Capitolo 2 Le aste online
2.3. Proprietà strutturali e implicazioni sistemiche delle aste online
2.3.2. Considerazioni sulla cronologia delle offerte
Il sistema di proxy bidding, oltre alle implicazioni che abbiamo messo in evidenza finora, richiede alcune altre considerazioni in merito alla cronologia della aste. Infatti, a differenza che nelle aste convenzionali, nelle quali al momento dell’ inizio i partecipanti sono tutti presenti, nelle aste online i bidders si presentano in un ordine casuale, definito dall’ ordine con cui essi vengono al corrente dello svolgimento dell’ asta stessa. Dal momento che il sistema di proxy bidding aggiorna immediatamente il prezzo, molti offerenti verranno a
44 Nel caso di una distribuzione uniforme nell’ intervallo [0,1] , la differenza attesa tra due offerte è infatti uguale a
1 𝑁+1 .
45 Per un approfondimento si veda Rogers, David e Jennings (2007).
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conoscenza dell’ asta scoprendo che il prezzo corrente è già troppo elevato perché essi siano in grado di formulare un rilancio valido.
L’ analisi di questo effetto ci porta a due importanti osservazioni, che discutiamo
brevemente di seguito. In primo luogo, noteremo che il numero di offerte che vengono presentate e in un’ asta può essere notevolmente più piccolo rispetto al numero di offerte che si sarebbe potuto ottenere in un’ asta convenzionale. In secondo luogo, mostreremo che l’ incremento minimo dell’ offerta introduce un’ inefficienza nell’ asta, dal momento che la probabilità che un partecipante vinca l’ asta dipende anche dal tempismo con cui egli formula la il suo bid. Chi infatti presenta la sua offerta all’ inizio dell’ asta ha infatti maggiori probabilità di vincerla.
2.3.2.1. Il numero atteso di offerte presentate
Per le ragioni che abbiamo appena esposto, possiamo indicare con 𝑛 il numero delle offerte registrate nella cronologia, laddove invece 𝑁 indica il numero potenziale di tutti i
bidders. Nelle simulazioni che abbiamo adottato, abbiamo ipotizzato che 𝑁 offerenti
partecipassero all’ asta e tentassero un’ offerta un’ offerta. Tuttavia, come abbiamo detto, molti di questi offerenti potrebbero scoprire che la loro valutazione è insufficiente per poter far avanzare il prezzo di offerta corrente, e pertanto la loro offerta non verrebbe accetta dal sistema di proxy bidding.
In generale, il numero di offerte osservate dipenderà dal prezzo di partenza, dall’
incremento minimo di offerta, dalla distribuzione delle valutazioni degli offerenti e dall’ ordine in cui questi ultimi partecipano all’ asta. Possiamo tuttavia calcolare agilmente e in modo analitico il numero atteso dei bids osservati considerando il caso particolare in cui 𝑑 = 0 e 𝑠 = 0 . Questo caso è interessante perché rappresenta il numero massimo di offerte che vengono osservate (ricordiamo infatti che all’ aumentando l’ incremento minimo di offerta o l’ offerta iniziale può solo ridurre la possibilità che un bidder possa formulare validamente la sua offerta). Inoltre, questo risultato è totalmente indipendente da qualsiasi ipotesi relativa alla distribuzione delle offerte presentate, e pertanto è
indipendente anche dalle ipotesi circa le distribuzioni di valutazione dei bidders47 e dalle
loro strategie di offerta.
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Possiamo quindi calcolare questo limite superiore supponendo che gli 𝑁 bidders incontrino l’ asta in un ordine casuale, e che ognuno di essi invii un’ unica offerta nel sistema di proxy bidding. Non faremo tuttavia ipotesi circa la tempistica di presentazione delle offerte48, bensì soltanto circa il loro ordine, e indipendentemente dalla loro
valutazione. Date queste ipotesi, con 𝑑 = 0 e 𝑠 = 0 , le offerte presentate dai primi due offerenti verranno sempre accettate; mentre, per quanto riguarda le offerte successive, esse saranno accettate solo se il loro importa supererà la seconda migliore valutazione pervenuta fino a quel momento.
Quindi, considerando con 𝐻𝑁 il numero atteso di volte in cui la seconda migliore offerta cambia a seconda di come consideriamo sequenzialmente le offerte 𝑁 , allora il numero atteso delle offerte osservate, 𝑛 , sarà dato da:
𝑛 = 1 + 𝐻𝑁 [11]
Partendo da questa espressione, e attraverso alcuni sviluppi matematici49, è possibile
giungere, in sintesi, a calcolare un valore di 𝑛 per un corrispondente valore elevato 𝑁 con la seguente formula:
𝑛 = 2 ln(𝑁) + (2𝛾 − 1) +1 𝑁
[12]
Dove il termine 𝛾 è una costante di Eulero, con valore di 0.577215665. La figura che riportiamo di seguito mostra un confronto tra questa espressione analitica e quella che individua la simulazione dei risultati e, come possiamo notare, l’ assonanza tra le due è molto buona, anche per valori di 𝑁 relativamente bassi.
48 Ciò vale a dire che assumeremo che essi presentino la loro offerte appena venuti a conoscenza dell’ asta. 49 Per i quali si rimanda a Rogers, David e Jennings (2007).
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(Fonte: Robert, David e Jennings(2007))
Ciò che colpisce di questo risultato è il fatto che il numero delle offerte osservate è
notevolmente inferiore rispetto al numero di offerenti che provano a formulare un bid. Ad esempio, come mostra la figura, quando abbiamo 40 agenti che tentano di formulare la loro offerta, in media soltanto meno di otto di loro hanno successo. Occorre poi ricordare che questo è un risultato generale, e che pertanto è indipendente sia da qualsiasi ipotesi riguardo a come il valore delle offerte è stato derivato, sia dalle tempistiche di
formulazione; esso dipende esclusivamente dalla sequenzialità con cui il protocollo d'asta aggiorna il prezzo di offerta corrente (assumendo soltanto che l' ordine con cui sono presentate è indipendente dalla loro valutazione). Inoltre, esso rappresenta un limite superiore, in quanto sia l’ aumento del prezzo iniziale, 𝑠 , che quello dell' incremento minimo di offerta, 𝑑 , comportano generalmente un minor numero di offerte. Il punto è illustrato nella stessa figura precedente, che mostra anche il numero atteso di offerte ricevute per diversi valori di 𝑑 , quando le valutazioni degli offerenti sono uniformemente calcolate su [0,1] 50 e, come prima, gli offerenti inseriscono direttamente le proprie
valutazioni nel sistema di proxy bidding. Come c’ era da aspettarsi, all’ aumentare dell’ incremento minimo di offerta il numero di bids registrati diminuisce.
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Questo risultato è di fondamentale importanza in quanto evidenzia come la cronologia delle offerte (nel caso specifico, il sistema di registrazione utilizzato da eBay) risulti tutt'altro che completa, e che quindi gli studi empirici sulle aste che utilizzano questa cronologia delle offerte in modo sprovveduto, possono incorporare degli errori sistematici nei loro risultati. Alcuni studiosi hanno sottolineato questo fatto, e hanno proposto vari approcci per affrontarlo.
A questo proposito, Harstad e Rothkopf (2000), hanno approfondito l’ aspetto delle potenziali offerte non formulate, prendendo tuttavia in considerazione un'asta inglese orale51. Essi hanno proposto un modello di riconoscimento alternativo in cui si osserva la
valutazione di ogni bidder, e ne studiano gli effetti in termini di ricavi attesi52. Jiang e
Leyton-Brown (2007) hanno invece approfondito la particolare questione delle offerte mancanti nelle aste di eBay, e hanno proposto un modello previsionale per stimare le distribuzioni del loro numero e le loro valutazioni, che tuttavia contiene alcune debolezze teoriche53.
2.3.2.2. La tempistica di presentazione delle offerte
Oltre ad influire sul numero di offerte che si osservano nella cronologia dell'offerta, il fatto di non poter effettuare un rilancio a causa della presenza di un incremento minimo di offerta, ha anche un impatto decisivo sulla possibilità o meno che l’ offerente con la
valutazione più alta riesca a vincere l'asta. Quando 𝑑 = 0 , il bidder con la valutazione più alta è sempre in grado di presentare la sua offerta, e pertanto di vincere l'asta; tuttavia, quando 𝑑 > 0 , ciò non è più detto. Questo introduce un elemento di inefficienza nel meccanismo d’ asta di eBay, e, pertanto, quando 𝑑 > 0 , anche l'ordine con cui sono presentate le offerte ha un effetto sulla determinazione del vincitore. La figura che segue mostra i risultati della simulazione per un'asta in cui gli offerenti che vorrebbero formulare le loro offerte sono 20.
51Dove si assume, pertanto, che il numero di potenziali offerenti sai conosciuto. 52 Uno studio simile si trova in Haile e Tamer (2003).
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(Fonte: Robert, David e Jennings(2007))
In questo grafico, l'asse delle ascisse indica l'ordine con cui gli offerenti tentano di
piazzare i loro bids durante lo svolgimento dell'asta (al numero 1 corrisponde il primo degli offerenti, mentre al numero 20 corrisponde l'ultimo) e l'asse delle ordinate indica la
probabilità di vittoria dell’ asta. La valutazione di ogni offerente viene tracciata in modo uniforme nell'intervallo [0, 1] , e gli offerenti presentano questa valutazione al sistema di
proxy bidding. Dal momento che i bidders sono simmetrici, quando 𝑑 = 0 , tutti gli
offerenti hanno pari a 1 su 20 la possibilità di vincere l'asta (la figura mostra una linea retta a 0,05).
Questi risultati ci suggeriscono che in questo tipo di aste è meglio presentare la propria offerta il prima possibile. Tuttavia, questo risultato appare in contrasto con quella parte di letteratura che considera la strategia del last minute bidding, e che sostiene che essa sia una strategia efficace, oltre che prevalente, nelle aste di eBay54. Avremo modo di chiarire il
punto nel seguito della trattazione, affondando nello specifico quest’ ultimo tema.