FUNZIONE FUNZIONE Def Def . .

FUNZIONE FUNZIONE Def Def . .

Siano A e B due insiemi.

Siano A e B due insiemi.

Una legge che

Una legge che ad ogni elemento x di A ad ogni elemento x di A associa

associa uno, ed un solo, elemento y di uno, ed un solo, elemento y di B B si dice si dice FUNZIONE f FUNZIONE f definita su A definita su A

a valori in B,

a valori in B, e si indica con e si indica con

f:A f:A → → B _B

♦♦

A A

f f

♦♦

B B

f f

♦♦

y=f y=f (x) (x) ∈ ∈ B B

chiama immagine di x mediante fimmagine di x mediante f

♦♦

x x ∈ ∈ A A

controimmagine

controimmagine di ydi y

Data

Data f:Af:A→→B,_B,

ImIm(f)=f(A)=(f)=f(A)={{yy∈∈BB::∃∃xx∈∈A A tctc f(x)=yf(x)=y}}

NB: f(A)

NB: f(A)⊆⊆BB

A A B B

•

•

•

•

•

•

• •

• •

• •

Im Im (f) (f)

•

Data

Data f f :A:A→→B,B,

se se

A’ A’ ⊂ ⊂ A A

f f

:A :A ’ ’ → → B B

si chiama si chiama

restrizione restrizione

di di f f ad ad A A ’ ’

•

•

• •

•

•

•

•

• •

•

B B A A

f f

•

La La leggelegge qui qui

definita definita è è una una

funzione funzione

di A in B?

di A in B?

NO NO

Ci sono elementi di A a

cui la funzione data non

associa alcun valore di B

•

•

•

•

•

•

• •

•

B B

A A

•

•

f f

La La leggelegge qui qui

definita definita è è una una

funzione funzione

di A in B?

di A in B?

NO NO

C’è un elemento di A al

quale vengono associati

due elementi di B

ESEMPIO ESEMPIO

Consideriamo

Consideriamo un’impresa un’impresa che produce una che produce una

determinata merce e supponiamo che in regime determinata merce e supponiamo che in regime

di pieno utilizzo possa produrre N unità di tale di pieno utilizzo possa produrre N unità di tale

bene.

bene.

Per produrre tale merce l’impresa deve Per produrre tale merce l’impresa deve

sostenere dei costi che possono dividersi in:

sostenere dei costi che possono dividersi in:

FISSI

FISSI: indipendenti dalla quantità di merce : indipendenti dalla quantità di merce prodotta

prodotta (legati ad es. agli impianti esistenti)(legati ad es. agli impianti esistenti) VARIABILI

VARIABILI: il cui ammontare dipende dal : il cui ammontare dipende dal volume di produzione

volume di produzione (ad es. per l’acquisto(ad es. per l’acquisto di di materie prime)

materie prime)

… … continua continua

Sia

Sia qq = = quantità di merce prodottaquantità di merce prodotta CfCf = = costi fissicosti fissi

CvCv(q)(q) = = costi variabilicosti variabili

qq variabile indipendente che può variare variabile indipendente che può variare da 0 ad N

da 0 ad N

C(q)C(q) variabile dipendentevariabile dipendente

(il costo di produzione della merce

(il costo di produzione della merce dipendedipende dalla quantità q di merce prodotta)

dalla quantità q di merce prodotta)

… … continua continua

Se esiste una

Se esiste una leggelegge che permette di che permette di stabilire in maniera stabilire in maniera univoca

univoca come come C(q)C(q) dipenda da dipenda da qq, si avrà una , si avrà una funzionefunzione.. Si può supporre, ad

Si può supporre, ad eses., che ., che CvCv(q)(q) sia sia proporzionale a

proporzionale a qq secondo la costante Asecondo la costante A, cioè , cioè CvCv(q)=A(q)=A⋅⋅ q_q e quindie quindi

C(q)=Cf + A C(q)=Cf + A⋅⋅ q_q

C:C:{{0,1,_0,1,……,N,N}→ℜ}→ℜ definita da

definita da C(q) = Cf + AC(q) = Cf + A⋅⋅ q_q èè unauna FUNZIONE FUNZIONE (funzione dei costi)(funzione dei costi) qq è la variabile indipendenteè la variabile indipendente

CC è la variabile dipendenteè la variabile dipendente

• • •

•

•

CC^ff

0 1 2 3 4

f(x’)=f(x’’)

f(x’)=f(x’’) ⇒ ⇒ x x ’ ’ =x =x ’’ ’’

Una funzione si dice

Una funzione si dice

INIETTIVA INIETTIVA

se se

ad elementi distinti del ad elementi distinti del dominio associa elementi dominio associa elementi

distinti del

distinti del codominio codominio

•

•

•

•

•

• •

•

B B

A A

•

•

f f

La La

funzione funzione qui qui

definita definita è è

iniettiva iniettiva??

NO NO

A due elementi distinti di A la funzione associa lo stesso elemento di B

•

Se Se f:Af:A→→B_B è iniettivaè iniettiva ⇒⇒

(inversa di f (inversa di f ) che ad ogni elemento ) che ad ogni elemento yy∈∈f(A)_f(A) associa associa quellquell’’ xx∈∈A : f(x)=y_{A : f(x)=y}

A A

f

f →

∃ : ( )

) ( ₃

1

3 f y

x = ⁻

) ( ₄

1

4 f y

x = ⁻

) ( ₂

1

2 f y

x = ⁻

) ( ₁

1

1 f y

x = ⁻

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

1 1 )

( x y

f =

2 2 )

( x y

f =

3 3 )

( x y

f =

4 4 )

( x y

f =

f

−1

f

Una funzione f:A

Una funzione f:A → → B B si si dice dice SURIETTIVA SURIETTIVA ^{se se}

Im Im (f)=B (f)=B

•

•

•

•

•

• •

•

B B

A A

•

•

f f

La La

funzione funzione

qui definita qui definita è è

suriettiva suriettiva??

NO NO

Esistono elementi di B che ∉ Im (f)

•

Una funzione f:A

Una funzione f:A → → B B si si dice dice BIIETTIVA BIIETTIVA ^{se è se è}

sia sia iniettiva iniettiva

che che suriettiva suriettiva

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

La La leggelegge sopra definita sopra definita è è biiettivabiiettiva??

SI SI

f:A f:A → → B B

se se A A ⊆ℜ ⊆ℜ e e B= B= ℜ ℜ

f è una

f è una funzione di variabile funzione di variabile reale

reale a a valori reali valori reali

D’ora in poi considereremo

funzioni di questo tipo

Data f:A

Data f:A → → R si R si definisce

definisce grafico della grafico della funzione f

funzione f , ,

l l ’ ’ insieme G(f)( insieme G(f)( ⊂ ⊂ A _A × × ℜ ℜ ) ₎ delle coppie ordinate delle coppie ordinate

(x,f(x)) con x

(x,f(x)) con x ∈ ∈ A _A

Data f:R

Data f:R → → R definita da R definita da

il il GRAFICO DI GRAFICO DI f f è è f ( x ) = x

{ ^{∈ ℜ} }

= x x x f

G ( ) ( ,

) :

In generale

In generale il grafico di una il grafico di una funzione è una

funzione è una CURVA PIANA CURVA PIANA , ma , ma non tutte le curve piane sono

non tutte le curve piane sono grafici di funzioni

grafici di funzioni

Non è il grafico di Non è il grafico di

una funzione

una funzione, per essere tale ogni retta parallela

all’asse delle y deve incontrarlo in un solo punto

A volte

A volte è è assegnata assegnata la la legge che legge che definisce la funzione

definisce la funzione ma ma non è non è specificato

specificato il il dominio dominio

In questo caso si considera il In questo caso si considera il

DOMINIO NATURALE di f DOMINIO NATURALE di f

cioè il più grande insieme cioè il più grande insieme

sul quale la funzione ha sul quale la funzione ha

senso

senso

ESEMPIO ESEMPIO

2 3

)

( x = x

− x + f

{ ^{∈ − + ≥} } ⁼

= : 3 2 0

)

om( f x R x

x D

{ ^{∈ : ≤ 1 ≥ 2} }

= x R x o x

Una funzione f:A

Una funzione f:A→ℜ→ℜ con A con A simmetrico rispetto all

simmetrico rispetto all’origine,’origine, si si dice:

dice:

• • PARI PARI se f(x) se f(x) =f =f ( ( - - x) x) (grafico (grafico simmetrico rispetto all’asse simmetrico rispetto all’asse

delle ordinate) delle ordinate)

• • DISPARI DISPARI se f( se f( - - x)= x)= - - f(x) f(x) (grafico simmetrico

(grafico simmetrico

rispetto all’origine degli rispetto all’origine degli

assi)

assi)

Una Una funzione funzione si dice si dice limitata limitata

superiormente, limitata inferiormente o superiormente, limitata inferiormente o

limitata

limitata se _se l’insieme f(A)l’insieme f(A) è rispettivamente è rispettivamente

limitato superiormente, limitato limitato superiormente, limitato

inferiormente o limitato inferiormente o limitato

Analogamente:

Analogamente:

f è dotata di massimo o minimo se f(A) lo è e f è dotata di massimo o minimo se f(A) lo è e

) (

inf )

( inf

) (

sup )

( sup

A f

x f

A f

x f

A x

A x

=

=

∈

∈

) (

min )

( min

) (

max )

( max

A f

x f

A f

x f

A x

A x

=

=

∈

∈

Data f:R

Data f:R → → R definita da R definita da f ( x ) = sen x

] 1 , 1 [

)

( R = −

f Insieme limitato con Insieme limitato con max=1

max=1((=sup=sup) e ) e min=min=--11((=inf=inf))

⇒⇒ f f èè una funzione limitata dotata di massimo M=1 e una funzione limitata dotata di massimo M=1 e di minimo m=

di minimo m=-1-1

Data f:R

Data f:R → → R definita da R definita da

) ,

4 [ )

(R = +∞

f Insieme superiormente Insieme superiormente illimitato dotato di

illimitato dotato di min=4min=4

⇒⇒ f f èè una funzione limitata inferiormente, dotata una funzione limitata inferiormente, dotata di minimo m=4 e illimitata superiormente con di minimo m=4 e illimitata superiormente con

supsup(f)=+(f)=+∞∞

Il massimo e il minimo di cui si è parlato si dicono Il massimo e il minimo di cui si è parlato si dicono anche

anche MASSIMO ASSOLUTOMASSIMO ASSOLUTO e MINIMO e MINIMO ASSOLUTO

ASSOLUTO e possono essere definiti come seguee possono essere definiti come segue

Data si dice che

Data si dice che M M ( ( m m ) è il ) è il MASSIMO ASSOLUTO MASSIMO ASSOLUTO

( ( minimo assoluto minimo assoluto ) della ) della funzione f se

funzione f se

R A

f : →

( ) , ed : ( )

( ( ) , ed : ( ) )

f x M x A x A f x M

f x m x A x A f x m

≤ ∀ ∈ ∃ ∈ =

≥ ∀ ∈ ∃ ∈ =

Oltre che di massimo e minimo assoluto per una Oltre che di massimo e minimo assoluto per una funzione, si può parlare di

funzione, si può parlare di MASSIMOMASSIMO e e MINIMO MINIMO RELATIVO

RELATIVO

Data si dice che

Data si dice che L L ( ( l l ) ) è il è il MASSIMO RELATIVO MASSIMO RELATIVO

( ( minimo relativo minimo relativo ) della funzione ) della funzione f se f se

R A

f : →

{ }

: ( ) ( ) ed

( , ) :

. . ( ) ( ( ) ) ( , ) x A f x L l

I x r x x r x x r t c f x L f x l x I x r A

∃ ∈ =

∃ = ∈ − < < +

≤ ≥ ∀ ∈ ∩

\

NB: NB:

x’ punto di x’ punto di

massimo (

massimo (minmin) ) assoluto

assoluto

x’ punto di x’ punto di

massimo (

massimo (minmin) ) relativo

relativo x’ punto di

x’ punto di massimo (

massimo (minmin)) assoluto

assoluto

x’ punto di x’ punto di

massimo (

massimo (minmin)) relativo

relativo

⇒ ⇒

⇐ ⇐

1 2 3

4

5

p.to min rel.

p.to max rel.

p.to min rel.

e assoluto p.to max rel.

e assoluto p.to min rel.

x x x x x

=

=

=

=

=

:[ , ]

f a b → R

x (a ,b ) x (a ,b )

s u p ( ) , m in ( )

p .to d i m in r e la tiv o e d a s s o lu to

f x L f x m

x

∈ = ∈ =

=

R b

a

f : ( , ) →

Data Data f : A → R

1 2 1 2

1 2 1 2

se , A con si ha

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) è crescente (decr.) in A

x x x x

f x f x f x f x f x

∀ ∈ <

≤ ≥

⇓

1 2 1 2

1 2 1 2

Se , A con si ha

( ) ( ) ( ( ) ( ))

( ) è strettamente crescente (strett. decr.) in A

x x x x

f x f x f x f x f x

∀ ∈ <

< >

⇓

Le funzioni appena definite si dicono Le funzioni appena definite si dicono

MONOTONE MONOTONE

NB:NB: Le funzioni Le funzioni STRETTAMENTE STRETTAMENTE MONOTONE

MONOTONE

sono invertibili sono invertibili

Ogni retta Ogni retta

parallela parallela

all’asse all’asse

delle x delle x

incontra la incontra la

funzione in funzione in

un solo un solo

punto

punto

Sia Sia f:Af:A→→R e R e g:Bg:B→→RR

Se f(A)Se f(A)⊆⊆ BB ha senso considerare ha senso considerare ∀∀xx∈∈AA lala funzione

funzione h:Ah:A→→ RR

definita da definita da h(x)= (

h(x)= (ggοοf_f)(x) )(x) =g=g(f(x))(f(x)) detta

detta funzione compostafunzione composta mediante mediante ff e e gg

• • •

A A B B R R

x f(x)

f (A)

g(f(x))

ggοοf(x)f(x)

NB: se NB: se ∃∃ gofgof non non èè detto che detto che ∃∃ fogfog poichpoichéé se se f(A)

f(A) ⊆⊆ B, non B, non èè detto che f(B) detto che f(B) ⊆⊆ AA

Anche nel caso in cui esistono sia

Anche nel caso in cui esistono sia gofgof che che fogfog, , in generale

in generale fogfog ≠≠ gofgof

ff gg

: 0 ? f g R⁺ R

∃ D →

x x

f

R R

f

=

→

+

) (

: ESEMPIOESEMPIO : 0

( ) log

g R R

g x x

+ →

=

NONO g R( )₀⁺ = ⊄R dom f

• •

•

x

0<x<1

R

ff

x log

R

g

R

g

R

•

0

0

( ) dom

( )( ) :

g R R R f

f g x R R

+ +

+

= ⊆ = ⇒

⇒ ∃ D →

• • •

x

xx≥1≥1

ffοοgg^|A|A((xx))

R

gg^|A|A

x log

R

R

R

x log

( ) om

( )( ) :

( )( ) log

A

A

A

g A R R d f

f g x A R

con f g x x

+ +

= ⊆ = ⇒

⇒ ∃ →

= D

D

A A

? : R R g

f →

∃ D

) 2

( :

x x

f

R R

f

=

→ESEMPIOESEMPIO

1 )

( :

+

=

→ x x

g

R R

g

? : R R f

g →

∃ D

SISI SISI

f R

R R

g( ) = ⊆ = dom g R

R R

f ( ) = ⁺ ⊆ = dom

2 2

) 1 (

1

) 1 (

) (

+

→

 +

→



+

=

x x

x

x x

g f

f g

D

peròperò

( ^{f D g} ) ^{( x ) ≠} ( ^{g D f} ) ^{( x )}

1 1

) (

2 2

2

+

→



→



+

=

x x

x

x x

f g

g f

D

conclusione conclusione

Alla luce della

Alla luce della definizione di funzionedefinizione di funzione COMPOSTA

COMPOSTA avremo:avremo:

Osservazione Il grafico della

Il grafico della funzione inversafunzione inversa di una di una funzione f è il

funzione f è il simmetricosimmetrico di quello di f di quello di f rispetto rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

che tale

è )

( :

inversa funzione

la iniettiva,

è :

Se

1 f A A

f

R A

f

- →

→

( ^f

^{D f} ) ^{( x ) = x e} ( ^{f D f}

) ^{( y ) = y}

1 1

è iniettiva ^- 0 e ( ) log f ⇒ ∃f : R⁺ → R f ⁻ y = y

e

x f

R R

f : →

( ) =

y e

y f

f ( ⁻¹( )) = ^{log y} = f ⁻¹( f ( x)) = log e ^x = x

e invertibil è

non iniettiva

è

non f

f ⇒

x x

f R

R

f : →

( ) = sen

: , ( ) sen

I 2 2 I

f I _{= −} π π _{ →} R f x ₌ x

 

 

peròperò

1 1

I è iniettiva I^- [ 1,1] e I ( ) arcsen

f ⇒ ∃f : − → R f ⁻ y = y

1

( I ( )) sen(arcsen )

f f ⁻ y = y = y

1

I ( ( )) arcsen(sen )

f ⁻ f x = x = x

Insiemi CONVESSI Insiemi CONVESSI

DefDef.. Un insieme nel piano si dice Un insieme nel piano si dice convesso convesso se se il segmento che unisce due punti il segmento che unisce due punti

qualsiasi dell’insieme appartiene qualsiasi dell’insieme appartiene

all’insieme stesso all’insieme stesso

Funzioni CONVESSE Funzioni CONVESSE

DefDef.. Una funzione f si dice Una funzione f si dice convessa convessa se se il il suo EPIGRAFICO è un insieme

suo EPIGRAFICO è un insieme convesso

convesso Si chiama

Si chiama EPIGRAFICOEPIGRAFICO di una funzionedi una funzione l’insieme dei punti del piano che si l’insieme dei punti del piano che si

trovano al di sopra del grafico trovano al di sopra del grafico

stesso stesso

Ciò equivale a dire che

Ciò equivale a dire che il segmento che il segmento che

unisce due punti qualsiasi del grafico unisce due punti qualsiasi del grafico

di f

di f non si trovanon si trova al di sotto del grafico al di sotto del grafico di fdi f

Se il grafico di una funzione convessa

Se il grafico di una funzione convessa non non contiene

contiene segmenti rettilinei la funzione si dice segmenti rettilinei la funzione si dice strettamente convessa

strettamente convessa, altrimenti , altrimenti convessaconvessa

f si dice

f si dice concavaconcava ((strettstrett.) se .) se --f è convessa f è convessa ((strettstrett.) .)