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studio di funzione
Ecco un elenco dei passi da fare per lo studio di una funzione.
1.1
dominio
Il dominio rappresenta la parte in cui la funzione può esiste, o detta in termini più semplici la parte dove la funzione non fa casino. Di solito il dominio di una funzione è tutto R, ma ci sono alcuni casi dove bisogna stare attenti:
• Funzioni polinomiali (i.e. x2
+ 4). Tali funzioni hanno per dominio tutto R, quindi non pongono problemi;
• Funzioni polinomiali fratte (i.e. x2+2
x3−4). In questo caso bisogna stare attenti, in quanto
bisogna porre il denominatore diverso da zero. Il dominio sarà dato da tutto R eccetto i valori trovati imponendo il denominatore diverso da zero;
• Funzioni radicali (i.e. √x2− 4x). Le radici devono essere sempre positive, o al massimo
nulle. Ciò significa che qualunque cosa ci sia sotto la radice deve essere maggiore o tuttalpiù uguale a zero;
• Funzioni logaritmiche(i.e. log(x3− 2)). Le funzioni logaritmiche devono essere anche loro
maggiori strettamente di zero, ciò significa che non possono essere uguali a zero come nella radice, ma solo maggiori. Si tratta quindi di una condizione più stretta.
• Funzioni esponenziali (i.e. ex2+2
). In questo caso se la base è sempre e allora il dominio è tutto R senza grossi problemi.
Nota. Di solito i limiti del dominio (i valori fuori dal dominio) si indicano con un pallino vuoto sul grafico.
1.2
intersezioni
Le intersezioni si trovano in questo modo:
• Intersezioni asse x. Le intersezioni con l’asse x si trovano imponendo che tutta la funzione sia uguale a zero, ovvero imponendo y = 0. Se per esempio vogliamo trovare le intersezioni con l’asse delle x della funzione seguente devo imporre:
x2+ 2
x3− 4 = 0 (1)
• Intersezioni asse y. Le intersezioni con l’asse y le trovo imponendo x = 0. In questo caso basta sostituire brutalmente la x con 0 e risolvendo.
Nota. Di solito le intersezioni si indicano con dei pallini pieni nel grafico.
ATTENZIONE! Il dominio vince sempre. Ciò significa che se per cercare una intersezione esco dal dominio (ovvero sostituisco uno dei punti trovati nella determinazione del dominio) vuol dire che tale intersezione non esiste. Caso tipico è quello in cui nel dominio non è compreso il valore x = 0 che dovrei sostituire successivamente per trovare le intersezioni con l’asse delle y.
1.3
studio del segno
Lo studio del segno si esegue imponendo che tutta la funzione sia maggiore o uguale a zero, e studiando poi conseguentemente la disequazione che ne risulta. Riprendendo sempre la stessa funzione abbiamo per esempio:
x2+ 2
x3− 4 ≥ 0 (2)
Risolvendo questa disequazione ottengo gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa.
• Studiare prima di tutto il numeratore imponendolo maggiore o uguale a zero. Disegnare il grafico con la retta dei reali e mettere gli intervalli in cui il numeratore è positivo (linea continua) e dove è negativo (linea tratteggiata).
• Studiare il denominatore, mettendolo strettamente maggiore a zero (questo perché il deno-minatore non può essere uguale a 0...). Anche in questo caso aggiornare la retta dei reali indicando gli intervalli in cui è positivo (linea continua) e dove è negativo (linea tratteggiata). Le zone dove la funzione è positiva o negativa si ricavano "incrociando" gli intervalli trovati sulla retta dei reali, ricordandosi che (+,+) = +, (+,-) = -.
Nota. Di solito nel grafico si cancellano le parti dove la funzione non può vivere. Quindi se in un certo intervallo la funzione è negativa si cancellerà la parte positiva e viceversa.
ATTENZIONE! Il grafico è estremamente importante, in quanto le informazioni che tra-scriviamo sul grafico dvono essere coerenti. Se per esempio ci acciorgiamo che la funzione in un certo intervallo è positiva e abbiamo una intersezione nella parte negativa vuol dire che abbiamo sbagliato qualcosa.
1.4
Limiti
I limiti ci permettono di descrivere il comportamento di una funzione ai limiti del suo domi-nio. I limiti si calcolano semplicemente sostituendo il valore "incriminato" e poi valutandone il comportamento, ricordandosi che:
• La gerarchia degli infiniti: l’infinito con l’esponente maggiore vince; • Un numero diviso per infinito fa zero;
• Infinito diviso qualsiasi numero fa infinito;
• ∞ · 0 è indeterminato e va sistemato in qualche modo (per esempio raccogliendo e poi semplificando);
• ∞∞ è indeterminato; • 0
0 è indeterminato.
I limiti che vanno studiati sono i seguenti: • limx→∞f (x);
• limx→−∞f (x);
• limx→x0f (x) dove con x0 indichiamo tutti i punti esterni al dominio, ovvero tutti i punti in
cui la funzione fa casino.
1.5
Derivate
Lo studio della derivata della funzione ci permette di capire dove la funzione sale (derivata positiva), dove si appiattisce (come la cima di una collina, ovvero derivata nulla) e dove decresce (derivata negativa).
Quindi prima di tutto si calcola la derivata della funzione, e successivamente si studia il segno della derivata.
Nota. E’ possibile che la derivata della funzione presenti dei punti che fanno casino, ovvero che anche la derivata abbia un dominio "non completo". In quei punti dove la derivata non esiste si chiamano punti di non derivabilità e lì la funzione o è discontinua oppure presenta dei punti angolosi (ovvero una funzione che fa proprio un angolo e non prosegue morbidamente).
Riportiamo qui qualche derivata notevole. Con la scrittura D[ ] indichiamo l’operazione di derivata.
• xα, dove α può essere qualunque numero. In questo caso si "abbassa" la α davanti alla x
e l’esponente viene ridotto di 1. Quindi in simboli abbiamo che la derivata sarà uguale a: αxα−1;
• D[√x] = 2√1 x;
• D[log x] = 1 x;
• D[ex] = ex;
Ed infine le regole di moltiplicazione:
D[f · g] = f0· g + f · g0 (3) E di divisione: D[f g] = f0· g − f · g0 g2 (4) 3
