Appello scritto del 13 gennaio 2015 soluzioni_finale

Compito del 13 gennaio 2015

Problema 1 (10 punti)

La distribuzione di carica a simmetria cilindrica in figura è illimitata nella direzione assiale, ha raggio R ed è caratterizzata da una densità di carica di volume ρ(r)=ρ0r/R , dove r è la distanza dall’asse. Si calcoli:

1) la densità di carica per unità di lunghezza λ (2 punti);

2) la differenza di potenziale tra l’asse (r=0) e il bordo della distribuzione (r=R) (4 punti);

3) la minima velocità con cui una particella di massa m e carica q, posta a distanza 3R dall’asse della distribuzione, deve essere lanciata verso la distribuzione stessa affinché riesca a penetrarvi (4 punti).

Dati: ρ0=10µC/m3, R=10cm, q=1nC, m=2×10-7kg.

Soluzione

La carica per unità di lunghezza si ottiene integrando la densità di volume sulla sezione del cilindro:

! = _!!2!"# ! d!= 2!!!!!/3 = 0.2!C/m.

2) Il campo dentro il cilindro si calcola tramite il teorema di Gauss: 2!"ℎ! ! !_!= ℎ !2!!!_{! !}! _d!!

!

da cui si trova:

! ! = !_!!!_/3! !!.

Pertanto, la differenza di potenziale richiesta è:

! 0 − !(!) = _!!! ! d!= !_!!!_/9!

!= 1.25kV.

3) Al suo esterno la distribuzione di carica si comporta come un filo con densità !, che genera un il campo !(!) = λ  /2!!"!. Esso produce una differenza di potenziale:

! ! − ! 3! = ! log(3!/!)/2!!!.

La velocità richiesta !! si trova imponendo la condizione ! ! ! − ! 3! = !!!!/2, da cui !!=

Problema 2 (10 punti)

Nel circuito in figura il condensatore C1 è un capacitore piano

parallelo con facce di area S poste alla distanza d e riempito in parti uguali da materiali di costante dielettrica relativa

ε

1 ed

ε

2. Con i condensatori scarichi, al tempo t=0 l'interruttore

viene chiuso e si misura una corrente I0. Si calcoli:

1) il valore della resistenza R (2 punti); 2) la capacita del condensatore C1 (2 punti);

3) l’istante di tempo dalla chiusura dell'interruttore necessario per avere la d.d.p. su C2 uguale

a V2 (4 punti);

4) la differenza di potenziale sui condensatori C2 e C3 a regime (2 punti).

Dati: S=4cm2_{, d=0.5cm,}

ε

1=2,

ε

2=3, I0=3mA, f=15V , V2=3V, C2=2pF, C3=3pF.

Soluzione

Nell’istante della chiusura del circuito il condensatore si comporta come un cortocircuito. Pertanto, il valore della resistenza vale

R = f I

₀

=5K!

.

Il condensatore C1 è la serie dei due condensatori dovuti alla interposizione dei dielettrici tra le

sue armature:

C

_1,1

=

2!

0

!

1

S

d

; C

1,2

=

2!

₀

!

₂

S

d

! C

1

=

2!

₀

S

d

!

₁

!

₂

!

₁

+

!

₂

"

#

$

$

%

&

'

'

= 1.7pF

.

Per rispondere alla terza domanda è necessario calcolare la costante di tempo del circuito che vale:

! = RC

_eq

= 14.5ns ; C

_eq

= C

₁

+

C

2

C

3

C

₂

+ C

₃

= 2.9pF

.

Con i condensatori inizialmente scarichi, la d.d.p. ai capi di C1 e della serie C2 e C3 è data da:

V

_e

(t) = f 1 ! e

!t /!

(

)

.

Di conseguenza, la carica accumulata nel tempo sulla serie C23= C2C3/( C2+C3) vale:

Q

₂₃

(t) = V

_e

(t)C

₂₃

! Q

₂₃

(t) = f

C

2

C

3

C

₂

+ C

₃

1 ! e

!t /!

(

)

.

L’andamento della d.d.p. ai capi del condensatore C2 è pertanto dato da:

V

₂

(t) =

Q

23

(t)

C

₂

= f

C

₃

C

₂

+ C

₃

1 ! e

!t /!

(

)

da cui

t

₁

= !! log 1 !

V

2

(t

1

)

f

C

₂

+ C

₃

C

₃

"

#

$

$

%

&

'

'

= 5.9ns

.

Nelle condizioni di regime la carica finale sulla serie dei due condensatori C1 e C2 vale:

Q

₂₃

(t ! ") = f

C

2

C

3

C

₂

+ C

₃ da cui

V

2

(t ! ") =

Q

₂₃

(t ! ")

C

₂

= f

C

₃

C

₂

+ C

₃

= 9V

.

Nelle stesse condizioni la d.d.p. ai capi di C3 è uguale a

V

₃

(t ! ") = f # V

₂

(t ! ") = 6V

.

R T

f C1

C₂ C₃

Problema 3 (10 punti)

Si studi la situazione fisica in figura: un conduttore rettilineo in cui passa una corrente i nel punto A è sagomato in modo tale che i due segmenti AB e BC sono i due lati di un quadrato di centro O e diagonale D. Alla destra di questo conduttore se ne colloca un altro ad esso adiacente in cui scorre una corrente i1 che, in corrispondenza del punto A è piegato a formare un

semicerchio di raggio R=D/2. Nell’ipotesi di essere in vuoto, si chiede di determinare:

1) il campo B nel punto O generato dal conduttore di sinistra in modulo direzione e verso; (6 punti)

2) il valore e verso della corrente i1 da far passare nel conduttore di destra

in modo tale che il campo di induzione magnetica totale nel punto O sia nullo. (4 punti)

Dati: i=10A, D=20cm

Soluzione

Prendendo in esame il tratto AB, il campo dB generato dall’elemento ds nel punto O vale:

dove ds ha il verso di percorrenza della corrente i, ur è il versore del vettore r che unisce un

punto generico del lato AB con il punto O e ϑ l’angolo tra ds e ur.

La direzione del campo B è perpendicolare al foglio con il verso uscente da esso. Riferendosi alla figura, indicando il lato OH con h=L/2=(D/2)cos(π/4)=0.07 m si può porre:

dove α é l’angolo tra r e il lato OH. Pertanto, si ha:

Si tratta ora di esprimere ds in funzione dell’angolo

α

utilizzando le seguenti relazioni:

dove s è la generica coordinata che è nulla in H, centro del lato AB. Il campo B vale:

Il tratto BC di conduttore produce anch’esso un valore di B uguale a quello appena trovato. Di conseguenza, il valore totale del campo di induzione magnetica in O è:

B =

µ

0

i

2!h

= 40.3µT

 

d

B =

!

µ

0

i

4!

d!s !

u

!

_r

r

2

! dB =

µ

₀

i

4!

sin"ds

r

2 A B O H ! h r ds " D/2

r =

h

cos!

; " = #

2

!

! ; sin" = sin

#

2

!

!

"

#

$$

%

&

'' = cos!

dB =

µ

0

i

4!

cos

3

"ds

h

2

s = h tan

!

! ds =

h

cos

2

!

d

!

B =

µ

0

i

4!h

!! /4

cos" d"

! /4

!

=

2µ

0

i

4!h

O

A

B

C

R

i

₁

Si noti che i tratti rettilinei del conduttore hanno come direzione quella passante per O non danno contributi dato che ds//r. Nel caso del conduttore a forma semicircolare di raggio h si ha che il campo B1 da esso generato vale in modulo:

B

₁

=

µ

0

i

1

4h

! i

1

=

4Bh

µ

₀

= 8.9A

Il verso della corrente i1 è opposto a quello della corrente i e il suo valore si è calcolato