STUDIO COMPLETO E GUIDATO DI UNA FUNZIONE
Marco Monaci
1Liceo Scientifico G. Marconi (5F)
INTRODUZIONE: In questa breve nota eseguiremo lo
studio guidato di una funzione reale, partendo dalle condizioni di esistenza e arrivando fino alla derivata seconda, riuscendo in questo modo a tracciarne il grafi-co. Come linea generale possiamo seguire il seguente schema:
1. Trovare le condizioni di esistenza; 2. Ricerca di eventuali simmetrie; 3. Intersezioni con gli assi; 4. Studio del segno;
5. Limiti per i punti di frontiera del dominio (nel ca-so in cui il dominio sia tutto R, studiare i limiti limx→∞f (x)e limx→−∞f (x);
6. Studio segno derivata prima (ricordandosi che i punti in cui vale f0(x) = 0corrispondono ai massimi e minimi);
7. Studio segno derivata seconda, qualora la derivata seconda non sia demoniaca e contro le convenzioni di Ginevra. Ricordarsi che nei punti in cui vale f00(x) = 0abbiamo dei punti di flesso, ovvero punti dove cambia la concavità della funzione.
Una volta raccolte tutte le informazioni, dovrebbe essere facile tracciare un grafico qualitativo.
FUNZIONE PROPOSTA E SUO STUDIO: La funzione che
proponiamo è la seguente:
f (x) =p3 sinh(x)
La funzione sinh(x) si chiama seno iperbolico: rap-presenta una generalizzazione del ben più conosciuto sin(x). Il seno iperbolico non è una funzione periodica nel campo R, ma lo è nel piano C (numeri complessi).
Comunque, al di là del folklore delle funzioni iperboli-che, che si affrontano solo nei corsi di laurea scientifici, è possibile definire il seno iperbolico come:
sinh x = e
x− e−x
2 (1)
Che quindi sappiamo agilmente studiare. In definitiva possiamo scrivere la funzione da studiare come:
f (x) = 3 r
ex− e−x
2
Iniziamo quindi dal dominio.
Condizioni di Esistenza (CE)
Gli esponenziali non ci daranno sicuramente noia, in quanto sono definiti in tutto R. Bisogna quindi prestare un minimo di attenzione per la radice. Tuttavia la radice è cubica, quindi avendo indice dispari ha campo di esistenza pari ad R.
In definitiva la nostra funzione ha: C.E. −→ R
Simmetrie
Valutiamo la presenza di eventuali simmetrie nella funzione. Ricordiamoci che:
• Se f (x) = f (−x) allora la funzione si dice pari; • Se f (−x) = −f (x) allora la funzione si dice dispari; • Se non è verificata nessuna delle condizioni sopra
riportate, allora la funzione non ha simmetrie. Calcoliamo quindi prima f (−x):
f (−x) = 3 r e(−x)− e−(−x) 2 f (−x) = 3 r e−x− ex 2
Confrontandola con l’espressione di f (x) notiamo che sono diverse, ovvero f (x) 6= f (−x). La funzione non è pari.
Invece calcolando −f (x) otteniamo: −3 r ex− e−x 2 = 3 r e−x− ex 2
E confrontandola con f (−x) notiamo che sono uguali. Quindi la funzione è dispari.
Intersezioni con gli assi
Occupiamoci ora delle intersezioni con gli assi. Per fare questo dobbiamo separatemente imporre le seguenti condizioni:
• x = 0; così facendo troviamo l’eventuale intersezione (una sola!) con l’asse y;
• y = 0; così facendo troviamo le eventuali intersezioni con l’asse x. Iniziamo imponendo x = 0. f (0) = 3 r e0− e−0 2 f (0) = 0
Quindi abbiamo la prima intersezione in (0, 0). Pos-siamo anche fermarci qui, in quanto questa è anche l’intersezione con l’asse y, e poiché ce ne può essere soltanto una, è anche l’unica.
Studio del segno
Passiamo ora allo studio del segno. Dobbiamo quindi risolvere la seguente disequazione:
f (x) > 0 Ovvero: 3 r ex− e−x 2 > 0
La radice cubica mantiene i segni del radicando, quindi abbiamo che:
3 r ex− e−x 2 > 0 −→ ex− e−x 2 > 0
Ovvero: ex− e−x> 0 ex> e−x ln (ex) > ln e−x x ln e > −x ln e 2x > 0 x > 0
Dove abbiamo utilizzato il logaritmo naturale in quan-to è una funzione monoquan-tona e non cambia il segno del-la disuguaglianza. Quindi in definitiva del-la funzione è positiva per x > 0.
Limiti
Adesso occupiamoci dello studio dei limiti. Questa fun-zione fortunatamente non è incattivita, essendo definita in tutto R. Dobbiamo quindi studiare solo i limiti per ∞ e per −∞.
Iniziamo dal limite per ∞.
lim x→∞ 3 r ex− e−x 2 −→ 3 r e∞− e−∞ 2 −→ ∞ Adesso facciamo il limite per −∞.
lim x→−∞ 3 r ex− e−x 2 −→ 3 r e−∞− e−(−∞) 2 −→ −∞ E i limiti sono così sistemati.
Studio della derivata prima
Adesso sistemiamo la derivata prima. Ricordiamoci che la derivata prima della radice cubica è:
d dx 3 √ x = 1 3√3 x2
Detto questo calcoliamo la derivata prima della nostra funzione. f0(x) = 1 33 r ex−e−x 2 2 1 2 e x+ e−x = e x+ e−x 3q3 2 (ex− e−x)2
Fatto questo, studiamone il segno. f0(x) > 0 ex+ e−x
3q3
2 (ex− e−x)2
> 0
Dobbiamo studiare separatamente il numeratore e il denominatore, tuttavia è più facile di quel che sembra. Intanto il numeratore notiamo essere somma di due esponenziali, uno crescente e l’altro decrescente. Tutta-via tali esponenziali sono positivi in tutto R, e la somma
di due funzioni sempre positive è una funzione a sua volta sempre positiva. Quindi il numeratore è maggiore di 0 ∀x ∈ R.
Il denominatore presenta una radice cubica, che quin-di conserva il segno del raquin-dicando. Ma il raquin-dicando è sempre un numero positivo, in quanto è elevato alla seconda, quindi in definitiva anche il denominatore è sempre maggiore di zero.
In definitiva la derivata prima è sempre positiva per tutto R.
NOTA. Occhio alle condizioni di esistenza anche sulla
derivata! Infatti in questo caso c’è da specificare un pic-colo dettagliucco. Per x = 0 il denominatore si annulla, infatti abbiamo:
e0− e−0= 0
Per x = 0 la derivata prima non è infinita. Questo significa che abbiamo un flesso a tangente verticale. In poche parole la funzione "decolla" per x → 1− ma
"atterra" subito dopo per x → 1+.
Studio della derivata seconda
In teoria dovremmo studiare anche la derivata seconda. Tuttavia questa funzione non rientra nelle convenzioni di Ginevra, in quanto presenta una derivata seconda molto lunga da calcolare. Onde evitare errori di calcolo, ci limitiamo a trovare numericamente i punti in cui vale f00(x) = 0, ovvero dove si trovano i cambi di concavità.
x1' −1.15
x2' 1.15
Detto questo, possiamo finalmente tracciare il grafico approssimativo della funzione considerata. Lo troviamo in Figura 1.
Figura 1:Grafico finale della funzione considerata. I punti in blu indicano l’intersezione e dove si annulla la derivata seconda (ovvero dove cambia di concavità). Notare come per x = 0 ci sia un flesso a tangente verticale, dove per l’appunto la derivata prima è infinita. La zona ombreggiata è dove la funzione è negativa.