1 Serie di Fourier

(1)

1 Serie di Fourier

Determinare la serie di Fourier di

f (x) = πx − |x|x, per x ∈ [−π, π) e prolungate per periodicit` a in R.

Dimostrare

+∞

X

k=1

(−1) ^k+1 (2k − 1) ³ = π ³

32 .

2 Forme differenziali lineari

Data la forma differenziale

e ^x sin ydx + e ^x cos ydy

stabilire se la forma ` e chiusa, stabilire se la forma ` e esatta e calcolare Z

γ

e ^x sin ydx + e ^x cos ydy,

ove γ ` e la curva congiungente i punti x( ^π ₄ ), y( ^π ₄ ), x( ^π ₂ ), y( ^π ₂ ) orientata nel verso che va da x( ^π ₄ ), y( ^π ₄ ) a x( ^π ₂ ), y( ^π ₂ ) e di equazioni parametriche

( x(t) = t ² , t ∈ ( ^π ₄ , ^π ₂ ) y(t) = t ³

3 Minimo assoluto

Calcolare eventuali punti di minimo assoluto della funzione f (x, y) = x ² + y ² + (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² . con (x ₀ , y ₀ ) ∈ R ² , comunque scelto.

3.1 Se esistono minimi relativi, allora la natura del punto (x _m , y _m ) (cio` e di minimo relativo) non cambia se cambia il punto (x 0 , y 0 ) ∈ R ² (dimostrare)

1

(2)

4 Soluzioni

4.1 Soluzione esercizio n.1

La funzione ` e dispari, pertanto a ₀ = 0, a _k = 0, ∀k ∈ N . Indicata con S 1 la serie di Fourier relativa a f si ha

S 1 = 8 π

+∞

X

k=1

1 (2k − 1) ³ sin(2k − 1)x,

La somma della serie si calcola sostituendo x = ^π ₂ nella somma S 1 : π ²

4 = 8 π

+∞

X

k=1

(−1) ^k+1 (2k − 1) ³ , da cui il risultato.

4.2 Soluzione esercizio n.2 Si ha

∂

∂y (e ^x sin y) = ∂

∂x (e ^x cos y)

La forma inoltre ` e esatta, infatti la primitiva ` e data da e ^x sin y + c con c costante reale

Z

+γ

e ^x sin ydx + e ^x cos ydy

Possiamo non risolvere l’integrale utilizzando il teorema di integrazione delle forme esatte. Occorre comunque calcolare i punti

( x( ^π ₄ ) = ( ^π ₄ ) ² , y( ^π ₄ ) = ( ^π ₄ ) ³

( x( ^π ₂ ) = ( ^π ₂ ) ² , y( ^π ₂ ) = ( ^π ₂ ) ³

= e ⁽

^π²

⁾

²

sin( π

2 ) ³ − e ⁽

^π⁴

⁾

²

sin( π 4 ) ³ 4.3 Soluzione esercizio n.3

( f x = 2x + 2(x − x 0 ) = 0, f _y = 2y + 2(y − y ₀ ) = 0

( 2x − x 0 = 0, 2y − y 0 = 0

⇐⇒ x = x ₀

2 y = y ₀

2

(3)



 

 

f x,x = 4, f _y,y = 4 f x,y = f y,x = 0

il punto ` e di minimo relativo comunque scelto (x 0 , y 0 ) ∈ R ² . Inoltre ` e di minimo assoluto perch´ e

1 Serie di Fourier

1 Serie di Fourier

Determinare la serie di Fourier di

f (x) = πx − |x|x, per x ∈ [−π, π) e prolungate per periodicit` a in R.

Dimostrare

+∞

X

k=1

(−1) k+1 (2k − 1) 3 = π 3

32 .

2 Forme differenziali lineari

Data la forma differenziale

e x sin ydx + e x cos ydy

stabilire se la forma ` e chiusa, stabilire se la forma ` e esatta e calcolare Z

γ

e x sin ydx + e x cos ydy,

ove γ ` e la curva congiungente i punti x( π 4 ), y( π 4 ), x( π 2 ), y( π 2 ) orientata nel verso che va da x( π 4 ), y( π 4 ) a x( π 2 ), y( π 2 ) e di equazioni parametriche

( x(t) = t 2 , t ∈ ( π 4 , π 2 ) y(t) = t 3

3 Minimo assoluto

Calcolare eventuali punti di minimo assoluto della funzione f (x, y) = x 2 + y 2 + (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 . con (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 , comunque scelto.

3.1 Se esistono minimi relativi, allora la natura del punto (x m , y m ) (cio` e di minimo relativo) non cambia se cambia il punto (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 (dimostrare)

1

4 Soluzioni

4.1 Soluzione esercizio n.1

La funzione ` e dispari, pertanto a 0 = 0, a k = 0, ∀k ∈ N . Indicata con S 1 la serie di Fourier relativa a f si ha

S 1 = 8 π

+∞

X

k=1

1

(2k − 1) 3 sin(2k − 1)x,

La somma della serie si calcola sostituendo x = π 2 nella somma S 1 : π 2

4 = 8 π

+∞

X

k=1

(−1) k+1 (2k − 1) 3 , da cui il risultato.

4.2 Soluzione esercizio n.2 Si ha

∂

∂y (e x sin y) = ∂

∂x (e x cos y)

La forma inoltre ` e esatta, infatti la primitiva ` e data da e x sin y + c con c costante reale

Z

+γ

e x sin ydx + e x cos ydy

Possiamo non risolvere l’integrale utilizzando il teorema di integrazione delle forme esatte. Occorre comunque calcolare i punti

( x( π 4 ) = ( π 4 ) 2 , y( π 4 ) = ( π 4 ) 3

( x( π 2 ) = ( π 2 ) 2 , y( π 2 ) = ( π 2 ) 3

= e (

)

sin( π

2 ) 3 − e (

)

sin( π 4 ) 3 4.3 Soluzione esercizio n.3

( f x = 2x + 2(x − x 0 ) = 0, f y = 2y + 2(y − y 0 ) = 0

( 2x − x 0 = 0, 2y − y 0 = 0

⇐⇒ x = x 0

2 y = y 0

2

2



 

 

f x,x = 4, f y,y = 4 f x,y = f y,x = 0

il punto ` e di minimo relativo comunque scelto (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 . Inoltre ` e di minimo assoluto perch´ e

f ( x 0

2 , y 0

2 ) = x 2 0 2 + y 0 2

2 Separando la parte in x e la parte in y, si ha

x 2 + (x − x 0 ) 2 − x 2 0

2 = 2 x − 1 2 x 0 2

≥ 0.

y 2 + (y − y 0 ) 2 − y 0 2

2 = 2 y − 1 2 y 0 2

≥ 0.

3

(−1) ^k+1 (2k − 1) ³ = π ³

e ^x sin ydx + e ^x cos ydy

e ^x sin ydx + e ^x cos ydy,

ove γ ` e la curva congiungente i punti x( ^π ₄ ), y( ^π ₄ ), x( ^π ₂ ), y( ^π ₂ ) orientata nel verso che va da x( ^π ₄ ), y( ^π ₄ ) a x( ^π ₂ ), y( ^π ₂ ) e di equazioni parametriche

( x(t) = t ² , t ∈ ( ^π ₄ , ^π ₂ ) y(t) = t ³

Calcolare eventuali punti di minimo assoluto della funzione f (x, y) = x ² + y ² + (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² . con (x ₀ , y ₀ ) ∈ R ² , comunque scelto.

3.1 Se esistono minimi relativi, allora la natura del punto (x _m , y _m ) (cio` e di minimo relativo) non cambia se cambia il punto (x 0 , y 0 ) ∈ R ² (dimostrare)

La funzione ` e dispari, pertanto a ₀ = 0, a _k = 0, ∀k ∈ N . Indicata con S 1 la serie di Fourier relativa a f si ha

(2k − 1) ³ sin(2k − 1)x,

La somma della serie si calcola sostituendo x = ^π ₂ nella somma S 1 : π ²

(−1) ^k+1 (2k − 1) ³ , da cui il risultato.

∂y (e ^x sin y) = ∂

∂x (e ^x cos y)

La forma inoltre ` e esatta, infatti la primitiva ` e data da e ^x sin y + c con c costante reale

e ^x sin ydx + e ^x cos ydy

( x( ^π ₄ ) = ( ^π ₄ ) ² , y( ^π ₄ ) = ( ^π ₄ ) ³

( x( ^π ₂ ) = ( ^π ₂ ) ² , y( ^π ₂ ) = ( ^π ₂ ) ³

= e ⁽

⁾

2 ) ³ − e ⁽

⁾

sin( π 4 ) ³ 4.3 Soluzione esercizio n.3

( f x = 2x + 2(x − x 0 ) = 0, f _y = 2y + 2(y − y ₀ ) = 0

⇐⇒ x = x ₀

2 y = y ₀

f x,x = 4, f _y,y = 4 f x,y = f y,x = 0

il punto ` e di minimo relativo comunque scelto (x 0 , y 0 ) ∈ R ² . Inoltre ` e di minimo assoluto perch´ e

2 ) = x ² ₀ 2 + y ₀ ²

x ² + (x − x ₀ ) ² − x ² ₀

2 = 2 x − 1 2 x ₀ 2

y ² + (y − y ₀ ) ² − y ₀ ²

2 = 2 y − 1 2 y ₀ 2