ESERCIZI SULLE SERIE DI FOURIER
1. Si sviluppi in serie di Fourier la funzione f (x) = | cos(x)|. Si dimostri la formula:
∞
X
k=1
(−1)k+1 4k2− 1 = π
4 −1 2.
2. Si sviluppi in serie di Fourier la funzione 2π periodica definita ponendo f (x) = x cos(x) per x ∈ (−π, π). Si dimostri la formula:
∞
X
k=1
(−1)k+12k + 1 k2+ k = 1.
3. Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione pari, 2π periodica, definita in [0, π] da:
f (x) =
1 0 ≤ x ≤ π2
−1 π2 < x ≤ π.
Si dimostri la formula:
∞
X
k=0
(−1)k 2k + 1 = π
4.
4. Si consideri la funzione f : R → R, periodica di periodo 2π, definita in (−π, π] da:
f (x) =
0 −π < x < 0 x + 3 0 ≤ x ≤ π.
Determinare la sua serie di Fourier.
5. Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione periodica di periodo T = 6, definita in [−3, 3] da f (x) = |x|. Si dimostrino le seguenti formule:
∞
X
k=1
1
(2k − 1)2 = π2 8 ,
∞
X
k=1
1
(2k − 1)4 = π4 96.
