Esercizi sul calcolo delle derivate e sulla de nizione di derivata
Esercizio 1. Calcola la derivata prima delle seguenti funzioni:
1. f(x) = x 4 − 5x 3 − 1 [f 0 (x) = 4x 3 − 15x 2 ]
2. f(x) = 3x − 2 cos(x) [f 0 (x) = 2 sin(x) + 3]
3. f(x) = 1 4 x 8 − 1
3 x 6 − 1 [f 0 (x) = 2x 7 − 2x 5 ]
4. f(x) = xe x [f 0 (x) = e x (x + 1)]
5. f(x) = 6
x − 1 [f 0 (x) = − 6
x 2 ] 6. f(x) = 1
e x − 1 [f 0 (x) = − e x
(e x − 1) 2 ] 7. f(x) = x
x − 2 [f 0 (x) = − 2
(x − 2) 2 ] 8. f(x) = x 3
x 2 + 1 [f 0 (x) = x 2 (x 2 + 3)
(x 2 + 1) 2 ] 9. f(x) = e x
e x + 1 [f 0 (x) = e x
(e x + 1) 2 ] 10. f(x) = log(x)
log(x) + 1 [f 0 (x) = 1
x(log(x) + 1) 2 ] 11. f(x) = sin(x)
cos(x) + 1 [f 0 (x) = − 1
1 + cos(x) ] 12. f(x) = 1
x 2 + 1 [f 0 (x) − 2x
(x 2 + 1) 2 ] 13. f(x) = x
x 2 + 1 [f 0 (x) = 1 − x 2
(x 2 + 1) 2 ] 14. f(x) = x 2 + 1
x 2 − 1 [f 0 (x) = 4x
(x 2 − 1) 2 ]
15. f(x) = (x 2 − 1) 3 [f 0 (x) = 6x(x 2 − 1) 2 ]
16. f(x) =
r x
x + 1 [f 0 (x) = r x + 1
x · 1
2(x + 1) 2 ]
17. f(x) = 3e −2x+1 [f 0 (x) = −6e 1−2x ]
18. f(x) = 3x 2 e −x [f 0 (x) = 3xe −x (2 − x)]
19. f(x) = x log 2 (x) [f 0 (x) = log 2 (x) + 2 log(x)]
20. f(x) = p
1 − x 2 [f 0 (x) = − x
√ 1 − x 2 ] 21. f(x) = 2x √
x + x 2 [f 0 (x) = 2x + 3 √
x]
22. f(x) = log(1 + x 2 ) [f 0 (x) = 2x
1 + x 2 ]
23. f(x) = log(e x + 1) [f 0 (x) = e x
e x + 1 ]
24. f(x) = log(sin(x)) [f 0 (x) = cos(x)
sin(x) ]
1
25. f(x) = sin(cos(x)) [f 0 (x) = − sin(x) cos(cos(x))]
26. f(x) = cos p x 2 + 1
[f 0 (x) = − x sin √ x 2 + 1
√
x 2 + 1 ] 27. f(x) = q √
x + 1 [f 0 (x) = 1
4 p√
x + 1 · √ x ] 28. f(x) = tan(x)
1 + tan(x) [f 0 (x) = 1
cos 2 (x) · (1 + tan(x)) 2 ] 29. f(x) = log x 2 − 2x
x + 1
[f 0 (x) = x 2 + 2x − 2 x(x + 1)(x − 2) ] 30. f(x) = x 3 (x − 1) 4
(x + 2) 2 [f 0 (x) = x 2 (x − 1) 3 (5x 2 + 13x − 6)
(x + 2) 3 ]
Suggerimento: studiare le lezioni 18 e 19.
Esercizio 2. Dai la de nizione di rapporto incrementale e spiega la sua interpretazione geometrica.
Esercizio 3. Dai la de nizione di derivata di una funzione in un suo punto e spiega la sua interpretazione geometrica.
Esercizi su punti di non derivabilità
Esercizio 4. De nisci i 3 punti di non derivabilità di una funzione e fornisci un esempio per ciascuno di essi.
Esercizio 5. Dopo aver calcolato la derivata prima delle seguenti funzioni studia la natura degli eventuali punti di non derivabilità:
1. f(x) = √
5x 3 [x = 0 esso a tangente verticale]
2. f(x) = x p
3x 3 − x [x = ±1 essi a tangente verticale]
3. f(x) = p
3x 3 − 3x 2 [x = 0 cuspide, x = 3 esso a tangente verticale]
4. f(x) = x 3 |x| [Derivabile]
5. f(x) = x √
e x − 1 [Derivabile]
6. f(x) = |x 2 − 2x| [x = 0, x = 2 punti angolosi]
7. f(x) = |e x − 1| [x = 0 punto angoloso]
Suggerimento: studiare la lezione 19 e ripassare la lezione 18. Per le funzioni in valore assoluto si consiglia di studiare il valore assoluto, dividere la funzione negli intervalli in cui il valore assoluto cambia, studiare la derivata in ciascuno di tali intervalli e analizzare, in particolare, i punti di incollamento fra le derivate.
Esercizi su continuità e derivabilità
Esercizio 6. Qual è la relazione fra continuità e derivabilità?
Esercizio 7. Dimostra che la derivabilità implica la continuità.
Esercizio 8. Una funzione continua è anche derivabile? Motiva la risposta.
2
Esercizi su monotonia, massimi e minimi
Esercizio 9. Determina gli intervalli in cui le seguenti funzioni sono crescenti o decrescenti e gli eventuali punti di massimo, minimo e di esso a tangente orizzontale
1:
1. f(x) = x 2 − 3x + 2 [( 3
2 , +∞), x min = 3 2 ] 2. f(x) = x 3 − 3x [(−∞, −1) ∪ (1, +∞), x min = 1, x max = −1]
3. f(x) = 2x 3 + 9x 2 [(−∞, −3) ∪ (0, +∞), x min = 0, x max = −3]
4. f(x) = −x 3 + 12x [(−2, 2), x min = −2, x max = 2]
5. f(x) = −4x 3 + 9x 2 [(0, 3
2 ), x min = 0, x max = 3 2 ] 6. f(x) = 2x 3 − 15x 2 + 24x + 3 [(−∞, 1) ∪ (4, +∞), x min = 4, x max = 1]
7. f(x) = x 4 − 2x 2 [(−1, 0) ∪ (1, +∞), x min = ±1, x max = 0]
8. f(x) = 2x 3 + 3x 2 + 6x [(−∞, +∞)]
9. f(x) = −x 3 + 12x [(−2, 2), x min = −2, x max = 2]
10. f(x) = x
x 2 + 9 [(−3, 3), x min = −3, x max = 3]
11. f(x) = x 2 − 1
x 2 + 1 [(0, +∞), x min = 0]
12. f(x) = x 4
x 2 − 1 [(0, 1) ∪ (1, +∞), x min = 0]
13. f(x) = 1 − 2
x − x [(− √
2, √
2), x min = − √
2, x max = √ 2]
14. f(x) = (x − 1) 2
(x + 1) 3 [(1, 5), x min = 1, x max = 5]
15. f(x) = x √
4 − x [(−∞, 8
3 ), x max = 8 3 ] 16. f(x) = (x − 2) p
x 2 − 1 [(−∞, −1) ∪ ( 1 + √
3
2 , +∞), x min = 1 + √ 3 2 ] 17. f(x) = p
x 2 − 2x − 3x [[2, 3 √
2
4 + 1), x max = 3 √ 2 4 + 1]
18. f(x) =
r x 2 − 1
x [[−1, 0] ∪ [1, +∞)]
19. f(x) = x log(x) [(e −1 , +∞), x min = e −1 ]
20. f(x) = log(x)
x 2 [(0, √
e), x max = √ e]
21. f(x) = log(x 2 − 4x + 3) [(3, +∞)]
22. f(x) = log(3x − x 2 ) [(0, 3
2 ), x max = 3 2 ] 23. f(x) = log x 2 + 1
x
[(1, +∞), x min = 1]
24. f(x) = (x + 1)e −2x [(−∞, − 1
2 ), x max = − 1 2 ]
1
Nelle soluzioni sono indicati gli intervalli dove la funzione è crescente.
3
25. f(x) = e −2x + e x [( 1
3 log(2), +∞), x min = 1 3 log(2)]
26. f(x) = e 2x − 1
e x + 2 [(−∞, +∞)]
27. f(x) = e x (x − 2) [(1, +∞), x min = 1]
28. f(x) = e x (x 2 − 4) [(−∞, −1 − √
5) ∪ (−1 + √
5, +∞), x min = −1 + √
5, x max = −1 − √ 5]
Suggerimento: studiare la lezione 20, ripassare le lezioni 18 e 19. Ricordarsi di determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente anche in relazione al dominio della funzione.
Attenzione allo svolgimento delle disequazioni.
Esercizio 10. Enuncia e dimostra il teorema di Fermat.
Esercizio 11. Sia f : (a, b) → R una funzione e sia x 0 ∈ (a, b) un punto in cui la funzione è derivabile. Se f 0 (x 0 ) = 0 possiamo concludere che x 0 è un punto di massimo o minimo? Motiva la risposta.
Esercizi sulla concavità e i punti di esso
Esercizio 12. Dai la de nizione di punto di esso.
Esercizio 13. Studia la concavità delle seguenti funzioni e determina i punti di esso
2:
1. f(x) = x 3 − 3x 2 [(1, +∞), x = 1]
2. f(x) = x 4 − 4x 3 [(−∞, 0) ∪ (2, +∞), x = 0, x = 2]
3. f(x) = 1 12 x 4 − 1
3 x 3 + 1
2 x 2 [(−∞, +∞)]
4. f(x) = (x − 2) 3 (x + 2) [(−∞, 0) ∪ (2, +∞), x = 0, x = 2]
5. f(x) = x
x 3 + 1 [(−∞, −1) ∪ ( √
32, +∞), x = √
32]
6. f(x) = x
√
x 2 + 1 [(−∞, 0), x = 0]
7. f(x) = (x − 1)e x [(−1, +∞), x = −1]
8. f(x) = e x + x [(−∞, +∞)]
9. f(x) = e 2x − 2e x [(− log(2), +∞), x = − log(2)]
10. f(x) = (x 2 − 4)e −x [(−∞, 2 − √
6) ∪ (2 + √
6, +∞), x = 2 ± √ 6]
11. f(x) = log(x 2 + 2x + 10) [(−4, 2), x = −4, x = 2]
12. f(x) = x log(x) [(−∞, +∞)]
13. f(x) = log(x)
log(x) − 1 [(0, e −1 ) ∪ (e, +∞), x = e −1 ]
14. f(x) = log 1 2x 2 + 1
[(−∞, −
√ 2 2 ) ∪ (
√ 2
2 , +∞), x = ±
√ 2 2 ]
2
