Le funzioni di Heaviside e Dirac

Lezione 6 - Lo sviluppo in serie di Fourier

Unit`

a 6.1 Le funzioni di Heaviside e di Dirac

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

La funzione a gradino di Heaviside (I)

Nel 1880 lo scienziato auto-didatta Oliver Heaviside introdusse la seguente funzione

Θ(x ) = 

1 per x > 0

0 per x < 0 (1)

che `e ora detta funzione a gadino di Heaviside.

Questa `e una funzione discontinua, con una discontinut`a di prima specie (salto) in x = 0. Questa funzione `e spesso usata nel contesto dell’analisi dei segnali elettrici, ma anche in altri settori della scienza.

La funzione a gradino di Heaviside (II)

La funzione di Haviside appare anche nel contesto della fisica quantistica statistica. Infatti, la funzione di Fermi-Dirac (o distribuzione di

Fermi-Dirac)

Fβ(x ) =

1

eβ x _{+ 1} , (2)

proposta nel 1926 da Enrico Fermi e Paul Dirac per descrivere la distribuzione statistica degli elettroni nei metalli, dove β = 1/(kBT ) `e

l’inverso della temperatura assoluta T (con kB la costante di Boltzmann)

e x =  − µ `e l’energia  dell’elettrone rispetto al potenziale chimico µ, diventa la funzione Θ(−x ) nel limite di piccole temperature T , cio`e

lim

β→+∞Fβ(x ) = Θ(−x ) =



0 per x > 0

La funzione delta di Dirac (I)

Ispirato dal lavoro di Heaviside, e con il proposito di descrivere una densit`a di carica elettrica estremamente localizzata, nel 1930 Paul Dirac introdusse la seguente ”funzione”

δ(x ) =  +∞ per x = 0 0 per x 6= 0 (4) imponendo che Z +∞ −∞ δ(x ) dx = 1 . (5)

La funzione delta di Dirac (II)

Sfortunatamente, non esiste una funzione δ(x ) matematicamente ben fondata che soddisfi sia l’Eq. (4) che l’Eq. (5).

Dirac sugger`ı che un modo per aggirare questo problema `e quello di interpretare l’integrale di Eq. (5) come

Z +∞ −∞ δ(x ) dx = lim →0+ Z +∞ −∞ δ(x ) dx , (6) dove δ(x ) =  1  per |x| ≤ /2 0 per |x| > /2 . (7)

La funzione delta di Dirac (III)

Dunque, la funzione delta di Dirac δ(x ) `e una ”funzione generalizzata” (ma, strettamenete parlando, non una functione) che soddisfa le Eqs. (4) and (5) con il caveat che l’integrale in Eq. (5) deve essere interpretetato in accordo con Eq. (6).

Propriet`

a della delta di Dirac (I)

In accordo con l’approccio di Dirac, gli integrali che coinvolgono la δ(x ) devono essere interpretati come segue

Z +∞ −∞ δ(x ) f (x ) dx = lim →0+ Z +∞ −∞ δ(x ) f (x ) dx , (8)

per ogni funzione f (x ). E’ allora facile provare che Z +∞

−∞

δ(x ) f (x ) dx = f (0) . (9) utilizzando l’Eq. (7) ed il teorema della media.

Propriet`

a della delta di Dirac (II)

Diverse altre propriet`a della funzione delta di Dirac δ(x ) seguono dalla sua definizione. In particolare

δ(−x ) = δ(x ) , (10) δ(a x ) = 1 |a|δ(x ) con a 6= 0 , (11) δ(f (x )) = X i 1 |f0_(x i)| δ(x − xi) con f (xi) = 0 , (12)

dove l’apostrofo sigifica derivata prima.

Un’altra interessante propriet`a formale `e la seguente

Θ0(x ) = δ(x ) . (13)

Inoltre, applicando formalmente l’integrazione per parti si trova Z +∞

−∞

Delta di Dirac in pi`

u variabili (I)

Fino ad ora abbiamo considerato la funzione δ(x ) con solo una variable x . Non `e difficile definire la funzione delta di Dirac δ(D)_{(r) nel caso of un}

dominio D-dimensionale RD_{, dove r = (x}

1, x2, ..., xD) ∈ RD `e un vettore D-dimensional: δ(D)(r) =  +∞ per r = 0 0 per r 6= 0 (15) con anche Z RD δ(D)(r) dDr = 1 . (16)

Delta di Dirac in pi`

u variabili (II)

Chiaramente, anche in questo caso multidimensionale si deve interpretare l’integrale della Eq. (16) come

Z RD δ(D)(r) dDr = lim →0+ Z RD δ(D)_ (r) dDr , (17)

dove δ(D) (r) is la funzione di r ed  tale che

δ(r) =

 1

 per |r| ≤ /2

Delta di Dirac in pi`

u variabili (III)

Numerose propriet`a della δ(x ) rimangono valide anche per δ(D)_(r).

Nondimeno, alcune propriet`a della δ(D)_{(r) dipendono dalla dimensione}

spaziale D.

Ad esempio, si pu`o dimostrare la seguente formula

δ(D)(r) = ( 1 2π∇ 2_{(ln |r|) per D = 2} − 1 D(D−2)VD∇ 2 1 |r|D−2  per D ≥ 3 , (19) dove ∇2₌ ∂2 ∂x2 1 + ∂2 ∂x2 2 + ... + ∂2 ∂x2 D e VD = πD/2/Γ(1 + D/2) `e il volume di

una ipersfera D-dimensionale di raggio unitario, con Γ(x ) la funzione gamma di Eulero.

Delta di Dirac in pi`

u variabili (IV)

Nel caso D = 3 la precedente formula diventa δ(3)(r) = −∇2

 ₁ 4π|r|



, (20)

che pu`o essere usata per trasformare la legge di Gauss

dell’elettromagnetismo dalla sua forma integrale alla sua forma differenziale. Infatti, data una carica elettrica q, il suo campo elettrico risulta E(r) = q 4π0|r|2 u = −q 0 ∇  ₁ 4π|r|  , (21)

dove 0`e la costante dielettrica nel vuoto e u `e vettore unitario. Ne segue

I S E(r) · n d2S = Z V ∇ · E(r) d3_{r = −}q 0 Z V ∇2  ₁ 4π|r|  d3r = q 0 Z V δ(3)(r) d3r = q 0 . (22)