Criterio del confronto

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(1)1. www.matematicagenerale.it . Criterio del confronto . Consideriamo due serie a termini positivi.  an e n 1.  . . b n 1. . n. se an  bn e la.  bn converge, allora la. se an  bn e la. b. n 1 . n 1. n. tali che: . a n 1. n. è convergente;. . diverge, allora la. a n 1. n. è divergente.. Esercizio 1 Mediante il criterio del confronto dimostrare la convergenza della seguente serie: . 1.  n(n  1) 1. Consideriamo la serie . 1. 1. 1. 1. an . 1 n(n  1). 1.  n(n  1)  2  2  3  3  4  ...........  n(n  1)  .... 1. consideriamo il termine generale:. ed osserviamo che: 1 1 1  2  2 n(n  1) n  n n. Allora il termine della serie data sono minori dei corrispondenti termini della serie armonica . generalizzata. 1 1 n2. . che sappiamo convergente, perciò anche la seria data. 1.  n(n  1) 1. convergente. . info@matematicagenerale.it. è.

(2) 2. www.matematicagenerale.it Esercizio 2 Mediante il criterio del confronto dimostrare la convergenza della seguente serie:. .  1. sen( n ) 2n. Consideriamo la serie .  1. sen( n ) 2n. e consideriamo il termine generale: an . sen(n ) 2n. e poiché: sen(n ) 1  n n 2 2. i termini della serie proposta sono in modulo maggiorati dei corrispondenti termini della serie geometrica. .  1. n. 1 1   convergente poiché la ragione h = <1 è convergente quindi la serie data è 2 2. assolutamente convergente.. info@matematicagenerale.it.

(3) 3. www.matematicagenerale.it Esercizio 3 Mediante il criterio del confronto dimostrare la convergenza della seguente serie:. . arctgx 2 x  2n.  log 1. Consideriamo la serie . arctgx 2 x  2n.  log 1. consideriamo il termine generale: an . arctgx log 2 x  2 n. e poiché:. . arctgx  1 2    n 2 n 2 n log x  2 log x  2 2 2. i termini della serie proposta sono in modulo maggiorati dei corrispondenti termini della serie geometrica. .  1. n. 1 1   convergente poiché la ragione h = <1 è convergente quindi la serie data è 2 2. convergente.. info@matematicagenerale.it.

(4) 4. www.matematicagenerale.it Esercizio 4. Mediante il criterio del confronto dimostrare la convergenza della seguente serie:. sen 2 n  3 1 n  2 . Consideriamo la serie. sen 2 n  3 1 n  2 . consideriamo il termine generale: sen 2 n  3 an  n2. e poiché: sen 2 n  3 3 3 31    n2 n2 nn 2 n. i termini della serie proposta sono in modulo minorati dai corrispondenti termini della serie  1  armonica 1   divergente quindi la serie data diverge positivamente. n. info@matematicagenerale.it.

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