Piano inclinato ruvido e forza esterna

(1)

Piano inclinato ruvido e forza esterna

Figure 1:

Una massa m è appoggiata su un cuneo di massa M avente la sezione di un triangolo rettangolo con uno dei cateti poggiati sul pavimento. La faccia inclinata forma un angolo alla base α. Fra la massa ed il cuneo è presente un attrito statico µ_S, mentre non vi è attrito fra il blocco a forma di cuneo ed il pavimento. Il blocco è spinto da una forza ~F parallela al suolo.

Si determini i valori massimi e minimi di ~F per i quali la massa m non scivola, cio`e non scende n´e sale, lungo la faccia inclinata del blocco.

Soluzione

Sulla massa m agiscono la forza peso e la reazione del blocco. Tale reazione non è perpendicolare al piano, ma conviene comunque scomporla in una componente normale, che chiamiamo ~R, ed in una parallela al piano dovuta alla forza di attrito ~Fs. Anche se sono entrambi dovute al contatto blocco-massa, la loro origine fisica è diversa, per cui è ragionevole, oltre che utile, tenerle separate.

Sul blocco, oltre alla forza peso ed alla reazione normale ~N del pavimento, agiscono la forza esterna ~F e la rezione della massa m che `e uguale

1

(2)

ed opposta a quella esercitata dal blocco:

(

m~a = m~g + ~R + ~Fs

M ~A = M~g + ~N + ~F − ~R − ~Fs

(1)

Proiettando sugli assi cartesiani, si ha:











m¨x = R sin α + F_scos α m¨y = R cos α − mg − F_ssin α M ¨X = F − R sin α − Fscos α 0 = N − M g − R cos α + Fssin α

(2)

dove, nell’ultima equazione, abbiamo gi`a esplicitato il vincolo dovuto al pavimento: ¨Y = 0.

Il sistema (2) `e composto da 4 equazioni ma contiene 7 incognite: x(t), y(t), X(t), la forza esterna ~F , le due reazioni vincolari ~R e ~N e la forza di attrito ~Fs.

Le direzioni di tutte queste forze sono note, cos`ı come il verso delle prime tre, mentre non è noto il verso della forza di attrito. Tuttavia nei casi limiti richiesti dal problema, cioè forza minima ~Fmin e forza massima ~Fmax, sono noti sia il segno che il modulo di ~Fs: nel primo caso la forza di attrito è diretta verso l’alto, impedendo al corpo di scivolare, mentre nel secondo è diretta verso il basso, impedendo al corpo di salire. In entrambi i casi il suo modulo vale: Fs = µsR.

Le incognite sono quindi 6; le due relazioni aggiuntive sono date dal vincolo, cio`e dal fatto che m deve muoversi lungo il piano inclinato, e dalla condizione iniziale (o, pi`u correttamente, condizione al contorno).

Se la massa m non scende rispetto al cuneo, allora:

¨

y = 0 La massa non scende lungo il piano inclinato

¨

x = ¨X ≡ a Massa e blocco traslano insieme

Di conseguenza possiamo scrivere la soluzione per il valore massimo di

| ~F |:











ma = R sin α + µ_sR cos α 0 = R cos α − mg − µsR sin α M a = Fmax− R sin α − µ_sR cos α 0 = N − M g − R cos α + µ_sR sin α

(3)

Per trovare l’altro estremo Fmin sar`a sufficiente sostituire µs con −µs, che equivale a cambiare il verso di F_s.

Dalle prime due equazioni si possono ricavare R e a:

( R = _{cos α−µ}^mc

ssin α

a = ^{sin α+µ}_{cos α−µ}^s^{cos α}

ssin αg (4)

2

(3)

Il valore di F_max può essere ottenuto dalla terza equazione del sistema (3) o, più semplicemente, notando che a è anche l’accelerazione del sistema m + M . Allora la forza è:

F_max = (m + M )a = sin α + µ_scos α

cos α − µ_ssin α(m + M )g (5) Come gi`a evidenziato, il valore di Fmin si ottiene con la sostituzione µs →

−µ_s. Si verifichi che risolvendo il sistema (3) si ottiene la stessa soluzione.

Il problema si pu`o risolvere anche mettendosi nel sistema di riferimento solidale al blocco. In questo sistema la massa m `e ferma e su di essa agisce anche la forza apparente ~F_a= −m~a_tr, essendo ~a_tr = ~F /(m+M ) l’accelerazione con la quale si muove il blocco. Pertanto l’equazione da risolvere diventa:

m~g + ~R + ~Fs+ ~Fa = 0

Proiettando lungo gli assi paralleli e perpendicolari al piano, si ha:

mg sin α −_m+M^m F cos α + Fs= 0

R − mg cos α −_m+M^m F sin α = 0 (6) La condizione limite corrisponde, come nel caso precedente, alla relazione fra i moduli: F_s= µ_sR. Si pu`o ricavare R dalla seconda relazione:

R = mg cos α − m

m + MF sin α

Si noti che l’espressione di R `e diversa in questo sistema di riferimento non inerziale rispetto a quella trovata in precedenza. Sostituendo nella prima equazione, si ricava F . Si verifichi che il valore ottenuto `e lo stesso di eq.5.

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