RISOLUZIONE GUIDATA SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Marco Monaci
1Liceo Scientifico G. Marconi (2B)
Sistema di disequazioni proposto: Vogliamo risolvere il
seguente sistema di disequazioni: (2x5−2x4−3x3+3x2+4x−4
x2−2 > 0
(x−1)2 x2+4 > 0
(1) Per comodità possiamo suddividere l’analisi nelle due disequazioni, andando quindi a risolvere interamente la prima e solo successivamente passare alla seconda. Detto questo, iniziamo dalla prima disequazione.
1.1 Prima disequazione
La prima disequazione è la seguente: 2x5− 2x4− 3x3+ 3x2+ 4x − 4
x2− 2 > 0
Questa è una disequazione razionale fratta, quindi bisogna studiare separatamente sia il numeratore che il denominatore. Partiamo quindi dal NUMERATORE.
2x5− 2x4− 3x3+ 3x2+ 4x − 4 > 0
Il numeratore si presenta come una disequazione di quinto grado, tuttavia può essere scomposta con Ruffini. Applicando Ruffini si ottiene la scomposizione riportata in Figura 1.
Figura 1:Scomposizione di Ruffini del numeratore della prima disequazione.
Possiamo quindi fattorizzare il numeratore come: 2x4− 3x2+ 4 (x − 1) > 0
Quindi possiamo studiare separatamente i due termini. Partiamo dal primo termine:
2x4− 3x2+ 4 > 0
E’ un polinomio di quarto grado, ma possiamo imporre una variabile accessoria per abbassare il grado, ovvero t = x2. Facendo tale sostituzione otteniamo:
2t2− 3t + 4 > 0
Facciamone il delta per trovare le soluzioni:
∆ = b2− 4ac = 9 − 32 = −23 (2) Il delta è negativo, quindi tale equazione è sempre positiva (la concavità è rivolta verso l’alto) ovvero la dise-quazione 2x4− 3x2+ 4 > 0è sempre verificata. Passiamo
al secondo termine:
x − 1 > 0 x > 1
Così facendo il numeratore è sistemato. Passiamo al
DENOMINATORE. Abbiamo:
x2− 2 > 0 (3)
Le soluzioni dell’equazione associata sono x = ±√2. Siccome rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso l’alto, essa sarà positiva per valori esterni, ovvero:
x < −√2 ∨ x >√2
A questo punto possiamo vedere dove la nostra prima disequazione frattta è positiva, costruendo la retta dei reali e disegnandoci sopra le soluzioni ottenute. In Figura 2 possiamo vedere la risoluzione con la retta dei reali della prima disequazione.
Figura 2:Soluzione complessiva della prima disequazione.
In definitiva la prima disequazione è verificata per le zone positive, ovvero:
−√2 < x < 1 ∨ x >√2 (4)
1.2 Seconda disequazione
Passiamo ora allo studio del segno della seconda disequazione:
(x − 1)2 x2+ 4 > 0
Anche in questo caso partiamo dal numeratore. Qui con un po’ di occhio si vede che il numeratore è sempre
positivo eccetto per x = 1. Infatti è un unico binomio
elevato alla seconda, ma qualsiasi numero, eccetto 0, elevato al quadrato fornisce un numero positivo. In definitiva il numeratore è positivo per:
∀x ∈ R − {1} (5)
Anche il denominatore è piuttosto semplice. Infatti abbiamo:
x2+ 4 > 0
Che è chiaramente sempre positivo, in quanto somma di due numeri per forza positivi (x2è sempre positivo, e
anche 4 lo è!). In questo caso il denominatore è positivo per:
∀x ∈ R
In definitiva la seconda disequazione dà noia solo per x = 1, mentre da tutte le altre parti è positiva. Quindi la soluzione finale della seconda disequazione é:
Soluzione globale: La soluzione globale si ottiene
met-tendo assieme le due soluzioni delle due disequazio-ni che abbiamo studiato separatamente. Attenzio-ne a costruire la retta dei reali mettendo solo le zone dove le disequazioni sono verificate. NON bisogna mettere le parti negative, in quanto NON stiamo studiando un segno, ma stiamo controllan-do controllan-dove entrambe le disequazioni sono verificate contemporaneamente.
Abbiamo detto che la prima disequazione è verificata per:
−√2 < x < 1 ∨ x >√2 Mentre la seconda è verificata per:
∀x ∈ R − {1}
Mettendo tutto assieme sulla retta dei reali otteniamo qualcosa simile alla Figura 3. Dobbiamo considerare solo gli intervalli in cui entrambe le disequazioni sono verificate.
Figura 3:Soluzione globale del sistema considerato.
Abbiamo quindi in definitiva la seguente soluzione globale:
−√2 < x < 1 ∨ x >√2 (7) Per completezza riportiamo in Figura 4 il grafico re-lativo alla prima disequazione, mentre in Figura 5 è riportato il grafico relativo alla seconda disequazione.
Figura 4:Grafico della prima disequazione. La parte ombreggiata è la parte negativa che quindi non va considerata. Si vede molto bene che la funzione è positiva per valori compresi fra −√2e 1, mentre poi ritorna ad essere positiva per valori superiori a√2. Il grafico è rappresentato in rosso. I valori√2e −√2sono anche indicati dalle linee tratteggiate verticali.
Figura 5:Grafico della seconda disequazione. Si vede chiaramente che la funzione vive solo nella parte positiva del piano cartesiano, tranne che per il punto x = 1 in cui è pari a 0.
