Programma Analisi Matematica 2 (a.a. 2014/15)
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano.
Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Curve semplici e chiuse, orientamento di una curva. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana. Curve di classe C1 e C1 a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Punto regolare di una curva. Curve regolari e regolari a tratti. Circonferenza, ellisse, spirale, cuspide, cicloide, astroide, cardioide, elica cilindrica.Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva. Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità. Ascissa curvilinea e proprietà delle curve parametrizzate
mediante ascissa curvilinea.Versore normale, curvatura, piano osculatore e circonferenza osculatrice per una curva in R3. Versore binormale e torsione per una curva in R3.
Equazioni di Frenet. Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R2.
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Proprietà elementari.
Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello e curve di livello.
Punti di accumulazione e punti isolati, limite per funzioni di due variabili. Unicità del limite, algebra dei limiti. Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle
coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
Funzioni continue, Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti connessi, connessi per archi, convessi e stellati.
Teorema dei valori intermedi (dim).
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale.
Derivata direzionale e significato geometrico. Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità. Proprietà di
continuità delle funzioni differenziabili (dim) e Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del gradiente. Primo Teorema di derivazione delle funzioni composte (dim).
Vettore gradiente e curve di livello. Teorema del differenziale (dim). Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim). Secondo Teorema di derivazione delle funzioni composte.
Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Derivate parziali seconde, Teorema di Schwartz e matrice hessiana.
Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite.
Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca di massimi e minimi relativi. Massimi e minimi assoluti in domini compatti.
Massimi e minimi vincolati. Funzioni implicite e Teorema del Dini in R2 (dim). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (dim) e problemi di ottimizzazione vincolata.
Superfici, sostegno di una superficie, coordinate cilindriche e sferiche. Superfici semplici.
Superfici regolari, versore normale e piano tangente. Superfici equivalenti.
Parametrizzazione di una superficie di rotazione.
Funzioni di tre o più' variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parziali, gradiente. Funzioni differenziabili e derivate direzionali. Formula di derivazione delle funzioni composte. Integrali dipendenti da un parametro. Teorema sulla continuità
dell’integrale (dim) e Teorema di derivabilità dell’integrale (regola di Leibniz di derivazione sotto segno di integrale). Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Condizione necessaria del I ordine e sufficiente del II ordine per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Teorema del Dini e Teorema sui moltiplicatori di Lagrange per funzioni di tre
variabili.
Integrale curvilineo per funzioni di n variabili. Definizione e proprieta' elementari.Calcolo di integrali curvilinei. Proprietà di simmetria dell’integrale. Baricentro di un corpo filiforme.
Proprietà distributiva del baricentro.
Integrale doppio: domini normali, definizione e proprietà elementari. Formule di riduzione.
Proprietà di simmetria nell'integrale doppio. Baricentro di un corpo piano.
Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale doppio.
Coordinate polari e polari ellittiche. Calcolo di aree e di volumi.
Integrale di superficie. Area di una superficie. Primo Teorema di Guldino sull'area di una superficie di rotazione (dim).
Integrale triplo: domini normali, definizione, proprietà elementari e formule di riduzione.
Baricentro di un corpo solido.Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale doppio.
Teorema di Guldino sul volume di un solido di rotazione.
Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva e proprietà elementari. Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim).Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim). Campi vettoriali irrotazionali, insiemi semplicemente connessi. Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi (Lemma di Poincarè). Metodi per determinare un potenziale di un campo campo conservativo. Teorema di Green (dim in un rettangolo). Applicazioni per il calcolo di aree.Teorema di Gauss della divergenza in R2. Flusso di un campo vettoriale, proprietà del flusso.Teorema di Gauss della divergenza in R3. Superfici regolari con bordo, bordo di una superficie e orientamento del bordo di una superficie.Teorema di Stokes.
Forme differenziali e campi vettoriali: forme differenziali esatte e chiuse, primitiva di una forma differenziale esatta. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Formule di Gauss-Green.
Equazioni differenziali ordinarie: soluzione di un'equazione differenziale, integrale generale e soluzione singolare. Problema di Cauchy.Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy. Interpretazione geometrica per equazioni del primo e del secondo ordine. Integrale generale di equazioni differenziali a variabili separabili (dim).
Integrale generale di equazioni differenziali lineari del I ordine (dim). Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali esatte.Equazioni differenziali lineari del II ordine
omogenee. Soluzioni linearmente indipendenti, determinante Wronskiano. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché' due funzioni risultino linearmente
indipendenti (dim). Teorema sull'integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee (dim). Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine complete. Soluzioni linearmente indipendenti per equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della "somiglianza" per la determinazione di una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del II ordine completa a coefficienti costanti. Equazione dell'oscillatore armonico semplice, smorzato e forzato, fenomeno della risonanza. Equazioni differenziali lineari di ordine n (cenno).
