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2. Studio del dominio e del segno delle funzioni
Si è soliti iniziare lo studio delle funzioni con il dominio. Si tratta di escludere quei valori della variabile indipendente per i quali la funzione non è calcolabile. Il numero di casi ai quali fare attenzione è in realtà abbastanza limitato, e cioè:
1.
nf x n( ), pari⇒f x( )≥0 2. ( ) ( ) g x f x ⇒f x( )≠0 3. loga f x( )⇒f x( )> 0 4.[
f x( ) ,]
α α∈ℝ⇒f x( )≥0;[
f x( )]
g x( )⇒f x( )>0 5. tan ( ) ( ) ; 2 f x ⇒f x ≠π+kπ k∈ ℤ 6. arcsin ( ), arccos ( )f x f x ⇒ − ≤1 f x( )≤ 1A seguire si procede con lo studio del segno, cioè con la ricerca dell’insieme di positività e di negatività.
Esempio 10 (polinomi ReF p312-313da114a120) Studiare dominio e segno della seguente funzione:
3
7
6
y
=
x
−
x
+
Studio del Dominio
La funzione è un polinomio di terzo grado. Poiché non è presente nessuno dei casi di esclusione elencati sopra il dominio è tutto l’insieme dei numeri reali
:
D ℝ Studio del Segno
Scomponiamo il polinomio in fattori. Com’è noto le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi, se esistono, sono da ricercare della forma:
divisori del termine noto divisori coefficiente grado max ±
abbiamo che i divisori del termine noto 6 sono 6, 3, 2,1 , mentre il coefficiente del termine di grado massimo è 1 . Sono quindi candidati ad essere radici razionali i numeri 6, 3, 2, 1± ± ± ± .
Verifichiamo x =3:
3
3
− × + =
7
3
6
12
non è dunque radice.Verifichiamo x = −3:
−
27
+
21
+ =
6
0
, è radice.Eseguiamo quindi la divisione del polinomio per x+3 oppure adoperiamo Ruffini:
3 3 2 2 2 2 7 0 6 3 3 0 0 3 2 7 0 3 6 3 9 0 0 2 6 2 6 0 0 x x x x x x x x x x x x x − + − − − + − − − − 7 1 0 6 3 3 9 6 1 3 2 0 − − − − − 1 2
−
+
+
11
Le altre due radici, 1 e 2 si trovano facilmente risolvendol’equazione x2−3x+ =2 0. Riscrivendo la funzione nella formaf x( )=(x+3)(x2−3x+2) eseguiamo il prodotto dei segni:
Nel piano cartesiano si procede quindi a cancellare le regioni dove la funzione non esiste.
Esempio 8 (radici ReF p308n48-49-50)
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
3
7
6
y
=
x
−
x
+
Studio del Dominio
La funzione è una radice di indice pari di polinomio di terzo grado. Questa è definita solo per valori positivi o nulli dell’argomento. Dobbiamo imporre quindi:
3
7
6
0
x
−
x
+ ≥
Avendo già studiato il segno di questo polinomio nell’esempio precedente possiamo concludere che:
: [ 3;1] [2; )
D − ∪ +∞
Nel piano cartesiano si procede quindi a cancellare le regioni dove la funzione non esiste.
Studio del Segno
Una radice di indice pari, laddove esiste, è sempre positiva o nulla. Possiamo quindi concludere che:
3
7
6
0
x
−
x
+
≥
∀ ∈
x
D
e quindi cancellare il semipiano negativo nelle regioni rimaste.
Esempio 9
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
2
4
y
=
−
x
Studio del Dominio
La funzione è una radice di indice pari di polinomio di secondo grado. 3 − 0 1 2 3 − 0 1 2 3 − 1 segno di segno di 2 3 2 3 x x x − + + 2 + + + +
−
−
+ + +−
+−
12
Dobbiamo imporre quindi:2
4
−
x
≥
0
che risolta fornisce :
: [ 2;2]
D −
Studio del Segno
Una radice di indice pari, laddove esiste, è sempre positiva o nulla. Possiamo quindi concludere che:
2
4
−
x
≥
0
∀ ∈
x
D
e quindi cancellare il semipiano negativo nelle regioni rimaste
Esempio 10
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
2
3
2
x
y
x
x
−
=
+
Studio del Dominio
La funzione è una radice di indice pari di una funzione razionale fratta. Questa è definita solo per valori positivi o nulli dell’argomento. In aggiunta dobbiamo escludere quei valori che rendono nullo il denominatore. Dobbiamo imporre quindi:
2 2
3
0
2
2
0
x
x
x
x
x
−
≥
+
+
≠
Studiamo il segno della prima quantità facendo il prodotto dei suoi fattori:
2 2 0 ( 2) 0 ( ; 2] [0; )
x + x ≥ ⇒x x+ ≥ ⇒ −∞ − ∪ +∞
3 0 3
x− > ⇒x>
possiamo concludere che D: ( 2; 0) [3;− ∪ +∞)
Studio del Segno
Una radice di indice pari, laddove esiste, è sempre positiva o nulla. Possiamo quindi concludere che: 2 − 2
−
+
−
2 − 0 2 2 − 0−
+
+
2 − 0 segno di segno di 2 3 2 x x x − + 3 + +−
+ + +−
+−
−
−
−
13
23
0
2
x
x
D
x
x
−
≥
∀ ∈
+
e quindi cancellare il semipiano negativo nelle regioni dove esiste. Notare che i punti isolati dove la funzione non è definita sono rappresentati da linee continue nel diagramma, a differenza dei punti dove cambia il segno, per i quali usiamo una linea tratteggiata
Domini di funzione Re Fraschini p. 17-23 segno p. 23-25
2
