CONCAVITA'

Capitolo VI. Studio del grafico di una funzione y = f (x)

Prof. Chirizzi Marco

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6.3 Concavità, convessità, punti di flesso.

Sia y  f(x) una curva piana, definita in un intervallo



a,b



, ivi derivabile fino all’ordine che ci interessa. Sia x0 un punto interno a tale intervallo. Per ipotesi, la derivata in x0 esiste, quindi la tangente alla curva in questo punto non potrà essere parallela all’asse delle ordinate.

Definizione.

Si dice che nel punto P₀(x₀, y₀)_{, appartenente alla curva, la}

funzione volge la concavità verso l’alto se esiste un intorno completo H del punto x0 per ogni

x

del quale, diverso da x0, le ordinate dei punti della curva sono maggiori di quelle della tangente in P₀(x₀, y₀)_{, corrispondenti alle medesime ascisse. Se, invece,}

in tale intorno le ordinate dei punti della curva sono minori di quelle della tangente alla curva in P₀(x₀, y₀)_{, si dice che la funzione volge la convessità verso l’alto. Se,}

inoltre, non si verifica nessuno dei due casi, si dice che la funzione presenta in

) , ( _{0 0}

0 x y

P _{un punto di flesso. La figura in basso illustra ciascun caso.}

P0 Y

P0 P0

Convessità Concavità flesso

0

x x0 x0 X

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Per determinare la concavità, la convessità ed i punti di flesso di una curva, enunciamo i seguenti teoremi, omettendo le dimostrazioni:

Teorema.

Se risulta: 0 ) ( ₀   x f

la funzione y  f(x) presenta un flesso nel punto di ascissa x0, se f  x( 0)0. Se,

invece, la derivata terza è nulla, bisogna calcolare le derivate successive fino a quella diversa da zero. Se quest’ultima è di ordine dispari, la funzione ha, nel punto di ascissa

0

x _{, un flesso. Se, inoltre, si ha:}

0 ) ( ₀   x

f

la funzione volge la concavità se f  x( ₀)0_{, volge la convessità se} f  x( ₀)0_.

6.4 Asintoti

Sia y f(x) _{una curva, e sia} P(x,y) _{un suo punto. Si definisce asintoto della}

curva, la retta, se esiste, a cui la curva tende senza mai intersecarla. In termini geometrici, significa che la distanza tra il punto P(x,y) _{e la retta, tende a zero al}

tendere del punto P(x,y) _{all’infinito. La figura in basso riporta un esempio di}

asintoto.

Y

y P

o x X I casi da distinguere sono i seguenti:

Primo caso. Se esiste il limite







lim

x

₀

f

(

x

)

x

l’equazione xx0 rappresenta un asintoto verticale per la funzione.

Secondo caso. Se esiste il limite

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C

x

f

x

lim

 

(

)



l’equazione yC _{rappresenta un asintoto verticale per la funzione.}

Terzo caso. Sia:





 

(

)

lim

f

x

x

In questo caso, se esiste un asintoto per la curva, questo deve essere obliquo, e l’equazione sarà del tipo:

q mx

y 

dove il coefficiente angolare ed il termine noto si calcolano rispettivamente nel seguente modo:



( )



. , ) ( lim lim q f x mx x x f m x x       

In definitiva, quando si verifica il limite_x

lim

_{ }

f

(

x

)





, l’asintoto obliquo non esiste nel caso in cui uno dei due limiti, m e q, assume valore infinito, oppure esiste ma è infinito.

6.5 Studio del grafico di una funzione

y  f(x)

_.

Per studiare e graficare una funzione, è opportuno procedere nel seguente modo:

a) Per prima cosa, si determina l’insieme di definizione della f (x)

b) Si determinano eventuali simmetrie rispetto all’asse delle ordinate e rispetto all’origine degli assi coordinati.

c) Si studia il segno della funzione

d) Si effettua la ricerca degli eventuali punti d’intersezione della f(x) con gli assi

e) Si determinano le equazioni degli eventuali asintoti della curva f) Si studia la crescenza o decrescenza della f(x)

g) Si effettua la ricerca dei massimi e minimi relativi h) Si determinano gli eventuali punti di flesso

i) Si studia la concavità e convessità.

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