Piano inclinato liscio e forza esterna
Figure 1:
Una massa m `e appoggiata su un cuneo di massa M avente la sezione di un triangolo rettangolo con uno dei cateti poggiati sul pavimento. La faccia inclinata forma un angolo alla base α. Non `e presente attrito n´e fra la massa ed il cuneo, n´e fra il blocco a forma di cuneo ed il pavimento. Il blocco `e spinto da una forza ~F parallela al suolo.
Si determini il valore di ~F che permette alla massa m di rimanere im- mobile sulla faccia inclinata del blocco.
Soluzione
Sulla massa m agiscono la forza peso e la reazione ~R del blocco, normale alla superficie di contatto in quanto non vi `e attrito.
Sul blocco, oltre alla forza peso ed alla reazione normale ~N del pavi- mento, agiscono la forza esterna ~F e la rezione della massa m che `e uguale ed opposta a quella esercitata dal blocco: ~Rm→M = − ~R.
Per cui:
(
m~a = m~g + ~R
M ~A = M~g + ~N + ~F − ~R (1) 1
Proiettando sugli assi cartesiani, si ha:
m¨x = R sin α m¨y = R cos α − mg M ¨X = F − R sin α 0 = N − M g − R cos α
(2)
dove, nell’ultima equazione, abbiamo gi`a esplicitato il vincolo dovuto al pavimento: ¨Y = 0.
Il sistema (2) `e composto da 4 equazioni ma contiene 6 incognite: x(t), y(t), X(t), la forza esterna ~F e le due reazioni vincolari ~R e ~N . Avendo gi`a stabilito che queste reazioni sono perpendicolari rispettivamente alla faccia inclinata del cuneo ed al pavimento, rimangono incognite solamente i due moduli. Analogamente la direzione ed il verso di ~F sono fissati.
Le due relazioni aggiuntive sono date dal vincolo, cio`e dal fatto che m deve muoversi lungo il piano inclinato, e dalla condizione iniziale (o, pi`u correttamente, condizione al contorno).
Se la massa m non scende rispetto al cuneo, allora:
¨
y = 0 La massa non scende lungo il piano inclinato
¨
x = ¨X ≡ a Massa e blocco traslano insieme Di conseguenza:
a = g tan α
F = (m + M )g tan α
2
