Corso di Laurea in Informatica - 15 giugno 2010 - Tema I Complementi di Matematica (mod.Analisi) Esercizi della seconda prova di esonero: 3-a), 4)
1) Risolvere il problema di Cauchy
( y0 = −3x2y2 y(0) = 1
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e specificare qual’`e il pu`u grande intervallo su cui la soluzione `e definita.
2) Risolvere il problema di Cauchy
y00− 2y0+ 4y = 0 y(0) = 0 y0(0) =√ 3
3-a) Determinare i punti stazionari e gli estremi della seguente funzione f (x, y) = x4+ y4− 4x3+ 4xy2+ 5
3-b) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (1, 1, f (1, 1));
3-c) calcolare le derivate direzionali nel punto (1, 1) nella direzione della retta y + x + 2 = 0.
4) Siano A e B le seguenti regioni del piano A =©
(x, y) ∈ R2| x2+ y2 ≤ 4ª
, B =©
(x, y) ∈ R2| x ≥ yª . Disegnare A, B e A ∩ B , e calcolare i seguenti integrali
a) Z
A
x cos(e√
x2+y2) dx dy, b) Z
A∩B
e√
x2+y2 dx dy
Corso di Laurea in Informatica - 15 giugno 2010 - Tema II Complementi di Matematica (mod.Analisi) Esercizi della seconda prova di esonero: 3-a), 4)
1) Risolvere il problema di Cauchy
( y0 = −4x3y2 y(0) = 1
16
e specificare qual’`e il pu`u grande intervallo su cui la soluzione `e definita.
2) Risolvere il problema di Cauchy
y00+ 2y0 + 3y = 0 y(0) = 0 y0(0) =√ 2
3-a) Determinare i punti stazionari e gli estremi della seguente funzione f (x, y) = 4y3− 4x2y − 7 − y4− x4
3-b) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (1, 1, f (1, 1));
3-c) calcolare le derivate direzionali nel punto (1, 1) nella direzione della retta y − x + 2 = 0.
4) Siano A e B le seguenti regioni del piano A =©
(x, y) ∈ R2| x2+ y2 ≤ 16ª
, B =©
(x, y) ∈ R2| x ≥ −yª . Disegnare A, B e A ∩ B , e calcolare i seguenti integrali
a) Z
A
y sin(e√
x2+y2) dx dy, b) Z
A∩B
e√
x2+y2 dx dy
2
