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Università degli studi di Pisa
Dipartimento di Economia e Management
Corso di Laurea Specialistica in Strategia,
Management e Controllo
TESI DI LAUREA
ASTE ONLINE: OPPORTUNIT
À,
MINACCE E ACQUISIZIONI TEORICHE
Relatore: Prof. ssa Caterina Giannetti
Laureando: Francesco Terzelli - 495637
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Introduzione
Le aste hanno un' origine antichissima. Il loro funzionamento semplice e intuitivo,
specialmente quello delle forme più elementari, ne ha permesso l' adozione in epoche e società differenti, caratterizzate da economie ancora poco sofisticate. Le più lontane
testimonianze di questo mezzo di scambio risalgono già all' antica civiltà babilonese, dove, si pensi, ad essere oggetto di scambio erano nientemeno che le donne, vendute e
acquistate come future spose1; risalgono poi all' antica civiltà greca, dove si negoziavano concessioni per scavi e diritti di estrazione; risalgono anche alla civiltà romana, dove, come noto, venivano venduti al miglior offerente schiavi, bottini di guerra o beni espropriati a debitori insolventi2.
Oggigiorno le aste vengono utilizzate per scambiare una quantità enorme e sempre crescente di beni e servizi delle più varie categorie merceologiche: dagli oggetti più tradizionali, come opere d' arte, pezzi da collezione e di antiquariato; alle automobili, i prodotti agricoli, le case, ma anche elettrodomestici e computer, oggetti usati e strumenti finanziari, fino ad oggetti di interesse più tipicamente aziendale, come le licenze
telefoniche, i permessi minerari e di inquinamento, le materie prime, e molto altro ancora3. Parimenti alla varietà degli oggetti, anche il numero e la natura dei soggetti coinvolti nelle procedura d' asta registra un aumento: sempre più frequentemente il ruolo di banditore è ricoperto dalle semplici persone fisiche, così come dalle autorità governative locali e nazionali, passando per le piccole e grandi aziende; e, naturalmente, sempre più numerosi e diversi sono anche i soggetti che si trovano a formulare delle offerte per i loro acquisti. In questo grande fermento l' innovazione informatica ha giocato indubbiamente un ruolo primario: le recenti tecnologie di e-commerce hanno infatti contribuito in modo radicale alla creazione di nuovi mercati che, come vedremo, in ragione della loro peculiarità, hanno rimosso alcune delle condizioni entro le quali si sono sempre svolte le aste tradizionali, creando così i presupposti per nuove strategie e nuovi comportamenti imprevisti, sia per quanto riguarda il lato dei banditori che per quello gli offerenti. Pertanto, le internet
auctions, meritano uno specifico approfondimento teorico.
1 Lo storico Erodoto (in 1 : 196 del primo libro delle Storie), descrive l’ usanza degli Eneti d’ Illiria del 500
a.C. di organizzare annualmente delle aste, in cui le giovani ragazze in età da matrimonio venivano vendute con un sistema d’ asta, invero piuttosto cinico: i ricchi avrebbero speso i loro soldi per comprare le donne più belle, che venivano vendute per prime; dopodiché, i soldi ricavati, venivano utilizzati come offerte monetarie via via crescenti per far sì che i poveri, che erano interessati soprattutto al denaro, si aggiudicassero le donne via via meno belle. Colpisce notare come, paradossalmente, proprio la prima testimonianza storica dell’ utilizzo di un’ asta, riguarda un sistema in realtà piuttosto sofisticato, in cui, di fatto, veniva operata una redistribuzione della ricchezza.
2 Vedi Klemperer (2004) 3 Vedi Cassady (1967)
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L' importanza della teoria economia delle aste tuttavia non si esaurisce nelle sue ragioni meramente applicative: vedremo infatti come, al di là degli studi e delle analisi empiriche di operazioni e risultati, essa abbia avuto, e continui ad avere, un valore teoretico centrale e crescente. Si consideri infatti che, in primo luogo, la auction theory è stata il requisito o il fondamento di studi il cui argomento non era ad essa strettamente affine. In secondo luogo, essa ci ha fornito una strumentazione teorica di validità più ampia di quanto si possa pensare. Sono infatti diversi i casi che nella teorica economica sono di fatto
equiparabili a situazioni di asta, e che, pertanto, posso essere compresi e risolti grazie alle acquisizioni teoriche che la auction theory stessa ci ha fornito.
Lo scopo di questo elaborato è quello di dare ordine e sintesi ad una letteratura
tipicamente suddivisa in vari e singoli aspetti, che sembra fornire risultati discordanti, o comunque di non facile interpretazione. Una comprensione esaustiva di questo oggetto di studio richiede infatti una visione d’ insieme, capace di mettere in luce al contempo gli incentivi e le possibili strategie di entrambe le parti, nonché alcune implicazioni relative ai sistemi di rilancio automatico. Una corretta interpretazione delle acquisizioni teoriche che presenteremo richiede inoltre, come requisito, una rassegna dei principali risultati offerti dalla teoria delle aste tradizionali, che intendiamo fornire nel primo capitolo. Infatti, è proprio alla luce delle differenze rispetto alle aste convenzionali che le aste online possono essere comprese nella loro specificità.
Il secondo capitolo sarà invece dedicato all’ approfondimento delle internet auctions, secondo un approccio di analisi che intende illustrare al meglio la complessità e le interrelazioni degli argomenti. Seguirà infine un breve riassunto conclusivo.
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Capitolo 1
La teoria delle aste tradizionale
1.1. Le aste
Una comprensione efficace delle nuove problematiche legate alle internet auctions non può prescindere dagli strumenti teorici offerti dalla precedente letteratura economica. In questo primo capitolo ci proponiamo di fornire una rassegna concisa ma esaustiva di quella che possiamo definire teoria della aste "tradizionale": esporremo cioè i principali contributi che ad opera di vari autori si sono susseguiti nel tempo e i principali risultati teorici conseguiti.
Nel seguito della trattazione verranno invece esaminati i contributi che riguardano specificamente le internet auctions, e saranno esposti gli elementi di novità che le distinguono.
1.1.1. Genesi e sviluppo della teoria della aste
Possiamo definire un' asta come un' organizzazione economica che disciplina la procedura di assegnazione di un bene, di un servizio o un di diritto, e il prezzo da pagare per lo stesso, sulla base delle offerte formulate dai vari partecipanti4.
Tradizionalmente i mercati studiati nella teoria economica vedono la contrapposizione di due lati, caratterizzati da interessi opposti: il lato della domanda e quello dell' offerta. La loro reciproca interazione, determinerà un punto di incontro, che stabilirà una certa allocazione di risorse: in questo ambito, anche le aste rappresentano un tipico conflitto per la ripartizione di un surplus che emerge da uno scambio in presenza asimmetria
informativa5.
Una loro prima peculiarità risiede in questo aspetto: esse rappresentano dei mercati in cui, generalmente, soltanto una delle due parti svolge un ruolo attivo. Nelle aste di vendita, le parte attiva è rappresentata dalla domanda; la controparte si limiterà infatti a stabilire
4 Vedi McAfee e McMillan (1987) 5 Vedi Balduzzi (2005)
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rigidamente il volume di offerta e il meccanismo che ritiene migliore per allocarlo.
Naturalmente, non mancano le situazioni contrarie, in cui un unico acquirente selezionerà uno dei suoi potenziali venditori, dopo aver organizzato una competizione tra di loro. È proprio in ragione di queste caratteristiche che si parla delle aste in termini di mercati
one-side6.
La letteratura economica si occupa principalmente di studiare i comportamenti strategici in riferimento alle aste di vendita. Tuttavia, i risultati e le considerazioni che essa ci fornisce, sono perfettamente validi, in modo speculare, anche per le aste di acquisto.
In secondo luogo, le aste costituiscono molte volte, seppur non necessariamente, dei sistemi di allocazione ideati appositamente per un unico scambio: è infatti l' inesistenza di un mercato vivo e dinamico che rende spesso necessario, o comunque conveniente, il tentativo di ricorrere a un meccanismo d' asta; ed è altresì in questo presupposto che le aste trovano la loro origine storicamente più autentica7. Non mancano tuttavia delle
eccezioni; si pensi che ad esempio, soprattutto in tempi più recenti, si può assistere perfino a delle aste sistematicamente ripetute per vendere un medesimo oggetto standardizzato. Vedremo come anche a questo proposito, l' affermarsi dell' e-commerce, si sia rivelato un elemento di innovazione e di parziale rottura col passato.
Sebbene, come si è detto, l' utilizzo delle aste risalga a tempi remoti, il loro affermarsi come argomento autonomo all' interno della teoria economica è stato in realtà piuttosto recente. Questo non deve sorprendere più di tanto, dal momento che possiamo
considerare la teoria della aste con un ramo della teoria dei giochi, in particolare dei giochi definiti non-cooperativi. La nascita della teoria dei giochi può infatti essere fatta risalire alla metà degli anni quaranta, ad opera di von Neumann e Morgenstern8, ma sarà soltanto grazie ai successivi contributi del premio Nobel John Nash, e all' introduzione del suo concetto di equilibrio, che le aste potranno essere studiate e comprese sotto una nuova luce.
Le formulazioni dei bidders (cioè degli offerenti che partecipano all’ asta), sono infatti caratterizzate dall' esistenza di un trade-off, che vede contrapporsi l’ esigenza della vittoria, e cioè l' esigenza di offrire più dei concorrenti, e l' esigenza di un ottenere profitto atteso positivo. In altre parole, gli agenti devono basare le loro scelte di offerta tenendo conto del comportamento dei loro rivali, e lo studio dell' interattività tra i comportamenti è
esattamente l' elemento di novità introdotto dalla teoria dei giochi. Non sarà allora difficile comprendere come mai tra lo sviluppo delle due teorie in questione sia presente una
6 Vedi Klemperer (2004)
7Sulla preferibilità di una procedura d' asta rispetto all' imposizione di un prezzo fisso, o ad una negoziazione con un
acquirente, si vedano rispettivamente i lavori di Cassady (1967), e di Bulow e Klemperer (1996).
6 coerenza cronologica.
La letteratura economica precedente agli anni sessanta era concentrata sui modelli di analisi delle decisioni, e aveva pertanto un valore essenzialmente applicativo: la maggior parte degli studi infatti trovava posto soprattutto sulle riviste dedicate ai professionisti del settore, e aveva come fondamento teorico l' analisi empirica dei comportamenti e dei risultati delle aste precedenti, da cui venivano desunti dei modelli di comportamento9. Tuttavia, questo modo di procedere fu presto criticato, in quanto trascurava, appunto, l' elemento essenziale dell' interazione tra i bidders.
Da questo punto di vista, un primo decisivo passo in avanti si deve all' economista William Vickrey, e ad un suo fondamentale studio che risale al 1961. La sua pubblicazione, su cui avremo modo di tornare a parlare, introduceva un nuovo tipo di approccio, basato proprio sul metodo applicativo della teoria dei giochi.
Più in particolare, lo studio di Vickrey riuscì a dimostrare come in un' asta in busta chiusa al secondo prezzo, gli agenti giungeranno ad un equilibrio grazie alla presenza di strategie dominanti. Si deve precisare che quello garantito in presenza di strategie dominanti è un equilibrio che prevede dei comportamenti che per il singolo agente sono ottimali, e che risultano come tali a prescindere dal comportamento degli avversari. Pertanto, il caso di equilibrio appena descritto, è un caso che può prescindere dagli aspetti di incertezza legati alle mosse degli altri agenti: può prescindere cioè da quella che definiremo incertezza strategica.
Il risultato di Vickrey, rappresenta tuttavia un caso a parte. Per uno studio analitico di altri meccanismi d' asta, i semplici presupposti della massimizzazione dell' utilità attesa non sono sufficienti a prevedere e spiegare il comportamento degli agenti.
Sarà allora l' introduzione in teoria dei giochi del concetto di equilibrio bayesiano , che si deve a John Harsanyi (1967, 1968), a segnare un nuovo fondamentale punto si svolta, consentendo di arrivare a una compiuta elaborazione teorica dei modelli di asta e dei rispettivi equilibri che ne risultano. Questo spiega perché, fatta salva l' eccezione di Vickrey, gli ulteriori e fondamentali contributi teorici risalgono agli anni '70 e '80.
L' equilibrio bayesiano si caratterizza per indicare il comportamento ottimo di un agente che tiene conto del comportamento degli avversari, nonché della distribuzione dei loro "tipi". Infatti, l' espediente teorico su cui si basa lo studio di Harsanyi, consiste nella trasformazione di un gioco a informazione incompleta in un gioco a informazione
imperfetta. Questo può avvenire introducendo uno stadio iniziale, che viene definito stadio zero, in cui la Natura stabilisce casualmente il tipo di ciascun giocatore, dove ogni tipo corrisponderà a una certa valutazione del bene, o a un certo segnale informativo tramite cui il giocatore formulerà la valutazione stessa del bene.
9Vedi Parisio (1999)
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Questo ci consente di trasformare l' informazione incompleta che intercorre tra i bidders riguardo alle loro rispettive caratteristiche, in informazione imperfetta riguardo alle mosse della Natura. Sarà così possibile risolvere un tale gioco, raggiungendo una posizione di equilibrio di tipo bayesiano.
Ricapitolando brevemente, dallo studio della teoria delle aste emergeranno due tipologie di equilibrio: la prima, definita di equilibrio in strategie dominanti (DSE), rappresenta il concetto più forte della teoria dei giochi non cooperativi; la seconda, definita di equilibrio bayesiano di Nash, stabilisce che un dato comportamento è la miglior risposta attesa ad una situazione di equilibrio posta in essere dagli altri offerenti10.
1.1.2. Terminologia e classificazioni
Dopo questa generale panoramica sulla nascita e sull' evoluzione della teoria della aste, intendiamo adesso fornire, sempre in ambito introduttivo, la terminologia che ci consente di individuare e di classificare le varie tipologie di asta. In letteratura si è soliti classificare le aste secondo i seguenti elementi di differenziazione, che andiamo di seguito a descrivere: - La prestazione richiesta all' aggiudicatario
- Il grado di apertura al pubblico e la modalità ammissione - Il metodo di trasmissione delle offerte
- Le regole di aggiudicazione e di pagamento - La valutazione economica dell' oggetto
1.1.2.1. Prestazione richiesta all' aggiudicatario
Sotto questo primo aspetto, distingueremo le aste unidimensionali da quelle
multidimensionali. Le prime sono quelle in cui l' adempimento dei vincitori si realizzerà nel semplice esborso di denaro, risultato dalla procedura di aggiudicazione del bene. Nelle aste multidimensionali, invece, l' offerta e l' adempimento contrattuale del vincitore verranno misurate tenendo conto anche di altri fattori, ad esempio secondo il rispetto di certe tempistiche o di certi standard qualitativi. Come è facile intuire, le aste
multidimensionali riguardano tipicamente le aste di acquisto, in cui l' ente organizzatore è
8 molto spesso una pubblica amministrazione. Torneremo a breve su questo punto.
1.1.2.2 .Modalità di ammissione e apertura al pubblico
In secondo luogo, le aste si caratterizzano secondo il grado di apertura al pubblico e le modalità di ammissione. Sotto questo punto di vista, si distinguono le aste chiuse - dette anche aste ad inviti -, che prevedono che la partecipazione sia riservata a determinati soggetti prestabiliti dal banditore. L' estremo apposto è rappresentato dalle aste aperte, la cui partecipazione è completamente libera11. Molto spesso, si ha a che fare con situazioni intermedie, in cui la partecipazione è aperta, ma subordinata al soddisfacimento di
determinati prerequisiti, solitamente legati a ragioni di affidabilità dei partecipanti. Gli accertamenti più elementari e più diffusamente richiesti riguardano la solvibilità dei potenziali contraenti. Nelle aste di vendita, questa potrà essere assicurata dal semplice versamento anticipato di una somma di denaro a titolo di cauzione, o, ad esempio, dalla sottoscrizione di un' idonea garanzia; mentre, nelle aste di acquisto, può essere richiesto il prerequisito dell' iscrizione ad alcuni albi o categorie di riferimento12.
Le regole di ammissione all' asta hanno un' importanza cruciale, soprattutto se si considera anche il possibile fenomeno della collusione tra gli offerenti, che consiste essenzialmente in un comportamento cooperativo di questi ultimi a scapito del banditore. La pratica collusiva può essere particolarmente deleteria, e l' ente organizzatore dovrà badare particolare attenzione ai casi in cui possa esistere un mercato secondario per il bene oggetto d' asta. In questo caso, infatti, può avvenire che uno o più soggetti abbiano la specifica intenzione di realizzare un surplus da rivendita. Questo spiega la prassi, specialmente nelle aste chiuse, di imporre divieti o limitazioni alla rivendita.
In sintesi possiamo dire che la regolamentazione del grado di apertura ad un' asta deve contemperare diverse e varie esigenze: in linea di principio, il ricavo atteso del banditore è in funzione crescente alla competitività, e dunque all' apertura e alla libertà di
partecipazione; d' altro canto, le esigenze di affidabilità e di scongiuramento di comportamenti imprevisti suggeriscono un accesso più chiuso e sorvegliato.
Nella maggior parte dei casi nei modelli di studio teorici si assume come noto a tutti il numero di partecipanti, ma non mancano tuttavia approfondimenti in cui si studia la variazione dei comportamenti proprio a seguito dell' incertezza riguardo al loro numero.
11 Vedremo che la caratteristica dell’ apertura è uno degli elementi tipicamente distintivi delle internet auctions. 12 Vedi Parisio (1999)
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Un ultimo aspetto da prendere in considerazione riguarda, oltre alla consapevolezza del numero dei partecipanti, la possibile consapevolezza o meno della loro identità. Le regole d' asta possono infatti prevedere sistemi di offerta per procura, o che in ogni caso
garantiscano l' anonimato. Avremo modo di approfondire le cause e gli effetti di quest' ultimo aspetto.
1.1.2.3. Metodo di trasmissione delle offerte
A questo proposito, la principale distinzione riguarda le offerte in forma scritta e quelle in forma orale. Le prime, dovranno pervenire al banditore in busta chiusa entro una certa data di scadenza: non sarà necessaria pertanto un' adunata degli stessi. Per quanto
riguarda le offerte orali, invece, esse richiedono che l' asta si svolga con la compresenza dei
bidders in un dato luogo e ad una data ora stabilità dal banditore. Inoltre, a differenza di
quelle scritte, che salvo eccezioni devono essere uniche e non possono essere ripetute, e che inoltre restano celate agli altri concorrenti, le offerte orali prevedono solitamente la possibilità di rilancio, e in ogni caso permettono agli offerenti di assistere al processo di formulazione degli altri partecipanti.
Esiste inoltre una terza tipologia di trasmissione delle offerte, e cioè quella telematica. Quest' ultimo tipo di trasmissione può assumere le caratteristiche informative di entrambe le due precedenti tipologie, anche se, di fatto, nella maggior parte dei casi, presenta elementi di entrambe, potendosi quindi qualificare come una terza tipologia intermedia. Molto spesso infatti, nei terminali della rete, viene reso noto ogni aumento di prezzo di offerta, ma resta ignota l' identità di chi lo ha effettuato. Naturalmente, una delle caratteristiche delle aste online è proprio quella di funzionare secondo quest' ultimo metodo di trasmissione, che pertanto avremo modo di analizzare più in dettaglio nel secondo capitolo.
In verità nella pratica non sempre si riscontra una distinzione così rigida e netta: si pensi per esempio che esistono delle aste in forma scritta che tuttavia prevedono due turni, nel secondo dei quali sarà possibile formulare un' offerta ulteriore. Nelle forme di offerta orali, invece, è possibile, come avviene in certe aste ascendenti di cui parleremo, che il rialzo di prezzo venga effettuato direttamente dal banditore. Avremo allora che il silenzio dei
bidders esprimerà la loro volontà di restare in gara, giacché essi dovranno segnalare
unicamente la loro volontà di abbandonare la competizione.
Come si può immaginare, anche il metodo di trasmissione delle offerte può determinare, a parità di fattori, delle differenze nei comportamenti dei bidders e quindi nell' esito stesso dell' asta. Pertanto risulta anche esso un elemento che in sede di scelta del meccanismo di
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asta deve essere tenuto in considerazione e valutato attentamente.
1.1.2.4. Regola di aggiudicazione e di pagamento
Secondo la regola di aggiudicazione più comune e diffusa, l' aggiudicatario è individuato nel miglior offerente: quest' ultimo infatti, secondo il criterio della massimizzazione del ricavo atteso del banditore, rappresenta indubbiamente il risultato più efficiente. Tuttavia, come abbiamo visto, le aste non sono necessariamente di vendita, né sono
necessariamente unidimensionali. Nelle gare di appalto, infatti, l' ente organizzatore è interessato a una pluralità di fattori tra cui, quello del risparmio - individuato in questo caso dal "miglior offerente" tipicamente inteso -, risulta solamente uno di essi. Le opere pubbliche possono differenziarsi infatti secondo caratteristiche estetiche e qualitative, tempi di esecuzione, impatto ambientale, costi e modalità di manutenzione: fattori che non necessariamente vengono adeguatamente espressi e racchiusi nel prezzo di offerta.
Pertanto, per questo tipo di aste, si crea la necessità di determinare l' aggiudicatario
secondo un adeguato sistema di ponderazione di più elementi, che riesca ad assegnare un punteggio finale complessivo13. Ma a ben vedere, questo sarebbe soltanto un criterio diverso per far emergere un "miglior offerente", qui globalmente inteso14. Nella prassi degli appalti pubblici, tuttavia, occorre considerare un altro aspetto. Durante le gare di appalto, i concorrenti hanno spesso dimostrato la tendenza a presentare offerte troppo ottimistiche, sia in termini di costi che in termini qualitativi: in questo modo, essi riuscivano ad aggiudicarsi l' opera, ma non potendo poi rispettare i vari standard che avevano
garantito, finivano col rivederli in corso d’ opera, o col non rispettarli. Data l' impossibilità o comunque la non convenienza di cambiare l' aggiudicatario a lavori ormai iniziati, questi venivano ultimati con gli standard peggiorati, causando danno all' ente organizzatore, e quindi alla collettività.
L' esistenza di questo tipo di problematiche, ha portato a un meccanismo di esclusione di alcune offerte, ritenute anomale15, in quanto presumibilmente irrealistiche. Ecco allora che in questi casi l' aggiudicatario potrà essere diverso dal miglior offerente, comunque lo si intenda: si preferisce di fatto sacrificare anche le offerte teoricamente migliori, in cambio della sicurezza di un' offerta più affidabile, realizzabile cioè senza incorrere in revisioni
13Il concetto di scoring function come meccanismo di aggiudicazione nell' ambito delle aste multidimensionali è stato
introdotto da Che (1993). Nello stesso ambito, si segnalano gli studio di Branco (1997) e di Mori (1997).
14 Nell’ ordinamento giuridico vigente i criteri di aggiudicazione dell’ appalto sono disciplinati all’ art. 95 del D.Lgs
50/2016 (Codice dei contratti pubblici).
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future o in possibili dispute legali. In alcuni casi, in letteratura si parla di vere e proprie aste al prezzo medio, in quanto si ritiene che proprio chi più si avvicina al valore di offerta mediano rappresenti in qualche modo l' offerente più realistico, e dunque il più attendibile.
Le aste per appalti pubblici e forniture, definite in letteratura anche come procurement
auctions, rappresentano un ambito di approfondimento ampio e vario, tanto da aver dato
luogo a un filone di studi a parte, dove si affrontano in dettaglio le specifiche questioni a cui abbiamo accennato.
Per quanto riguarda invece la regola di pagamento distingueremo aste al primo prezzo e aste al secondo prezzo; le prime corrispondono a quelle in cui il vincitore dovrà pagare un prezzo pari all' offerta più alta, nelle seconde invece il vincitore dovrà pagare un prezzo pari alla seconda migliore offerta. Spiegheremo a breve le ragioni di quest' ultima opzione, che a prima vista può sembrare irrazionale.
1.1.2.5. Valutazione economica dell' oggetto
Tenendo conto della valutazione economica dell' oggetto16, faremo riferimento a tre diverse casistiche.
In primo luogo, si dicono aste a valore privato (private value), quelle aste riguardanti oggetti a cui i bidders attribuiscono un valore in modo soggettivo e indipendente. Si tratta cioè di oggetti, solitamente caratterizzati da una certo grado di unicità, di cui spesso non esiste un valore di mercato predeterminato, la cui valutazione da parte del singolo non è influenzata dalle valutazioni di altri offerenti. Un tipico esempio in questi termini è l' opera d' arte: si pensi che oltre ad avere un valore che già di per sé può dipendere da stime personali anche molto diverse, è anche possibile che le venga attribuito un valore aggiunto di natura sinergica, legato per esempio a ragioni di completezza di una collezione.
Inversamente, le aste a valore comune (common value), attengono ad oggetti che hanno un valore di mercato univoco e uguale per tutti; in questo caso, la differenza tra le varie offerte sarà dovuta all' incompletezza informativa che riguarda l' oggetto stesso. L' esempio perfetto che chiarifica questo tipo di situazione è il giacimento petrolifero: se infatti, da un lato, il petrolio ha un valore oggettivo determinato dal suo stesso mercato, la sua effettiva quantità contenuta nel giacimento potrebbe essere un' incognita, e sarà
16 O, naturalmente, degli oggetti al plurale, nel caso in cui vengano messe in vendita più unità in simultanea o in
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proprio in virtù della diverse stime su questa incognita che si avranno offerte maggiori o minori.
Come vedremo, non di rado queste aste sono caratterizzate da un particolare fenomeno che gli studiosi hanno definito "maledizione del vincitore" (winner' s course).
Naturalmente, oltre alle due situazioni estreme appena descritte, sono possibili e invero molto frequenti dei casi intermedi. È infatti difficile, tornando al primo esempio, mantenere l' assunzione che, nel caso in cui i bidders possano assistere all' intero processo di
formulazione delle offerte, non ne vengano in qualche modo condizionati, facendo così venir meno la condizione di indipendenza. A questo proposito si immagini una situazione in cui un potenziale acquirente, che aveva già intimamente stabilito dentro di sé un' offerta massima, resti sorpreso dalla quantità di partecipanti all' asta e dalle loro generose offerte per quella stessa opera d' arte17. Sarà del tutto probabile che, nonostante si debba
continuare a parlare di un valore privato, nel constatare la presenza di un così diffuso interesse verso l' oggetto egli sia disposto a rivedere al rialzo la sua offerta massima. L' esempio della situazione appena descritta ci porta alla definizione della terza
classificazione secondo la valutazione economica dell' oggetto: stiamo parlando cioè delle aste a valori correlati (affilieted value).
La diverse possibili combinazioni rispetto alla regola di pagamento e al metodo di trasmissione delle offerte, determinano i quattro fondamentali tipi di aste studiati in letteratura, che descriviamo nel prossimo paragrafo.
1.2. Le standard auctions
I meccanismi d' asta sono più numerosi di quanto si possa pensare. L' esistenza di alcuni modelli, invero anche piuttosto bizzarri e sconosciuti, insieme alla diffusione di molte varianti organizzative più o meno rilevanti, rendono piuttosto arbitrario il tentativo di fornirne un' elencazione esaustiva.
Ad ogni modo, la letteratura economica si è tradizionalmente concentrata su quattro specifici modelli studiati congiuntamente, che vengono perciò definiti come modelli di aste standard. Questo è dovuto senz' altro al loro primato in termini di diffusione e di
semplicità, ma, come vedremo, anche a dalle loro particolari caratteristiche, che ne
facilitano uno studio comparato. È infatti su questi quattro modelli che si sono raggiunti i
17 Si pensi inoltre al caso in cui tra i partecipanti all’ asta sia presente uno stimato critico d’ arte, capace di attestare
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più importanti e fecondi risultati teorici. Stiamo parlando dei modelli di asta inglese, olandese, in busta chiusa al primo prezzo e in busta chiusa al secondo prezzo.
1.2.1. L' asta inglese
Quella inglese è indubbiamente la forma di asta più nota e quella dal funzionamento più semplice e intuitivo18. Il banditore darà appuntamento ai concorrenti in un certo posto e in un certo momento, stabilendo solitamente un prezzo minimo di riserva, che viene definito base d' asta. I concorrenti inizieranno a formulare le proprie offerte in maniera ascendente, rilanciando cioè tra di loro con offerte che dovranno essere sempre maggiori rispetto all' ultima che è stata fatta. Il processo continua fintanto che nessuno, al livello di offerta corrente, sarà più disposto a rilanciare. Il banditore aggiudicherà l' oggetto al miglior offerente, che, naturalmente, dovrà pagare un prezzo pari alla sua maggior offerta. Dal punto di vista economico questo meccanismo d' asta presenta un fondamentale vantaggio e un fondamentale svantaggio. In primo luogo esso ci garantisce una
caratteristica che possiamo definire come "veridicità razionale dei bidders": alludiamo al fatto che, date queste regole, i bidders saranno portati ad esprimere la loro massima disponibilità a pagare, indipendentemente dalla loro neutralità o meno al rischio. D' altro canto, il banditore che opta per questo meccanismo, non può aspettarsi di incassare quel prezzo che in linea teorica massimizza il suo surplus di venditore; ovverosia, il risultato dell' asta all' inglese non si assesterà mai sulla massima disponibilità a pagare del maggior offerente: è infatti evidente che il comportamento razionale da parte dei bidders consiste nel rilanciare sempre secondo la quota minima prevista, così da poter ottenere un surplus del compratore, dovuto alla differenza tra la loro massima disponibilità a pagare e il prezzo che verrà effettivamente pagato; che, in ipotesi di razionalità, si assesterà fatalmente
appena al di sopra di quello del secondo migliore offerente. Naturalmente, il surplus del compratore avrà un' entità variabile a seconda dei casi: potrà essere scarsamente
significativo nel caso in cui le due maggiori disponibilità a pagare siano tra loro molto vicine, potrà invece essere estremamente rilevante nel caso in cui il maggior offerente avrebbe potuto offrire una cifra anche molto al di sopra di quella di aggiudicazione. Per quanto riguarda le informazioni, dal lato dei bidders questo meccanismo d' asta si dimostra particolarmente favorevole, in quanto consente, almeno nelle variante
tradizionale, di conoscere nel massimo grado il comportamento degli altri offerenti, di cui
18 La stessa etimologia della parola asta, ritiene Parisio (1999), si ravvede nel latino auctus (aumento), in riferimento
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sarà nota l' identità e la dinamica delle loro offerte, comprese quelle massime, definite di
drop out.
Resterà però ignota, sia al banditore che ai bidders perdenti, la massima disponibilità a pagare del miglior offerente.
Tenendo conto delle considerazioni strategiche appena svolte, l' asta all' inglese viene riassunta in termini economici come asta aperta al secondo miglior prezzo.
(Si badi a non cadere in equivoco: secondo la regola di pagamento formalmente considera, l' asta inglese è di fatto un' asta al primo prezzo; è in virtù delle considerazioni strategiche e dei risultati sostanziali a cui porta che viene definita come asta al secondo prezzo). È infine opportuno segnalare l' esistenza di una particolare variante, che viene definita come asta giapponese o come english clock auction: la differenza risiede nel fatto che il banditore, anziché sollecitare le offerte, provvederà egli stesso ad aumentare il prezzo in maniera crescente e graduale. I bidders saranno ritenuti in gara, fintanto che non daranno un segnale esplicito di abbandono dell' asta (solitamente tramite un pulsante); l' ultimo a restare in gara, sarà automaticamente il vincitore, che pagherà esattamente il prezzo a cui il penultimo ha abbandonato la gara, ovverosia il secondo miglior prezzo). Le
considerazioni strategiche di base rimangono le stesse, salvo che in questo caso, anziché all' intera dinamica di formulazione e di rilancio delle offerte, si potrà assistere soltanto al prezzi di drop out.
1.2.2. L' asta olandese
Questa tipologia di asta deve il suo nome al tradizionale mercato di fiori olandese. Altri mercati in cui oggi se ne riscontra l' uso, sono, ad esempio, alcuni mercati del pesce in Israele o alcuni mercati di tabacco in Canada19. Per quanto riguarda gli aspetti
organizzativi, l' asta olandese è praticamente identica a quella inglese. Per quanto riguarda lo svolgimento, avremo che in questo caso il banditore, anziché partire da una prezzo minimo di base, partirà da una prezzo che riterrà palesemente esagerato, e, in maniera graduale e costante, provvederà egli stesso a ribassarlo. L' asta si conclude non appena un qualsiasi bidder accetterà l' offerta corrente20, aggiudicandosi l' oggetto e impegnandosi a pagare la medesima cifra a cui lo ha accettato. È anche possibile tuttavia che il bene resti invenduto, qualora l' offerta dovesse scendere al di sotto di un prezzo che il banditore aveva stabilito come prezzo minimo di riserva.
Dal punto di vista strategico, in questo caso, non vi sarà da parte dei bidders un
19 Vedi Klemperer (2004)
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comportamento dominante che sarà possibile individuare priori, bensì dovremo tener conto del loro rapporto col rischio, secondo ipotesi differenti. Infatti, gli offerenti si troveranno di fronte a una autentica situazione di trade-off, dovendo contemperare due istanze opposte: da un lato, per ragioni di profitto, essi vorrebbero attendere sempre di più, dall' altro, per ragioni di probabilità di vittoria, essi non posso indugiare a lungo nell' accettare il prezzo corrente, pena l' essere preceduti da qualche avversario. Proprio a causa di questo trade-off, l' asta olandese viene definita come un' asta manipolabile, in quanto in essa, non valendo l' ipotesi di veridicità razionale, esprimere una valutazione pari alla propria effettiva disponibilità a pagare potrebbe non essere una posizione di equilibrio. In termini generali, possiamo anticipare che i bidders tenderanno infatti a fare un' offerta leggermente inferiore, dove l' entità del differenziale di prezzo tra il bid e la reale
disponibilità a pagare rappresenta un compromesso efficiente tra le due istanze che costituiscono il trade-off. Torneremo su questo punto in maniera più analitica, quando affronteremo l' asta olandese secondo delle ipotesi via via differenti.
Per quanto riguarda le informazioni, in questo meccanismo sia i bidders che il banditore resteranno privi di qualunque segnale, ed eccezione dell' offerta del vincitore e della sua identità.
Riassumendo in termini strategici ed economici, diremo che l' asta olandese è un' asta aperta al primo prezzo.
1.2.3. L' asta in busta chiusa al primo prezzo
Questo tipo di asta prevede che ciascun offerente faccia pervenire al banditore una lettera sigillata, che, secondo una precisa normativa, verrà custodita, aperta, e infine resa pubblica. La lettera dovrà contenere una sola offerta, unica e immodificabile; il vincitore sarà colui che avrà offerto di più, che pagherà esattamente quanto indicato dalla sua offerta. È il meccanismo usato più frequentemente nei mercati pubblici, ad esempio quelli per appalti e forniture.
Una prima differenza rispetto ai precedenti modelli risiede nell' aspetto organizzativo. In questo caso infatti non sarà richiesta la compresenza dei vari bidders in uno stesso luogo e in uno stesso momento, ma sarà sufficiente che essi facciano pervenire la loro offerta al banditore entro una determinata scadenza. A questo riguardo vigono precise normative di consegna, di custodia e apertura.
Per quanto riguarda l' aspetto informativo, avremo che i bidders, come nel caso olandese, si troveranno a formulare la propria offerta senza poter conoscere alcunché su quelle degli avversari; in questo caso, però, le varie offerte saranno rese note successivamente. Per quanto riguarda il lato del banditore, questo meccanismo garantisce una conoscenza
16
massima, giacché a lui perverranno sia l' offerta del vincitore che quelle di tutti gli altri concorrenti.
Dal punto di vista strategico, la situazione che si presenta è equivalente a quella dell' asta olandese, in quanto i bidders avranno di fronte il medesimo trade-off, e dunque la
medesima possibilità di formulare offerte diverse rispetto alla loro massima disponibilità a pagare, a secondo del loro rapporto col rischio.
In letteratura questo tipo di asta è anche definito con l' acronimo FPSB (First Price Selaed
Bid).
1.2.4. L' asta in busta chiusa al secondo prezzo (o asta di Vickrey)
Come è facile intuire, questo tipo di asta condivide col precedente modello sia l' aspetto burocratico e organizzativo, che quello informativo; la sola differenza risiede nel fatto che in questo caso il vincitore, che sarà sempre il miglior offerente, sarà tenuto a pagare l' equivalente della seconda migliore offerta.
L' ideazione di questo modello di asta si deve all' economista William Vickrey, e ad un suo fondamentale studio che risale al 196121.
L' autore si domandò se fosse possibile realizzare un meccanismo d' asta che portasse a dei risultati analoghi a quelli di un' asta inglese, e arrivò a dimostrare che in un' asta del tipo che abbiamo appena descritto, esiste una strategia di equilibrio, che corrisponde ad offrire esattamente la cifra che corrisponde alla propria reale valutazione. Notiamo infatti che in questo caso i bidders, che agiscono indipendentemente dal comportamento degli altri concorrenti, avranno una soluzione dominante all' interno del trade-off tra probabilità di vincita e profitto. (nota)
In altri termini, l' asta di Vickrey garantisce la razionale veridicità delle offerte dei bidders proprio come l' asta inglese, e, d' altro canto, con quest' ultima condivide anche lo svantaggio di poter garantire soltanto il secondo miglior prezzo.
Sebbene questo tipo di asta goda di grande interesse nella teoria economica, i suoi concreti usi applicativi sono piuttosto limitati22. Probabilmente, ciò è dovuto almeno in parte al suo funzionamento che, specialmente per chi non ha alcuna esperienza nell' ambito dei mercati d' asta, può essere frainteso, o comunque risultare di meno immediata comprensione. Vedremo tuttavia che possono esserci ulteriori è più convincenti motivi di
21Vickrey fu insignito del premio Nobel nel 1996, "per i fondamentali contributi alla teoria economica degli incentivi in
presenza di informazioni asimmetriche".
22Esempi di utilizzo dell’ asta SPSB si ritrovano nella vendita di francobolli rari. Più diffuso invece è il loro utilizzo in
ambito di aste ad oggetto multiplo. Sui motivi della rarità di utilizzo dell’ asta di Vickrey si segnala lo studio di Rothkopf, Teisberg e Kahn (1990).
17 natura strettamente economica e strategica.
È anche definita con l' acronimo SPSB (Second Price Sealed Bid).
Facendo una breve ricapitolazione su questi quattro fondamentali meccanismi di asta, diremo che dal punto di vista strategico, e in termini ancora generali, essi possono essere ridotti a due uniche situazioni tipo: da un lato, infatti, abbiamo un isomorfismo strategico tra l' asta inglese e la SPSB, caratterizzato dalla veridicità razionale dei bidders e dal pagamento al secondo prezzo; dall' altro abbiamo un isomorfismo strategico tra l' asta olandese e la FPSB, caratterizzato dal comportamento incerto dei bidders e dal pagamento al primo prezzo.
Nel prossimo paragrafo analizzeremo con maggior dettaglio, e sotto varie ipotesi, i risultati teorici ottenuti dallo studio di questi modelli.
1.2.5. Altri tipi di asta
A margine delle standard auctions appena descritte, è opportuno menzionare brevemente altri meccanismi, diffusi sia nella realtà degli scambi che, seppur in misura minore, nella letteratura economica.
Abbiamo le aste all pay, nelle quali il miglior offerente è il solo vincitore, ma tutti i partecipanti dovranno pagare in ogni caso l' importo delle loro offerte.
Abbiamo poi le aste sad loser, nelle quali a pagare sarà soltanto il bidder peggiore, che pagherà secondo la sua stessa offerta, mentre l' aggiudicatario sarà il miglior offerente, a cui verrà assegnato l' oggetto senza che debba pagare alcunché.
Abbiamo, ancora, l' asta inegualitaria: in questo caso avremo due soli bidders, tra cui uno soltanto dei quali potrà formulare un' offerta; all' altro sarà unicamente concesso di rispondere con un rilancio in aumento.
Citiamo inoltre la cosiddetta asta di Santa Claus. Gli agenti che con le loro offerte
supereranno un certo valore prestabilito dal banditore, riceveranno da quest' ultimo una somma fissa di denaro. Anche il vincitore riceverà tale somma, che andrà quindi a sottrarsi dalla sua offerta vincente.
Infine, abbiamo l' asta che viene definita anglo-dutch. Questo interessante meccanismo è stato proposto e descritto da Klemperer (1998). In sostanza, si tratta di un' asta a due fasi: la prima fase consiste in una normale asta inglese che proseguirà fintanto che non
resteranno in gioco soltanto pochi concorrenti; inizierà dunque la seconda fase, e questi restanti bidders dovranno formulare un' unica offerta finale in busta chiusa al primo
18 prezzo.
Questo meccanismo si propone di combinare i pregi dell' uno e dell' altro tipo di asta, e, del resto, sembra poterci riuscire23.
Accanto a questi veri e propri meccanismi di asta, si deve anche nominare l' intero ambito delle aste ad oggetto multiplo, su cui ci soffermeremo nel corso della trattazione.
19 1.3. Il modello di asta generale
Uno snodo fondamentale nella teoria delle aste si è avuto nel 1982, grazie ad uno studio di Milgrom e Weber. Ai due autori, in un particolare, si deve la prima teorizzazione di un modello di asta generale: un modello cioè caratterizzato da una formulazione abbastanza ampia e generica da poter contenere al suo interno le varie aste standard, studiate sotto ipotesi sia di valori privati e che di valori comuni. Sarà infatti possibile inserire nelle varie fasi di sviluppo del modello le debite assunzioni e le rispettive regole di prezzo per ottenere dei risultati specifici.
È per questa ragione che, anche alcuni risultati che in realtà sono stati raggiunti prima dell' introduzione di questo modello generale1, verranno comunque, per ragioni di semplicità e di chiarezza espositiva, presentati alla luce di quest' ultimo2.
Conviene dapprima ricordare che le aste si caratterizzano come giochi ad informazione incompleta, e ciò implica che l' incertezza che gli agenti dovranno affrontare sarà di natura duplice. Non vi sarà infatti soltanto l' incertezza strategica legata al comportamento degli avversari, bensì vi sarà anche incertezza riguardo alle caratteristiche private degli avversari. È allora evidente che le assunzioni che faremo nei riguardi di quest' ultimo punto avranno un ruolo primario nei modelli studiati.
Nel dettaglio, osserveremo che l' assunzione di informazione completa sulle valutazioni degli agenti viene sostituita dall' assunzione di informazione comune sulle distribuzioni di probabilità da cui le valutazioni stesse sono tratte: pertanto, il valore che ogni agente attribuisce all' oggetto d' asta viene assunto da ognuno di essi come una variabile casuale avente una distribuzione nota.
La valutazioni possono inoltre derivare dalla medesima distribuzione (e in tale caso parleremo di modello simmetrico), o da distribuzioni diverse3, e, in secondo luogo, esse possono caratterizzarsi come variabili casuali indipendenti o correlate, a cui dovranno di conseguenza corrispondere diverse funzioni di valutazione da parte dei bidders.
Si deve anche aggiungere che l' ampiezza, per così dire, della generalità del modello di Milgrom e Weber, copre un' intera famiglia di aste che è accomunata da quattro
fondamentali proprietà. I confini di questa estensione coincidono con quella che due autori
1 Stiamo parlando del lavoro di Wilson (1977), nel quale si introduce una formulazione generale delle funzioni di
valutazione dei bidders. L’ oggetto del suo studio, tuttavia, si concentra sulle proprietà dei prezzi in un’ ottica di mercato, più che sui i meccanismi di asta.
2Il modello verrà esposto seguendo la proposta di Parisio (1999).
3Come vedremo, il rilascio dell’ ipotesi di simmetria si rende necessario per lo studio delle aste multiple, che saranno
20
precedenti, Riley e Samuelson (1981), definiscono, nel loro studio, come classe E. Le
proprietà che definiscono questa classe, e che quindi determinano il campo di validità della nostra analisi, sono le seguenti:
- La regola di aggiudicazione è quella al miglior offerente.
- Gli agenti sono soggetti alle regole della procedura in modo identico.
- Le offerte devono essere superiori ad un prezzo di riserva 𝑏+ (eventualmente anche nullo) stabilito dal banditore.
- Il gioco d' asta ha una strategia di equilibrio comune 𝑏∗, detta anche funzione di bid, e
quest' ultima è strettamente crescente nelle valutazioni individuali
Stabilite queste premesse, possiamo iniziare ad analizzare il modello generale di asta di Milgrom e Weber. Partendo dalle sue assunzioni fondamentali, diremo che:
A1) Esiste un solo bene di vendita.
A2) Il venditore neutrale al rischio massimizza il suo profitto atteso dall’asta, che è definito dalla differenza tra il prezzo atteso di aggiudicazione e la sua personale valutazione del bene, 𝑉𝑉 :
[1] 𝐸( 𝜋𝑉 ) = 𝐸(𝑃) − 𝑉𝑉
A3) Sia 𝑁 = {1, … , 𝑛} l’insieme dei partecipanti all’asta, il cui numero 𝑛, 𝑛 ≥ 2 si assume
fisso e noto a tutti. Si assume inoltre che:
i) i bidders siano neutrali al rischio
ii) i bidders massimizzano il profitto atteso dall' asta, definito da:
∀𝑖 ∈ 𝑁, 𝐸[𝜋𝑖] = { 𝐸[𝑉𝑖− 𝑃] 𝑠𝑒 𝑖 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒
21
dove 𝑉𝑖 indica il valore che il bidder i attribuisce soggettivamente all’oggetto d’asta.
Tenendo conto che la regola di aggiudicazione per le aste della classe E è quella al miglior offerente, possiamo riscrivere il profitto atteso dell' asta come segue:
𝐸[𝜋𝑖] = 𝐸[(𝑉𝑖 − 𝑃)|𝑏𝑖 > 𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑗, ∀𝑗 ≠ 𝑖; 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁]
Dove 𝑏𝑖 indica l' offerta presentata in asta dall' agente i.
iii) Sia:
[2] 𝑉𝑖 = 𝑢𝑖(𝐗, 𝐒)
La funzione di valutazione del bidder i. Il valore 𝑉𝑖 che ogni partecipante attribuisce al bene dipenderà da due tipologie di variabili, le prime di natura personale e le seconde di natura esogena. Le stime o "segnali" di valore privatamente osservati dagli agenti4 sono contenuti nel vettore n-dimensionale di variabili reali 𝑋 ≡ {𝑋1,…,𝑋𝑛} .
Ogni bidder 𝑖 ∈ 𝑁 osserva un segnale soggettivo, 𝑋𝑖 , ma non quello degli 𝑛-1 avversari. Indichiamo pertanto il vettore ad n-1 componenti che racchiude i segnali di valore sconosciuti al bidder i:
{𝑋𝑗}𝑗≠𝑖= {𝑋1, … , 𝑋𝑖−1, 𝑋𝑖+1, … , 𝑋𝑛}
Gli elementi casuali che influiscono in modo esogeno sul valore del bene vengono invece contenuti nel vettore 𝑚-dimensionale di variabili reali 𝑆 ≡ {𝑆1, … , 𝑆𝑚} . La realizzazione di
queste variabili esogene è ignota ai bidders al momento dell' asta.
Nella formulazione generale della [2] constatiamo che la valutazione del bene si trova in relazione non solo con col segnale soggettivo del singolo agente, ma anche con quelli osservati dagli altri partecipanti all' asta. Le valutazioni sono quindi legate da un rapporto di reciproca interdipendenza. Questa relazione di interdipendenza può essere meglio
4A seconda dei casi le caratteristiche degli agenti vengono denominate come "tipo", stime di valore o segnali. Ognuna
di esse, indipendente o correlata alle altre, riassume in sé la totalità degli elementi che determinano il valore del bene per l' agente (nota 14 in Milgrom e Weber (1982)).
22
specificata in virtù delle tre proprietà fondamentali della funzione di valutazione.
A4) Sia 𝑉 ≡ {𝑉1, 𝑉2, . . , 𝑉𝑖, … 𝑉𝑛} il vettore a 𝑛 componenti delle valutazioni dei partecipanti.
Data la [2] , si assume che, ∀𝑖 ∈ 𝑁 :
𝑉𝑖 = 𝑢𝑖[𝐗, 𝐒]
[3]
= 𝑢 [𝐒, 𝑋𝑖, {𝑋𝑗}𝑗≠𝑖]
per una funzione 𝑢 ∈ℝ𝑛+𝑚 , non-negativa, continua e non decrescente in ciascuno dei
suoi argomenti. Inoltre si assume che: 𝐸[𝑉𝑖] < ∞ ∀𝑖 ∈ 𝑁 .
A seguito della formula [3] , ogni funzione di valutazione gode della proprietà della simmetria rispetto alle sue variabili. Il valore che ciascun partecipante attribuisce al bene dipende in modo simmetrico dai segnali di valore osservati dagli altri agenti, mentre le variabili esogene in S influenzano le valutazioni dei compratori in modo identico.
L' esplicitazione delle funzioni di valutazioni nella formula [3] caratterizza quindi un' ipotesi molto generale, in quanto ogni valutazione 𝑉𝑖 non dipende solo da fattori personali
(informazione privata, sintetizzata in 𝑋𝑖 ), ma anche da elementi che fanno parte della sfera privata dei concorrenti (sintetizzata nel vettore ad 𝑛-1 componenti {𝑋𝑗}
𝑗≠𝑖 ).
In questo senso è possibile tenere conto anche di influenze reciproche che intercorrono tra i partecipanti nella stima del valore del bene. Pertanto, l' incertezza sulle caratteristiche altrui si traduce per ogni compratore in incertezza sulla valutazione del bene d' asta. La successiva A5 specifica come questa incertezza venga riportata nel modello.
A5) In conformità con le ipotesi precedentemente assunte, assumiamo che ogni agente 𝑖 ∈ 𝑁 consideri il vettore (𝑠1, … , 𝑠𝑚, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ) come realizzazione particolare di una variabile casuale continua di dimensione 𝑚 + 𝑛 , ( 𝑆1, … , 𝑆𝑚 , 𝑋1, … , 𝑋𝑛 ).
Assumiamo che la funzione di densità congiunta di tale vettore casuale, definita con 𝑓(∙,∙) ,
sia nota e comune a tutti i partecipanti.
La valutazione attesa del bene d' asta, condizionata dal segnale osservato da ogni bidder i,
23 𝐸 [𝑢 [𝐒, 𝑋𝑖 , {𝑋𝑗}
𝑗≠𝑖 ]| 𝑋𝑖 = 𝑥𝑖] ≡ 𝑣(𝑥𝑖)
A6) La funzione di densità di probabilità 𝑓(∙,∙) è simmetrica rispetto ai suoi ultimi
𝑛 argomenti.
A7) le variabili casuali del modello, 𝑋1, … , 𝑋𝑛 , 𝑆1, … , 𝑆𝑚 , sono affiliate.
La proprietà di affiliazione ricopre un ruolo centrale nei modelli d' asta. Variabili casuali vengono dette affiliate quando la loro funzione di densità di probabilità 𝑓(∙,∙) soddisfa una
particolare disuguaglianza detta di Fortuin, Kastelin e Ginibre, dai nomi dei tre autori che la formularono5. Essa, che di seguito abbrevieremo come disuguaglianza di FKG, può essere espressa come segue:
Definizione 1 : Assumiamo che f : ℝ𝑚+𝑛→ [0, +∞] sia una funzione di densità e che 𝑧 = (𝑠1, … , 𝑠𝑚 , 𝑥1, … , 𝑥𝑛) e 𝑧′ = (𝑠′1, … , 𝑠′𝑚 , 𝑥′1, … , 𝑥′𝑛) siano due vettori in ℝ𝑚+𝑛 . Definiamo:
(𝑧∨ z′) = (𝑚𝑎𝑥(𝑠1 , 𝑠′1), … , 𝑚𝑎𝑥(𝑠𝑚 , 𝑠′𝑚), 𝑚𝑎𝑥(𝑥1 , 𝑥′1), … , 𝑚𝑎𝑥(𝑥𝑛 , 𝑥′𝑛)) (𝑧∧ z′) = (𝑚𝑖𝑛(𝑠1 , 𝑠′1), … , 𝑚𝑖𝑛(𝑠𝑚 , 𝑠′𝑚), 𝑚𝑖𝑛(𝑥1 , 𝑥′1), … , 𝑚𝑖𝑛(𝑥𝑛 , 𝑥′𝑛))
i due vettori che associano a coppie rispettivamente il massimo ed il minimo valore delle variabili x ed s . Si dice che 𝑓(∙,∙) soddisfa l’ ineguaglianza di FKG se, ∀𝑧, 𝑧′ ∈ℝ𝑚+𝑛 :
[FKG] 𝑓(𝑧) ∙ 𝑓(𝑧′) ≤ 𝑓(𝑧∨ z′) ∙ 𝑓(𝑧∧ z′)
Esiste una relazione stretta tra la disuguaglianza FKG e la proprietà di associazione delle variabili in z. Le variabili casuali associate godono della proprietà per cui esiste sempre una covarianza non-negativa tra funzioni delle stesse che siano monotone e non-decrescenti rispetto a ciascuno dei loro argomenti6.
In particolare, Karlin e Rinott (1980) considerano cinque importanti proprietà tipiche della densità, che soddisfano la disuguaglianza FKG, e dunque delle variabili associate. Inoltre,
5 Vedi Fortuin, Kastelin e Ginibre (1967)
24
altre due importanti proprietà delle variabili casuali affiliate sono discusse in Milgrom e Weber (1982)7
Il complesso delle sette proprietà a cui abbiamo accennato caratterizza le distribuzioni che soddisfano la A7. L’ insieme delle assunzioni dalla A1 alla A7 ci permette di esplicare la funzione del profitto atteso dell’ asta e di evidenziare alcune importanti proprietà della stessa. Rammentando l' ipotesi di simmetria delle valutazioni, possiamo riscrivere la funzione di valutazione del bidder 1, mettendo in evidenza l' ordinamento dei segnali non osservati in {𝑋𝑗}
𝑗≠1 come segue:
[4] 𝑉1 = 𝑢(𝑆1, … , 𝑆𝑚, 𝑋1, 𝑌1, … , 𝑌𝑛−1)
Le proprietà che abbiamo citato garantiscono inoltre che il valore atteso condizionato della valutazione in [4] , definito da:
𝑣(𝑥1, 𝑦1, … , 𝑦𝑛−1) = 𝐸[𝑢(∙)|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑦1, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1]
è funzione non decrescente dei suoi argomenti. Questo è un punto di grande rilievo in quanto garantisce che a un segnale più elevato corrisponda una aspettativa di valore dell' oggetto più elevata.
Un secondo elemento fondamentale per la definizione del profitto d' asta è la probabilità di vittoria, dal momento che il bidder 1 vince l' asta se la sua offerta supera tutte le altre. La definizione della probabilità di vittoria nell' asta si fonda sull' assunzione di una strategia comune di equilibrio del gioco. Per i meccanismi d' asta appartenenti alla classe E, la proprietà d garantisce l' esistenza di una funzione di bid 𝑏∗ tale per cui la 𝑛-upla di strategie {𝑏∗(. ), … , 𝑏∗(. )} rappresenta un equilibrio simmetrico del gioco d' asta. Di
conseguenza, considerando che 𝑏∗(. ) è crescente nella valutazione e che quest' ultima è a sua volta funzione crescente del segnale osservato, si avrà che in equilibrio il vincitore dell' asta sarà il bidder dotato del segnale più elevato. Dal punto di vista del bidder 1, la
probabilità di vittoria all' asta, data una strategia di equilibrio comune 𝑏∗ può essere specificata come segue:
[5] 𝑃𝑟{𝑏1 = 𝑏∗(𝑋1) > 𝑏∗(𝑌1)} = 𝐹𝑌1(𝑏
∗−1(𝑏 1))
25 Dove 𝑏∗−1(∙) indica la funzione inversa di bid e 𝐹
𝑌1(∙) indica la probabilità che la
valutazione del bidder 1 sia superiore alla più elevata tra le valutazioni degli avversari. Dal punto di vista del bidder 1, il maggior segnale 𝑌1 ,tratto dalla statistica ordinata dei segnali degli avversari, è una variabile casuale la cui funzione di densità di probabilità 𝑓𝑌1(𝑦1|𝑋1 = 𝑥1) , può essere calcolata a partire dalla densità congiunta 𝑓(∙,∙) .
Tenendo conto della [5] , possiamo riformulare il problema del bidder 1 come quello di scegliere quel valore del bid, 𝑏1 , che massimizza il suo profitto atteso:
𝐸[𝜋1|𝑥1] = 𝐸[(𝑉1− 𝑃)𝐥{𝑏∗(𝑌
1) < 𝑏1}|𝑥1]
[6] 𝑐𝑜𝑛 𝐥{∙} = 1 𝑠𝑒 𝑏∗(𝑌1) < 𝑏1
= 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖
Siamo quindi giunti all' essenza del problema dell' asta, che consiste nel bilanciamento di due opposte esigenze: quella di massimizzare la probabilità di vittoria, e quella di ottenere un profitto dallo scambio.
La composizione di questo trade-off dipende però in maniera decisiva dalle regole della procedura e in particolare dalla regola di prezzo P.
Pertanto, la strategia di equilibrio 𝑏∗(∙) deve essere ricavata in maniera indipendente per ognuno dei meccanismi che prenderemo in considerazione, vale a dire per i quattro meccanismi di aste standard.
La risoluzione del problema [6] per i meccanismi rappresentativi ci permetterà di verificare la validità della proprietà d inizialmente posta come assunzione per le aste appartenenti alla classe E. Proveremo infatti che ciascuna asta per cui valgono le assunzioni A1-A7, nonché le proprietà a, b e c, soddisfa anche la proprietà d, ovvero possiede una strategia di
bid 𝑏∗ funzione continua e crescente delle valutazioni dei bidders.
1.3.1. Strategie dei bidders nelle aste standard
26
asta, possiamo ricavare la condotta ottimale dei bidders risolvendo il problema [6] considerando, per ognuna delle quattro forme di asta, la rispettiva regola di prezzo. Le caratteristiche specifiche delle diverse procedure sono già state descritte in precedenza come combinazione tra forma orale o scritta delle offerte e regola di primo o di secondo prezzo.
Vedremo come, da un lato, l' oralità della procedura abbia importanti conseguenze sull' insieme informativo degli agenti, mentre dall' altro lato la scelta della regola di pagamento determina una diversa strategia ottima di bid.
1.3.1.1. L' asta in busta chiusa al secondo prezzo
In questa forma d' asta il maggior offerente si aggiudica l' oggetto e paga un prezzo pari al secondo maggior bid. In tale contesto, una strategia di bid per il bidder 1 è rappresentata da una funzione 𝑏1 che trasforma il suo segnale 𝑋1 in un bid positivo, 𝑏1 = 𝑏1(𝑋1) . Supponiamo che gli altri (n-1) agenti 𝑗 ≠ 1 seguano strategie crescenti, 𝑏𝑗 . Se l' agente 1 vince l' asta, pagherà un prezzo pari alla massima delle offerte avversarie, per cui: 𝑃𝑆𝑃 = 𝑚𝑎𝑥𝑗≠1 𝑏𝑗(𝑋𝑗) . Dal punto di vista del bidder 1 il prezzo 𝑃𝑆𝑃 è una variabile casuale, in quanto funzione nota di una variabile casuale. Date le ipotesi di monotonicità e simmetria in A4 e data una funzione di equilibrio 𝑏∗ avente le proprietà stabilite al punto d, possiamo riscrivere il prezzo come funzione nota della seconda maggiore valutazione 𝑌1 , cioè 𝑃𝑆𝑃 = 𝑏∗(𝑌
1) . Il problema del bidder 1 è allora quello di presentare un' offerta che massimizza il suo profitto atteso, definito sulla base della [6] e della regola di prezzo come segue: [7] 𝑚𝑎𝑥𝑏𝐸[(𝑉1− 𝑏∗(𝑌1))𝐥{𝑏∗(𝑌
1)<𝑏}|𝑥1]
Milgrom e Weber dimostrano l' esistenza di una strategia di equilibrio simmetrico 𝑏∗(∙) nel modello generale di asta al secondo prezzo.
Teorema 1: Sia data una funzione 𝑣:ℝ2 → ℝ definita da:
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑦]
27
Che indica la valutazione attesa condizionata del bene per l' agente 1, dati i segnali x, y. Allora, data una funzione di bid del tipo 𝑏∗(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑉
1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥] , la 𝑛-upla di
strategie (𝑏∗, … , 𝑏∗) costituisce un punto di equilibrio dell' asta in busta chiusa al secondo
prezzo. Inoltre 𝑏∗è una strategia di tipo crescente.
In virtù delle assunzioni A3, A4 ed A7, e delle altre proprietà menzionate, 𝑣(𝑥, 𝑦) è funzione non-descrescente e strettamente crescente nel suo primo argomento. Sostituendo nel problema [7] otteniamo:
[8] 𝐸[𝐸[(𝑉1− 𝑣(𝑌1, 𝑌1))𝐥{𝑏∗(𝑌1)<𝑏}|𝑋1, 𝑌1]|𝑋1 = 𝑥1]
dove l' aspettativa più interna tiene conto del fatto che il segnale 𝑌1 può essere valutato solo in termini attesi dall' agente 1. La [8] può essere riscritta come:
[9] 𝐸[(𝑣(𝑋1, 𝑌1) − 𝑣(𝑌1, 𝑌1))𝐥{𝑏∗(𝑌1)<𝑏}|𝑋1 = 𝑥1] =
= ∫ [𝑣(𝑥1, 𝑧) − 𝑣(𝑧, 𝑧)] 𝑏∗−1(𝑏)
−∞
𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1)𝑑𝑧
Dove z indica la variabile di integrazione. Poiché la funzione v è crescente in 𝑋1 , l' integrando è positivo per 𝑧 < 𝑥1 e negativo per 𝑧 > 𝑥1 .Perciò il valore dell' integrale è massimo ponendo 𝑏∗−1(𝑏) = 𝑥
1 , il che prova che 𝑏 = 𝑏∗(𝑥1) è un equilibrio bayesiano simmetrico del modello generale d' asta al secondo prezzo.
È possibile interpretare tale equilibrio riscrivendo il comportamento ottimo come: 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥] . L' agente 1 formulerà un' offerta nell' asta pari al valore atteso del bene, condizionato dal proprio segnale e dal fatto che il secondo più alto
segnale ha il medesimo valore del suo. Questo tipo di comportamento non è sorprendente poiché un valore 𝑌1 = 𝑥 è il massimo valore del segnale 𝑌1 compatibile col fatto che l' agente 1 vinca l' asta.
28 1.3.1.2. L' asta inglese
Abbiamo descritto in precedenza l' asta inglese ponendo particolare enfasi sul tipico
carattere di oralità e di sequenzialità delle offerte. Tali caratteristiche tuttavia sono presenti in maniera più o meno accentuata nelle diverse varianti dell' asta inglese conosciute nella pratica degli scambi. In questo capitolo considereremo, seguendo la scia di Milgrom e Weber (1982), la variante cosiddetta giapponese, definita anche come english clock auction, a cui abbiamo già accennato.
Il carattere di oralità e sequenzialità di questo meccanismo determina una elevata diffusione dell' informazione nel corso della procedura: infatti, per ogni rialzo di bid (effettuato dal banditore in modo continuo, nella variante giapponese) l' insieme informativo dei restanti bidders si amplia e ciascuno di essi è portato a rivedere la sua valutazione del bene sulla base del nuovo prezzo di drop out e del numero di avversari usciti. La dipendenza in senso positivo tra le variabili casuali del modello frutto dell' ipotesi di affiliazione A7 comporta strategie di bid iterative.
Ai fini dell' analisi, l' asta inglese può essere suddivisa in fasi successive, in modo che una nuova fase ha inizio ogni volta che almeno un bidder abbandona la competizione.
Definiamo allora lo stadio 𝑘, 𝑘 = (0,1, … , 𝑛 − 2) quella fase dell' asta che si verifica allorché
k partecipanti siano usciti ai prezzi 𝑝1 ≤ 𝑝2 ≤ ⋯ ≤ 𝑝𝑘 . Ogni stadio k è caratterizzato da un insieme informativo più ampio rispetto al precedente, in quanto gli (𝑛 − 𝑘) agenti rimasti attivi possono trarre da 𝑝𝑘 informazioni sulle valutazioni dei bidders fuoriusciti. Questa intuizione è alla base del risultato di Milgrom e Weber che illustriamo nel seguente
Teorema 2: La 𝑛-upla di strategie (𝑏∗, … , 𝑏∗) costituisce un punto di equilibrio dell' asta
inglese. La sua funzione di bid 𝑏∗ viene definita in modo iterativo, come segue:
𝑏0∗(𝑥) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑥] 𝑏1∗(𝑥) = 𝐸[𝑉
1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌𝑛−2 = 𝑥, 𝑏0∗(𝑌𝑛−1) = 𝑝1] … … …
29
Ai fini della dimostrazione del Teorema 2, consideriamo lo stadio che inizia quando rimangono solo due bidders attivi. Quando 𝑘 = (𝑛 − 2) , l’ asta inglese diviene l'
equivalente strategico dell' asta in busta chiusa al secondo prezzo con due agenti. Se gli agenti (2, … , 𝑛) adottano strategie 𝑏∗ ed il bidder 1 vince l' asta, il suo prezzo sarà pari a:
[10] 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑦1, 𝑌1 = 𝑦1, 𝑌2 = 𝑦2, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1]
mentre la sua valutazione del bene sarà definita da:
[11] 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑦1, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1]
Il profitto del bidder 1, se vince, sarà quindi dato dalla differenza tra la [10] e la [11], ed esso è non-negativo solo se 𝑥 ≥ 𝑦1 . È pertanto una strategia ottima per l' agente 1 rimanere in competizione fino a che il prezzo corrente non risulta pari a:
[12] 𝑏∗(𝑥) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌2 = 𝑦2, 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1]
La strategia 𝑏∗ è dunque risposta ottima rispetto ad un analogo comportamento degli avversari.
Anche nel caso dell' english auction, così come nel caso dell' asta in busta chiusa al secondo prezzo, un valore di 𝑌1 = 𝑥 è il massimo valore che il segnale può assumere, compatibilmente col fatto che l' agente 1 vinca l' asta con profitto non-negativo. È opportuno a questo proposito sottolineare come l' asta inglese condivida con i più generali modelli di mercato la fondamentale caratteristica del prezzo che agisce come strumento di diffusione dell' informazione tra gli agenti. Infatti, l' agente 1 vincitore si trova a pagare un prezzo, definito dalla [10], che è pari al valore atteso del bene condizionato dal valore vero di tutti i segnali informativi, o value estimates, che all' inizio della procedura gli erano ignoti. Inoltre, il vincitore, che conosce con certezza il valore del suo segnale, è in grado al termine dell' asta di formulare la miglior stima di valore del bene in vendita (cioè quella condizionata dall' insieme dell' informazione sparsa nell' asta e data dalla [11]) e ottiene un profitto positivo in quanto, nell' equilibrio simmetrico 𝑏∗ , egli paga il bene a una somma inferiore rispetto alla sua valutazione finale. Così come nell' asta al secondo
30
prezzo, il segnale informativo del vincitore serve solo a determinare la sua probabilità di vittoria ma non anche il prezzo da pagare, che è indipendente dal segnale 𝑥. Questa peculiarità del prezzo di aggiudicazione nell' asta inglese ha importanti conseguenza in termini di ricavo atteso della vendita ed influisce quindi sulla preferibilità o meno della procedura.
1.3.1.3. L' asta in busta chiusa al primo prezzo
Sappiamo che nell' asta in busta chiusa al primo prezzo il bene viene aggiudicato al
maggior offerente ad un prezzo pari alla sua offerta. Pertanto, dal punto di vista del bidder 1, nella [6] 𝑃 = 𝑏1 , se 𝑏1 > 𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑗 , ∀𝑗 ≠ 1 , 𝑗 ∈ 𝑁 .
Assumiamo che gli agenti (2, … , 𝑛) adottino una strategia di offerta 𝑏∗ tale da soddisfare le proprietà stabilite al punto d. È possibile allora dimostrare che tre sono le condizioni necessarie a che la 𝑛-nupla (𝑏∗, … , 𝑏∗) sia un punto di equilibrio dell' asta FPSB8.
La prima condizione richiede che 𝑏1 = 𝑏∗ (𝑥1) rappresenti la strategia ottima dell' agente 1, per 𝑋1 = 𝑥1 . Il bid ottimo deve allora essere soluzione del seguente problema:
[13] 𝑚𝑎𝑥𝑏1𝜋(𝑏1; 𝑥1) =𝐸[(𝑉1−𝑏1)𝐥{𝑏∗(𝑌1)<𝑏1}|𝑥1]
che può essere riscritto, utilizzando la funzione 𝑣(𝑋1, 𝑌1) , nel modo seguente:
𝑚𝑎𝑥𝑏1𝜋(𝑏1; 𝑥1) = = 𝐸{𝐸[(𝑉1− 𝑏1)𝐥{𝑏∗(𝑌1)<𝑏1}|𝑋1, 𝑌1]|𝑋1 = 𝑥1} = 𝐸{𝐸[(𝑣(𝑋1, 𝑌1) − 𝑏1)𝐥{𝑏∗(𝑌1)<𝑏1}|𝑋1 = 𝑥1]} = ∫ [𝑣(𝑥, 𝑧) − 𝑏1] 𝑏∗−1(𝑏) 𝑎 𝑓𝑌1(𝑧|𝑥)𝑑𝑧
8 Possiamo in realtà riassumere le tre condizioni in due soltanto: una derivante dalla massimizzazione del profitto
