Funzioni di 2 variabili
1
Determinare l’insieme di definizione di ciascuna delle seguenti funzioni precisando se tali insiemi sono aperti, chiusi, limitati.
F (x, y) = √ 1 sin x cos y F (x, y) = arctanpsin xy F (x, y) = ln sin 1 x2+ y2 F (x, y) = ln sin xy F (x, y) = lnpx2+ y2 F (x, y) = p xy x2+ y2 F (x, y) = cos r x x2+ y2 F (x, y) = arcsinp4 − x2 2
Determinare il campo di definizione delle seguenti funzioni, precisando le sue propriet`a topologiche: f (x, y) = ln(x2− y − 1) f (x, y) = ln(x2+ 2y2) f (x, y) = s 9x2+ 4y2− 36 9 − x2− y2 f (x, y) = arcsinx − y x + y f (x, y) = (x2− y2) x2+ 4y2− 4 xy f (x, y) = ln 2 − |x| − |y| (1 − x2)(y2− 1) f (x, y) = x√x + y ln(x2− x − y) 1/y f (x, y) =hlnp2x2+ y2− 3 − 1+ arccos(x + y)i 3
Determinare le linee di livello delle seguenti funzioni, dopo averne studiato il campo di definizione: F (x, y) = ln(xy) F (x, y) = xy F (x, y) = e1/(y−x2) F (x, y) =pcos(x2+ y2) − 1 F (x, y) =psin(x2+ y2) − 1 F (x, y) = e1/xy F (x, y) = arctan 1 x2+ y2 4
Determinare le regioni in cui sono continue le seguenti funzioni:
f (x, y) = x2y2 x4+ y4 se x 2+ y2> 0 0 se x = y = 0 f (x, y) = x4y x6x2y2 x 2+ y26= 0 0 x = 0, y = 0 f (x, y) = y sin1 x+ x sin 1 y x 6= 0, y 6= 0 0 altrove f (x, y) = ( (x2+ y2) lnpx2+ y2 se x 6= 0, y 6= 0 0 x = 0, y = 0 f (x, y) = x2sin xy x2+ y2 se x 2+ y2> 0 0 x = y = 0 5 Calcolare se esistono: lim (x,y)→(1,1) arctan x + y 1 − xy (x,y)→(0,0)lim p x2+ y2 lim (x,y)→(0,0) s y2− x2 x2+ y2 (x,y)→(0,0)lim sin x2y xy lim (x,y)→(0,0) cos r x x2+ y2 x→0lim y→0 arcsinr x − y xy lim x→0 y→0 xy; lim x→0 y→1 x2(y − 1) (y − 1)2− x2 lim x→0 y→2 x2(y − 2) x4− (y − 2)2; x→0lim y→0 x2y x4+ y2
lim
(x,y)→(0,0)
x + y
ln(x2y2+ 1); (x,y)→∞lim ln(xy)
lim (x,y)→∞ e1/xy; lim (x,y)→∞ x + y x2+ y2 lim (x,y)→∞arctan 1 x2− y2; (x,y)→∞lim x x2+ y2 6 Calcolare, se esistono, lim (x,y)→(0,0) xy x2+ y2; (x,y)→∞lim (x 2− y2) lim (x,y)→(0,0) sin xy x2+ y2; (x,y)→(0,0)lim xy p x2+ y2+ xy lim (x,y)→(0,0)(x 2+ y2) lnp x2+ y2; lim x→0 y→0 x + (x + y)2 2x + y − (x + y)2 lim (x,y)→(0,0) x + (x + y)2 2x + y − (x + y)2; (x,y)→(0,0)lim y4 x2+ y2 lim (x,y)→(0,0) x2+ y2 x ; (x,y)→(0,0)lim sin(x2+ y2) x2+ y2 lim (x,y)→(0,0) arcsinx − y x + y; (x,y)→(0,0)lim y sin1 x lim
(x,y)→(0,0)x ln y; (x,y)→(0,ylim 0)
y06=0 y sin1 x lim (x,y)→(x0,0) x06=0 xy ln y; lim (x,y)→(0,0) x2y2 x2+ y2 7
Determinare, anche graficamente, le curve di livello delle seguenti funzioni f (x, y) = x + y f (x, y) = xy f (x, y) = ln(2x2+ y2) f (x, y) = x ln y f (x, y) = arcsinx − y x + y f (x, y) = xy ln y 8 Si consideri la funzione f (x, y) = x 2+ y2 xy ≤ 1 |x| + |y| + x2+ y2−p x2+ y2− 2 xy > 1
A4 Determinare l’insieme D in cui f `e continua.
B4 Determinare l’insieme E in cui f `e parzialmente derivabile.
C4 Calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 1) rispetto ad una direzione arbitraria
D3 Calcolare lim x→±∞f (x, x) 9 Si consideri la funzione f (x, y) = ln x − xy
F3 Disegnare, nel piano il campo di definizione di f
G3 Disegnare nel piano le curve di livello f (x, y) = k dei f corrispondenti ai valori k = −1, 0, 1
H3 Disegnare nel piano le curve di livello f (x, y) = k dei f corrispondenti a qualche valore
significativo di k
I4 Disegnare il grafico delle funzioni f (x, mx) al variare di m ∈ R, precisandone il significato
J3 Calcolare ∇f (x, y), precisando dove `e definito
K3 Disegnare, nel piano il campo di direzioni individuato da ∇f
10
Si consideri la funzione
f (x, y) = x2ln(|y|)
1 - Disegnare l’insieme D di definizione di f e studiare continuit`a e differenziabilit`a di f in D. 2 - Stabilire se esistono punti di R2\ D ove f pu`o essere prolungata per continuit`a.
3 - Dopo aver definito
f (0, 0) = 0
calcolare, se esistono, le derivate di f in (0, 0) lungo le direzioni P = (α, β) e verificare che, dette f0(0, P ) tali derivate, f0(0, ·) risulta lineare.
4 - Provare che f non `e differenziabile in (0, 0). 5 - Disegnare le curve di livello di f .
6 - Studiare il comportamento all’infinito di f . 11 Verificare che f (x, y) = ( xy x2+ y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
ha le derivate parziali ma non `e continua in (0, 0), f (x, y) =px2+ y2
`
e continua ma non ha le derivate parziali in (0, 0), f (x, y) =p|xy| `
e continua, ha le derivate parziali non `e differenziabile in (0, 0),
f (x, y) = (
x2y2cos 1
x2y2 se xy 6= 0
`
e differenziabile, ma non ha le derivate parziali continue in (0, 0)
f (x, y) = x3y − xy2 x2+ y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
non ha derivate seconde miste uguali in (0, 0),
f (x, y) = (
y2sin1
y se x 6= 0
0 se x = 0
ha derivate seconde miste uguali bench`e le derivate parziali prime non siano continue. 12
Calcolare il differenziale di
f (x, y, z) = x(yz) f (x, y) = ex2/2yln(x + y) .
Calcolare la derivata secondo, la direzione (a, b, c) di f (x, y, z) = x2+ y2+ z2+ xy . Si consideri la funzione f (x, y) = x4+ x2y e l’insieme D = {(x, y) ∈ R : x ∈ [0, 2], y ∈ [0, 1], y ≤ 2 − x} A2 Disegnare le curve di livello di f
B2 Determinare i punti di massimo eo minimo relativo di f
C2 Determinare massimi e minimi assoluti di f in D
D2 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy 13 Si consideri la funzione f (x, y) = e(x+2y) e l’insieme D = {(x, y) ∈ R : x ∈ [0, 2], 0 ≤ y ≤ |x − 1|} A3 Disegnare le curve di livello di f
B2 Trovare le derivate direzionali di f in (0, 0).
D3 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy 14 Si consideri la funzione f (x, y) = x2+ y A3 Disegnare i livelli di f
B4 Scrivere il piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1)
C4 Disegnare, al variare di x0 e di y0, il grafico di g(x) = f (x, y0) e di h(y) = f (x0, y)
D4 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy ove D = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 15 Si consideri la funzione f (x, y) = x2+ xy
A3 Disegnare le curve di livello di f
B3 Disegnare i grafici delle funzioni che si ottengono intersecando f con i piani coordinati
x = 0 ed y = 0
C3 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su [0, 1] × [0, 1]
D3 Calcolare
Z Z
C
f (x, y)dxdy essendo C il cerchio di centro l’origine e raggio 1. E3 Calcolare le derivate direzionali di f nel punto (1, 1)
16
Si consideri la funzione
f (x, y) = 3xy(x2+ y2)
A3 Determinare il campo di definizione di f , l’insieme in cui f `e continua e l’insieme in cui f
`
e derivabile e differenziabile.
B3 Calcolare, dove esiste, ∇f (x, y) e, se esiste, ∂Q∂f(1, 1) dove Q = ( √ 2 2 , √ 2 2 )
C3 Determinare, se esiste, l’equazione del piano tangente al grafico della funzione z = f (x, y)
D3 Calcolare
Z Z
[0,1]×[0,1]
f (x, y)dxdy
E3 Determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) su [0, 1] × [0, 1]
17
Si consideri la funzione
f (x, y) = x2+ y + y2
A3 Determinare il campo di definizione di f , l’insieme in cui f `e continua e l’insieme in cui f
`
e derivabile e differenziabile.
B3 Calcolare, dove esiste, dxd sin(f (x2, x) e, se esiste, ∂Q∂f(1, 1) dove Q = (1, 2)
C3 Disegnare le curve di livello di f
D3 Calcolare
Z Z
D
f (x, y)dxdy ove D = {(x, y) ∈ R2: x ≥ 0, y ≥ 0, x2+ y2≤ 1}
E3 Determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) su D
18
Si consideri la funzione
f (x, y) =x x ≥p|y|
y x <p|y|
A3 Calcolare, se esiste, ∇f (0, 0), precisando il procedimento seguito
B3 Calcolare le derivate direzionali f0((0, 0), (a, b)) nel punto (0, 0) rispetto alle direzioni (a, b) ∈
R2
C3 Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f in [−1, 1] × [−1, 1]
D3 Scrivere il piano tangente al grafico della funzione z = f (x, y) nel punto (−10, 0)
E3 Disegnare il grafico della funzione φ(x) = f (x, x2)
19
Si consideri la funzione
f (x, y) = y2+ x2− x6
F3 Disegnare le curve di livello di f
G3 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 0)
I3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1] J3 Calcolare R R Qf (x, y)dxdy 20 Si consideri la funzione f (x, y) = y2+ x2− x6
F3 Disegnare le curve di livello di f
G3 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 0)
H3 Determinare massimi e minimi relativi di f
I3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1]
J3 Calcolare R R Qf (x, y)dxdy 21 Si consideri la funzione f (x, y) = xy2+ x2
G3 Disegnare le curve di livello di f
H3 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 0)
I3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1]
J3 Calcolare R R Df (x, y)dxdy dove D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2+ y2≤ 4 } 22 Si consideri la funzione f (x, y) = 1 x + y e l’insieme D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 1 − x ≤ y ≤ 1}
G3 Disegnare il suo campo di definizione precisando dove f `e continua e derivabile.
H4 Calcolare
Z Z
D
f (x, y)dxdy
H4 Calcolare massimi e minimi assoluti di f in D.
I2 Disegnare le linee di livello di f
23
Si consideri la funzione
f (x, y) = xy+ 1
A3 Disegnare il campo di definizionedi f
B3 Disegnare il grafico delle funzioni f (x, y0) ed f (x0, y) al variare di x0 e di y0
C3 Disegnare le curve di livello di f
D3 Determinare massimi e minimi assoluti di f
E3 Calcolare, il gradiente di f
24
Si consideri la funzione
f (x, y) = ln x − xy
F3 Disegnare, nel piano il campo di definizione di f
G3 Disegnare nel piano le curve di livello f (x, y) = k dei f corrispondenti ai valori k = −1, 0, 1
H3 Disegnare nel piano le curve di livello f (x, y) = k dei f corrispondenti a qualche valore
significativo di k
I4 Disegnare il grafico delle funzioni f (x, mx) al variare di m ∈ R, precisandone il significato
J3 Calcolare ∇f (x, y), precisando dove `e definito
K3 Disegnare, nel piano il campo di direzioni individuato da ∇f
25 Si consideri la funzione f (x, y) = x2+ xy + y2 A3 Disegnare {(x, y) ∈ R2: f (x, y) = 0} B3 Disegnare {(x, y) ∈ R2: f (x, y) = 1} C3 Disegnare {(x, y) ∈ R2: f (x, y) = −1} D3 Calcolare ∇f (x, y)
E3 Determinare, se esistono, massimo e minimo assoluto di f su R2
26
Si consideri
f (x, y) = x2+ 2 y2
G3 Stabilire per quali valori dell’argomento f `e derivabile.
H3 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x0, y0) = (1, 1).
I3 Disegnare le curve di livello di f
J3 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3} 27 Si consideri f (x, y) = x2+ 2 y2
F3 Determinare il campo di definizione di f .
G3 Stabilire per quali valori dell’argomento f `e derivabile.
H3 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x0, y0) = (1, 1).
I3 Disegnare le curve di livello di f
J3 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3} 28 Si consideri f (x, y) = x2+ 3x + 2xy
F3 Determinare il campo di definizione di f e disegnarne le curve di livello.
G3 Stabilire per quali valori dell’argomento f `e derivabile parzialmente.
H3 Calcolare ∇f (x, y) I3 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy
J3 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3 , y ≤ x + 1}
Si consideri
f (x, y) = x + y + x2
E3 Determinare il campo di definizione di f .
F3 Disegnarne le curve di livello.
G3 Calcolare
∇f (x, y)
e determinare tutti i punti in cui il gradiente si annulla precisando se sono di massimo o di minimo relativo.
H3 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x2} I3 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy 30
Si consideri la funzione definita da
f (x, y) = sin(x) sin(y) (x, y) ∈ [−π, π] × [−π, π]
F3 Indicare nel piano (x, y) le zone in cui f `e positiva e quelle in cui f `e negativa.
G3 Disegnare la curva di livello di altezza 1/2
H3 Determinare massimi e minimi assoluti di f
I3 Stabilire per quali valori di α l’equazione f (x, y) = α ammette soluzioni
J3 Calcolare Z Z [−π,π]×[−π,π] f (x, y)dxdy 31 Si consideri la funzione f (x, y) = ex+ 2y2x
A3 Determinare l’insieme in cui f `e definita, `e derivabile, `e differenziabile e il rango di f
B3 Disegnare le curve di livello di f
C3 Calcolare g0(t) dove g(t) = f (x(t), y(t)) e x, y ∈ C1(R)
D3 Calcolare
Z Z
[1,2]×[2,3]
E3 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su [1, 2] × [2, 3]
32
Si consideri la funzione
f (x, y) = xy
F3 Determinare il campo di definizione di f
G3 Stabilire dove f `e differenziabile
H3 Calcolare ∇f (x, y) e f0((x, y), (a, b))
I3 Determinare massimi e minimi di f sul triangolo di vertici A = (0, 1), B = (1, 0), C = (0, 0)
J3 Determinare il piano tangente al grafico di z = f (x, y) in (1, 1)
33
Si consideri la funzione
f (x, y) =x
2 |y| ≥ x2
y |y| < x2
F3 Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f `e continua
G3 Disegnare i livelli di f
H3 Studiare la derivabilit`a parziale di f
I3 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1]
J3 Calcolare R R Qf (x, y)dxdy 34 Si consideri la funzione f (x, y) =x 2 |y| ≥ x2 y |y| < x2
F3 Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f `e continua
G3 Disegnare i livelli di f
H3 Studiare la derivabilit`a parziale di f
I3 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1]
J3 Calcolare R R Qf (x, y)dxdy 35 Si consideri la funzione f (x, y) = Z x 0 ye−t2dt
F3 Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f `e continua
G3 Disegnare i livelli di f
H3 Studiare la derivabilit`a parziale di f
I3 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1]
J3 Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).
36
Si consideri la funzione
f (x, y) = x4+ 2x2y + y2
F3 Disegnare le curve di livello di f
G3 Determinare massimi e minimi assoluti di f sull’insieme
D = {(x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x2} H3 Calcolare R R Df (x, y)dxdy 37 Si consideri la funzione f (x, y) = x2− y2
e l’insieme D = {(x, y) ∈ R2 : π/4 ≤ θ ≤ π/2 , x2+ y2 ≤ 1} dove (ρ, θ) sono le coordinate polari
associate alle coordinate cartesiane (x, y).
A3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su D.
B3 Disegnare gli insiemi di livello di f .
C3 Calcolare R RDf (x, y)dxdy
D3 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1)
Probabilit`
a e Statistica
38
A2 Sia X una variabile aleatoria avente densit`a f , di media 0 e varianza 1.
Determinare media e varianza della variabile aleatoria 3X + 7. B2 Si considerino nel piano (x, y) i punti
(0, 4) (1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 2)
Determinare la retta di regressione ed il coefficiente di correlazione tra le variabili x ed y C2 Determinare la probabilit`a di ottenere, in 100 lanci di una moneta (non truccata), un
numero di ‘teste‘ compreso tra 45 e 60. 39
A3 Si considerino nel piano (x, y) i punti
(0, 0) (1, 0) (1, 1) (2, 1) Determinare la retta di regressione tra le variabili x ed y B4 Sia f , la funzione rappresentata nel seguente grafico
Determinarne a in modo che f rappresenti la densit`a di una variabile aleatoria X e suc-cessivamente calcolarne media e varianza.
C3 Si consideri un dado sulle cui 6 facce sono segnati i punteggi 1, 1, 2, 2, 3, 3 (tutti con
eguale probabilit`a); determinare la probabilit`a che la somma dei punteggi ottenuti in 150 lanci sia compresa tra 280 e 310.
40
Un’urna contiene 3 dadi, uno Rosso, uno Bianco ed uno Nero; si estrae un dado e lo si lancia osservandone il punteggio ed il colore.
A Descrivere lo spazio dei campioni;
B Determinare la probabilit`a che il punteggio ottenuto sia 1 e sia ottenuto con il dado Bianco. C Determinare la probabilit`a che il punteggio ottenuto sia 1.
D Determinare la probabilit`a che il punteggio ottenuto sia 1 e non sia ottenuto con il dado Bianco.
E Determinare la funzione distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria che resti-tuisce il punteggio ottenuto e della variabile aleatoria che restiresti-tuisce la coppia di valori (punteggio,colore).
41
Due giocatori A e B lanciano a turno una moneta, cominciando da A. Il giocatore che lancia vince se esce Testa.
A Determinare la probabilit`a che A vinca al primo lancio. B Determinare la probabilit`a che A vinca al terzo lancio. C Determinare la probabilit`a che A vinca al quinto lancio. D Determinare la probabilit`a che A vinca al n−esimo lancio.
E Determinare la probabilit`a che A vinca (supponendo di effettuare infiniti lanci). 42
Si consideri un’urna contenente:
un dado a forma di tetraedro (4 facce), un dado a forma di esaedro (6 facce), un dado a forma di ottaedro (8 facce), un dado a forma di dodecaedro (12 facce), un dado a forma di icosaedro (20 facce).
Si estrae un dado e si lancia osservando il punteggio. A Determinare lo spazio dei campioni.
B Determinare la probabilit`a che il punteggio sia 1. C Determinare la probabilit`a che il punteggio sia 3. D Determinare la probabilit`a che il punteggio sia 10. E Determinare la probabilit`a che il punteggio sia 15.
F Determinare la probabilit`a che si sia estratto e lanciato il dado a forma di ottaedro sapendo che
`e uscito il punteggio 7 `e uscito il punteggio 10 `e uscito il punteggio 15 43
Determinare la funzione di distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria s che resti-tuisce il punteggio ottenuto lanciando due dadi, uno a forma di tetraedro ed uno a forma di esaedro (cubo).
Calcolare media, moda e varianza della variabile aleatoria s. 44
Si supponga di disporre di N monete
{M1, M2, ...Mi..., MN}
lanciando ciascuna delle quali si ha una probabilit`a di successo (uscita di Testa) {p1, p2, ...pi..., pN}
ed una probabilit`a di insuccesso (uscita di Croce)
{q1, q2, ...qi..., qN} , qi= 1 − pi
Si estrae una moneta, essendo l’estrazione di ciascuna equiprobabile, e la si lancia per n volte.
Calcolare la probabilit`a che si sia estratta la moneta Mˆi sapendo che su n lanci ci sono
stati k successi. 45
Si considerino due urne U1 ed U2 contenenti
U1 3 palline Bianche e 2 palline Nere
ed
U2 5 palline Bianche e 7 palline Nere
Si lancia una moneta e si estrae una pallina da U1 nel caso il lancio della moneta dia T
oppure da U2 nel caso il lancio della moneta dis C.
La probabilit`a di ottenere T sia p e quella di ottenere C sia q = 1 − p.
Determinare la probabilit`a che si sia estratta una pallina dall’urna U1 sapendo che `e stata
estratta una pallina Bianca 46
100 lanci di un dado a forma di tetraedro forniscono i seguenti risultati
1 2 3 4
20 25 24 31
Riportare su un istogramma i dati e calcolare media, moda e varianza.
Determinare la funzione di distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria che resti-tuisce il punteggio del dado e calcolare le frequenze attese su 100 lanci.
Stabilire, usando il test del χ2, se i dati ottenuti si adattano alle frequenze teoriche ottenute.
47
Si consideri una variabile aleatoria ξ la cui funzione di distribuzione di probabilit`a `e bernoulliana con parametri n = 100 (numero di prove effettuate), p = 1/3 (probabilit`a di successo), q = 1 − p = 2/3 (probabilit`a di insuccesso
Calcolare
48
Il diametro medio delle sferette prodotte da una macchina `e µ = 5 mm con una varianza σ2= 0.0025mm2.
Determinare quante sferette, su 100 prodotte, hanno un diametro compreso tra 4.95 mm e 5.05 mm.
49
Una macchina produce sferette; tra le sferette prodotte 1 su 10 risulta non conforme agli standard di qualit`a.
Determinare la propabilit`a che su 10 sferette ce ne siano 2 non conformi agli standard di qualit`a usando:
La distribuzione Binomiale (di Bernoulli), La distribuzione di Poisson (per eventi rari), La distribuzione di Normale (di Gauss). 50
Sia ξ una variabile aleatoria avente distribuzione gaussiana con media µ = 0 e varianza σ2= 1, (variabile normale, standardizzata).
Calcolare
P(−5 ≤ ξ ≤ 5) ; P(−4 ≤ ξ ≤ 4) ; P(−3 ≤ ξ ≤ 3) ; P(−2 ≤ ξ ≤ 2) ; P(−1 ≤ ξ ≤ 1)
51
Sia ξ una variabile aleatoria avente distribuzione gaussiana con media µ = 1 e varianza σ2= 2, (variabile normale, standardizzata).
Calcolare
P(−5 ≤ ξ ≤ 5) ; P(−4 ≤ ξ ≤ 4) ; P(−3 ≤ ξ ≤ 3) ; P(−2 ≤ ξ ≤ 2) ; P(−1 ≤ ξ ≤ 1)
P(−2 ≤ ξ ≤ 4) ; P(0 ≤ ξ ≤ 2) 52
Usando la funzione generatrice dei momenti, calcolare i momenti µ3 e µ4 di una variabile
aleatoria gaussiana standardizzata. 53 sia ϕ(x) = ae−kx x < 0 be−hx x ≥ 0
Determinare quali relazioni devono essere verificate da a, b, h, k affinch`e ϕ sia la funzione di distribuzione di probabilit`a di una variabile aleatoria.
54
Calcolare la probabilit`a che lanciando un dado a forma di tetraedro per 100 volte si ottenga il punteggio di 4 un numero di volte compreso tra 40 e 60.
(Si usi la distribuzione binomiale o la sua approssimazione con la distribuzione Gaussiana data dal teorema del limite centrale)
55
Determinare la retta di equazione y = ax + b che meglio approssima i seguenti dati:
[1, 3.231770570], [2, 8.201485027], [3, 9.758165839], [4, 11.48198882], [5, 15.79776321]
56
Determinare la retta di equazione y = ax + b che meglio approssima i seguenti dati:
[1, −.461084500], [2, 3.341098639], [3, 5.671447079], [4, 5.943624511], [5, 10.82728930]
57
Determinare la retta di equazione y = ax + b che meglio approssima i seguenti dati:
58
Determinare la retta di equazione y = ax + b che meglio approssima i seguenti dati: [1, 2.286864883], [2, 2.064214012], [3, 1.011615494], [4, .5280262240], [5, .6452964433]
59
Determinare la funzione di equazione y = aebx che meglio approssima i seguenti dati:
[.2000000000, 2.167419134], [.4000000000, 2.117562590], [.6000000000, 2.153698863], [.8000000000, 2.366609467], [1., 2.535726672]
60
![Ladi variabili aleatorie con distribuzione normale è una variabile aleatoria con distribuzione normale (senza ipotesi di indipendenza). ∼ (0,1) allora . [Quale altra variabile aleatoria ha la stessa proprietà?] 2.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)