xy xy xyG FUNZIONI

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© Politecnico di Torino Pagina 1 di 9 Data ultima revisione 10/05/00

FUNZIONI

RICHIAMI DI TEORIA

Il concetto di funzione

Definizione 1: siano X e Y due insiemi non vuoti. Una funzione f da X in Y

(

^{f X}^: ^→ ^Y

)

è una relazione tra i due insiemi che ad ogni x∈ X fa corrispondere uno ed un solo y ∈ Y ;diciamo che y è immagine di x mediante la funzione f ed utilizziamo la

scrittura y=f(x).

Il dominio (dom f) della funzione f è l'insieme di tutti i possibili valori reali che si possono attribuire a x∈ X affinché esista il corrispondente valore y ∈ Y. L'insieme di tutte le immagini è detto insieme immagine (Im f).

Definizione 2: si dice funzione f da X in Y un sottoinsieme non vuoto G del prodotto cartesiano X × Y tale che, se due coppie

(

^{x y}^, ^′

)

^e

(

^{x y}^, ^′′

)

appartengono a f, si ha y′ = ′′y ; preso un qualsiasi punto

( )

^{x y}^, ^∈^G, l'elemento y è il valore di f nel punto x. Il dominio di f è l'insieme di tutte le prime componenti degli elementi di G ( ovvero la proiezione di G su X); l' insieme immagine di f è costituito dalla proiezione di G su Y.

Definizione: una funzione è detta reale di variabile reale se ha come insieme di partenza e come insieme di arrivo l'insieme R.

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Alcuni tipi di funzione:

• funzioni costanti: y=c

-5 0 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

G r a f i c o d e l l a f u n z i o n e y = 3

x y

O x

y

O

• funzioni lineari: y= mx

-5 0 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

G r a f i c o d e l l a f u n z i o n e y = 2 x

x y

O

k = 1 k = 2 k = - 1 k = - 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = m x

x y

O

(3)

• funzioni di proporzionalità inversa:

y k

x k

= , con ≠ 0

• funzioni quadratiche:

y= kx²

-5 0 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Grafico della funzione y = 2/x

x y

O

k = 1 k = 2 k = - 1 k = - 2

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = k / x

x y

O

-5 0 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Grafico della funzione y = 1/2*x^2

x y

O

k = 1 k = 2 k = - 1 k = - 2

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = k x ^ 2

x y

O

(4)

• funzioni del tipo y = xⁿ , con n∈Z

y = x ^ 2 y = x ^ 4 y = x ^ 6 y = x ^ 8

-2 -1 0 1 2

-1 - 0 . 5 0 0.5 1 1.5 2

G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = x ^ n , c o n n p a r i e p o s i t i v o

x y

O

y = x^3 y = x^5 y = x^7 y = x^9

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Grafico delle funzioni y = x^n, con n dispari e positivo

x y

O

y = 1 / x ^ 2 y = 1 / x ^ 4 y = 1 / x ^ 6 y = 1 / x ^ 8

-3 -2 -1 0 1 2 3

- 1 . 5 -1 - 0 . 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = x ^ n , c o n n p a r i e n e g a t i v o

x y

O

y = 1 / x y = 1 / x ^ 3 y = 1 / x ^ 5 y = 1 / x ^ 7

-3 -2 -1 0 1 2 3

G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = x ^ n , c o n n d i s p a r i e n e g a t i v o

x y

O

(5)

• la funzione valore assoluto: y= x

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

G r a f i c o d e l l a f u n z i o n e y = | x |

x y

O

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ESEMPI

1. Dire se i seguenti grafici rappresentano delle funzioni:

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

G r a f i c o A

x y

O

- 3 - 2 - 1 0 1 2

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

G r a f i c o B

x y

O

- 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2

G r a f i c o C

x y

O

Ricordiamo che un semplice criterio per stabilire se un sottoinsieme G⊆ R² è il grafico di una funzione è il seguente:

un sottoinsieme G di R² è il grafico di una funzione se ogni parallela all'asse y lo interseca al più in un punto.

Utilizzando il precedente criterio , abbiamo:

Grafico A: funzione Grafico B: funzione

Grafico C: non è una funzione (ad esempio la retta x =1/2 interseca il grafico in due punti)

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2. Dedurre dominio e immagine delle funzioni rappresentate nei grafici seguenti:

d o m i n i o i m m a g i n e

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 1 0 1 2 3 4 5

G r a f i c o A

x y

O

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

G r a f i c o B

x y

O

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

- 2 0 2 4 6 8 1 0 1 2

G r a f i c o C

x y

O

Ricordiamo che possiamo ottenere il dominio e l'insieme immagine di una funzione proiettando il suo grafico sull'asse delle ascisse e delle ordinate rispettivamente.

In base a questa considerazione, abbiamo:

Grafico A: dominio [-2 2]; immagine = [0 3]

Grafico B: dominio = (-∞ 0) ∪ (0 +∞); immagine = (-∞ 0) ∪ (0 +∞) Grafico C: dominio = R; immagine = [0 +∞)

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3. Data la seguente funzione, determinarne il dominio, l'immagine e disegnarne il grafico.

^{f x}

( )

^x ^{se x}

x se x

=

≤ −

> −







2 2

1 2

La funzione f è definita a tratti, vale a dire la sua espressione amalitica cambia a seconda dell'intervallo che consideriamo: in questo caso ^{f x}

( )

⁼ ^{2 se}^x ^x ^{∈ = −∞ −}^I¹

(

^, ²

]

^e ^{f x}

^{( )}

⁼ _x¹^se^x^{∈ = − + ∞}^I²

⁽

^2,

⁾

^.

La funzione ^{f x}1

( )

=2^x è definita su tutto l'insieme R dei numeri reali (possiamo "calcolare" 2⋅x per qualsiasi x ∈ R): il dominio di f1 ristretta all'intervallo I1 è dom f1 / I1 = dom f1 ∩ I1 = R ∩ (-∞, -2] = (-∞, -2].

La funzione^f

( )

^x

2 x

= 1 è definita in R-{0} (fissato x ∈ R, possiamo "calcolare" 1/x tranne quando x = 0 ): restringendo f2

all'intervallo I2, abbiamo dom f2 / I2 = R-{0} ∩ (-2, +∞) = (-2, 0 ) ∪ (0 , +∞).

Il dominio della funzione f è l'unione dei domini delle restrizioni di f1 all'intervallo I1 e di f2 all'intervallo I2, vale a dire:

( ) ( )

dom f = −∞,0 ∪ 0,+ ∞

-2 0

dom f

₁

/ I

₁

dom f

₂

/ I

₂

(9)

f1(x) è una retta passante per l'origine di coefficiente angolare m = 2;

f2(x) è una iperbole equilatera riferita a propri asintoti.

- 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8

- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8

Grafico della funzione y=f(x)

x y

O

(-2, -4) (-2, -1/2)

Abbiamo ^Im ^f ^{= −∞ −}^_ ^, ¹^_ ^∪

(

^,^{+ ∞}

)

2 0