vista la non-normalità delle singole osservazioni, è stata studiata la stabilità delle medie giornaliere.
Per tali caratteristiche le medie giornaliere risultano distribuite normal-mente e le carte Shewhart applicate ad esse (Fig. C.3 e C.4) non presentano
36 3. Custodia AM80S nessun fuori controllo. La caratteristica rotazione, però, risulta essere anco-ra correlata, per questo è stata applicata la carta EWMA, sempre con un ARL0 = 370 ed un λ = 0.2 per essere abbastanza sensibili sia per piccoli che grandi cambiamenti (Fig. 3.9).
Figura 3.9: Carta EWMA per le medie giornaliere, caratteristica: rotazione. La carta EWMA non rileva nessun fuori controllo, il processo della carat-teristica rotazione sembra esser stabile, anche se è evidente la correlazione presente.
In ne sono stati calcolati solamente gli indici di capacità Cpk e P pk, poiché il controllo della caratteristica è unilaterale. Essi sono stati calcolati con il metodo di Clements (Cap. 2.4.4) visto che i dati non erano distribuiti normalmente.
Caratteristica Cpk Ppk Indice di Stabilità Rotazione 3.18 2.16 1.47 Svitamento 1.85 1.66 1.12
Tabella 3.7: Indici di capacità.
Gli indici di capacità e performance sono abbastanza alti e gli indici di stabilità non si discostano di molto dal valore ottimale 1. Per tali motivi i processi di entrambe le caratteristiche sembrerebbero essere stabili.
Capitolo 4
Verroulame
Entrambe le caratteristiche del secondo codice analizzato presentano cam-pioni ad ampiezza variabile. Le stime della media e della deviazione standard sono state così ottenute:
¯ ¯ x = m X i=1 nix¯i m X i=1 ni ¯ S = m X i=1 (ni− 1)Si2 m X i=1 ni− m 1 2
dove ni indica l'ampiezza del campione i e m indica il numero di campioni.
Caratteristica µˆ σˆ Shapiro-Wilk∗ Correlazione∗ Carico 3.5674 0.0613 0.0062 Si Assialità -0.0275 0.0312 0.00167 Si
Tabella 4.1: Stime della media e della deviazione standard, p-value del test di Shapiro-Wilk e presenza di correlazione tra i dati. (∗vedi Fig. D.1 - D.3) Date le diverse ampiezze campionarie, la costante c4, utilizzata per il
calcolo dei limiti, dierisce a seconda di ni, questo comporta che i limiti
di controllo per la carta Shewhart per sorvegliare la media risultino essere variabili.
In entrambe le carte Shewhart per la sorveglianza della media (Fig. 4.1) si notano moltissimi fuori controllo, indice che il processo non è stabile ma è
38 4. Verroulame
Figura 4.1: Carta Shewhart per la sorveglianza della media con limiti variabili, caratteristica: carico e assialità.
soggetto a cause speciali, e che la deviazione standard è stata sottostimata a causa dell'ampiezza dell'intervallo di rilevamento dei dati (modello Q10, Fig. 1.5), che è risultato essere troppo grande (0.1 per il carico e 0.07 per l'assialità).
Nel seguito sono analizzati le possibili fonti di variabilità per le caratte-ristiche in esame.
4.1 Carico
Data la persistenza della correlazione anche nelle medie campionarie, provo a modellare le medie con un modello autoregressivo (AR(1)).
I residui risultano distribuiti normalmente (p-value del test di Shapiro − W ilk = 0.6702) ed incorrelati (Fig. D.4). Nella carta Shewhart per il controllo della media dei residui (Fig. 4.2) non si evidenzia nessun fuori controllo, però di seguito sono state comunque analizzate possibili fonti di variabilità.
Dal diagramma ad albero si evidenziano i fattori: addetto, colata e le stazioni 2 e 3 (Fig. D.5).
Per quanto riguarda gli addetti si nota che l'addetto 7 e l'addetto 8 si discostano entrambi fortemente dalla media generale (Fig. D.6), però dalla tabella di frequenza (Tab. 4.2) si nota che hanno eettuato pochissime misurazioni per dare una corretta valutazione.
Tabella di frequenza
1 2 3 4 5 6 7 8 100 243 28 130 178 43 10 15
4.1 Carico 39
Figura 4.2: Carta Shewhart per la sorveglianza della media applicata sui residui, caratteristica: carico.
Dato che dall'analisi dell'albero di regressione si evidenzia l'eetto delle stazioni di lavorazione come potenziale fonte di variabilità (in particolare le stazioni 2 e 3, in cui avviene la piegatura del pezzo) è stata introdotta la variabile stazioni (per dettagli vedi 1.2.2). Si noti che la prima stazione, dove avviene la tranciatura, non dovrebbe in uire nella caratteristica in analisi. Dalle rappresentazioni gra che della suddetta variabile (che comprende tutti i cambi di modulo eettuati in tutte le stazioni, Fig. D.8) si nota che, esclu-dendo quelle che hanno un numero di osservazioni troppo piccolo (inferiore a 25, che equivalgono ad al massimo 5 campioni), sono presenti delle derive verso l'alto.
La maggior parte delle derive si osservano per la stazione 3, in un caso soltan-to la stazione 2. Per quessoltan-to motivo è stasoltan-to analizzasoltan-to come si distribuiscono le medie campionarie in base agli interventi eettuati nella sola stazione 3 (Fig. D.9) e si sono riscontrate delle forti derive verso l'alto, come ipotizzato in precedenza.
Dai box-plot (Fig. 4.3 e Fig. 4.4) si nota che la stazione avente media più stabile, a meno di altri fattori come gli addetti, è proprio la stazione 3. Questo dato non è una sorpresa, poiché, se è valida l'ipotesi che la stazione 3 provochi una deriva, presumibilmente dovuta all'usura del modulo in uso (quando si ha uno stesso valore per la variabile staz3 ), si noterà questa in- uenza nei box-plot relativi alle altre stazioni e non alla stazione 3 stessa. La quale, invece, sarà più variabile durante l'utilizzo dello stesso modulo ri-spetto alle medie delle misurazioni eettuate su moduli dierenti. I box-plot delle altre stazioni invece, poiché non tengono conto dei cambi della stazione 3, risulteranno avere medie più variabili.
40 4. Verroulame
Figura 4.3: Box-plot delle medie campionarie in base agli interventi eettuati nelle stazioni 1 e 2, caratteristica: carico.
Figura 4.4: Box-plot delle medie campionarie in base agli interventi eettuati nella stazione 3, caratteristica: carico.
Dopo aver constatato che la variabilità è in uenzata soprattutto dalla stazione 3, è stata fatta una analisi della componenti di variazione gerarchica con la metodologia Nested Anova (Cap. 2.2.2).
Il risultato di questa analisi (Fig. D.10) ha permesso di ottenere una stima della variabilità imputabile al fattore stazione 3 (ˆσS = 7.658641e−06), ai
campioni aventi stesso valore della variabile stazione 3 (ˆσC = 0.1622041) e
imputabile al caso (ˆσE = 0.06134781).
A questo punto, calcolando le varianze nei vari livelli dell'annidamento, è stato possibile veri care se tali fonti di variabilità fossero ignorabili o meno (Tab:4.3).
4.1 Carico 41 Df Sum Sq Mean Sq F value P( > F ) Stazione 3 5 0.6368586 0.1273717 1 0.419879 Camp(Stazione 3) 150 19.10576 0.1273717 33.84347 0
Within 624 2.348458 0.003763554 Totale 779 22.09107 0.258507
Tabella 4.3: Analisi della varianza per modelli annidati, caratteristica: carico.
I test eettuati hanno evidenziato che il fattore stazione 3 non è in uente, però è molto signi cativa la variabilità dei campioni per lo stesso valore della variabile stazione 3, quindi, utilizzando tale formula:
ˆ σC¯ = r ˆ σ2 C + ˆ σE2 n
si è ottenuto una stima della deviazione standard delle medie campionarie aggiustata ˆσC¯ = 0.1646, che è stata adottata per il calcolo dei limiti.
Figura 4.5: Carta Shewhart per le medie con limiti aggiustati, caratteristica: carico.
La carta Shewhart risultante (Fig. 4.5) non evidenzia nessun fuori con-trollo, ma si nota che i limiti di controllo sono molto vicini ai limiti di speci- ca. Questo porta ad una situazione rischiosa, in quanto (utilizzando L = 3) solo il 99, 73% delle osservazioni rientreranno nei limiti di controllo e quin-di anche nei limiti quin-di speci ca, producendo così uno 0.27% quin-di unità non conformi.
