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Teorema di Hörmander in versione infinito-dimensionale e applicazioni ai tassi di interesse.

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(1)

Dipartimento di Matematica

Teorema di Hörmander in

versione innito-dimensionale e

applicazioni ai tassi di interesse

25 ottobre 2019

Tesi di Laurea Magistrale

Candidato:

Simone Rotundo

Dott. Dario Trevisan

Relatore:

(2)
(3)

Indice

Introduzione 2

1 SPDEs nel senso di Da PratoZabczyk 4

1.1 Moto browniano a valori in uno spazio di Hilbert . . . 4

1.2 Integrale stocastico negli spazi di Hilbert . . . 10

1.3 Equazioni lineari con noise additivo . . . 22

1.4 Equazioni lineari con noise moltiplicativo . . . 33

1.5 Esistenza e unicità per equazioni non lineari . . . 44

2 Calcolo di Malliavin in spazi di Hilbert 50 2.1 L'operatore derivata . . . 50

2.2 L'operatore divergenza . . . 67

2.3 Densità di variabili aleatorie via formule di integrazione per parti e semigruppo del calore . . . 72

3 Teorema di Hörmander negli spazi di Hilbert 84 4 Applicazioni 98 4.1 Applicazioni alla teoria dei tassi di interesse . . . 98

4.2 Altre applicazioni . . . 109 A Spazi di Fréchet e campi vettoriali 116 B Una generalizzazione del Teorema di Lebesgue 135

Bibliograa 137

(4)

Introduzione

In questo lavoro di tesi vogliamo presentare una panoramica su alcuni aspetti signicativi dell'analisi stocastica in dimensione innita. Una delle motiva-zioni di questi studi proviene, come spesso accade quando si parla di pro-babilità, processi stocastici ed equazioni dierenziali stocastiche, dal mondo della Finanza Matematica e nello specico, per questo lavoro, dalla teoria dei tassi di interesse. Molte delle modellizzazioni esistenti, infatti, ne descrivono l'evoluzione temporale tramite processi stocastici che obbediscono a determi-nate equazioni di cui essi sono dunque le soluzioni. I modelli di equazioni che ci interesseranno saranno quelli di Heath-Jarrow-Morton, nella loro versione innito-dimensionale; nella fattispecie le soluzioni di questo tipo di equazioni saranno processi a valori in un qualche spazio di Hilbert di funzioni continue sulla retta reale. Si tratta dunque di fatto di equazioni dierenziali stocasti-che in spazi di Hilbert, per il cui studio è necessario rivedere e confrontare i risultati che assumeremo noti sull'analisi stocastica in dimensione nita, a partire dall'esistenza stessa di misure gaussiane in uno spazio di Hilbert, da cui ridenire il concetto di moto Browniano e dunque l'integrazione di op-portuni processi rispetto ad esso. Da lì il passo è assai breve verso il concetto di equazione dierenziale, un po' meno verso quello di soluzione. Tra le varie tipologie di equazioni ci interesseremo, soprattutto nel primo capitolo, alle equazioni dierenziali stocastiche nel senso di Da Prato-Zabczyk, ovvero di equazioni in spazi innito-dimensionali che, in una delle forme più generali che vedremo, saranno del tipo

(

dXt= (AXt+ F (t, Xt))dt + B(t, Xt)dWt

X0 = ξ

di cui la suddetta equazione HJM sui tassi di interesse ne è un particolare esempio. In realtà molteplici tipologie di equazioni possono essere viste nel senso di Da Prato-Zabczyk, come vedremo con l'esempio dell'equazione delle onde nel capitolo delle applicazioni. Per le equazioni studiate vedremo che esistono vari tipi di soluzione ognuna delle quali necessita di particolari ipotesi per dimostrarne l'esistenza o l'unicità. Tra le varie proprietà di cui una

(5)

zione di questo tipo di equazioni può godere vi è l'esistenza di una densità per le distribuzioni, ottenute mediante composizione con funzionali linearmente indipendenti. Nel caso nito-dimensionale il Teorema di Hörmander fornisce condizioni anché ciò accada, dunque è lecito chiedersi se vi sia una versione in dimensione innita di tale risultato. Ma il Teorema di Hörmander si basa, nella sua dimostrazione probabilistica, sul cosiddetto Calcolo di Malliavin, un insieme di tecniche e idee matematiche che estendono in un certo senso il campo del calcolo delle variazioni dal mondo delle funzioni deterministiche a quello dei processi stocastici. Per questo, nel secondo capitolo passeremo in rassegna i principali concetti e risultati di questo tipo di Calcolo, adat-tandolo ancora una volta al caso di uno spazio di dimensione innita con le opportune ipotesi. Una volta avuti a disposizione tutti gli strumenti ne-cessari, nel terzo capitolo ci dedicheremo dunque alla dimostrazione di una versione innito-dimensionale del Teorema di Hörmander, in relazione a una particolare sotto-tipologia di equazioni stocastiche alla Da Prato-Zabczyk. In particolare, ci focalizzeremo sulle equazioni descritte da un gruppo di ope-ratori lineari e continui, cercando di riadattare la dimostrazione già nota nel caso nito-dimensionale; nel seguito, tenendo conto che esistono importan-ti classi di equazioni, come ad esempio quelle paraboliche, che non possono essere descritte tramite un gruppo di operatori, faremo delle osservazioni anche per quest'altro tipo di situazioni cercando di dare un cenno sulle ipo-tesi sui coecienti dell'equazione per cui si può arrivare a risultati analoghi. Nel quarto capitolo applicheremo quanto appena visto al caso dell'equazione HJM sui tassi d'interesse cercando anche di dare un'interpretazione concreta delle proprietà che andremo via via dimostrando, analizzeremo in che modo l'equazione delle onde possa rientrare tra le equazioni studiate nei capitoli precedenti e inne aronteremo il problema della propagazione del rumo-re in rumo-relazione all'esistenza di densità per processi soluzioni di determinate equazioni stocastiche.

(6)

Capitolo 1

SPDEs nel senso di Da

PratoZabczyk

In questo capitolo vogliamo analizzare alcune tipologie di equazioni dieren-ziali stocastiche con dato iniziale e provare a ricavare risultati di esistenza e unicità per le eventuali soluzioni. In particolare ci occuperemo delle equazio-ni nel senso di Da PratoZabczyk, ovvero equazioequazio-ni dierenziali stocastiche le cui soluzioni siano processi a valori in uno spazio di Hilbert, dunque sa-rà necessario ripercorrere la teoria classica della costruzione dell'integrale stocastico anche nel caso innito-dimensionale.

1.1 Moto browniano a valori in uno spazio di

Hilbert

Consideriamo uno spazio di probabilità (Ω, F, P ) con associata una ltrazio-ne (Ft)t≥0 che soddisfa le ipotesi abituali e uno spazio di Hilbert H.

Una misura di probabilità µ su (H, B(H)) si dice gaussiana se ∀h ∈ H ∃m ∈ R ∃q ≥ 0 t.c. µ({x ∈ H| < h, x >∈ A}) = RAf (x)dx ∀A ∈ B(R) dove f è la densità di una v.a. N(m, q). In particolare, se µ è gaussiana, i funzionali h 7→ RH < h, x > dµ(x) e (h1, h2) 7→

R

H < h1, x >< h2, x > dµ(x)

sono ben deniti. Inoltre vale il seguente risultato.

Lemma 1.1.1. Sia ν misura di probabilità su (H, B(H)) e supponiamo che ∃k ∈N t.c. RH| < z, x > |kdν(x) < ∞ ∀z ∈ H. Allora ∃c > 0 t.c. ∀h1, . . . , hk ∈ H si ha | Z H < h1, x > · · · < hk, x > dν(x)| ≤ c||h1|| . . . ||hk||. 4

(7)

Dimostrazione. Deniamo Un = {z ∈ H|

R

H| < z, x > |

kdν(x) ≤ n} per

n ∈ N. Per ipotesi, H = S∞n=1Un. Poiché H è uno spazio metrico completo e

gli Un sono chiusi, per Baire ∃n0 ∈N ∃z0 ∈ Un0 ∃r0 > 0 t.c. B(z0, r0) ⊆ Un0.

Ma allora Z

H

| < z0+ y, x > |kdν(x) ≤ n0 ∀y ∈ B(0, r0).

Dunque, per qualche ck ∈R si ha:

∀y ∈ B(0, r0) Z H | < y, x > |kdν(x) = Z H | < y + z0 − z0, x > |kdν(x) = = Z H (| < y+z0, x > |+| < z0, x > |)kdν(x) ≤ Z H ck(| < y+z0, x > |k+| < z0, x > |k)dν(x) = = ck Z H | < y + z0, x > |kdν(x) + ck Z H | < z0, x > |kdν(x) ≤ 2ckn0

Applichiamo tale disuguaglianza a y = r0||z||z per z 6= 0:

Z H r0k| < z ||z||, x > | k dν(x) ≤ 2ckn0. Dunque si ha: Z H | < z, x > |kdν(x) ≤ 2ckn0||z||k rk 0 .

Osserviamo che quest'ultima disuguaglianza è banale per z = 0.

Poiché vale |ξ1. . . ξk| ≤ |ξ1|k+ · · · + |ξk|k ∀(ξ1, . . . , ξk) ∈Rk, si ha la tesi con

c = k2ckn0

rk 0 .

Abbiamo dunque ottenuto anche la continuità delle due applicazioni pre-cedenti.

Pertanto, se µ è gaussiana, allora ∃m ∈ H ∃Q operatore lineare tali che valgano le seguenti uguaglianze:

Z H < h, x > dµ(x) =< m, h > Z H < h1, x − m >< h2, x − m > dµ(x) =< Qh1, h2 >

Il vettore m si dirà media e Q si dirà operatore covarianza di µ. Chiaramente Q è simmetrico. Inoltre vale ∀h ∈ H che

(8)

< Qh, h >= Z

H

< h, x − m >2 dµ(x)

da cui il fatto di essere denito positivo. Dalle denizioni di media e cova-rianza segue poi che una misura gaussiana µ su H con media m e covacova-rianza Q ha funzione caratteristica denita, per λ ∈ H, da

ˆ µ(h) =

Z

H

ei<λ,x>dµ(x) = ei<λ,m>−12<Qλ,λ>

per cui risulta essere unicamente determinata da m e Q.

Sapendo adesso cosa si intende per legge gaussiana su uno spazio di Hilbert possiamo dare una denizione di moto Browniano.

Facciamo prima una premessa. Siano E, G spazi di Banach. Un operatore T ∈ L(E, G) è detto nucleare o di classe traccia se ∃(aj)j ⊂ G ∃(ϕj)j ⊂ E0

t.c. valgano: • P∞

j=1||aj||||ϕj|| < +∞

• T x = P∞

j=1ajϕj(x) ∀x ∈ E

Lo spazio degli operatori nucleari da E a G con la norma ||T ||1 = inf{P

j=1||aj||||ϕj|| | T x =

P∞

j=1ajϕj(x)} è uno spazio di

Ba-nach e lo denoteremo con L1(E, G). Se H è uno spazio di Hilbert sperabile,

con {ek}k base hilbertiana e T ∈ L1(H, H) deniamo la traccia di T come

Tr(T ) = P∞

j=1 < T ej, ej >. Osserviamo che tale denizione si dimostra

essere indipendente dalla scelta della base ortonormale {ek}. Infatti vale la

seguente Proposizione.

Proposizione 1.1.2. Se T ∈ L1(H), allora Tr(T ) è ben denito e

indipen-dente dalla scelta della base ortonormale {ek}k.

Dimostrazione. Sia {aj}j ⊂ H e {ϕj} ⊂ H0 due successioni tali che per

h ∈ H si abbia T h = ∞ X j=1 ajϕj(h)

e valga allo stesso tempo

X

j=1

||aj||||ϕj|| < +∞.

(9)

< T ek, ek>= ∞ X j=1 < ek, aj >< ek, bj > . Inoltre vale ∞ X k=1 | < T ek, ek > | ≤ ∞ X j=1 ∞ X k=1 | < ek, aj >< ek, bj > | ≤ ≤ ∞ X j=1 ( ∞ X k=1 | < ek, aj > |2) 1 2( ∞ X k=1 | < ek, bj > |2) 1 2 ≤ ∞ X j=1 ||aj||||bj|| < +∞.

Dal momento che

∞ X k=1 < T ek, ek >= ∞ X j=1 ∞ X k=1 < ek, aj >< ek, bj >= ∞ X j=1 < aj, bj >

la denizione di Tr(T ) è indipendente dalla base {ek}k.

Osserviamo inoltre che per T ∈ L1(H)in generale vale | Tr(T )| ≤ ||T ||1.

Si ha poi il seguente Corollario

Corollario 1.1.3. Siano T ∈ L1(H)e S ∈ L(H). Allora T S ∈ L1(H)e vale

Tr(T S) = Tr(ST ) ≤ ||T ||1||S||.

Vale inne la seguente Proposizione.

Proposizione 1.1.4. Un operatore non negativo T ∈ L(H) è nucleare se e solo se per ogni base ortonormale {ek}k di H si ha

X

j=1

< T ej, ej >< +∞.

Inoltre, in questo caso si ha Tr(T ) = ||T ||1.

Dimostrazione. Mostriamo innanzitutto che T è compatto. Poiché per x ∈ H vale √T x =P∞ j=1 < √ T x, ej > ej, allora si ha ||√T x− N X j=1 <√T x, ej > ej||2 = ∞ X j=N +1 | <√T x, ej > |2 ≤ ||x|| ∞ X j=N +1 ||√T ej||2 ≤

(10)

≤ ||x||

X

N +1

< T ej, ej > .

Dunque √T è limite di operatori di rango nito. Pertanto √T è compatto e T = √T√T lo è altrettanto. Sia {fj}j una successione di tutti gli autovettori

di T e sia {λj}j la corrispondente successione di autovalori. Allora per x ∈ H

si ha T x = ∞ X k=1 λk < x, fk > fk.

Dal momento che

< T ej, ej >= ∞ X k=1 λk| < fj, ek > |2 si ha ∞ X j=1 < T ej, ej >= ∞ X j=1 ∞ X k=1 λk| < fj, ek > |2 = ∞ X k=1 λk < +∞.

Da quest'ultima uguaglianza e dall'espansione precedente si ha che T è nu-cleare e Tr(T ) = P∞

k=1λk.

Per le osservazioni precedenti segue che Tr(T ) = ||T ||1.

Proposizione 1.1.5. Sia µ una misura di probabilità gaussiana con media 0 e covarianza Q. Allora Q ha traccia nita.

Dimostrazione. Consideriamo la funzione caratteristica della misura µ, de-nita per h ∈ H da

ϕ(h) = Z

H

ei<h,x>dµ(x) = e−12<Qh,h>.

Per c > 0 arbitrario si ha per h ∈ H che 1 − ϕ(h) = Z H (1 − cos(< h, x >))dµ(x) ≤ ≤ 1 2 Z ||x||≤c < h, x >2 dµ(x)+2µ({x ∈ H|||x|| ≥ c}) ≤ 1 2 < Qch, h > +2µ({x ∈ H|||x|| ≥ c}). dove Qc è l'operatore lineare limitato denito da

< Qch, h >=

Z

||x||≤c

(11)

Dal momento che per ogni sistema ortonormale completo {en}n di H si ha Tr(Qc) = ∞ X n=1 < Qcen, en >= Z ||x||≤c ∞ X n=1 < x, en>2 dµ(x) = Z ||x||≤c ||x||2dµ(x) ≤ c2

l'operatore Qc ha traccia nita. Per mostrare che Q ha traccia nita sarà

dunque suciente vedere che ∃β, c > 0 t.c. se h ∈ H e < Qch, h >≤ 1,

allora < Qh, h >≤ β, poiché questo implicherebbe che per h ∈ H valga < Qh, h >≤ β < Qch, h >.

Per ogni h ∈ H e per c > 0 vale 1 − e−12<Qh,h>≤ 1

2 < Qch, h > +2µ({x ∈ H|||x|| ≤ c}).

Sia ora h ∈ H t.c. < Qch, h >≤ 1. Allora per la disuguaglianza precedente

si ha

e12<Qh,h> ≤ (1

2 − 2µ({x ∈ H|||x|| ≤ c}))

−1

e dunque la tesi, scegliendo c in modo che µ({x ∈ H|||x|| ≥ c}) < 1 4.

Ha dunque senso la seguente denizione.

Denizione 1. Sia Q operatore nucleare non negativo su U spazio di Hilbert. Un processo stocastico (Wt)t≥0 su U è detto un Q-moto browniano se:

1. W0 = 0

2. W è continuo

3. W è a incrementi indipendenti

4. Wt− Ws∼ N (0, (t − s)Q) per t ≥ s ≥ 0

Supponiamo U spazio di Hilbert separabile e W moto browniano su U. Si verica che ∀u ∈ U il processo (< Wt, u >)t≥0 è un moto browniano su R.

Inoltre valgono le seguenti proprietà per u, v ∈ U e t, s ≥ 0: E[< Wt, u >< Ws, u >] = (t ∧ s)E[< W1, u >2]

E[< Wt, u >< Ws, v >] = (t ∧ s)E[< W1, u >< W1, v >] = (t ∧ s) < Qu, v >

dove Q è l'operatore di covarianza della misura gaussiana della v.a. W1. Si

(12)

Osserviamo che se (Wt)t è un Q-moto browniano su (Ω, F, P ) con

opera-tore di covarianza Q ∈ L(U) allora esistono {ek} ⊂ U sistema ortonormale

completo, {λk}k scalari non negativi tali che Qek = λkek ∀k ∈ N e {β(k)}k

moti browniani reali indipendenti della forma β(j)

t = √1λ j < Wt, ej > per j ∈ N tali che Wt= P∞ j=1pλjβ (j) t ej.

1.2 Integrale stocastico negli spazi di Hilbert

Analogamente al caso classico, al ne di parlare di equazioni dierenziali stocastiche anche su spazi di Hilbert, dobbiamo necessariamente passare at-traverso la costruzione di un qualche tipo di integrale stocastico. Per questo apriamo una breve parentesi sulla denizione di integrale rispetto a un moto browniano.

Siano U, H spazi di Hilbert separabili. Consideriamo (Wt)t un Q-moto

browniano in (Ω, F, P ) a valori in U. Possiamo considerare la sua espansione Wt = P

j=1pλjβ (j)e

j in funzione di (β(j))j moti browniani reali. Per

sem-plicità, richiediamo che λk > 0 ∀k ∈ N. Sia inoltre {Ft}t≥0 ltrazione tale

che

• Wt sia Ft-misurabile ∀t ≥ 0;

• Wt+h− Wt sia indipendente da Ft ∀h ≥ 0 ∀t ≥ 0.

Fissiamo T < ∞. Un processo (Φt)t∈[0,T ] su L = L(U, H) che assume solo

un numero nito di valori è detto elementare se esistono

0 = t0 < t1 < · · · < tk= T e Φ0, Φ1, . . . , Φk−1 v.a. a valori in L che assumono

un numero nito di valori tali che Φm sia F

tm-misurabile e Φt = Φ

m per

t ∈ (tm, tm+1) ed m = 0, 1, . . . , k − 1.

Per un processo elementare Φ si denisce l'integrale stocastico tramite la seguente formula, per t ∈ [0, T ]:

Z t 0 ΦsdWs = k−1 X m=0 Φm(Wtm+1∧t− Wtm∧t). Introduciamo il sottospazio U0 = √

QU di U, che munito del prodotto scalare < u, v >0= ∞ X k=1 1 λk < u, ek >< v, ek >=< Q− 1 2u, Q− 1 2v >

è uno spazio di Hilbert. Nella costruzione dell'integrale stocastico per processi più generali, un ruolo importante sarà giocato dallo spazio

(13)

L0

2 = L2(U0, H)degli operatori di Hilbert-Schmidt da U0 ad H. In generale,

se E ed F sono Hilbert separabili con basi ortonormali rispettive {ek}k⊂ E

e {fj}j ⊂ F, un operatore lineare limitato T : E → F si dirà di

Hilbert-Schmidt se P∞ k=1||T ek|| 2 < ∞. Poiché P∞ k=1||T ek|| 2 = P∞ k=1 P∞ j=1| < T ek, fj > | 2 = P∞ j=1||T ∗f j||2,

la denizione di operatore di Hilbert-Schmidt e della corrispondente norma ||T ||2 = (P

k=1||T ek||

2)12 è indipendente dalla scelta della base. Inoltre vale

||T ||2 = ||T∗||2 per T ∈ L2(E, F ). Si verica che L2(E, F ) con la norma ||.||2

è uno spazio di Hilbert separabile con prodotto scalare denito da < S, T >2= ∞ X k=1 < Sek, T ek>= Tr(T∗S) . Lo spazio L0

2 è uno spazio di Hilbert anche con la norma denita da

||Ψ||2 L0 2 = ∞ X h,k=1 | < Ψgh, fk> |2 = ∞ X h,k λh| < Ψeh, fk > |2 = = ||ΨpQ||2L 2(U,H) = Tr((Ψ p Q)(ΨpQ)∗)

dove {gj}j, {ej}j e {fj}j sono basi hilbertiane di U0, U e H rispettivamente,

tali che gj = pλjej, per j ∈ N. Chiaramente L ⊂ L02, ma non tutti gli

operatori di L0

2 possono essere visti come restrizioni di operatori di L. Lo

spazio L0

2 può infatti contenere operatori non limitati su U.

Una proprietà che coinvolge gli spazi L1 ed L2 è la seguente

Proposizione 1.2.1. Siano E, F, G spazi di Hilbert separabili, T ∈ L2(E, F )

e S ∈ L2(F, G). Allora ST ∈ L1(E, G) e vale

||ST ||1 ≤ ||S||2||T ||2.

Dimostrazione. Osserviamo che per ogni x ∈ E si ha ST x =

X

j=1

< T x, fj > Sfj

Dunque segue dalla denizione di operatore nucleare che ||ST ||1 ≤ ∞ X j=1 ||T∗fj||||Sfj|| ≤ ( ∞ X j=1 ||T∗fj||2) 1 2( ∞ X j=1 ||Sfj||2) 1 2.

(14)

Sia (Φt)t∈[0,T ] un processo stocastico a valori in L02. Deniamo la famiglia

di norme, per t ∈ [0, T ] , come: |||Φ|||t= (E[ Z t 0 ||Φs||2L0 2ds]) 1 2 = (E[ Z t 0 Tr((Φs p Q)(Φs p Q)∗)ds])12.

Analogamente al caso classico si ha che per Φ processo elementare tale che |||Φ|||T < ∞, il processo (R

t

0ΦsdWs)t∈[0,T ]è una martingala a valori in H

con-tinua a quadrato integrabile. Inoltre vale la seguente uguaglianza (isometria di Ito) per 0 ≤ t ≤ T :

E[|| Z t

0

ΦsdWs||2] = |||Φ|||2t.

Verichiamo ad esempio che quest'ultima proprietà vale per t = tm ≤ T per

tm opportuno. Deniamo ζj = Wtj+1 − Wtj per j = 1, . . . , m − 1. Allora si

ha: E[|| Z tm 0 ΦsdWs||2] = E[|| m−1 X j=0 Φtjζj|| 2] = E[ m−1 X j=0 ||Φtjζj|| 2]+2E[ m−1 X i<j=1 < Φtiζi, Φtjζj >].

Mostriamo che per j = 0, 1, . . . , m − 1 vale: E[ m−1 X j=0 ||Φtjζj|| 2] = m−1 X j=0 (tj+1− tj)E[||Φtj|| 2 L0 2].

A questo scopo notiamo che la v.a. Φ∗

tjflè Ftj-misurabile e ζj è v.a.

indipen-dente da Ftj. Di conseguenza, per le proprietà della speranza condizionale si

ha: E[||Φtjζj|| 2 ] = ∞ X l=1 E[| < Φtjζj, fl> | 2 ] = ∞ X l=1 E[E[< ζj, Φ∗tjfl> 2 |F tj]] = = (tj+1−tj) ∞ X l=1 E[< QΦ∗t jfl, Φ ∗ tjfl>] = (tj+1−tj) ∞ X l=1 E[||pQΦ∗t jfl|| 2] = (t j+1−tj)E[||Φtj|| 2 L0 2.

In maniera simile per i 6= j si ha:

E[< Φtiζi, Φtjζj >] = 0

e si conclude.

Estendiamo la denizione di integrale stocastico a processi più generali ma prima premettiamo un Lemma:

(15)

Lemma 1.2.2. Siano (E, ρ) spazio metrico separabile e X v.a. a valo-ri in E. Allora esiste (Xm)m successione di v.a. semplici t.c. ∀ω ∈ Ω

ρ(X(ω), Xm(ω)) ↓ 0

Dimostrazione. Sia E0 = {ek}k∈Nnumerabile denso in E. Per m ∈ N e ω ∈ Ω

deniamo:

ρm(ω) = min{ρ(X(ω), ek))|k = 1, . . . , m}

km = min{k ≤ m|ρm(ω) = ρ(X(ω), ek))}

Xm(ω) = ekm(ω).

Ovviamente le Xm sono v.a. semplici poiché a valori in {e1, . . . , em} Inoltre,

per densità di E0, ρm(ω) ↓ 0 ∀ω ∈ Ω. Poiché ρm(ω) = ρ(X(ω), Xm(ω)) si ha

la tesi.

Siamo dunque pronti per la seguente:

Proposizione 1.2.3. Sia Φ un processo prevedibile a valori in L0 2 t.c.

|||Φ|||T < ∞. Allora esiste una successione (Φ(n))ndi processi elementari tali

che |||Φ − Φ(n)|||

T → 0.

Dimostrazione. Dal momento che L si immerge in L0

2 in maniera densa, per

il Lemma precedente ∃(Φn)n successione di processi prevedibili semplici a

tempi in [0, T ] e a valori in L t.c. ||Φ(t, ω)||L0

2 ↓ 0 ∀(t, ω) ∈ Ω × [0, T ].

Pertanto si conclude che |||Φ − Φn|||T ↓ 0per convergenza dominata.

Adesso siamo pronti per estendere la denizione di integrale stocastico a tutti i processi prevedibili Φ a valori in L0

2tali che |||Φ|||T < +∞. Osserviamo

che essi formano uno spazio di Hilbert denotato con NW2 ([0, T ], L02) = NW2 [0, T ] = NW2

e per la proposizione precedente i processi elementari formano un denso in N2

W[0, T ]. Per le osservazioni precedenti abbiamo che l'integrale stocastico

0ΦsdWs è una trasformazione isometrica da tale denso nelle martingale a

valori in H, pertanto la denizione si estende immediatamente a tutti gli ele-menti di N2

W[0, T ]. Inoltre l'uguaglianza che mi dà l'isometria continua a

va-lere e l'integrale stocastico risulta essere una martingala continua a quadrato integrabile.

Una delle proprietà dell'integrale stocastico così costruito e che useremo è la seguente:

(16)

Proposizione 1.2.4. Siano Φ1, Φ2 ∈ N2 W([0, T ], L02)). Allora per t ∈ [0, T ] e i = 1, 2 si ha E[ Z t 0 ΦisdWs] = 0 E[|| Z t 0 ΦisdWs||2] < ∞.

Inoltre la covarianza tra gli integrali stocastici si calcola come segue V (t, s) = Cov( Z t 0 Φ1rdWr, Z s 0 Φ2rdWr) = E[ Z t∧s 0 (Φ2rpQ)(Φ1rpQ)∗ds] per s, t ∈ [0, T ].

Dimostrazione. Osserviamo che i processi (Φ2 r

Q)r∈[0,T ] e ((Φ1r

Q)∗)r∈[0,T ]

sono rispettivamente a valori in L2(U, H) e L2(H, U ). Dunque per la

Propo-sizione 1.2.1 il processo ((Φ2 r √ Q)(Φ1r√Q)∗)r∈[0,T ] è a valori in L1(H, H)e per r ∈ [0, T ] vale ||(Φ2rpQ)(Φ1rpQ)∗||1 ≤ ||Φ2r p Q||L2(U,H)||Φ 1 r p Q||L2(U,H).

Di conseguenza si hanno le seguenti disuguaglianze E[ Z T 0 ||(Φ2 r p Q)(Φ1rpQ)∗||1dr] ≤ E[ Z T 0 ||Φ2 r p Q||L2(U,H)||Φ 1 r p Q||L2(U,H)dr] ≤ ≤ E[( Z T 0 ||Φ1 r p Q||2L 2(U,H)dr) 1 2( Z T 0 ||Φ2p Q||2L 2(U,H)dr) 1 2] ≤ |||Φ1|||T|||Φ2|||T < ∞.

Dunque l'integrale che vorremmo essere la covarianza esiste. Per denizione l'operatore V è tale che ∀a, b ∈ H vale

E[< Z t 0 Φ1rdWr, a >< Z s 0 Φ2rdWr, b >] =< V (t, s)a, b > .

Si verica facilmente che nel caso in cui Φ1, Φ2 siano processi semplici allora

E[< Φ1rdWr, a >< Φ2rdWr, b >] = E[ Z t∧s 0 < Φ1rdWr, a > Z t∧s 0 < Φ2rdWr, b >] = = E[ Z t∧s 0 <pQ(Φ1r)∗a,pQ(Φ2r)∗b > dr].

Dunque la tesi è vera per processi semplici. Per la stima precedente e l'approssimazione data dalla Proposizione 1.2.3 si ha la tesi in generale.

(17)

Corollario 1.2.5. Siano Φ1, Φ2 ∈ N2 W([0, T ], L02). Allora si ha E[< Z t 0 Φ1rdWr, Z t 0 Φ2rdWr>] = E[ Z t∧s 0 Tr((Φ2rpQ)(Φ1rpQ)∗)dr]. Osserviamo che qualora i processi Φ1, Φ2 siano a valori in L = L(U, H)

allora quest'ultima formula si può anche scrivere come E[< Z t 0 Φ1rdWr, Z t 0 Φ2rdWr >] = E[ Z t∧s 0 Tr(Φ2rQ(Φ1r)∗)dr].

Come passo nale estendiamo la denizione di integrale stocastico a tutti i processi prevedibili a valori in L0

2 che soddisfano la condizione più debole:

P ( Z T

0

||Φs||2L0

2ds < ∞) = 1.

Chiameremo tali processi stocasticamente integrabili su [0, T ]. Essi formano uno spazio vettoriale denotato con NW([0, T ], L02) = NW[0, T ] = NW. Si

trat-ta come nel caso classico di una procedura di localizzazione. Una proprietà su questa classe di processi che vale la pena di analizzare e che useremo in seguito è la seguente disuguaglianza massimale.

Proposizione 1.2.6. Siano Φ ∈ NW([0, T ], L02) e a, b > 0. Allora vale la

seguente disuguaglianza: P ( sup t∈[0,T ] || Z t 0 ΦsdWs|| > a) ≤ b a2 + P ( Z T 0 ||Φt||2L0 2dt > b).

Dimostrazione. Deniamo τb = inf{t ∈ [0, T ]|

RT 0 ||Φt|| 2 L0 2dt > b}. Allora si ha P ( sup t∈[0,T ] || Z t 0 ΦsdWs|| > a) = I1+ I2 dove I1 = P ( sup t∈[0,T ] || Z t 0 ΦsdWs|| > a, Z T 0 ||Φs||2L0 2ds > b) I2 = P ( sup t∈[0,T ] || Z t 0 ΦsdWs|| > a, Z T 0 ||Φs||2L0 2ds ≤ b). Tuttavia

(18)

I2 ≤ P ( sup t∈[0,T ] || Z t 0 I[0,τb](s)ΦsdWs|| > a).

Per la disuguaglianza massimale di Doob e per come è stato denito τb, si

ha: I2 ≤ 1 a2E[ Z t 0 ||I[0,τb](s)Φs|| 2 L0 2ds] ≤ b a2.

Dal momento che I1 ≤ P (

Rt 0 ||Φs|| 2 L02ds > b) si ha la tesi. Lemma 1.2.7. Siano Φ ∈ N2 W([0, T ], L02), τ tempo di arresto t.c. P (τ ≤ T ) = 1, t ∈ (0, T ]. Allora vale Z t 0 I[0,τ ](s)ΦsdWs = Z τ ∧t 0 ΦsdWs q.c.

Dimostrazione. Supponiamo Φ elementare e τ semplice. In queste ipotesi la tesi si verica facilmente. Se invece τ è un tempo di arresto generico, esiste (τn)n successione di tempi di arresto semplici t.c. τn↓ τ e

Rτn∧t

0 ΦsdWs →

Rτ ∧t

0 ΦsdWs q.c..

D'altro canto vale

|||I[0,τ ]Φ − I[0,τn]Φ||| 2 T = E[ Z t 0 I[0,τn](s)||Φs|| 2 L0 2ds] ↓ 0

e dunque a meno di sottosuccessioni si ha Z · 0 I[0,τn](s)ΦsdWs → Z · 0 I[0,τ ](s)ΦsdWs q.c. e unif ormemente su [0, T ]. Se Φ è generico e (Φ(m))

m è una successione di processi elementari tali che

|||Φ − Φ(m)||| T → 0, abbiamo che R · 0Φ (m) s dWs → R· 0ΦsdWs, e dunque per un'opportuna sottosuccessione R· 0I[0,τ ](s)Φ (mk) s dWs→ I[0,τ ](s)ΦsdWs.

Supponiamo dunque che valga la condizione di integrabilità precedente e deniamo τn = inf{t ∈ [0, τ ]| Z t 0 ||Φs||2L0 2ds ≥ n}

con la convenzione che l'inf dell'insieme vuoto sia T . Allora τn è una

(19)

E[ Z t 0 ||I[0,τn)(s)Φs|| 2 L02ds] < ∞.

Di conseguenza gli integrali stocastici Rt

0I[0,τn](s)ΦsdWs, per t ∈ [0, T ], sono

ben deniti ∀n ∈ N. Inoltre se n < m e t ∈ [0, T ] vale Z t 0 I[0,τn](s)ΦsdWs = Z t 0 I[0,τn](s)I[0,τm](s)ΦsdWs = Z τn∧t 0 I[0,τm](s)ΦsdWs q.c.

Dunque deniamo per t ∈ [0, T ]: Z t 0 ΦsdWs = Z t 0 I[0,τn](s)ΦsdWs

dove n è un qualsiasi numero naturale t.c. τn ≥ t. Notiamo che se anche

m > n è t.c. τm ≥ t, allora Z t 0 I[0,τm](s)ΦsdWs = Z τn∧t 0 I[0,τm](s)ΦsdWs = Z t 0 I[0,τn](s)ΦsdWs

per cui la denizione che abbiamo dato per l'integrale stocastico risulta consi-stente. Analogamente se approssimiamo τ tramite un'altra successione (τ0

n)n

che soddis le stesse ipotesi, la denizione data ci porterebbe a un processo identico q.c. per ogni t ∈ [0, T ]. Osserviamo inoltre che per la costruzione fatta sopra il Lemma 1.2.7 vale anche per Φ ∈ NW([0, T ], L02).

Analizziamo adesso un'altra proprietà dell'integrale stocastico che ci tor-nerà utile in seguito quando avremo a che fare con le equazioni dierenziali stocastiche.

Proposizione 1.2.8. Siano (Φt)t∈[0,T ] processo stocastico a valori in

L0

2(H) = L02(U0, H) prevedibile integrabile rispetto a W Q-moto browniano,

A : D(A) ⊂ H → H operatore chiuso con dominio D(A) boreliano di H. Supponiamo che Φ sia in realtà a valori in L0

2(U0, D(A)) = L02(D(A)) q.c. ∀t ∈ [0, T ] e che valga: P ( Z T 0 ||Φs||2L2 0(D(A))ds < ∞) = P ( Z T 0 ||AΦs||2L2 0(D(A))ds < ∞) = 1. Allora P (RT 0 ΦsdWs ∈ D(A)) = 1 e q.c. vale: A Z T 0 ΦsdWs = Z T 0 AΦsdWs.

(20)

Dimostrazione. Si verica facilmente che la tesi vale per processi elementari. Se mettiamo su D(A) la norma del suo graco e se S è un operatore lineare da U0 in D(A) allora varrà S ∈ L02(U0, D(A)) se e solo se S ∈ L02(U0, H) e

AS ∈ L0 2(U0, H). Inoltre: ||S||2 L0 2(H)+ ||AS|| 2 L0 2(H) = ||S|| 2 L2(U0,D(A)).

Per la Proposizione 1.2.3 applicata a E = D(A), ∃(Φm)

m successione di processi elementari t.c |||Φ − Φm||| T ↓ 0. In particolare si ha: ||Φms − Φs||L02(D(A)) = ||Φ m s − Φs|| + ||AΦms − AΦs|| ↓ 0 e dunque Z T 0 ||Φm s − Φs||ds + Z T 0 ||AΦm s − AΦs||ds ↓ 0.

Di conseguenza abbiamo le seguenti convergenze: Z T 0 Φms dWs→ Z T 0 ΦsdWs Z T 0 AΦms dWs→ Z T 0 AΦsdWs

Ma essendo Φm elementari vale RT 0 AΦ m s dWs = A RT 0 Φ m s dWs. Per la chiusura di A, RT 0 AΦsdWs= A RT 0 ΦsdWs.

Quella che adesso vogliamo ottenere è la formula di Ito nel caso innito-dimensionale. Supponiamo che Φ sia un processo a valori in L0

2

stocastica-mente integrabile su [0, T ], sia ϕ un processo prevedibile q.c. integrabile a valori in H e sia X0 una v.a. F0-misurabile. Dunque il processo su [0, T ]

Xt = X0+ Z t 0 ϕsds + Z t 0 ΦsdWs

è ben denito. Supponiamo ora che F : [0, T ] × H → R sia una funzione tale che sia lei che le sue derivate Ft, Fx, Fxx siano uniformemente continue sui

sottoinsiemi limitati di [0, T ] × H.

Teorema 1.2.9. Sotto le condizioni precedenti, q.c. e per t ∈ [0, T ] vale F (t, Xt) = F (0, X0) +

Z t

0

(21)

+ Z t 0 (Ft(s, Xs)+ < Fx(s, Xs), ϕs > + 1 2Tr(Fxx(s, Xs)(Φs p Q)(Φs p Q)∗))ds. Dimostrazione. Mostriamo come ci si possa ridurre al caso di processi co-stanti ϕs = ϕ0 e Φs = Φ0 per s ∈ [0, T ]. Possiamo supporre che il processo X

e gli integrali RT 0 ||ϕs||ds e R T 0 ||Φs|| 2 L0

2ds siano limitati. Infatti, detta C > 0

una costante arbitraria, si denisce il tempo di arresto τC come

τC = inf{t ∈ [0, T ]|||Xt|| ≥ C oppure Z t 0 ||ϕs||ds ≥ C oppure Z t 0 ||Φs||2L0 2ds ≥ C}

con la convenzione che l'estremo inferiore dell'insieme vuoto sia T . Se si deniscono ϕC t = I[0,τC](t)ϕt, Φ C t = I[0,τC](t)Φt e X C t = Xt∧τC per t ∈ [0, T ], allora si ha XtC = X0C+ Z t 0 ϕCsds + Z t 0 ΦCsdWs.

Osserviamo che se la formula è vera per ϕC, ΦC e XC per C > 0 arbitrario,

allora per il Lemma 1.2.7 è vera nel caso generale. Dunque possiamo in particolare supporre che E[RT

0 ||ϕs||ds] < +∞ e E[R T 0 ||Φs|| 2 L0 2ds] < +∞. Di

conseguenza, usando il Lemma 1.2.2 e la Proposizione 1.2.3 ci si può ridurre a considerare processi ϕ e Φ elementari e dunque costanti su intervalli, per cui si ha

Xt = X0+ tϕ0 + Φ0Wt.

Sia 0 = t0 < t1 < · · · < tk < t una partizione di un ssato intervallo

temporale [0, t] ⊂ [0, T ]. Allora si ha F (t, Xt)−F (0, X0) = k−1 X j=0 (F (tj+1, Xtj+1)−F (tj, Xtj+1))+ k−1 X j=0 (F (tj, Xtj+1)−F (tj, Xtj)).

Applicando la formula di Taylor, denendo tj + θ0j(tj+1− tj) = ˜tj,

Xtj+θ1j(Xtj+1−Xtj) = ˜Xj per opportuni θ00, θ01, . . . , θ0(k−1), θ10, θ11, . . . , θ1(k−1) appartenenti all'intervallo [0, 1], e tj+1 − tj = ∆tj, Xtj+1 − Xtj = ∆Xj, si ottiene che F (t, Xt) − F (0, X0) = k−1 X j=0 Ft(tj+1, Xtj+1)∆tj+ k−1 X j=0 < Fx(tj, Xtj), ∆Xj > +

(22)

+1 2 k−1 X j=0 < Fxx(tj, Xtj)∆Xj, ∆Xj > + k−1 X j=0 (Ft(˜tj, Xj+1) − Ft(tj+1, Xtj+1))∆tj+ +1 2 k−1 X j=0 < (Fxx(tj, ˜Xj) − Fxx(tj, Xtj))∆Xj, ∆Xj >= I1+ I2+ I3+ I4+ I5.

Supponendo di prendere partizioni sempre più ni si verica che q.c. si hanno le seguenti convergenze I1 → Z t 0 Ft(s, Xs)ds I2 → Z t 0 < Fx(s, Xs), ϕs > ds + Z t 0 < Fx(s, Xs), ΦsdWs > .

Per trovare il limite di I3 osserviamo che

I3 = 1 2 k−1 X j=0 < Φ∗0Fxx(tj, Xtj)Φ0∆Wj, ∆Wj > + 1 2 k−1 X j=0 < Fxx(tj, Xtj)ϕ0, ϕ0 > (∆tj) 2+ + k−1 X j=0 < Fxx(tj, Xtj)Φ0∆Wj, ϕ0 > ∆tj = I3,1+ I3,2+ I3,3

dove analogamente a quanto fatto prima si denisce Wtj+1−Wtj = ∆Wj.

Mo-striamo innanzitutto che a meno di sottosuccessioni I3,1 → 12

Rt 0 Tr(Φ ∗ 0Fxx(s, Xs)Φ0Q)ds. Denotiamo ξj = Φ∗0Fxx(tj, Xtj)Φ0. Dunque si ha J = E[ k−1 X j=0 < Φ∗0Fxx(tj, Xtj)Φ0∆Wj, ∆Wj > − k−1 X j=0 Tr(Φ∗0Fxx(tj, Xtj)Φ0Q∆tj)] 2 = = E[ k−1 X j=0 E[< ξj∆Wj, ∆Wj >2 |Fj] − (Tr(ξjQ))2(∆tj)2].

Ciò segue dal fatto che se η0, . . . , ηk−1 sono v.a. con momenti secondi niti e

G0, . . . , Gk−1 è una famiglia crescente di σ-algebre t.c. ηj è misurabile rispetto

a Gj per 0 ≤ j ≤ k − 1, allora vale

E[( k−1 X j=0 ηj− k−1 X j=0 E[ηj|Gj])2] = k−1 X j=0 (E[ηj2] − E[(E[ηj|Gj])2]).

(23)

Sia M una costante t.c. ||ξj|| ≤ M per j = 0, 1, . . . , k − 1. Allora si ha J ≤ M2( k−1 X j=0 E[||Wtj+1− W tj|| 4] + Tr(Q)(t j+1− tj)2)

per cui si ha J → 0. Di conseguenza, prendendo una sottosuccessione si arriva alla convergenza voluta. Per la continuità del moto browniano e per la limitatezza di Fxx(s, Xs) per s ∈ [0, T ] si deduce che I3,2, I3,3 → 0. Rimane

da dimostrare che esistono sottosuccessioni di I4 e I5 che convergono q.c. a

0. La convergenza a 0 di I4 è una conseguenza dell'uniforme continuità di

Ft. Per l'uniforme continuità di Fxx invece considerando che la successione

Pk−1

j=0||Xtj+1−Xtj||

2contiene q.c. una successione limitata, si ha che I

5tende

a 0 a meno di sottosuccessioni.

Inne proviamo il seguente risultato (Disuguaglianza di Burkholder). Teorema 1.2.10. Sia Φ processo stocastico t.c. Zt=

Rt

0 ΦsdWs sia limitato

per t ≥ 0 e sia p ≥ 2. Allora ∃cp > 0 t.c. ∀t ≥ 0 vale

E[ sup s∈[0,t] || Z s 0 ΦτdWτ||p] ≤ cpE[( Z t 0 ||Φs||2L0 2ds) p 2].

Dimostrazione. Come conseguenza della disuguaglianza di Doob e per il Co-rollario 1.2.5 la tesi è vera per p = 2. Infatti, basta dimostrare il risultato per ||Zt||invece che per sups≤t||Zt||. Supponiamo ora p > 2 e sia f denita

da f(x) = ||x||p per x ∈ H. Vogliamo applicare la formula di Ito a f ◦ Z.

Dal momento che per x ∈ H si ha

fxx(x) = p(p − 2)||x||p−4x ⊗ x + p||x||p−2I allora si ha ||fxx(x)|| ≤ p(p − 1)||x||p−2 e quindi | Tr(Φ∗tfxx(Zt)ΦtQ)| ≤ p(p − 1)||Zt||p−2||Φt||2L0 2. Consideriamo l'identità ||Zt||p = p Z t 0 ||Zs||p−2< Φs, dZs > + 1 2 Z t 0 Tr(Φ∗sfxx(Zs)ΦsQ)ds =

(24)

= p Z t 0 ||Zs||p−2< Φs, ΦsdWs > + 1 2 Z t 0 Tr(Φ∗sfxx(Zs)ΦsQ)ds

e prendiamone il valore atteso ottenendo E[||Zt||p] ≤ p(p − 1) 2 E[ Z t 0 ||Zs||p−2||Φs||2L0 2ds] ≤ p(p − 1) 2 E[ sups∈[0,t] ||Zs||p−2 Z t 0 ||Φs||2L0 2ds].

Per da disuguaglianza di Holder con esponenti p p−2 e p 2 si ha E[||Zt||p] ≤ p(p − 1) 2 (E[ sups∈[0,t] ||Zs||p]) p−2 p (E[( Z t 0 ||Φs||2L0 2ds) p 2]) 2 p.

Usando la disuguaglianza di Doob si ha E[||Zt||p] ≤ p(p − 1) 2 (( p p − 1) pE[||Z t||]p)1− 2 p(E[( Z t 0 ||Φs||2L0 2ds) p 2]) 2 p.

Dividendo ambo i membri per (E[||Zt||p])1−

2 p si arriva a (E[||Zt||p]) 2 p ≤ p(p − 1) 2 ( p p − 1) p−2(E[( Z t 0 ||Φs||2L0 2ds) p 2]) 2 p. Elevando alla p 2 si ha la tesi.

1.3 Equazioni lineari con noise additivo

Passiamo dunque alle equazioni dierenziali stocastiche. Fissiamo un spazio di probabilità (Ω, F, P ) e (Wt)t un Q-moto browniano su di esso per

Q ∈ L(U )operatore di covarianza opportuno. Il primo tipo di equazione che analizzeremo sarà quello con noise additivo.

Siano A : D(A) ⊂ H → H e B : U → H operatori lineari con A chiuso e D(A) denso in H, e f processo stocastico a valori in H. Consideriamo dunque il seguente problema dierenziale stocastico:

(

dXt = (AXt+ ft)dt + BdWt

X0 = ξ

(25)

(

u0(t) = Au(t) u(0) = x ∈ H

sia uniformemente ben posto, ossia devono valere le seguenti ipotesi: • ∀x ∈ D(A) ∃ux dierenziabile che soddis l'equazione ∀t ∈ [0, +∞)

• se (xn)n ⊂ D(A) è una successione tale che limn→+∞xn = 0, allora

limn→+∞uxn(t) = 0 ∀te uniformemente in t sui compatti di [0, +∞).

Ulteriori ipotesi saranno incentrate sull'operatore A, ma facciamo prima qualche premessa.

Dato un problema uniformemente ben posto del tipo (

u0(t) = Au(t) u(0) = x ∈ H

con funzioni u a valori in un generico spazio di Banach E, è possibile de-nire per t ≥ 0 degli operatori St: D(A) → E tali che Stx = ux(t), ovvero che

restituiscano la soluzione del problema con dato iniziale x ∈ D(A). Per ogni t ≥ 0 l'operatore lineare St può essere esteso in modo unico a un operatore

lineare limitato su tutto E, che chiameremo ancora St. Chiaramente si avrà:

S0 = I.

Inoltre, per l'unicità:

St+s = StSs ∀t, s ≥ 0.

Inne per il Teorema di Banach-Steinhaus si ha che S·xè continuo in [0, +∞)

∀x ∈ E. Queste ultime tre proprietà si riassumono dicendo che S è un C0

-semigruppo (o anche -semigruppo fortemente continuo) di operatori lineari su E (vedere [1] e [2] per ulteriori dettagli). Il generatore innitesimale A0 di S

è l'operatore lineare denito da: (

D(A0) = {x ∈ H|∃ limh→0+ Shx−x

h }

A0x = limh→0+ Shx−x

h ∀x ∈ D(A0)

Si tratta di fatto di un'estensione del precedente operatore A, il cui pro-blema dierenziale associato è ancora uniformemente ben posto con lo stesso semigruppo associato. Per questa ragione nella nostra analisi supporremo direttamente che A sia l'eettivo generatore innitesimale di un semigruppo S fortemente continuo.

(26)

Teorema 1.3.1. Siano S un C0-semigruppo su un Banach E, con generatore

innitesimale A e x ∈ E. Allora valgono le seguenti proprietà per ogni t ≥ 0: 1. limh→0 1h Rt+h t Ssxds = Stx 2. Rt 0 Ssxds ∈ D(A) e A(R t 0 Ssxds) = Stx − x

3. Se x ∈ D(A), allora Stx ∈ D(A) e dtdStx = AStx = StAx

4. Se x ∈ D(A), allora Stx − Ssx =

Rt

s SτAxdτ =

Rt

s ASτxdτ

Dimostrazione. 1. Questa prima parte segue direttamente dalla continui-tà dell'applicazione t 7→ Stx.

2. Sia h > 0. Allora vale: Sh− I h Z t 0 Ssxds = 1 h Z t 0 (Ss+hx−Ssx)ds = 1 h Z t+h t Ssxds− 1 h Z h 0 Ssxds.

e per h ↓ 0 l'ultimo termine tende a Stx − x, il che prova il secondo

punto.

3. Siano x ∈ D(A) e h > 0. Allora vale: Sh− I

h Stx = St( Sh− I

h )x → StAx. Dunque Stx ∈ D(A) e AStx = StAx. Inoltre d

+

dtStx = AStx = StAx,

cioè la derivata destra di Stxè StAx. Ci manca mostrare che per t > 0

la derivata sinistra di Stx esiste ed è uguale a StAx. Questo segue da:

lim

h↓0(

Stx − St−hx

h −StAx) = limh↓0St−h(

Shx − x

h −Ax)+limh↓0(St−hAx−StAx)

e dal fatto che entrambi i termini del secondo membro dell'uguaglianza sono entrambi uguali a 0, il primo dal momento che x ∈ D(A) e ||St−h||

è limitato per 0 ≤ h ≤ t, il secondo per la continuità di St.

4. Si ottiene integrando tra s e t l'uguaglianza del punto precedente. Dal precedente Teorema seguono le seguenti proprietà:

(27)

Proposizione 1.3.2. Sia S un C0-semigruppo su un Bananch E, con

gene-ratore innitesimale A. Allora A è chiuso e D(A) è denso in E. Dimostrazione. Per x ∈ E deniamo xt = 1t

Rt

0 Ssxds. Per il secondo punto

del Teorema precedente xt ∈ D(A)per t > 0, mentre per il primo punto dello

stesso Teorema, xt→ x per t ↓ 0. Dunque D(A) = E. Proviamo la chiusura

di A. Sia (xn)n ⊂ D(A) successione t.c. xn → x e Axn → y. Per il quarto

punto del Teorema appena dimostrato abbiamo che Stxn− xn =

Z t 0

SsAxnds.

L'integranda converge a Ssy uniformemente sugli intervalli limitati. Di

con-seguenza mandando n → +∞ si ottiene Stx − x =

Z t

0

Ssyds.

Dividendo per t > 0 e mandando t ↓ 0 si verica, usando il primo punto del Teorema, che x ∈ D(A) e Ax = y.

Altra importante proprietà caratteristica dei semigruppi fortemente con-tinui che tornerà spesso utile in seguito è data dal seguente Lemma (vedere [4] per ulteriori dettagli):

Lemma 1.3.3. Sia (St)t semigruppo di operatori lineari continui a valori in

E spazio di Banach. Allora valgono le seguenti aermazioni:

1. Se esistono δ > 0 e M ≥ 1 tali che ||St|| ≤ M per 0 ≤ t ≤ δ allora

||St|| ≤ M eωt ∀t ≥ 0con ω = log Mδ . Inoltre, ∀x ∈ E t 7→ Stxè continua

in [0, +∞) se e solo se ∀x ∈ E t 7→ Stx è continua in 0.

2. Se (St)t è un semigruppo fortemente continuo, allora ∀δ > 0 ∃Mδ > 0

t.c. ||St|| ≤ Mδ ∀t ∈ [0, δ].

Dimostrazione. 1. Osserviamo che se (n − 1)δ ≤ t ≤ nδ, possiamo riscri-vere St come:

St= Sδn−1St−(n−1)δ.

Ma allora

(28)

Sia ora x ∈ E t.c. t 7→ Stx sia continua in 0, cioè limh→0+Shx = x.

Allora si ha che ∀t > 0 limh→0+St+h = Stx. Inoltre per 0 < h < t si

ha: ||St−hx − Stx|| = ||St−h(x − Shx)|| ≤ M eω(t−h)||x − Shx|| per cui lim h→0+St−hx = Stx e dunque t 7→ Stx è continua in [0, +∞).

2. Sia x ∈ E. Poiché t 7→ Stx è continua, si ha:

∀δ > 0 ∃Mδ,x > 0 t.c. ||Stx|| ≤ Mδ,x ∀t ∈ [0, δ].

La tesi dunque segue per il Teorema di Banach-Steinhaus.

Torniamo all'equazione stocastica. Prima di cercare di denire un qualche tipo di soluzione all'equazione proposta, consideriamo un paio di ipotesi che ci torneranno utili in sede di dimostrazione di risultati di esistenza e unicità.

1. Ip.1 : A genera un C0-semigruppo S a valori in H e B ∈ L(U, H).

2. Ip.2 : f è un processo prevedibile a traiettorie integrabili su ogni intervallo nito [0, T ] e ξ è F0-misurabile.

Osserviamo che se W è un Q-moto browniano in U, allora W1 = BW

è un BQB∗-moto browniano in H, dunque all'occorrenza ci riserveremo di

assumere senza perdita di generalità che U = H. Diamo le denizioni di soluzione dell'equazione.

Denizione 2. Un processo prevedibile (Xt)t∈[0,T ] a valori in H è detto una

soluzione forte del problema se X è a valori in D(A) q.c., RT

0 ||AXs||ds < +∞

q.c. e ∀t ∈ [0, T ] Xt = ξ +

Rt

0(AXs+ fs)ds + BWt q.c..

Denizione 3. Un processo prevedibile (Xt)t∈[0,T ] a valori in H è detto

una soluzione debole del problema se le traiettorie sono integrabili q.c. e se ∀z ∈ D(A∗) ∀t ∈ [0, T ] si ha:

< Xt, z >=< ξ, z > +

Z t

0

(29)

Osserviamo innanzitutto che ogni soluzione forte è anche debole. Premet-tiamo un Lemma al risultato di esistenza di soluzioni deboli (vedere anche [3]).

Lemma 1.3.4. Siano X soluzione debole del problema con ξ = 0 e f = 0, ζ ∈ C1([0, T ], D(A)) e t ∈ [0, T ]. Allora vale

< Xt, ζ(t) >= Z t 0 (< Xs, ζ0(s) + A∗ζ(s) >)ds + Z t 0 < ζ(s), BdWs > .

Dimostrazione. Sia ϕ ∈ C1[0, T ] e sia ζ

0 ∈ D(A∗). Consideriamo dapprima

le funzioni della forma ζ = ζ0ϕ su [0, T ].

Deniamo Fζ0 =

Rt

0 < Xs, A ∗ζ

0 > ds+ < BWt, ζ0 >. Applicando la formula

di Ito al processo (Fζ0(s)ϕ(s))s otteniamo:

d(Fζ0(s)ϕ(s)) = ϕ(s)dFζ0(s) + ϕ

0

(s)Fζ0(s)ds

per cui si ha: Fζ0ϕ(t) = Z t 0 < ζ(s), BdWs > + Z t 0 (ϕ(s) < Xs, A∗ζ0 > +ϕ0(s) < Xs, ζ0 >)ds.

Poiché vale Fζ0 =< X, ζ0 >, abbiamo eettivamente provato che il Lemma

vale per le funzioni del tipo considerato q.c., e poiché le combinazioni lineari di tali funzioni sono dense in C1([0, T ], D(A)) si ha la tesi in generale

Teorema 1.3.5. Supponiamo che valgano le ip. 1 e 2 rispetto al problema dierenziale assegnato. Allora esiste un'unica soluzione debole data da:

Xt= Stξ + Z t 0 St−sfsds + Z t 0 BdWs per t ∈ [0, T ].

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che X è soluzione debole se e solo se il processo denito da ˜Xt = Xt− (Stξ + Rt 0 St−sfsds) è soluzione debole del problema ( d ˜Xt= A ˜Xtdt + BdWt ˜ X0 = 0 per t ∈ [0, T ].

(30)

Proposizione 1.3.6. Siano E spazio di Banach, A generatore innitesima-le di un C0-semigruppo S in E, f ∈ L1([0, T ], E). Allora esiste un'unica

soluzione debole del problema (

u0(t) = Au(t) + f (t) u(0) = x ∈ H

per t ∈ [0, T ] e x ∈ E; tale soluzione è data da u(t) = Stx +

Z t

0

St−sf (s)ds

per t ∈ [0, T ] e sarà detta soluzione mild del problema. Dimostrazione. Abbiamo bisogno di un lemma.

Lemma 1.3.7. Sia E spazio di Banach e siano x, z ∈ E tali che v(z) = A∗v(x) ∀v ∈ D(A∗). Allora x ∈ D(A) e z = Ax.

Dimostrazione. Sia G(A) ⊆ E × E il graco di A, chiuso per ipotesi. Per il Teorema di Hahn-Banach esistono v, v∗ ∈ X0 tali che v(Ax) + v(x) = 0

∀x ∈ D(A) e v(z) + v∗(x) 6= 0. Ma allora v ∈ D(A), v= −Av e

v(z) 6= A∗v(x) il che è assurdo.

Per le proprietà dei semigruppi fortemente continui esiste una costante M tale che ||St|| ≤ M per t ∈ [0, τ]. Osserviamo innanzitutto che se x ∈ E e

v ∈ D(A∗), allora la funzione t 7→ v(Stx) è dierenziabile con derivata

A∗v(St). Questo è ovvio se x ∈ D(A), ma vale in generale per x ∈ E

arbi-trario in quanto D(A) è denso e il semigruppo è continuo. Sia u la candidata soluzione presentata nella tesi. Si verica facilmente che u ∈ C([0, τ], E). Per ogni v ∈ D(A∗)e t ∈ [0, τ] si ha

v(u(t)) = v(Stx) +

Z t

0

v(St−sf (s))ds.

Supponiamo che f ∈ C([0, τ], E). Dal momento che la funzione (t, x) 7→ Stx è continua su [0, τ] × E segue che:

d dt Z t 0 v(St−sf (s))ds = v(f (t)) + Z t 0 A∗v(St−sf (s))ds

pertanto v(u(t)) è dierenziabile in ogni t ∈ [0, τ] e verica l'uguaglianza richiesta per essere soluzione debole. Se invece f ∈ L1([0, τ ], E), consideriamo

(fn)n ⊂ C([0, τ ], E)successione tale che fn→ f in L1([0, τ ], E)e per s ∈ [0, τ]

(31)

un(t) = Stx + Z t 0 St−sfn(s)ds. Dunque si ha: ||un(t) − u(t)|| ≤ M Z τ 0 ||fn(s) − f (s)||ds

per cui un → u in C([0, τ], E). Ma per quanto ottenuto sopra, per ogni

v ∈ D(A∗)e per t ∈ [0, τ] si ha: v(un(t)) = v(x) +

Z t

0

(A∗v(un(s)) + v(fn(s)))ds.

Passando al limite si ottiene che u è una soluzione debole. Adesso proviamo che u è l'unica soluzione che soddis u(0) = x. Sia per assurdo u un'altra soluzione debole. Deniamo w = u − u. Allora per ogni v ∈ D(A∗), t ∈ [0, τ]

si ha:

v(w(t)) = A∗v( Z t

0

w(s)ds) per cui per il Lemma, z denita da z(t) = Rt

0 w(s)ds appartiene a D(A)

e vale z0 = Az, la cui soluzione è z = 0 poiché il problema risulta essere

uniformemente ben posto. Dunque si ha u = u.

Alla luce di quanto dimostrato, possiamo restringerci al caso ξ = 0, f = 0. Vogliamo mostrare che una soluzione è data dal processo denito da

WA t =

Rt

0St−sBdWs, per t ≥ 0. Sia dunque t ∈ [0, T ] e sia ζ ∈ D(A ∗). Osserviamo che: Z t 0 < A∗ζ, WsA> ds = Z t 0 < A∗ζ, Z t 0 I[0,s](r)Ss−rBdWr > ds. Dunque si ha: Z t 0 < A∗ζ, WsA> ds = Z t 0 < Z t 0 I[0,s](r)B∗Ss−r∗ A ∗ ζds, dWr >= = Z t 0 < Z t r B∗Ss−r∗ A∗ζds, dWr >= Z t 0 < Z t r ( d dsB ∗S∗ s−rζ)ds, dWr >= = Z t 0 < B∗St−r∗ ζ, dWr > − Z t 0 < B∗ζ, dWr >=< ζ, WtA> − < ζ, BWt> .

(32)

Dunque WA è una soluzione debole. Per l'unicità utilizziamo il Lemma

1.3.4. Prendiamo infatti X una soluzione debole, e ζ0 ∈ D(A∗). Utilizziamo

il suddetto Lemma con la funzione denita da ζ(s) = S∗

t−sζ0 per s ∈ [0, t]. Si ha perciò: < Xt, ζ0 >= Z t 0 < St−sBdWs, ζ0 > .

Poiché D(A∗) è denso in H abbiamo che deve valere X = WA.

Per provare l'esistenza di soluzioni forti, faremo l'ipotesi di comodo che B = I e W sia un moto browniano a valori in H con operatore di covarianza Q t.c. Tr Q < +∞. Ci concentriamo dunque sulle equazioni della forma

Xt= x +

Z t

0

(AXs+ fs)ds + Wt

per t ∈ [0, T ].

Poiché le soluzioni forti sono anche deboli, sappiamo che esse sono della forma: Xt = Stx + Z t 0 St−sfsds + Z t 0 St−sdWs per t ∈ [0, T ].

Teorema 1.3.8. Supponiamo √QH ⊆ D(A), A√Q operatore di Hilbert-Schmidt, f ∈ C1([0, T ], H) ∩ C([0, T ], D(A)) e prendiamo x ∈ D(A). Allora

il problema dierenziale con noise additivo ha una soluzione forte.

Dimostrazione. Grazie al Teorema 1.3.1 abbiamo che la tesi è vera se f = 0 e W = 0.

Supponiamo ora x = 0 e W = 0. Per ogni t ∈ [0, T ] abbiamo: Z t 0 ||ASt−σfσ||dσ ≤ Z t 0 ||St−σ||||Afσ||dσ < +∞.

Premettiamo una proprietà dei semigruppi fortemente continui al proseguo della dimostrazione.

Proposizione 1.3.9. Siano E spazio di Banach, A generatore di S

C0-semigruppo in E, x ∈ D(A) e p ≥ 1. Allora valgono le seguenti

(33)

• Se f ∈ W1,p([0, T ], E), allora il problema

(

u0 = Au + f u(0) = x

ha un'unica soluzione forte u ∈ C1([0, T ], E) ∩ C([0, T ], D(A)) data da

u(t) = Stx +

Rt

0 St−sfsds per t ∈ [0, T ];

• Se f ∈ Lp([0, T ], D(A)), allora il problema

(

u0 = Au + f u(0) = x

ha un'unica soluzione forte u ∈ W1,p([0, T ], E) ∩ C([0, T ], D(A)) data

da u(t) = Stx +

Rt

0 St−sfsds per t ∈ [0, T ]

Dimostrazione. Facciamo il primo caso, in quanto il secondo è completamente analogo. Consideriamo v soluzione mild del problema in [0, T ] dato da:

(

v0 = Av + f0 v(0) = Ax + f (0)

Siano poi un e vn le soluzioni dei problemi in [0, T ] dati da:

( u0n = Anun+ f un(0) = x ( vn0 = Anvn+ f0 vn(0) = Anx + f (0)

dove le An sono le approssimazioni di Yosida di A, ovvero

An= AJn

con Jn= nR(n, A) e R(λ, L) = (λI − L)−1. Si verica facilmente che

vn= u0n. Poiché un→ u e vn → v in C([0, T ], E) abbiamo che

u ∈ C1([0, T ], E) e u0 = v. Inoltre A

nun = vn− f → u0 − f in C([0, T, E).

Poiché A è chiuso, u(t) ∈ D(A) ∀t ∈ [0, T ] e Au = u0− f.

Dunque Au ∈ C([0, T ], E).

Per la Proposizione appena dimostrata, Xt =

Rt

0 St−σfσdσ ∈ D(A) e per

(34)

AXt = Z t 0 ASt−σfσdσ. Inoltre per t ∈ [0, T ] si ha Z t 0 AXsds = Z t 0 ( Z s 0 ASs−σfσdσ)ds = Z t 0 ( Z t−σ 0 d dsSsfσds)dσ = = Z t 0 St−σfσdσ − Z t 0 fσdσ = Xt− Z t 0 fσdσ.

Supponiamo inne x = 0 e f = 0. Osserviamo che Z t 0 ||ASs p Q||2L2ds = Z t 0 ||SsA p Q||2L2ds ≤ ||ApQ||2 Z t 0 ||Ss||2L2ds < ∞.

Dunque per la Proposizione 1.2.8 si ha ∀t ∈ [0, T ] che WtA= Z t 0 St−σdWσ ∈ D(A) q.c. Inoltre AWtA= Z t 0 ASt−σdWσ q.c.

Dal momento che WA è una soluzione debole dello stesso problema,

∀t ∈ [0, T ] ∀ζ ∈ D(A∗)q.c. si ha < WtA, ζ >= Z t 0 < WsA, A∗ζ > ds+ < Wt, ζ >= Z t 0 < AWsA, ζ > ds+ < Wt, ζ >= =< A Z t 0 WsAds, ζ > + < Wt, ζ > . Di conseguenza WtA = Z t 0 AWsAds + Wt e dunque si ha la tesi.

(35)

1.4 Equazioni lineari con noise moltiplicativo

Cominciamo adesso ad analizzare il caso di equazioni con noise moltiplica-tivo. Prepariamo il setting. Siano (Ω, F, P ) spazio di probabilità, (Ft)t≥0

ltrazione che soddisfa le ipotesi abituali, H, U due spazi di Hilbert, Q ope-ratore limitato a valori in U autoaggiunto non negativo, (Wt)t≥0 Q-moto

browniano a valori in U1 ⊃ U, U0 =

√ QU

Consideriamo equazioni stocastiche della forma: (

dXt = (AXt+ ft)dt + BXtdWt

X0 = ξ

sull'intervallo [0, T ], dove A : D(A) ⊆ H → H è il generatore di un semigruppo fortemente continuo S, ξ è una v.a. a valori in H F0-misurabile,

f è un processo prevedibile con traiettorie localmente integrabili e B : D(B) ⊆ H → L02 è un operatore lineare.

Sia {gj}j sistema ortonormale completo di U0. Poiché ∀x ∈ D(B) Bx è

di Hilbert-Schmidt da U0 in H, dev'essere P ∞

j=1||Bxgj||

2 < ∞ ∀x ∈ D(B).

Deniamo Bjx = Bxgj, per x ∈ D(B) e j ∈ N. Dunque per x ∈ D(B) e

u ∈ U0 si ha Bxu = ∞ X j=1 Bjx < u, gj >U0 .

Di conseguenza, se Wt =Pj=1βj(t)gj, il problema può anche essere riscritto

come ( dXt= (AXt+ ft)dt +P ∞ j=1BjXtdβj(t) X0 = ξ

Diamo le denizioni di soluzione, in ordine quella forte, poi quella debole e inne la mild.

Denizione 4. Un processo prevedibile (Xt)t∈[0,T ] a valori in H è detto

una soluzione forte del problema con noise moltiplicativo se è a valori in D(A) ∩ D(B) q.c. e valgono le seguenti condizioni:

P ( Z T 0 (||Xs|| + ||AXs||)ds < ∞) = P ( Z T 0 ||BXs||2L0 2ds < ∞) = 1 Xt= ξ + Z t 0 (AXs+ fs)ds + Z t 0 BXsdWs q.c. e ∀t ∈ [0, T ].

(36)

Denizione 5. Un processo prevedibile (Xt)t∈[0,T ] a valori in H è detto una

soluzione debole del problema con noise moltiplicativo se è a valori in D(B) q.c. e valgono le seguenti condizioni:

P ( Z T 0 ||Xs||ds < ∞) = P ( Z T 0 ||BXs||2L0 2ds < ∞) = 1 < Xt, ζ >=< ξ, ζ > + Z t 0 (< Xs, A∗ζ > + < fs, ζ >)ds+ Z t 0 < ζ, BXsdWs > q.c. ∀t ∈ [0, T ] ∀ζ ∈ D(A∗).

Denizione 6. Un processo prevedibile (Xt)t∈[0,T ] a valori in H è detto una

soluzione mild del problema con noise moltiplicativo se è a valori in D(B) q.c. e valgono le seguenti condizioni:

P ( Z T 0 ||Xs||ds < ∞) = P ( Z T 0 ||BXs||2L0 2ds < ∞) = 1 Xt= Stξ + Z t 0 St−sfsds + Z t 0 St−sBXsdWs q.c. ∀t ∈ [0, T ].

Ancora una volta si avrà che una soluzione forte sarà anche debole. Inoltre vedremo che le soluzioni deboli sono anche mild. Prima di dimostrarlo però abbiamo bisogno di alcuni risultati preliminari sulla convoluzione stocastica denita dai processi del tipo

WtA,Φ = Z t 0 St−sΦsdWs per t ∈ [0, T ] e Φ ∈ N2 W.

Proposizione 1.4.1. Siano A : D(A) ⊆ H → H generatore di un C0

-semigruppo in H e Φ ∈ N2

W. Allora WA,Φ ha una versione prevedibile.

Dimostrazione. Poiché N2

W ⊂ NW , per la Proposizione 1.2.6, ∀a, b > 0

∀t ∈ [0, T ] si ha: P (||WtA,Φ|| > a) ≤ b a2 + P ( Z t 0 ||St−sΦs||2L0 2ds > b).

Se M è una costante tale che ||St|| ≤ M ∀t ∈ [0, T ], allora

P (||WtA,Φ|| > a) ≤ b a2 + P ( Z t 0 ||Φs||2L0 2ds > b M2).

Supponiamo dapprima Φ processo elementare. Ciò vuol dire che possiamo limitarci a considerare il processo denito da WA

t =

Rt

0 St−sBdWs per B

(37)

WtA− WA s = Z t s St−rBdWr+ Z s 0 (St−r− Ss−r)BdWr.

Dall'indipendenza degli integrali si ha: E[||WtA−WA s || 2] = ∞ X k=1 λk Z t−s 0 ||SrBek||2ds+ ∞ X k=1 λk Z s 0 ||(St−s+r−Sr)Bek||2dr.

Per le ipotesi su S e Φ e per convergenza dominata si ha la continuità in media quadratica di WA. Poiché i processi adattati e continui hanno una

versione prevedibile possiamo aermare che WA sia prevedibile. Dunque se

Φ è un processo elementare, WA,Φ ha una versione prevedibile.

Se in generale Φ ∈ N2

W, esisterà (Φ n)

n successione di processi elementari

tale che ∀c > 0 si ha P ( Z T 0 ||Φn s − Φs||2L0 2ds > c) → 0.

Per la disuguaglianza ottenuta sopra, ∃(Φnk)k sottosuccessione tale che

∀c > 0 si ha

sup

t∈[0,T ]

P (||WtA,Φ− WA,Φnk

t || > c) → 0.

Sia ora A = {(t, ω) ∈ [0, T ] × Ω|WA,Φnk converge} e deniamo il seguente

processo: Yt(ω) = ( limk→+∞W A,Φnk t (ω) se (t, ω) ∈ A 0 altrimenti

Chiaramente Y è prevedibile. Per il Lemma di Borel-Cantelli, ∀t ∈ [0, T ] denitivamente si ha ||WA,Φnk

t (ω) − W A,Φ

t (ω)|| ≤ 21k q.c., pertanto (Yt)t∈[0,T ]

è la versione richiesta.

Denizione 7. Siano E spazio di Banach e L : D(L) ⊆ E operatore lineare. Deniamo l'insieme risolvente di L come ρ(L) = {λ ∈ C|λI−L invertibile}. Proposizione 1.4.2. Siano p > 2, T > 0 e Φ processo prevedibile a valori in L0 2 t.c. E[R T 0 ||Φs|| p L0 2

ds] < +∞. Allora esiste una costante CT > 0 t.c.

E[ sup t∈[0,T ] || Z t 0 St−sΦsdWs||p] ≤ CTE[ Z T 0 ||Φs||pL0 2 ds].

(38)

Inoltre lim n→+∞E[ supt∈[0,T ]||W A,Φ t − W A,Φ,n t ||p] = 0 dove WA,Φ,n t = Rt 0 e (t−s)AnΦ

sdWs per t ∈ [0, T ] con An le approssimazioni di

Yosida di A.

Inne WA,Φ =Rt

0 St−sΦsdWs ha una versione continua.

Dimostrazione. Sia α ∈ (1 p,

1

2). Per il Teorema di Fubini stocastico, per

t ∈ [0, T ] si ha WtA,Φ = sin πα π Z t 0 (t − s)α−1St−sYsds dove Ys = Rs 0(s − σ) −αS s−σΦσdWσ per σ ∈ [0, T ]. Infatti si ha sin απ π Z t 0 (t−s)α−1St−sYsds = sin απ π Z t 0 (t−s)α−1St−s( Z s 0 (s−σ)−αSs−σΦσdWσ)ds = = sin απ π Z t 0 ( Z t σ (t − s)α−1(s − σ)−αds)St−σΦσdWσ.

Dal momento che per 0 ≤ σ ≤ t e per α ∈ (0, 1) si ha Z t

σ

(t − s)α−1(s − σ)−αds = π sin απ si ha l'uguaglianza voluta. Poiché α > 1

p applicando la disuguaglianza di

Holder si ottiene che esiste una costante C1,T > 0 t.c.

sup t∈[0,T ] ||WtA,Φ||p ≤ C1,T Z T 0 ||Ys||pds.

Inoltre per il Teorema 1.2.10 esiste una costante C2,T > 0 t.c.

E[||Ys||p] ≤ C2,TE[( Z s 0 (s − σ)−2α||Φσ||2L0 2dσ) p 2].

Ora, denendo g, h tramite g(s) = (s − σ)−α e h(s) = ||Φ s||L0

2, usando la

disuguaglianza di Young per le convoluzioni con esponenti r = 2 e q t.c. 1 + 1r = 1p + 1q si ottiene che Z T 0 E[||Ys||p]ds ≤ C2,T Z T 0 E[( Z s 0 (s−σ)−2α||Φσ||2L0 2dσ) p 2]ds = C2,T Z T 0 E[||g∗f ||p2,[0,s]]ds ≤

(39)

≤ C2,T Z T 0 E[||g||pq,[0,s]||f ||pp,[0,s]]ds ≤ C3,TE[ Z T 0 ||Φσ||pL0 2 dσ].

A questo punto basta considerare come costante della tesi CT = C1,TC3,T.

Mostriamo ora la convergenza. Abbiamo che WtA,Φ,n = sin πα π Z t 0 e(t−s)An(t − s)α−1Yn s ds dove Ysn= Z s 0 e(s−σ)An(s − σ)−αΦ σdWσ.

Allora possiamo scrivere

WtA,Φ− WtA,Φ,n = sin πα π Z t 0 (St−s− e(t−s)An)(t − s)α−1Ysds = = sin πα π Z t 0 (St−s−e(t−s)An)(t−s)α−1Ysds+ sin πα π Z t 0 e(t−s)An(t−s)α−1(Y s−Ysn)ds = = Itn+ Jtn.

Mostriamo come In vista come funzione di Y è uniformemente limitata in

n come operatore dallo spazio dei processi adattati in Lp(Ω × [0, T ], H) nello spazio dei processi adattai in Lp(Ω, L([0, T ], H)). Infatti, per la

disuguaglianza di Holder abbiamo ||In t|| ≤ ( Z t 0 (||St−s− e(t−s)An||(t − s)α−1)qds) 1 q( Z t 0 ||Ys||pds) 1 p da cui sup t∈[0,T ] ||In t|| p ≤ sup t∈[0,T ] (||St|| + ||etAn||)( Z t 0 sq(α−1)ds)1q( Z t 0 ||Ys||pds) 1 p. Poiché α ∈ (1 p, 1 2) si ha l'uniforme limitatezza.

Proviamo ora che limn→+∞E[supt∈[0,T ]||Itn||p] = 0 con l'ipotesi addizionale

che E[RT 0 ||A

2Y

s||pds] < +∞. Infatti, per il Teorema di Hille-Yosida vale la

seguente stima (vedere [1] nell'appendice A per i dettagli) per n > ω per ogni ω t.c. l'intervallo (ω, +∞) sia contenuto nell'insieme risolvente ρ(A), t ∈ [0, T ] e x ∈ D(A2):

(40)

||Stx − etAnx|| ≤ M ||A2x|| n − ω . Pertanto si ha ||In t|| ≤ M n − ω Z t 0 (t−s)α−1||A2Y s||ds ≤ M n − ω( Z t 0 (t−s)(α−1)qds)1q( Z t 0 ||A2Y s||pds) 1 p → 0.

Per concludere serve un Lemma. Lemma 1.4.3. Supponiamo che E[RT

0 ||Ys|| pds] < ∞ e deniamo ˜ Ym s = m2(mI − A) −2Y s per s ∈ [0, T ] e m > ω. Allora E[RT 0 ||A 2Y˜m s ||pds] < ∞ per m > ω e vale lim m→∞E[ Z T 0 ||Ys− ˜Ysm|| p ds] = 0.

Dimostrazione. Dal momento che mA(mI − A)−1 = m(I − m(mI − A)−1)

l'operatore A2m2(mI − A)−2 è limitato e si ha la prima parte della

te-si. Inoltre, dal momento che per m > ω vale ||m(mI − A)−1|| ≤ M m−ω e limm→∞m(mI − A)−1x = x ∀x ∈ H, si ha Z T 0 ||Ys− ˜Ysm|| p ds ≤ Z T 0 ||(m2(mI−A)−2−I)Ys||pds ≤ (1+ M2 (m − ω)2) p Z T 0 ||Ys||pds. Inoltre per s ∈ [0, T ] si ha lim m→∞||Ys− ˜Y m s || = 0

e quindi per convergenza dominata lim m→∞E[ Z T 0 ||Ys− ˜Ysm|| pds] = 0.

Osserviamo dunque che gli operatori In hanno norme uniformemente

limitate e sono t.c. Yn→ 0 per ogni Y t.c. E[RT 0 ||Ys||

pds] < ∞.

Abbiamo dunque concluso che limn→∞E[supt∈[0,T ]||Itn||p] = 0

Vogliamo fare lo stesso per Jn. In maniera analoga a prima si dimostra

(41)

sup t∈[0,T ] ||Jn t||p ≤ C2,T Z T 0 ||Ys− Ysn||pds.

Il nostro obiettivo è quello di mostrare che lim n→∞E[ Z T 0 ||Ys− Ysn|| p ds] = 0. Deniamo gli operatori

KnΦs=

Z s

0

(s − σ)−α(Ss−σ− eAn(s−σ))ΦsdWs.

Allora Y − Yn= KnΦ. Mostriamo che se E[R T 0 ||Φs|| p L0 2ds] < ∞, allora lim n→∞E[ Z T 0 ||KnΦs||pds] = 0.

In maniera analoga a quanto detto in precedenza, gli operatori Kn da

Lp(Ω × [0, T ], L0

2) in Lp(Ω × [0, T ], H) hanno norme limitate e questo basta

per dimostrare il suddetto limite per l'insieme denso dei Φ t.c. E[RT

0 ||A 2Φ

s||pL0 2

ds] < ∞. Infatti i processi Y e Φ possono essere approssimati come Ym = (m(mI − A)−1)2Y Φm = (m(mI − A)−1)2Φ Per il Teorema 1.2.10 si ha E[||KnΦs||p] ≤ cpE[( Z s 0 (s − σ)−2α||(Ss−σ− eAn(s−σ))Φσ||2L0 2dσ) p 2]. Si ha poi che ||(Ss−σ− eAn(s−σ))Φσ||2L0 2 ≤ ( M n − ω) 2||AΦ σ||pL0 2 e dunque E[||KnΦs||p] ≤ cp( M n − ω) pE[( Z s 0 (s − σ)−2α||AΦσ||pL0 2 dσ)p2].

(42)

E[ Z T 0 ||KnΦs||pds] ≤ cp( M n − ω) p( Z T 0 σ−2α)2pE[ Z T 0 ||AΦσ|| p L02dσ]

e si ottiene la convergenza richiesta e dunque anche l'esistenza della versione continua.

Con il prossimo risultato vediamo sostanzialmente che ogni soluzione debole è del tipo WA,Φ per Φ opportuna.

Proposizione 1.4.4. Siano A : D(A) ⊆ H → H generatore di S C0

-semigruppo in H, Φ ∈ N2

W, X processo stocastico a valori in H prevedibile

con traiettorie integrabili e tale che ∀t ∈ [0, T ] ∀ζ ∈ D(A∗) q.c. valga

< Xt, ζ >= Z t 0 < Xs, A∗ζ > ds + Z t 0 < ζ, ΦsdWs> . Allora X = WA,Φ

Dimostrazione. Allo stesso modo del Lemma 1.3.4 ∀ζ ∈ C1([0, T ], D(A))

∀t ∈ [0, T ] si mostra che q.c. vale < Xt, ζ(t) >= Z t 0 < ζ(s), ΦsdWs > + Z t 0 < Xs, ζ0(s) + A∗ζ(s) > ds.

Applicando questa uguaglianza a ζ(s) = S∗

t−s per s ∈ [0, t] e ζ ∈ D(A∗), dato

che Φ ∈ N2

W e che D(A

) è denso in H otteniamo esattamente il processo

che denisce WA,Φ.

Vediamo adesso una sorta di viceversa.

Proposizione 1.4.5. Siano A : D(A) ⊆ H → H generatore di S C0

-semigruppo in H, Φ ∈ N2

W. Allora valgono i seguenti fatti:

1. ∀t ∈ [0, T ] ∀ζ ∈ D(A∗) q.c. si ha: < WtA,Φ, ζ >= Z t 0 < WsA,Φ, A∗ζ > ds + Z t 0 < ζ, ΦsdWs >

(43)

2. Se Φ(U0) ⊂ D(A) q.c e AΦ ∈ NW2 , allora: WtA,Φ = Z t 0 AWsA,Φds + Z t 0 ΦsdWs.

In particolare quest'ultima uguaglianza vale se A è limitato

Dimostrazione. 1. Sia ζ ∈ D(A∗). Osserviamo che WA,Φ ha traiettorie

integrabili e vale Z t 0 < WA,Φ, A∗ζ > ds = Z t 0 ds Z s 0 < Ss−σΦσdWσ, A∗ζ > .

Per il Teorema di Fubini stocastico, poiché A Rt

σSs−σds = St−σ− I, si ha Z t 0 ds Z s 0 < Ss−σΦσdWσ, A∗ζ >=< Z t 0 dσA( Z t 0 Ss−σds)ΦσdWσ, ζ >= =< Z t 0 (St−σ− I)ΦσdWσ, ζ > . Ma allora Z t 0 < WsA,Φ, A∗ζ > ds = = Z t 0 < St−sΦsdWs, ζ > − Z t 0 < ΦsdWs, ζ >=< WtA,Φ, ζ > − Z t 0 < ζ, ΦsdWs >

2. Se A è un operatore limitato, dal primo punto abbiamo immediata-mente la tesi.

Altrimenti, siano An = nAR(n, A) = AJn le approssimazioni di Yosida

di A e deniamo WtA,Φ,n = Z t 0 e(t−s)AnΦ sdWs

per n ∈ N e t ≥ 0. Tali processi, per n ∈ N e per t ≥ 0 soddisfano l'equazione WtA,Φ,n = Z t 0 AnWsA,Φ,nds + Z t 0 ΦsdWs.

(44)

Inoltre, per la Proposizione 1.2.8, per n ∈ N e t ≥ 0 vale AnWtA,Φ,n = Jn Z t 0 e(t−s)An sdWs.

Ora, per il Teorema di Lebesgue, ∀T > 0 si verica che lim n→+∞t∈[0,T ]sup E[||W A,Φ,n t − W A,Φ t ||2] = 0 lim n→+∞t∈[0,T ]sup E[||AnW A,Φ,n t − AW A,Φ t ||2] = 0 da cui la tesi.

Il risultato appena dimostrato ci dice moralmente, grazie anche alla Pro-posizione 1.4.1, che WA,Bè soluzione debole dell'equazione e che di fatto ogni

soluzione debole è in particolare mild. Riassumiamo il tutto nel seguente enunciato:

Teorema 1.4.6. Sia A : D(A) ⊆ H → H generatore di S C0-semigruppo in

H. Allora ogni soluzione forte del problema con noise moltiplicativo è anche debole, e ogni soluzione debole è anche mild. Viceversa, se X è una soluzione mild e E[RT

0 ||BXs|| 2 L0

2ds] < ∞, allora X è anche debole

L'enunciato di questo teorema assume ancor più senso se riusciamo a dimostrare l'esistenza (e unicità) di soluzioni mild, che è esattamente ciò che andremo ad analizzare adesso, almeno nel caso in cui B sia un operatore limitato.

Teorema 1.4.7. Siano A generatore di un S C0-semigruppo in H, ξ t.c.

E[||ξ||2] < ∞ e B ∈ L(H, L02). Allora l'equazione con noise moltiplicativo ha un'unica soluzione mild X ∈ N2

W([0, T ], H).

Dimostrazione. Consideriamo l'insieme

H = {Y proc. stoc. in H|Y prevedibile, ||Y ||H= sup t∈[0,T ]

E[||Yt||2] < +∞}

e i seguenti processi per t ∈ [0, T ] e Y ∈ H: K(Y )t= Stξ + Z t 0 St−sfsds + Z t 0 St−sBYsdWs

(45)

K1(Y )t =

Z t

0

St−sBYsdWs.

Per il Lemma 1.3.3, ∃M > 0 t.c. ||St|| ≤ M ∀t ≥ 0. Dunque per t ∈ [0, T ] si

ha: ||K1(Y )t||H ≤ sup t∈[0,T ] E[( Z t 0 ||St−sBYs||2L0 2ds) 1 2] ≤ M ||B||L(H,L0 2) √ T ||Y ||H.

Quindi vale la seguente disuguaglianza: ||K(Y1) t− K(Y2)t||H= || Z t 0 St−sB(Ys1− Y 2 s)dWs||H = ||K1(Y1− Y2)t||H ≤ ≤ M ||B||L(H,L0 2) √ T ||Y1 − Y2|| H.

Pertanto per T sucientemente piccolo K è una contrazione e si verica che il suo unico punto sso è la soluzione cercata.

Guardiamo inne all'esistenza di soluzioni forti.

Proposizione 1.4.8. Siano A generatore di S C0-semigruppo in H,

ξ = x ∈ D(A) t.c. E[||ξ||2] < +∞, B ∈ L(H, L0

2) a valori in D(A), f = 0,

0 ∈ ρ(A), BA ∈ L(H, L02) denito da BA(x)u = ABA−1x(u) per x ∈ H

e u ∈ U. Allora l'equazione con noise moltiplicativo ha un'unica soluzione forte.

Dimostrazione. Siano X, Y soluzioni mild dei seguenti problemi ( dXt = AXtdt + ABA−1XtdWt X0 = x ( dYt= AYtdt + ABA−1YtdWt Y0 = Ax

che esistono per il Teorema di esistenza delle soluzioni mild. Consideriamo i seguenti problemi approssimanti:

( dXt(n)= AnX (n) t dt + BX (n) t dWt X0(n) = x

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