Prof. Chirizzi Marco
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Teorema del valor medio e di Rolle
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso
[ ]
a,b e derivabile in tutti i punti interni ad esso. Si dimostra che esiste almeno un punto x , interno ad 0[ ]
a,b , tale che risulti:( ) ( ) f (x0) a b a f b f = ′ − − ( 5.1 )
Il significato geometrico di questa relazione è il seguente:
Se un arco di curva ammette tangente in ogni suo punto, esclusi al più gli estremi, esiste almeno un punto sull’arco nel quale la retta tangente risulta parallela alla corda che congiunge gli estremi dell’arco ( vedi figura in basso ).
Y
tangente in P P
arco di curva
O a x b 0 X
Se alle ipotesi fatte si aggiunge l’ulteriore ipotesi che la funzione considerata soddisfi alla seguente condizione: ) ( ) (a f b f = dalla ( 5.1 ) si ottiene: 0 ) ( 0 = ′ x f Possiamo ora enunciare il seguente:
Teorema di Rolle
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso
[ ]
a,b e derivabile nei punti interni a questo intervallo. Supponiamo che la funzione assuma valori eguali agli estremi dell’intervallo, cioè :) ( ) (a f b
f =
In base a queste ipotesi, esiste almeno un punto x , interno all’intervallo 0
[ ]
a,b , nel quale la derivata prima della funzione risulta nulla.Il significato geometrico di questo teorema è il seguente:
Se un arco di curva continua ammette tangente in ogni suo punto, esclusi al più gli estremi, ed ha uguali le ordinate degli estremi, esiste almeno un punto interno all’arco nel quale la retta tangente è parallela all’asse delle .x Dal teorema del valor medio scaturiscono i seguenti corollari:
Corollario 1.
Se la funzione f(x) ammette derivata prima nulla in tutti i punti dell’intervallo[ ]
a,b , allora essa è costante in tale intervallo.Infatti, preso un punto x interno all’intervallo
[ ]
a,b , e applicando il teorema del valor medio alla funzione f(x) nell’intervallo[ ]
a,x , si ha:) ( ) (a f x
f =
in quanto, per ipotesi, la funzione ha derivata nulla in un qualunque punto dell’intervallo
[ ]
a,b . Questo significa che la funzione f(x) assume il valore f(a) in tutti i punti di[ ]
a,b , cioè è una funzione costante.Corollario 2.
Due funzioni f(x) e g(x) derivabili ed aventi la stessa derivata in tutti i punti dell’intervallo[ ]
a,b , differiscono per una costante, cioè:C x g x
f( )− ( )=
Prima di enunciare il terzo corollario, è bene definire cos’è la monotonia di una funzioni. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo
[ ]
a,b . Diremo che f(x) è crescente in questo intervallo se, presi due punti x1, x2 di[ ]
a,b , con x1> x2, si verifica la seguente disuguaglianza:) ( )
(x1 f x2 f > La f(x) si dice invece decrescente se risulta:
. ), ( ) (x1 f x2 con x1 x2 f < >
La f(x) si dice non decrescente se risulta:
. ), ( ) (x1 f x2 con x1 x2 f ≤ >
La f(x) si dice non crescente se risulta:
. , ) ( ) (x1 f x2 con x1 x2 f ≥ >
Le funzioni crescenti, non crescenti, decrescenti e non decrescenti, prendono il nome di funzioni monotòne.
Corollario 3.
Se in un intervallo[ ]
a,b , la funzione f(x) ha derivata f′(x) sempre positiva, allora essa è crescente in[ ]
a,b ; se la derivata f′(x) è sempre negativa, la f(x) è decrescente in[ ]
a,b .Esercizi svolti
Funzioni crescenti o decrescenti
Applicando il corollario 3, risolviamo i seguenti esercizi:
1) Determinare per quali valori della x la funzione:
7 5 3 ) (x = x2− x− f
è crescente ovvero decrescente.
Si ha: . 6 5 0 5 6 , 5 6 ) ( = − − > ⇔ > ′ x x x x f
La derivata f′(x) è definita per ogni x reale.
La funzione f(x)=3x2−5x−7 è crescente nell’intervallo
+∞ , 6 5 , decrescente nell’intervallo ∞− 6 5 ,
2) Determinare per quali valori della x la funzione:
1 )
(x = x+ f
è crescente ovvero decrescente.
La funzione f(x) è definita nel seguente insieme di esistenza:
[
− +∞[
= 1, Z
La derivata risulta:
La derivata f′(x) è definita nell’intervallo
]
−1, +∞[
. 1 2 1 ) ( + ⋅ = ′ x x fLa disequazione: 0 1 2 1 > + ⋅ x
è soddisfatta per ogni x appartenete all’intervallo
]
−1,+∞[
, quindi la funzione f(x)= x+1 èivi crescente.
3) Determinare per quali valori della x la funzione:
3 3 7 7 ) ( 2 2 + − + − = x x x x x f
è crescente ovvero decrescente.
La funzione f(x) è definita nel seguente insieme di esistenza:
]
−∞ +∞[
= , Z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 3 ( ) 2 ( 4 ) 3 3 ( 8 4 ) 3 3 ( ) 3 2 ( ) 7 7 ( ) 3 3 ( ) 7 2 ( ) ( + − − ⋅ = + − − = = + − − ⋅ + − − + − ⋅ − = ′ x x x x x x x x x x x x x x x x x f La disequazione: 0 ) 3 3 ( ) 2 ( 4 2 2− + > − ⋅ x x x xè soddisfatta per ogni x appartenente agli intervalli
]
−∞,0[ ]
, 2, +∞[
, quindi la funzione )(x
f è ivi crescente, mentre risulta decrescente nell’intervallo
]
0,2[
.4) Determinare per quali valori della x la funzione:
) 2 3 ( log ) (x = x2+ x+ f
è crescente ovvero decrescente.
La funzione f(x) è definita nell’intervallo Z =
]
−∞,−2[ ]
∪ −1,+∞[
2 3 3 2 ) ( 2+ + + = ′ x x x x f La disequazione: 0 2 3 3 2 2 + + > + x x xè soddisfatta per ogni x appartenente all’intervallo
]
−1,+∞[
, quindi la funzione f(x)è crescente in questo intervallo, mentre risulta decrescente nell’intervallo]
−∞,−2[
.5) Determinare per quali valori della x la funzione:
1 )
(x =x− x2 − f
è crescente ovvero decrescente.
La funzione f(x) è definita nel seguente insieme di esistenza:
]
−∞ −[ ]
∪ +∞[
= , 1 1,
Z La derivata prima di f(x) risulta:
. 1 1 2 1 2 1 1 ) ( 2 2 2 − − − = ⋅ − ⋅ − = ′ x x x x x x f La disequazione: 0 1 1 2 2 > − − − x x x
è soddisfatta dall’unione delle soluzioni dei seguenti sistemi di equazioni:
− < ≥ ≥ − < 1 0 , 0 1 0 2 2 2 x x x x x
Notiamo che il secondo sistema non ammette soluzioni.
In definitiva, la disequazione è soddisfatta per ogni x appartenente all’intervallo:
