Compito06092016.v2

Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2

Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU

... ... ... ... .... Prova scritta - 06/09/2016

Tempo a disposizione due ore e mezza. Problema 1

Due sfere di raggio R = 50 cm, disposte come in figura, sono cariche uniformemen-te con densit`a di carica eguale ed opposta ρ = 5.7 · 10−6 C/m3_{, ma si sovrappongono}

parzialmente in quanto i loro centri dista-no 2d = 40 cm. Quindi vi `e una zona di sovrappozione neutra.

Determinare a) il valore del dipolo elettrico equivalente del sistema, b) l’intensit`a del campo elettrico nella zona di sovrapposizione sull’asse delle x (−R + d ≤ x ≤ R − d); c) la differenza di potenziale tra gli estremi della zona di sovrapposizione; d) l’espressione del campo elettrico sull’asse delle x per R − d ≤ x ≤ R + d (la regione carica negativamente) e in particolare per x = 47 cm.

Problema 2 Nel circuito mostrato in figura (la resistenza R1

rap-presenta anche la resistenza interna del generatore) l’in-terruttore `e mantenuto chiuso a lungo. La differenza di potenziale ai capi delle due resistenze R1 ed R2

ri-sulta rispettivamente di V10 e V20. a) Determinare la

f.e.m del generatore e il valore di R1. Se viene aperto

l’interruttore la tensione ai capi di R2 si dimezza dopo

t = t1 (dall’apertura dell’interruttore) determinare b) il valore di C2; c) il valore della tensione

ai capi di C1, quando la tensione ai capi di R2 `e divenuta V22.

(Dati del problema V10 = 7 V , V20= 9 V , R2 = 150 Ω, t1 = 1 ms, C1 = 10 µF , V22 = 0.5 V .

Problema 3 Due fili indefiniti paralleli all’asse delle x e distanti 2a sono percorsi dalla stessa corrente I e nello stesso ver-so (come in figura). Determinare a) il valore campo magnetico (intensit`a,direzione e verso), lungo l’asse delle z, e in particolare nel punto a distanza (0, 0, 2a); b) determinare inoltre dove sull’asse delle z positivo il campo magnetico `e massimo e la sua intensit`a; c) il valore campo magnetico (intensit`a,direzione e verso), lungo l’asse delle y, tra i due fili e in particolare nel punto a distanza (0, a/2, 0)

Soluzioni: Problema 1

a)

La carica di ogni sfera `e:

Q = ±ρ4 3πR

3

= ±3 · 10−6 C Quindi il dipolo elettrico equivalente vale in modulo:

|p| = Q2d = 1.2 · 10−6 Cm ed `e diretto verso l’asse delle x (in direzione negativa). b)

Se indichiamo con 2s la dimensione della zona di sovrapposizione: 2s = 2R − 2d → s = R − d = 30 cm

Quindi il campo elettrico `e dato dalla sovrapposizione del valore della sfera di destra e di sinistra: Ex+= ρ(x + d) 3εo Ex− = − ρ(x − d) 3εo − s ≤ x ≤ s Ex = 2ρd 3εo = 8.6 · 104 V /m − s ≤ x ≤ s Cio`e il campo `e costante in tutta questa regione di spazio.

c)

Essendo il campo costante la differenza di potenziale `e pari a: DV = 2ρd

3εo

2s = 51.5 kV d)

Il campo per s ≤ x ≤ 2R − d vale (per sovrapposizione): Ex = Q 4πεo(x + d)2 − ρ(x − d) 3εo = ρ 3εo " 1 (x + d)2 − (x − d) R3 # s ≤ x ≤ R + d In particolare per x = 0.47 m: Ex= 1816 V /m

I punti rappresentano l’espressione del campo elettrico del dipolo elettrico equivalente all’esterno della regione negativa, quindi il valore approssimato del campo.

Problema 2 a)

Se l’interruttore `e chiuso per lungo tempo non scorre nessuna corrente nel ramo dei condensatori, quindi il generatore ha una f.e.m. pari a:

f = V10+ V20= 16 V

Inoltre la corrente che scorre in R1 `e la stessa di quella in R2 quindi per la legge di Ohm:

V10 R1 = V20 R2 R1 = R2 V10 V20 = 117 Ω b)

Quando si apre l’interruttore `e un semplice circuito RC con: Ce =

C1C2

C1+ C2

La costante di tempo vale:

τ1 = R2Ce = R2

C1C2

C1+ C2

Quindi la tensione al capi di R2 segue la legge:

V2(t) = V20e−t/τ1

In particolare:

V20

2 = V20e

Quindi: τ1 = t1 log 2 = 1.4 ms Ce = τ1/R2 = 9.6 µF quindi: C2 = CeC1 C1− Ce = 252 µF c)

La carica sulle armature dei condensatori rimane eguale cio`e: V2(t) = Q(t) C1 + Q(t) C2 Quindi: Q(t) = V2(t) C1C2 C1+ C2 VC1(t) = V2(t) C2 C1+ C2 VC1 = V22 C2 C1+ C2 = 0.48 V Problema 3 a)

Il campo generato a distanza r da un filo vale: |B| = µoI

2πr

Nel presente caso lungo l’asse delle z r =√a2_{+ z}2_{. Quindi la componente B}

y lungo l’asse delle

z (le componenti Bz lungo l’asse delle z si annullano vicendevolmente) vale:

By =

µoI

2πrsin θ dove (tenendo conto della regola della mano destra):

sin θ = −√ z a2_{+ z}2

Quindi in totale il campo vale:

Byt(z) = − µoIz π(a2_{+ z}2₎ Quindi se z = 2a: Byt(2a) = 2µoI 5πa = −3.2 · 10 −4 T b)

Mentre la derivata di Byt vale: ∂Byt ∂z = µoI π a2_{− z}2 (a2_{+ z}2₎2

che quindi si annulla (ed `e un massimo) quando: z = a Quindi: Byt(a) = µoI 2πa = −4 · 10 −4 T c)

Lungo l’asse delle y mentre al centro il campo `e nullo, negli altri punti `e diverso da zero e diretto secondo l’asse delle z:

Bz(0, y, 0) = µoI 2π 1 |y + a| − 1 |y − a| ! Quindi Bz(0, a/, 20) = −5.33 · 10−4 T