Dinamica
Primo Principio (Principio di inerzia)
n
Se la sommatoria delle forze F
iagenti su un
corpo è nulla allora il corpo manterrà il proprio
stato di quiete o di moto rettilineo uniforme,
finché un’altra forza non agirà su di esso:
F
i= 0
i=1 n
∑
Secondo Principio
X Y F10 F1 F2 F3 F4 F6 F7 F9F
i= m * a
i=1 n∑
Terzo Principio (Principio di azione e reazione)
n
Per ogni forza che un corpo A esercita su di un
altro corpo B, ne esiste un'altra uguale in
modulo e direzione, ma opposta in verso,
causata dal corpo B che agisce sul corpo A.
Esercizio (traccia)
n Un oggetto di massa m = 50 kg è sostenuto da due
funi, una orizzontale (verso negativo delle X) e l’altra inclinata di un angolo α = 50° con la verticale.
n Determinare le due forze che sollecitano le funi
(tensioni) in condizione di equilibrio, supponendo nulle le loro masse
Esercizio (soluzione)
1. M = 50 kg, α = 50° • Τ1, Τ2 = ? T2 T1 Fg α x yEsercizio (soluzione)
1. M = 50 kg, α = 50° • Τ1, Τ2 = ? • Nella direzione X T2 *sen α – T1 = 0 • Nella direzione Y T2 *cos α – Fg = 0 T2 T1 Fg α xy Non c’è movimento applichiamo il primo principio della dinamica
Risolviamo il sistema con le 2 equazioni:
T2*sen α – T1 = 0 T2*cos α – Fg = 0
Esercizio (traccia)
n Una massa m1 = 100 g è appesa ad un filo di massa
trascurabile ed alla sua estremità inferiore è appesa, per mezzo di un secondo filo, anch’esso di massa trascurabile, una seconda massa m2 = 200 g.
n Determinare le forze T1 ed T2 che sollecitano i due fili
se le due masse sono ferme.
n Se il tratto di fune tra il soffitto e il primo blocco può
sopportare una tensione massima di 2.5 N, cosa succede alle masse?
Esercizio (soluzione)
m1 = 100 g = 0.1 kg m2 = 200 g = 0.2 kg • T1, T2 = ? X Y Fg1 T2 T1 m2 m1 -T1 -T2Esercizio (soluzione)
m1 = 0.100 kg, m2 = 0.200 kg • T1, T2 = ? X Y • Per m2 : T2 – Fg2 = T2 – m2 g = 0 Fg2 Fg1 T2 T1Applichiamo il primo principio della dinamica Avremo un’equazione per ogni massa
m2 m1 -T1 -T2 T2 = m2 g = 200 * 10-3 * 9.8 = 1.96 N • Per m1 : T1 – Fg1 - T2 = T1 – m1 g - m2 g = 0 T1 = m2 g + m1 g = 200 * 10-3 * 9.8 + 100 * 10-3 * 9.8 = 2.94 N T2 – m2 g = 0 T1 – m1 g - m2 g = 0 T1 > 2.5 N La fune si spezza!!!
Reazione vincolare
La reazione vincolare dovuta al piano di appoggio è definita come la forza, subita da un corpo, uguale ed opposta alla forza con cui il corpo preme perpendicolarmente sul piano di appoggio (principio di azione e reazione)
X Y
Fg N
In un piano orizzontale (se non abbiamo forze esterne con inclinazione diversa da zero):
Se non ci fosse reazione vincolare il blocco si muoverebbe verso il basso (ma il piano orizzontale non lo rende possibile, è un VINCOLO)
Forza di attrito
Forza di attrito statico: non c’è movimento
|Fa| = µs*|N|
µs: coefficiente di attrito statico. Numero adimensionale compreso fra 0 e 1
Forza di attrito dinamico: c’è movimento X Y Fg N Fa X Y Fg N Fa s |F a| = µd*|N|
µd: coefficiente di attrito dinamico. Numero adimensionale compreso fra 0 e 1
µd < µs
Esercizio (traccia)
n Un blocco di massa M = 10 kg (considerato
puntiforme) si trova su un piano orizzontale liscio (no attrito). Ad esso viene applicata una forza F di modulo 100 N che forma un angolo θ con il piano.
n Ricavare il modulo della reazione vincolare quando θ =
0°, θ = 45° e θ =90°
n Supponendo che θ = 0°, quanto spazio avrà percorso il
blocco dopo 4 secondi sotto l’azione delle forze?
n Se il vincolo non è liscio (coefficiente di attrito statico
µs = 0.7 coefficiente di attrito dinamico µd = 0.3) quale sarà lo spazio percorso?
Esercizio (soluzione)
1. M = 10 kg X Y Fg NEsercizio (soluzione)
X Y 1. M = 10 kg • N = ? Fg NCASO 1: FORZA ORIZZONTALE
possiamo studiare la dinamica lungo i due assi X e Y Lungo Y le forze si equilibrano e possiamo scrivere:
N – F = 0 N=M*g = 98 N
Per il secondo principio della dinamica:
F
i= m * a
i=1 n∑
Lungo X: F = M*a FEsercizio (soluzione)
X Y 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 45° • N = ? F θ Fg N Lungo X : F*senθ + N– Fg = F*senθ + N – M*g = ? Lungo Y : F*cosθ = M*aX FX FY Finchè: FY < M gCASO 2: APPLICHIAMO UNA FORZA CON ANGOLO θ = 45°
Non c’è movimento lungo Y
Esercizio (soluzione)
X Y 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 45° • N = ? F θ Fg N θ = 45°: FY = 100*sen(45°) = 70.71 N < 98 N N = 98 – 70.71 = 27.29 N Lungo Y : N– M*g + F*senθ = 0Esercizio (soluzione)
X Y 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 90° • N = ? F Fg N θ = 90°: FY = 100*sen(90°) = 100 N > 98 NLa forza è sufficiente a sollevare il peso e quindi non c’è più reazione vincolare
Esercizio (soluzione)
X Y
1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 0°, t = 4 s • spazio percorso = ?
Fg
Il moto avviene solo lungo l’asse X
F N Ricaviamo l’accelerazione: F*cosθ = M*a a = F*cosθ / M = 100*cos(0°)/10 = 10 m/s2 x = aX t2/2 = 10 * 42/2 = 80 m
Esercizio (soluzione)
X Y • N = ? F Fg N FaIn presenza di attrito c’è una forza in più da considerare (opposta al moto)!!!
Dato che il moto avverrà lungo X
consideriamo solo questa componente! bisogna verificare che la forza applicata
sia maggiore dell’attrito statico: FX= F*cosθ = 100 Newton
Per la forza di attrito statico vale la relazione:
Fa = µs*N = 0.7*98 = 68.8 Newton Reazione vincolare perpendicolare al piano 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 0°, t = 4 s, µs = 0.7
Esercizio (soluzione)
X Y F Fg N Fa Abbiamo quindi FX > Fala forza è sufficiente a vincere l’attrito!!! Avremo quindi la seconda legge
scritta come
F*cosθ – Fa = M*a
F*cosθ – µd*N = M*a a = (F*cosθ – µ
d*M*g)/ M =
(100*cos(0°) - 0.3 *10*9.8)/ 10 = 7.06 m/s2
22
n Per studiare il moto usiamo un
nuovo sistema di riferimento “solidale” al piano inclinato.
Gli assi di questo sistema saranno:
1. Perpendicolare al piano
inclinato (asse y)
2. Tangente al piano inclinato
(asse x)
n Si dimostra che i triangoli
rettangoli ACB e DEF sono simili;
n Infatti β = γ perché sono angoli formati
da rette parallele che intersecano la stessa retta.
n Quindi θ = α perché dati da:
θ = 180° - 90° - β α = 180° - 90° - γ
Il piano inclinato
P α RN X Y Px Py γ θ α A B C D E F βn Nel nuovo sistema di
riferimento il peso può essere scomposto come:
Px = P*sen(α) Py = P*cos(α)
Il piano inclinato
P α RN X Y Px PyEsercizio (traccia)
n Un punto materiale di massa M = 5 Kg scivola su un
piano inclinato senza attrito con angolo α = 30°.
n Ricavare l’accelerazione
n Supponendo che il blocco sia inizialmente fermo e che
arrivi alla fine del piano con velocità v = 20 m/s quanto tempo ha impiegato per raggiungere l’estremo?
Esercizio (soluzione)
1. M = 5 kg, α = 30° • a = ? P α RN X Y Py PXEsercizio (soluzione)
1. M = 5 kg, α = 30° • a = ?
• Studiamo le componenti!!
• Lungo Y:
RN – Py= RN – P*cosα = 0
• Lungo X: Px = P*senα = M*a
poiché le due forze si equilibrano!!!!
M*g*senα = M*a a = g*senα = 9.8*sen(30°) = 4.9 m/s2
La massa del blocco non ha alcuna importanza in questo problema… conta solo l’inclinazione!!!!!
n Applichiamo la seconda legge della dinamica:
F = m*a P α RN X Y Py PX
Esercizio (soluzione)
1. M = 5 kg, α = 30° , v = 20 m/s, v 0 = 0 • t = ?
• Vale la formula: v = v0 + a*t
Lungo il piano il moto è rettilineo uniformemente accelerato
t = v/a= 20/4.9 = 4.08 s P α RN X Y Py PX
Esercizio (traccia)
n Una cassa di legno di massa 5 kg, partendo da ferma
e dalla sommità, scivola lungo un piano inclinato (30°) di lunghezza L = 2 m.
n Determinare il coefficiente di attrito dinamico sapendo
Esercizio (soluzione)
1. L= 2 m, M = 5 kg, α = 30°, vf = 3 m/s • µd = ? P α Rn X Y Py Px FaEsercizio (soluzione)
1. L= 2 m, M = 5 kg, α = 30°, vf = 3 m/s • µd = ? • Asse Y: RN – Py= RN – P*cosα = 0 • Asse X: Px– Fa = P*senα - µd*RN = M*aM*g*senα - µd*M*g*cosα = M*a µd = (g*senα – a)/g*cosα
? P α Rn X Y Py Px
Fa • Consideriamo le forze agenti sugli assi:
Esercizio (soluzione)
1. L= 2 m, M = 5 kg, α = 30°, vf = 3 m/s • µd = ?
µd = (g*senα – a)/g*cosα
Moto unif. Accelerato:
vf2 = 2*L*a a = vf2 / 2*L = 2.25 m/sec2
µ = (g*senα – a)/g*cosα = (9.8*sen(30°) - 2.25)/9.8*Cos(30°) = 0.31 P α Rn X Y Py Px Fa
Esercizio (traccia)
n Un blocco di massa m = 2 kg si trova ai piedi di un
piano inclinato (angolo di inclinazione α = 30°) con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente µs = 0.5 e µd = 0.4. All’istante t = 0 viene applicata una forza di modulo F = 100 N orizzontale in modo da far salire il blocco.
n La forza è sufficiente a far salire il blocco? Se sì, con
Esercizio (soluzione)
1. α = 30°, vf = 4 m/s, µd = 0.4, µs = 0.5, m = 2 kg • a = ? P α Rn X Y Py Px Fa F αEsercizio (soluzione)
1. α = 30°, vf = 4 m/s, µd = 0.4, µs = 0.5, m = 2 kg • a = ? • Perpendicolare al piano : RN – Py – F*senα = RN – m*g*cosα – F*senα = 0 • Tangenziale al piano:F *cosα - Px= F*cosα – m*g*senα > µs*RN
RN = mg*cosα + F*senα = 66.97 N
Si deve verificare che
= 76.8 N = 33.485 N P α X Y Py Px Fa F α Rn
Esercizio (soluzione)
1. α = 30°, vf = 4 m/s, µd = 0.4, µs = 0.5, m = 2 kg • a = ? P α Rn X Y Py Px Fa F αF*cosα – m*g*senα - µd*RN = m*a
Esercizio (traccia)
n Un uomo di 60 kg è fermo in un ascensore che scende
con accelerazione di 5.2 m/s2 orientata verso il basso.
n Quanto vale la forza che subisce l’uomo dal
Esercizio (soluzione)
T y P 1. M = 60 kg, a = 5.2 m/s2 aEsercizio (soluzione)
T y P 1. M = 60 kg, a = 5.2 m/s2 aL’uomo nell’ascensore subisce una forza T dovuta al pavimento dell’ascensore stesso.
Per il secondo principio della dinamica:
T – P = - M*a
Quindi:
Esercizio (traccia)
n Un sasso di massa 2 kg è in rotazione, su una
circonferenza, attaccato ad una fune di lunghezza 150 cm con velocità costante di 4 m/s. Determinare la forza con cui il sasso è vincolato sulla circonferenza
Esercizio (soluzione)
m = 2 kg; L = 1.5 m; v = 4 m/s v R y x FcEsercizio (soluzione)
m = 2 kg; L = 1.5 m; v = 4 m/s v R y x FcF
c= m*a
c= m*v
2/R
m*v
2/R = 2*16/1.5 = 21.3 N
Momento delle forze
n
Il momento di una forza, o momento torcente è
definito come:
M = r ✕ F
|M| = |r |*|F|*senΘ
r = distanza tra il punto di applicazione della forza ed il punto di applicazione del momento
r
M Θ
Leve
n
Una leva è costituita da un’asta rigida che può
ruotare intorno ad un punto fisso chiamato
fulcro. Per una leva in equilibrio:
M
i= 0
i=1 n
∑
Esercizio (traccia)
n Un corpo viene posato su una bilancia a bracci
diseguali di lunghezze 10 cm e 5 cm. Avendo sospeso il corpo al braccio più piccolo ed essendo esso equilibrato da un peso di 18 N, quanto vale il peso del corpo?
Esercizio (soluzione)
L = 10 cm = 0.1 m l = 5 cm = 0.05 m P1 = 18 N P P1 l LEsercizio (soluzione)
L = 10 cm = 0.1 m l = 5 cm = 0.05 m P1 = 18 N P P1 l LM
i= 0
i=1 n∑
x M1 MFissando un asse z con verso positivo uscente: P*l – P1*L = 0
Esercizio (traccia)
n Un’asta omogenea incernierata ad un estremo viene
mantenuta in posizione orizzontale da una forza di 180 N agente sull’altro estremo perpendicolare all’asta ed orientata verso l’alto. Quanto vale la massa dell’asta?
Esercizio (soluzione)
F = 180 N
In fisica un’asta omogenea è un’asta con una massa non trascurabile e tutta concentrata (approssimazione) nel centro dell’asta.
P
F
Esercizio (traccia)
F = 180 N P F L/2 L/2M
i= 0
i=1 n∑
Fissando un asse z con verso positivo uscente: M – M1 = 0
F*L – P*L/2 =0 M
x M1
