12 - Regole di derivazione

(1)

(2)

2

• Teorema  Se f e g sono derivabili in x anche (f+g) è derivabile in x e si ha:

• Dimostrazione. Rapporto incrementale:

• Prendiamone il limite e applichiamo la proprietà: limite di una somma uguale somma dei limiti  ) ( ' ) ( ' )]' ( ) ( [ f x + g x = f x + g x

x

g

x

f

x

g

x

f

!

"

!

+

!

+

)

(

)

(

)

(

)

(

0 !

"x

(3)

3

Derivata della somma

• Si ottiene:

per definizione di derivata.

 Conseguenza (derivata della differenza):

)

(

'

)

(

'

lim

)]'

(

)

(

[

0 0

x

f

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x x

!

=

+

!

+

!

=

+

" ! " !

)

(

'

)

(

'

)]'

(

)

(

[

f

x

!

g

x

=

f

x

!

g

x

(4)

4

f (x)

= log x + x ! x

4

Df (x)

= D(log x) + D x ! Dx

4

=

1 x

+

1 2 x

! 4x

3

(5)

5

Derivata del prodotto

• Teorema

Se f e g sono derivabili in x anche (f.g) è derivabile in x e si ha:

[ ( )

f x g x

!

( )]'

=

f x g x

'( )

!

( )

+

f x g x

( )

!

'( )

(6)

6

f (x)

= x

3

! log x

Df (x)

= Dx

3

! log x + x

3

! D log x = 3x

2

! log x + x

3

!

1 x

=

(7)

7

Derivata del quoziente

• Teorema:

Se f e g sono derivabili in x (con g’(x) non nulla) anche (f/g) è derivabile in x e si ha: 2

( )

'( )

( )

'( )

( )

'

f x

f x g x

g x

!

"

₌

#

$

#

%

&

'

(

(8)

8

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 4 3 4 3 4 2 4 2 4 3 3 ₂ ₆ 2 2 4 4

( )

1

1 ( )

1

3

1

4 ₃

1

1 x

f x

x

Dx

x

x D

x

Df x

x

_x

x

=

+

! +

" !

+

=

+

! +

" !

_"

=

+

(9)

9

Derivata delle funzioni composte

• Teorema. Siano la funzione g derivabile in x e la funzione f derivabile in g(x). Allora la funzione composta è derivabile in x e si ha:

• si inizia a derivare l’ultima funzione applicata (generalizzabile alla composizione di più di due funzioni).

• l’ordine di derivazione è fondamentale.

(10)

10 • 1.

y

= log x

x

! "

! x

.

! "

log

! log x

# y' =

1 x

$

1 2 x

=

1 2x

(11)

11

Esempi

• 2. 3 3 . log . 3 2 2

log

1

1 3log

' 3log

2

2 y

x

y

x

=

!!"

#

=

$

=

(12)

12

• Verificare se le seguenti funzioni soddisfano le relazioni indicate: 1. 2. ? ( ) x (0) '(0) 1 f x = e! " f + #x f = ! x 0

_{( 1}

0

_{) 1}

e

!

+ " ! "

x

e

!

= !

x

?

( )

x

'( )

( ) 0

f x

= "

a e

!

#

f x

+

f x

=

'( )

( 1

)

'

0

x x x x

f x

a

e

a e

f

a e

! ! ! !

= " ! "

= ! "

# + = ! "

+ "

=

(13)

13

Esercizi

1. derivare

1

1 log

log(

1)

log(

1)

1 y

x

!

=

+

= !

+

'( )

1 '

( )

1 f x

y

f x

x

= !

+

(14)

14 2. derivare 3. derivare  regola generale: 3x

₍₁

3

₎

y e

=

! +

x

3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3

' (

)' (1

)

(1

)'

3 (1

)

3

3 (1

)

x x x x x

y

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

=

! +

+

! +

=

! +

+

!

=

! +

+

10 2

₎

1 (

x

y

=

!

1

[ ( )]

n

[ ( )]

n

'( )

D f x

= "

n f x

!

"

f x

(15)

15

Esercizi

si ottiene: 4. derivare: 2 9 2 9

' 10 (1

) ( 2 )

20 (1

)

y

= ! "

x

! "

x

= " ! ! "

x

2

1

1 !

"

#

$

%

&

'

+

=

x

y

2 3

'

1

1 ' 2

2

1

1 (

1)

1

4 (

1)

x

y

x

+

! ! !

"

# "

#

"

#

=

_%

_{& %}

$

_&

=

_%

_&

$

=

!

'

( '

(

'

(

+

= !

(16)

16 5. derivare: 2 2 2

[

(1

)]

(1

) ( 2 )

(1 2

)

x x x x

D e

x

e

x

x e

e

x x

! "

= ! "

+ "

! =

= ! "

"

(17)

17

Esercizi

Scrivere l’equazione della tangente alla parabola di equazione

nel punto di ascissa Forma generale: per cui:

7

5

3

2

!

+

=

x

y

2

0

=

x

7 ) 2 ( ' ) ( ' 5 6 ) ( ' 9 ) 2 ( ) ( 2 0 0 0 = = ! " = = = = f x f x x f f x f x y = f '(x0) !(x " x0) + f (x0)

5

7 )

2 (

7

9 =

!

"

=

!

x

y

x

y

(18)

18

• Scrivere l’equazione della tangente a

nel punto di ascissa c=0

3

( ) 2

1 y

=

f x

=

x x

+ +

2

(0) 1

'( ) 2 3

'(0) 2

(0)

'(0) (

0)

2

1 f

f x

x

f

y

f

x

y

x

=

= +

!

=

" =

+

# $

" =

+