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Classe quarta Classe quinta

FRAMMENTI DI TEORIA

1) Concetto di funzione.

 La funzione è una legge (o una relazione) che associa ad un elemento ^x di un insieme un solo ed uno solo elemento ^{y=f ( x )} di un altro insieme.

2) Classificazione delle funzioni.

 ALGEBRICHE TRASCENDENTI

(NON ALGEBRICHE)

RAZIONALI IRRAZIONALI Trigonometriche

y=senx

Logaritmiche y=log x

INTERE FRATTE INTERE FRATTE Esponenziali y=2^x y=x² ^y=

1

x y=

√

^x ^y=

1

√

^x

3) Funzione algebrica.

 Si dice algebrica quando la sua equazione ha la forma polinomiale, se non è algebrica si dice trascendente.

4) Funzione razionale.

 Si dice razionale quando la variabile ^x non è sotto il “segno di radice”, se non è razionale si dice irrazionale.

5) Funzione intera.

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 C.E. o dominio di una funzione è l’insieme ^X di tutti i valori reali che si possono attribuire alla variabile ^x per determinare i valori corrispondenti della ^y .

7) Campo della variabilità.

 C.V. o l’insieme immagine di una funzione è l’insieme ^Y dove i suoi elementi sono tutte le immagini degli elementi di ^X .

8) Definizioni di funzioni pari e dispari.

 La funzione è pari quando è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, ossia f (x )=f (−x ) .

Un esempio di funzione pari è la parabola monomia di equazione: y=x² _.

 La funzione è dispari quando è simmetrica rispetto all’origine degli assi, ossia f (x )=−f (−x ) .

Un esempio di funzione dispari è la parabola cubica monomia di equazione:

y=x³ _.

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9) Funzioni Monotone.

Classificazione:

in senso stretto in senso largo

crescente decrescente non decrescente non crescente

Definizioni:

 Funzione monotona crescente ∀x₁, x₂∈ℜx₁<x₂→f ( x₁)<f ( x₂)

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 Funzione monotona non crescente ∀x₁, x₂∈ℜx₁<x₂→f ( x₁)≥f ( x₂)

10) Reciproche posizioni tra una retta ed una curva.

Per esempio, consideriamo una retta ed una parabola:

1) La parabola è esterna alla retta, viceversa, la retta è esterna alla parabola (non si intersecano).

2) La parabola è secante alla retta, viceversa, la retta è

secante alla parabola (si intersecano in due punti distinti).

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3) La parabola è tangente alla retta, viceversa, la retta è tangente alla parabola (si intersecano in due punti coincidenti).

11) Convessità di una curva.

 Una curva si dice CONVESSA VERSO IL BASSO (CONCAVA VERSO L’ALTO) in un punto se la tangente passante per quel punto si trova al di sotto della curva

12) Punto di flesso.

 Il punto di flesso è un punto dove la curva cambia di concavità, la retta che passa per quel punto è una tangente.

Punto di flesso

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Flesso ascendente a tangente orizzontale

Flesso discendente a tangente orizzontale

Flesso ascendente a tangente obliqua

Flesso discendente a tangente obliqua

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Classificazione dei punti di flesso.

14) Massimi e minimi relativi.

 Si dice che la funzione f ha in ^x⁰ un punto di massimo [rispettivamente minimo] relativo se esiste un intorno di ^x⁰ tale che per ogni x del dominio in tale intorno si ha che f (x )≤f ( x₀) [rispettivamente f (x )≥f ( x₀) ].

 L’ascissa ^x⁰ , in generale, si chiama estremante. Se è l’ascissa del punto di massimo si dice massimante, invece se è l’ascissa del punto di minimo si dice minimante.

15) Funzione continua in un punto

 Una funzione si dice continua in un punto di ascissa ^x⁰ se si verifica la seguente uguaglianza:

lim_{x → x}

0f ( x )=f ( x₀) . Ossia quando si verificano le tre condizioni:

I. Esiste il valore della funzione nel punto di ascissa ^x⁰ ; II. Esiste il limite finito della funzione per ^x che tende ad ^x⁰ ;

III. Il limite coincide con il valore della funzione nel punto di ascissa ^x⁰ . Cioè:

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I. ∃f ( x₀) ; II. ∃lim_{x → x}

0f ( x )=lim_{x →x}

0⁻f ( x )=lim_{x→ x}

0⁺f ( x )=ℓ ; III. ^{ℓ=f ( x}⁰⁾ .

16) Funzione continua in un intervallo

 Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti i punti dell’intervallo.

17) Punto di discontinuità

 Si definisce punto di discontinuità quel punto di ascissa ^x⁰ dove la funzione non risulta continua.

18) Classificazione dei punti di discontinuità

 Si dice di prima specie quando in ^x⁰ esistono finiti i limiti desto e sinistro e sono fra loro distinti, ossia:

lim_{x → x}

0⁻f ( x )=ℓ₁¿ℓ₂=lim_{x→ x}

0⁺f (x )

 Si dice di seconda specie quando in ^x⁰ o non esiste almeno uno dei due limiti, destro e sinistro, oppure quando almeno uno di questi due limiti vale infinito, in quest’ultima ipotesi si dice che la funzione ha, in ^x⁰ , un punto di infinito.

 Si dice di terza specie, se esiste finito il ^lim^{x → x}⁰^{f ( x )} ma il valore di f (x ) o non esiste in ^x⁰ , oppure esiste ma risulta: ^{f (x}⁰^)≠lim^{x→ x}⁰^{f ( x )} . In questo caso si dice anche che nel punto si presenta per la funzione una discontinuità eliminabile.

19) Asintoto

 L’asintoto è una retta che risulta essere tangente ad una curva nel suo punto all’infinito. Se la tangente è parallela all’asse delle ordinate allora l’asintoto si dice verticale, se la tangente è parallela all’asse delle ascisse allora l’asintoto si dice orizzontale, se la tangente risulta essere inclinata rispetto agli assi

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21) Asintoto orizzontale

 Si dice che la retta di equazione ^y=a è un asintoto orizzontale a destra per il grafico della funzione ^{y=f ( x )} se ^lim^{x →+∞}^{f (x )=a} .

 Si dice che la retta di equazione ^y=a è un asintoto orizzontale a sinistra per il grafico della funzione ^{y=f ( x )} se ^lim^x→−∞^{f ( x )=a} .

22) Asintoto obliquo

 Si dice che la retta di equazione ^{y=mx +n} è un asintoto obliquo a destra per il grafico della funzione ^{y=f ( x )} se esistono finiti i seguenti limiti:

lim_{x →+∞}f ( x )

x =m

con ^m≠0 e ^lim^{x →+∞}^[f (x )−mx ]=n

 Si dice che la retta di equazione ^{y=mx +n} è un asintoto obliquo a sinistra per il grafico della funzione ^{y=f ( x )} se esistono finiti i seguenti limiti:

lim_{x →−∞}f ( x )

x =m

con ^m≠0 e ^lim^{x →−∞}^[f ( x )−mx ]=n 23) Rapporto incrementale

 Si dice rapporto incrementale della funzione ^{y=f ( x )} relativo al punto di

ascissa ^x⁰ e all’incremento h la quantità:

Δ_y

Δ_x=f ( x₀+h)−f ( x₀) h

E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se ^h>0 , mentre si dice rapporto incrementale sinistro se ^h<0 .

24) Significato geometrico di rapporto incrementale

 Il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è il coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto di ascissa incrementata.

25) Derivata di una funzione

 Chiamasi derivata della funzione ^{y=f ( x )} nel suo punto di ascissa ^x⁰ il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero

dell’incremento h della variabile, ossia: ^lim^{h→ 0}

f ( x₀+h)−f ( x₀)

h . La derivata

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della funzione ^{y=f ( x )} nel punto di ascissa ^x⁰ si suole indicare con una qualunque delle seguenti notazioni: ^y^'^(x⁰⁾ , ^f^'⁽^x⁰⁾ oppure ^{f (x}^˙ ⁰⁾ . 26) Significato geometrico della derivata di una funzione

 La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto.

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