Universit`a dell’Aquila - Facolt`a di Ingegneria Compito di Esonero di Fisica Generale II del 5/4/2013
Problema Nel circuito mostrato in figura i due conden-satori sono scarichi quando viene chiuso l’interruttore. Il secondo condensatore `e facce piane e parallele (con area S e distanti d) ed `e riempito per met`a di dielettrico con costante relativa a e per met`a di dielettrico con costante
relativa b.
Determinare a) il circuito di Thevenin equivalente tra i morsetti A e B e quindi la carica che a regime si trova sui due condensatori;
b) le densit`a di carica di polarizzazione nei due dielettrici (a regime) e la carica netta all’interfaccia tra di essi; c) l’istante tx in cui la corrente che scorre in C1 vale ix e la corrente
che scorre in C2 nello stesso istante; d) l’energia dissipata nella resistenza R nell’intervallo
di tempo tra 0 e tx; .
(Dati del problema: f1 = 12 V, f2 = 10 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω, R = 40 Ω,
C1 = 1 nF, a= 5, b = 10, S = 10−4 m2, d = 3 µm, ix = 0.01 A)
SOLUZIONE a) Le equazioni per le due maglie sono:
f1− f2 = R1i1+ R2i2
f2 = −R2i2+ R3i3
L’equazione per il nodo ´e invece i1 = i2+ i3. Risolvendo per i3 si trova:
i3 =
R2f1+ R1f2
R1R2+ R1R3+ R2R3
= 0.31 A Dunque la fem equivalente di Thevenin `e:
fth = R3i3 = 9.3 V
mentre la resistenza equivalente `e: Rth= R + 1 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 = 45 Ω
C2, che `e data dalla serie di due capacit`a, C2,a= 0aS/(d/2) e C2,b = 0bS/(d/2), cio`e:
C2 = C2,aC2,b/(C2,a+ C2,b) = 2 nF
A regime le cariche presenti sui due condensatori sono: Q1 = C1fth= 9.13 nC
Q2 = C2fth = 18 nC
b) Il vettore di spostamento elettrico `e uniforme nel condensatore. Il suo modulo `e pari a D = Q2/S per il teorema di Coulomb, ed il campo elettrico ´e dato da
Ea = Q2 S0a , Eb = Q2 S0b
Dunque le densit´a delle cariche di polarizzazione sono σp,a = Pa= 0(a− 1)Ea = Q2(a− 1) Sa = 1.46 · 10−4 C/m2 σp,b = Pb = 0(b− 1)Eb = Q2(b− 1) Sb = 1.64 · 10−4 C/m2 La carica netta all’interfaccia ´e
Qn = S(σp,b− σp,a) = 1.8 nC
c) La corrente che circola nel condensatore equivalente `e quella che si calcola in un circuito RC standard:
i(t) = fth Rth
e−τt
con τ = Rth(C1+ C2) = 0.13 µs. Essa si ripartisce tra i due condensatori secondo la stessa
legge di ripartizione della carica, per cui le correnti che passano nei due condensatori sono i1(t) = C1fth (C1+ C2)Rth e−τt i2(t) = C2fth (C1+ C2)Rth e−τt
Imponendo la condizione i1(tx) = ix si trova
tx = τ log C1fth (C1 + C2)Rthix = 0.26 µs i2(tx) = 19.7 mA
d) L’energia dissipata per effetto Joule ´e:
ER= R Z tx 0 i2(t)dt = R fth Rth 2 τ 2 1 − e−2txτ = 0.11 µJ
