DERIVATE

Prof. Chirizzi Marco

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Derivate delle funzioni di una variabile

Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti argomenti della matematica pura, come di ogni sua applicazione, ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. Sia y= f(x) una funzione definita in un intervallo

]

a, b

[

e denotiamo con x un punto interno a questo ₀ intervallo. Supponiamo di passare dal punto x ad un altro punto qualunque ₀ x₀ +h, dell’intervallo

]

a,b

[

, dove h prende il nome di incremento della variabile x . Si definisce incremento della funzione y= f(x) la differenza: f(x₀+h)− f(x₀)

e può assumere valore positivo, negativo o nullo. Il rapporto: h x f h x f( ₀ + )− ( ₀) ( 4.1 )

si chiama rapporto incrementale della funzione f(x), relativo al punto x e all’incremento h . ₀ Fissato il punto x , questo rapporto varia in funzione della variabile h , purché questa sia diversa ₀ da zero.

Definizione.

Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x il limite, se esiste ed è finito, ₀ del rapporto incrementale ( 4.1 ) al tendere di h a zero.

La derivata si indica in uno dei seguenti modi:

[

( )

]

₀ ), ( ), (x₀ y x₀ D f x_{0 x x} f′ ′ ₌

Riassumendo, la derivata della funzione f(x) è definita dalla relazione:

h x f h x f x f h ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 lim − + = ′ → ( 4.2 )

Se esiste il limite sinistro del rapporto incrementale, si dirà che la funzione ammette derivata sinistra nel punto x e si scriverà: ₀

h x f h x f x f h ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 lim − + = ′ − →

mentre, se esiste il limite destro del rapporto incrementale, allora si dirà che la funzione ammette derivata destra nel punto x e si scriverà: ₀

h x f h x f x f h ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 lim − + = ′ + →

Quando si dirà che la funzione f(x) è derivabile in un punto x , si intenderà che in questo punto ₀ esistono finiti sia la derivata sinistra che la derivata destra e che queste siano fra loro eguali.

Si dimostra il seguente teorema:

Teorema

Se una funzione f(x) è derivabile nel punto x , ivi è anche continua. ₀

Bisogna però sottolineare il fatto che in generale l’implicazione opposta del teorema non vale. Infatti esistono funzioni che sono continue in un punto x , ma ivi non derivabili. ₀

Esempi

1) Calcolare nel punto x₀ =4 la derivata della funzione:

2 ) (x x

f =

Bisogna calcolare il rapporto incrementale della funzione f(x)= x2 ed il limite di questo rapporto

per h→0. Possiamo allora scrivere:

) 8 ( 16 8 16 4 ) 4 ( ) ( ) ( _{0 0} 2 2 2 h h h h h h h x f h x f + = − + + = − + = − + 8 ) 8 ( ) ( ) ( ) ( _{lim lim} 0 0 0 0 = + = − + = ′ → → h h x f h x f x f h h

2) Calcolare nel punto x₀ =3 la derivata della funzione

x x f( )= Si ha: h h h x f h x f( ₀ ) ( ₀) 3+ − 3 = − +

(

) (

)

(

)

. 3 2 1 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 )

( _{lim lim lim}

0 0 0 ⋅ = + + = + + ⋅ + + ⋅ − + = − + = ′ → → → h h h h h h h x f h h h 3) La funzione: 3 ₃ ) (x = x− f

è continua nel punto 3 . Dimostrare che nello stesso punto non è derivabile.

; 1 0 3 3 ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( 3 2 3 3 0 0 h h h h h h f h f h x f h x f = = − − + = − + = − +

La derivata di f(x), calcolata nel punto 3 , risulta:

, 1 ) ( 3 2 0 lim =+∞ = ′ → _h x f h e ciò prova la nostra affermazione.

4) La funzione:

3 )

(x = x− f

è continua nel punto x₀ =3. Dimostrare che in tale punto la derivata della funzione non esiste. Si ha:       < − = − > = = = − − + = − + = − + 0 1 0 1 0 3 3 ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( _{0 0} h per h h h per h h h h h h h f h f h x f h x f

Le derivate sinistra e destra della funzione f(x) nel punto x₀ =0, sono rispettivamente:

. 1 , 1 _lim lim 0 0 = − = − + − _→ → h h h h h h

I due limiti esistono, sono finiti, ma non sono eguali, il che prova la nostra affermazione.

5) La funzione:

3 )

(x sen x

f =

è continua nel punto x₀ =0. Dimostrare che in tale punto la funzione non è derivabile.

Si ha: ; 0 ) ( ) ( _{0 0} 3 h h sen h x f h x f − = − +

La derivata della funzione f(x)=sen3 x, calcolata nel punto x₀ =0, risulta:

, 1 ) ( 3 2 3 3 0 3 3 3 0 3 0 lim lim lim = ⋅ = ⋅ =+ ∞ = ′ → → → h _h h sen h h h h sen h h sen x f h h h

( posto z=3 h, si ricordi che _lim 1 0 = → z z sen z ),

e ciò prova la nostra affermazione.

N.B.

D’ora in poi, denoteremo con x il punto in cui si vuole calcolare le derivate e sostituiremo la variabile h, finora adottata nella definizione di rapporto incrementale della funzione f(x), con la variabile ∆x.

6) Applicando la definizione di derivata, calcolare, nel punto x , la derivata della seguente funzione: 4 3 3 2 ) ( − − = x x x f Si ha: ; ] 4 ) ( 3 [ ) 4 3 ( ) 4 3 ( ] 4 ) ( 3 [ ] ) 4 3 3 ( ) 3 2 ( [ ) 4 3 ( ) 3 2 2 ( 4 3 3 2 4 ) ( 3 3 ) ( 2 ) ( ) ( − ∆ + ⋅ ⋅ − ⋅ ∆ ∆ = = − ⋅ − ∆ + ⋅ ⋅ ∆ − ∆ + ⋅ − − − ⋅ − ∆ + = = ∆ − − − − ∆ + − ∆ + = ∆ − ∆ + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f

La derivata della funzione f(x), nel punto x , risulta:

. ) 4 3 ( 1 ] 4 ) ( 3 [ ) 4 3 ( ) ( ) ( ) ( 2 0 0 lim lim − = − ∆ + ⋅ ⋅ − ⋅ ∆ ∆ = ∆ − ∆ + = ′ → ∆ → ∆ x x x x x x x x f x x f x f x x

7) Applicando la definizione di derivata, calcolare, nel punto x , la derivata della seguente funzione: 1 4 3 ) ( 2 ₋ − = x x x f Si ha:

; ] 1 ) ( [ 8 ) ( 4 3 3 ) 1 ( ] 1 ) ( [ ] 1 ) ( [ ) 4 3 ( ) 1 ( ] 4 ) ( 3 [ 1 4 3 1 ) ( 4 ) ( 3 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − ∆ + ⋅ ∆ ∆ + ∆ + ∆ − ∆ − = = − ⋅ − ∆ + − ∆ + ⋅ − − − ⋅ − ∆ + = = ∆ − − − − ∆ + − ∆ + = ∆ − ∆ + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f

La derivata della funzione f(x), nel punto x , risulta:

. ) 1 ( 8 3 3 ] 1 ) ( [ 8 ) ( 4 3 3 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 0 0 lim lim − + − − = = − ∆ + ⋅ ∆ ∆ + ∆ + ∆ − ∆ − = ∆ − ∆ + = ′ → ∆ → ∆ x x x x x x x x x x x x x x f x x f x f x x

8) Applicando la definizione di derivata, calcolare, nel punto x , la derivata della funzione:

x sen x x f( )= Si ha: ; cos cos cos ) 1 cos ( ) cos cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x sen x x sen x x x sen x x x x sen x x x sen x x x sen x x x sen x x x x sen x x x sen x x x x f x x f ⋅ ∆ + ⋅ + ∆ ⋅ ∆ ⋅ + ∆ − ∆ ⋅ ⋅ = = ∆ ⋅ − ⋅ ∆ + ∆ ⋅ ⋅ ∆ + = = ∆ ⋅ − ∆ + ⋅ ∆ + = ∆ − ∆ +

La derivata della funzione f(x)=xsenx, calcolata nel punto x , risulta:

. cos 0 cos cos cos ) 1 cos ( ) ( ) ( ) ( lim lim lim lim 0 0 0 0 x sen x x x x sen x x sen x x x sen x x x x sen x x x f x x f x f x x x x + ⋅ + = ⋅ ∆ + ⋅ + + ∆ ⋅ ∆ ⋅ + ∆ − ∆ ⋅ ⋅ = ∆ − ∆ + = ′ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆

4.2 Derivate di alcune funzioni elementari

In questo paragrafo illustreremo le derivate di alcune funzioni elementari, omettendo i relativi sviluppi matematici che conducono ad esse, in quanto identici a quelli effettuati nello svolgimento degli esercizi precedenti. Premesso ciò, iniziamo con la funzione sen : x

1) La derivata della funzione f(x)=senx è uguale a cos , purché l’angolo sia misurato in x radianti, cioè:

x senx

D =cos

2) La derivata della funzione f(x)= cos è uguale a senxx − , cioè: senx

x Dcos =−

3) La derivata della variabile indipendente x è uguale ad uno, cioè: 1

=

x D

4) La derivata della funzione costante f(x)=C è nulla, cioè: 0

=

C D

5) La derivata della funzione f(x)=log_a x risulta:

e x

x

Dlog_a = 1⋅log_a

dove e indica il numero di Neper. Se la base a del logaritmo coincide con il numero e di Neper, si ha:

x x Dlog = 1

4.3 Teoremi sulle derivate

)

10

Derivata della somma di più funzioni derivabili

Sia : ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) (x f x g x h x m x F = + + + +

La derivata della somma ( algebrica ) di più funzione derivabili, esiste ed è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni, cioè:

) ( ... ) ( ) ( ) ( ) (x f x g x h x m x F′ = ′ + ′ + ′ + + ′ )

20

Derivata del prodotto di più funzioni derivabili

Sia: ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) (x f x g x h x m x F = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La derivata del prodotto di più funzioni derivabili, esiste ed è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando la derivata di ogni fattore per tutti i fattori rimanenti, cioè:

[

]

) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( x m x h x g x f x m x h x g x f x m x h x g x f x m x h x g x f x m x h x g x f D x F ′ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ′ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ′ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ′ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ′ )

30

Derivata della funzioni potenza

Sia:

[

]

n x f x F( )= ( ) con n numero intero positivo maggiore di uno.

La derivata dell’ennesima potenza di una funzione f(x) è uguale al prodotto di n

[

f(x)

]

n−1 per la derivata della funzione, cioè:

[

( )

]

( )

)

(x n f x 1 f x

F′ = n− ⋅ ′ Da questo teorema consegue il seguente caso particolare: la derivata della funzione f(x)= xn risulta:

1 ) ( = ⋅ − ′ n x n x f )

30

Derivata del rapporto di funzioni

Sia: ) ( ) ( ) ( x g x f x F =

e supponiamo che f(x)e g(x) siano derivabili nel punto .x La derivata del quoziente di due funzioni derivabili esiste ed è uguale al denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il quadrato del denominatore.

[

]

2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x g x f x g x f x F′ = ′ ⋅ − ⋅ ′

Da questo teorema conseguono le seguenti derivate: Sia: x x sen x tg x f cos ) ( = = La derivata è:

. cos 1 1 2 2 x x tg tgx D = + = Sia: x sen x x tg x ctg x f( )= = 1 = cos La derivata è: x sen x ctg x ctg D x f 2 2 1 ) 1 ( ) ( = =− + =− ′ .

Osservazione

Non sempre sono vere le implicazioni inverse dei teoremi sulla derivata della somma, della differenza, del prodotto e quoziente. In altre parole, può capitare che in un punto x esista la derivata della somma di più funzioni, ma non le derivate delle singole funzioni, calcolate nello stesso punto. Per esempio, le funzioni:

3 3 _{, ( )}

)

(x tg x g x sen x

f = =

non sono derivabili nel punto x=0, ma risulta derivabile, nello stesso punto, la funzione: ) ( ) ( ) (x g x f x F = −

Invitiamo il lettore a dimostrare questa affermazione.

4.4 Derivate delle funzioni composte

Sia :

[

( )

]

)

(x f x

F = φ

una funzione composta. Si dimostra il seguente teorema:

Teorema

Se f(z) e φ(x)sono due funzioni derivabili, allora lo è anche la funzione composta

[

( )

]

) (x f x F = φ , e la sua derivata è:

[

( )

]

( ) ) (x f x x F′ = ′φ ⋅φ′

Questo teorema si estende al caso in cui le funzioni intermedie sono più di una.

La derivata logaritmica di una funzione f(x) è la derivata del logaritmo, in base e , di questa funzione. In formula, si ha:

[

]

( ). ) ( 1 ) ( log f x x f x f D = ⋅ ′

Dalla formula inversa di questa relazione si ottiene:

[

log ( )

]

) ( ) (x f x D f x f′ = ⋅

cioè, la derivata di una funzione f(x) la si può ottenere moltiplicando tale funzione per la derivata del logaritmo della funzione stessa.

Facciamo qualche esempio:

1) La derivata della funzione f(x)=ax ( con a>0), risulta:

[

a

]

a D

[

x a

]

a a

D a x

f′( )= x⋅ log x = x⋅ ⋅log = x⋅log

2) Se a=e, abbiamo:

x e x f( )=

[

log

]

[

log

]

log .

)

(x ex D ex ex D x e ex e ex

f′ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

Tenendo conto di questo risultato e della regola di derivazione delle funzioni composte, in generale si ha: ) ( ) ( ) ( x f e e D f x = f x ⋅ ′ 3) La derivata della funzione:

n x x f( )= con n numero reale qualsiasi, risulta:

[

log

]

[

log

]

1 . ) ( = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ −1 ′ n n n n _{n x}n x n x x n D x x D x x f

Come caso particolare, consideriamo la funzione:

4) f(x)=n x che può essere scritta anche nel seguente modo:

n x x f 1 ) ( =

. 1 1 1 1 1 log 1 log ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 n n x n x n x n x n x x n D x x D x x f n n n n n n n − − − ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ =     ⋅ ⋅ =     ⋅ = ′ −

5) In base alla derivata logaritmica, si dimostra facilmente che la funzione:

[

]

( ) ) ( ) (x h x g x f =

ammette la seguente derivata:

[

]

. ) ( ) ( ) ( ) ( log ) ( ) ( ) ( ( ) _      _{′ ⋅ +} ⋅ ′ ⋅ = ′ x h x h x g x h x g x h x f g x

4.6 Derivazione delle funzioni inverse

Sia y= f(x) una funzione derivabile, con derivata diversa da zero, in tutti i punti di un intervallo ivi invertibile. Sia x=φ( y) la funzione inversa di f(x). Si dimostra il seguente teorema:

Teorema

La derivata della funzione inversa φ( y) di f(x), nel punto y₀ = f(x₀), è uguale al reciproco della derivata f′(x), cioè:

) ( 1 ) ( 0 0 x f y ′ = ′ φ

Per fare un esempio di applicazione di questo teorema, calcoliamo la derivata della seguente funzione:

arcsenx y=

la quale è l’inversa della funzione x=seny. Utilizzando la formula scritta sopra, si ha:

, cos 1 1 y y sen D x arcsen D = = ma cosy =± 1−sen2y =± 1−x2 .

Se consideriamo la variabile y nell’intervallo 

    − 2 , 2 π π

, per l’invertibilità della funzione f(x),

2 1 1 x x arcsen D − =

Utilizzando la stessa regola di derivazione, si ottengono altre derivate delle funzioni inverse delle funzioni goniometriche, di cui ci limitiamo a riportare i risultati:

y ctg x di inversa l è x arcctg y dove x x arcctg D y tg x di inversa l è x arctg y dove x x arctg D y x di inversa l è x y dove x x D = = + − = = = + = = = − − = ' , 1 1 ' , 1 1 cos ' arccos , 1 1 arccos 2 2 2

4.7 Derivate di ordine superiore

Sia y= f(x) una funzione definita in un intervallo

[

a,b

]

, ivi derivabile. Si chiama derivata seconda di f(x), e la si indica con f ′′(x), oppure con D2f(x), la derivata della derivata di f(x). Analogamente si definisce derivata terza di f(x), e la si indica con f ′′′(x), oppure con

) (

3_{f x}

D , la derivata della derivata seconda di f(x). Proseguendo allo stesso modo, si definisce la derivata d’ordine n, con n numero intero positivo qualsiasi.

Esercizi svolti

Derivate delle funzioni di una variabile

Ricordando le seguenti formule di derivazione:

, ) ( ) ( , 1 , 1 1 x f k x f k D x n x D x n x D n n n n n _{⋅ = ⋅ ′} ⋅ = ⋅ = − −

applicando il teorema di derivazione di una somma:

[

f(x) g(x)

]

D f(x) Dg(x)

D + = +

1) Data la funzione: 3 2 4 ) (x =x5− x3+ x− f calcolare la derivata f′(x). Si ha: 2 12 5 ) ( = 4− 2+ ′ x x x f 2) Data la funzione: c bx ax x f( )= 2+ + calcolare la derivata f′(x). Si ha: b ax x f′( )=2 + 3) Data la funzione: x x x f 8 1 ) ( = − calcolare la derivata f′(x). Si ha: 8 1 2 1 ) ( = − ′ x x f 4) Data la funzione: 4 3 ₄ 3 2 ) (x x x x f = + + calcolare la derivata f′(x). Si ha: 4 3 3 2 4 4 3 3 2 2 ) ( x x x x f′ = + + 5) Data la funzione:

4 3 7 1 2 3 4 7 2 ) (x x x x f = − − + calcolare la derivata f′(x). Si ha: . 3 1 3 3 3 4 1 4 7 1 7 2 3 2 ) ( 4 7 8 1 1 4 1 7 8 2 1 1 4 3 7 1 2 3 x x x x x x x x x x f′ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ = + − + − = + + −

Ricordando anche la regola di derivazione del quoziente di due funzioni:

[

]

2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x g x f x g x f x g x f D = ′ ⋅ − ⋅ ′

risolviamo i seguenti esercizi:

6) Data la funzione: 1 1 ) ( − + = x x x f calcolare la derivata f′(x). Si ha: . ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 2 2 =− ₋ − + − − = ′ x x x x x f 7) Data la funzione: 1 1 ) ( 3 2 + − + = x x x x f calcolare la derivata f′(x). Si ha: 2 3 2 3 4 2 3 2 2 3 ) 1 ( 1 2 3 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( + + + + − − = + ⋅ − + − + ⋅ + = ′ x x x x x x x x x x x x f . 8) Data la funzione: 5 5 3 2 ) ( 2_{− +} + = x x x x f calcolare la derivata f′(x). Si ha:

2 2 2 2 2 2 ) 5 5 ( 25 6 2 ) 5 5 ( ) 5 2 ( ) 3 2 ( ) 5 5 ( 2 ) ( + − + − − = + − − ⋅ + − + − = ′ x x x x x x x x x x x f 9) Data la funzione: x x x f 1 1 2 2 ) ( − − = calcolare la derivata f′(x). Si ha: x x x x x x x x x f ⋅ − = ⋅ − + − = − − = ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 2 2 1 1 2 2 ) (

[

]

2 ) 1 2 ( 1 2 2 ) ( x x x x x f ⋅ − + − − = ′

Ricordando anche la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:

[

f(x) g(x)

]

f (x) g(x) f(x) g (x) , D

[

f(x)

]

n

[

f(x)

]

1 f (x),

D ⋅ = ′ ⋅ + ⋅ ′ n= ⋅ n− ⋅ ′