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Appunti di Geometria Analitica del Piano e dello Spazio

Mongodi Samuele - samuele.mongodi@gmail.com

21/10/2011

Indicheremo con R2 _{l’insieme delle coppie dei numeri reali; ovvero}

R2= {(x, y) ∶ x, y ∈ R} e similmente sar`a

R3= {(x, y, z) ∶ x, y, z ∈ R} .

Fissiamo nel piano un sistema cartesiano monometrico di coordinate; ovvero fissiamo un’origine O e due rette perpendicolari, passanti per O, su cui individuiamo due segmenti di lunghezza 1, OU e OV .

La retta OU `e l’asse delle ascisse e dunque U ha coordinate (1, 0), mentre la retta OV `e l’asse delle ordinate, quindi V ha coordinate (0, 1); ovviamente, O ha coordinate (0, 0). In questo modo, ad ogni punto del piano possiamo associare due coordinate (x, y) e, viceversa, date delle coordinate (x, y), siamo in grado di determinare univocamente il punto a loro associato.

Questa corrispondenza identifica il piano cartesiano e R2, identificando ogni punto con le sue coordinate.

1 Equazione della retta

Una retta `e individuata da un’equazione della forma ax + by + c = 0 .

Questa si chiama forma generale dell’equazione della retta; lo svantaggio di una simile rappresen-tazione è che una singola retta può corrispondere a più equazioni: le equazioni

x + y = 0 2x + 2y = 0

−x − y = 0

rappresentano tutte la stessa retta. Se il coefficiente b della y non `e nullo, possiamo riscrivere l’equazione come

y = mx + q

dove m = −a/b e q = −c/b; questa si chiama forma canonica, m si chiama coefficiente angolare e q si dice (a volte) intercetta. In questa forma, non possiamo esprimere le rette che si scrivono, nella forma generale, come ax + c = 0, ovvero le rette x = k, che sono le parallele all’asse delle ordinate (x = 0).

Esempio Costruiamo la retta passante per i punti (1, 2) e (−3, 5). Poich´e le ascisse di questi due punti non coincidono, possiamo cercare di scrivere l’equazione in forma canonica: dunque vogliamo trovare due numeri reali m e q di modo che la retta y = mx+q passi per i due punti detti. Una retta passa per un punto se le coordinate del punto annullano l’equazione della retta, quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema.

{ 2 = 1 ⋅ m + q 5 = −3 ⋅ m + q Procediamo ricavando q dall’ultima equazione

q = 5 + 3m e sostituendo nella prima

(2)

da cui

−3 = 4m

ovvero m = −3/4 e di conseguenza q = 11/4. ☆

Esempio Date le rette 2x + y = 1 e x − y = 2, vogliamo determinare le loro intersezioni. Un punto appartiene ad entrambe le rette se soddisfa entrambe le equazioni, quindi le coordinate di un’eventuale intersezione devono essere soluzioni del sistema seguente.

{

2x + y = 1 x − y = 2 Notiamo che facendo la somma tra le due equazioni otteniamo

3x = 3

da cui x = 1 e sostituendo nella seconda abbiamo y = −1. Dunque le due rette si intersecano nel

punto (1, −1). ☆

Osserviamo che i parametri m e q che compaiono nella forma canonica hanno un significato geometrico: consideriamo la retta y = mx + q e intersechiamola con gli assi coordinati x = 0 e y = 0. L’intersezione con l’asse x = 0 `e data da

{ y = mx + q

x = 0

e dunque `e il punto (0, q), mentre l’intersezione con y = 0 `e data da

{ y = mx + q

y = 0

da cui mx = −q, ovvero l’intersezione `e il punto (−q/m, 0), se m ≠ 0, altrimenti non esiste.

q viene chiamata intercetta perch´e identifica la lunghezza del segmento intercettato dalla retta sull’asse delle ordinate, rispetto all’origine. D’altra parte, se m ≠ 0, i punti (0, 0), (0, q), (−m/q, 0) formano un triangolo rettangolo, di cui la retta `e ipotenusa, dunque, detto θ l’angolo tra la retta e l’asse delle ascisse, misurato in senso antiorario, abbiamo (dalla definizione di tangente) che

tan θ = −−m/q

q =m

e dunque m viene detto coefficiente angolare perch´e identifica l’angolo che la retta forma con l’asse orizzontale, ovvero quello delle ascisse.

Alla luce di ciò, è facile capire il perché delle seguenti affermazioni: due rette (non parallele all’asse delle ordinate) sono

• parallele se e solo se, in forma canonica hanno lo stesso coefficiente angolare e diverse intercette;

• perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari fa −1;

• coincidenti se e solo se, in forma canonica, hanno lo stesso coefficiente angolare e stessa intercetta.

Esempio Troviamo la parallela alla retta 2y + 3x = 1 per il punto (1, 1). Intanto riscriviamo la retta in forma canonica: y = −3x/2 + 1/2; ora, il coefficiente angolare è −3/2, quindi la retta cercata sarà della forma y = −3x/2 + q e dovrà passare per il punto (1, 1), ovvero q dovrà soddisfare l’equazione

1 = −3/2 + q

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Esempio Per trovare la perpendicolare a 4x − 2y = 1 per (0, 0), procediamo come prima, scrivendo y = 2x − 1/2 ed ottenendo che il coefficiente angolare `e 2, da cui, la perpendicolare sar`a y = −x/2 + q; d’altra parte, dovendo passare per (0, 0), questa nuova retta deve avere intercetta nulla e quindi

q = 0. La retta `e dunque y = −x/2. ☆

Esercizio 1 Determinare la retta passante per i punti (1, 1) e (2, −3). Esercizio 2 Determinare la retta passante per i punti (3, 4) e (−2, 4). Esercizio 3 Determinare la retta passante per i punti (t, t2

)e (t2, t3), per t ∈ R, t ≠ 0. Esercizio 4 Determinare l’intersezione tra le rette y = 2x + 1 e y = −3x + 4.

Esercizio 5 Determinare l’intersezione tra le rette 2x − 3y = 5 e 3x − 2y = 4.

Esercizio 6 Determinare l’intersezione tra le rette tx + y = 1 e x + ty = −1, al variare di t ∈ R. Esercizio 7 Sia t ∈ R, t ≠ 0; chiamiamo rt la retta passante per (−1, 0) e (0, t) e st la retta per

(1, 1) e (1/t, 0). Si determinino le equazioni di tali rette, in dipendenza da t e si calcoli la loro eventuale intersezione, al variare di t ∈ R.

Esercizio 8 Determinare la parallela a y + 3x + 1 = 0 passante per (2, 3).

Esercizio 9 Determinare la perpendicolare a 2y − 7x + 8 = 0 passante per (−3, 4).

Esercizio 10 Determinare per quali valori di t le rette y + t2x + 1 = 0 e 2y − (t + 1)x + 2 = 0 sono parallele.

Esercizio 11 Determinare per quali valori di t le rette 2y + tx + 4 = 0 e 3y − (t − 1)x + 1 = 0 sono perpendicolari.

2 Discussione di un sistema lineare 2 × 2

Consideriamo il sistema lineare

{ Ax + By = E Cx + Dy = F

e procediamo a risolverlo per sostituzione. Supponiamo che D ≠ 0; allora dalla seconda equazione si ricava

y =F D−

C Dx e sostituendo nella prima otteniamo

Ax + BF D−B C Dx = E da cui (AD − BC)x = ED − BF e, se AD − BC ≠ 0, possiamo scrivere x = ED − BF AD − BC e di conseguenza y = AF − CE AD − BC .

Queste due espressioni hanno senso anche per D = 0 e anche in tal caso risolvono il sistema. Dunque, possiamo concludere che, se AD − BC ≠ 0, il sistema ha un’unica soluzione data da

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x = ED−BF_AD−BC y = AF −CE_AD−BC

Per ricordare e scrivere pi`u comodamente queste formule, introduciamo un simbolo, detto determinante:

det (A B

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Dunque abbiamo x = det (E B F D) det (A B C D) , y = det (A E C F) det (A B C D) .

Se AD − BC = 0, supponiamo che D e C non siano nulli, allora A/C = B/D, da cui C = kA e D = kB. Quindi il sistema lineare diventa

{ Ax + By = E

kAx + kBy = F

Si vede bene che un tale sistema ha soluzione se e solo se F = kE ed in tal caso, le soluzioni del sistema sono tutte e sole le coppie (x, y) che soddisfano Ax + By = E, ovvero una retta.

Se invece F ≠ kE, allora il sistema `e impossibile.

Geometricamente, un sistema rappresenta un’intersezione tra rette; se il determinante dei coef-ficienti non `e nullo, le due rette sono incidenti, se invece `e nullo, le due rette sono parallele o coincidenti, a seconda dei termini noti. Si noti che il fatto di essere parallele o incidenti dipende solo dal determinante dei coefficienti e non coinvolge i termini noti; questi ultimi intervengono per calcolare l’effettiva intersezione nel caso di rette incidenti o per determinare se si tratta di parallelismo o di coincidenza nell’altro caso.

Esempio: Consideriamo il sistema

{

3x − y = 1 2x + 2y = 3 Il determinante dei coefficienti `e

det (3 −1

2 2) =3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (−1) = 6 + 2 = 8

e dunque il sistema ha un’unica soluzione, indipendentemente dai termini noti, poiché è diverso da 0. In particolare la soluzione è x = det (1 −1 3 2) 8 = 5 8 , y = det (3 1 2 3) 8 = 7 8 . ☆ Esempio: Consideriamo il sistema

{ x − 2y = 1 4y − 2x = 3 Il determinante dei coefficienti `e

det (1 −2

−2 4) =1 ⋅ 4 − (−2) ⋅ (−2) = 0 dunque i due membri di sinistra sono uno multiplo dell’altro. In effetti

4y − 2x = −2(x − 2y) .

D’altra parte, per i termini noti non vale lo stesso: 3 ≠ −2 ⋅ 1 e quindi il sistema non ha soluzione. Invece, il sistema

{ x − 2y = 1 4y − 2x = −2

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ha infinite soluzioni, in quanto le due equazioni che lo compongono sono equivalenti (la seconda si ottiene moltiplicando la prima per −2). Le soluzioni sono le coppie (x, y) tali che

x − 2y = 1 .

Tali coppie rappresentano sul piano una retta, che pu`o essere scritta in forma parametrica come {(2t + 1, t) ∶ t ∈ R} .

☆

Esercizio 12 Si discuta la risolubilit`a del sistema

{ 4x − 3y = 1 4y − x = 3 e se ne trovino le eventuali soluzioni.

Esercizio 13 Si trovino i valori di t ∈ R per cui il sistema {

x + 3y = 2 2x + 6y = 3 + t ha soluzione e si determinino tali soluzioni.

Esercizio 14 Si trovino i valori di t ∈ R per cui il sistema { x + 2y = 2

2x + y = 3 + t ha soluzione e si determinino tali soluzioni.

Esercizio 15 Si discuta la risolubilit`a del sistema

{ tx + 3y = 2 (t − 2)x + y = 3 al variare di t ∈ R e si determinino le eventuali soluzioni. Esercizio 16 Si discuta la risolubilit`a del sistema

{ x + 2ty = 1

(t + 1)x + 4y = s al variare di s, t ∈ R e si determinino le eventuali soluzioni.

3 Trasformazioni lineari del piano

Ad ogni punto P = (x, y) del piano cartesiano corrisponde il vettore che va dall’origine a P ; indichiamo tale vettore come ⃗OP o pi`u brevemente ⃗P (sottintendendo l’origine).

Dati due punti P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), si definisce la somma dei vettori ⃗P e ⃗Q come il

vettore ⃗R tale che OP RQ sia un parallelogramma (regola del parallelogramma). In coordinate, il punto R sar`a dato da (x1+x2, y1+y2)e si scriver`a ⃗R = ⃗P + ⃗Q o anche R = P + Q.

Dato un vettore ⃗P , P = (x, y), e un numero reale k, il vettore k ⋅ ⃗P corrisponder`a al punto (kx, ky).

Una funzione

f ∶ R2→R2 tale che

f (kx, ky) = kf (x, y) per ogni (x, y) ∈ R2, per ogni k ∈ R e

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per ogni (x1, y1), (x2, y2) ∈R2, si dice trasformazione lineare.

Dalla prima propriet`a segue ovviamente che f (0, 0) = (0, 0) (basta mettere k = 0); inoltre, si ha (x, y) = x ⋅ (1, 0) + y ⋅ (0, 1)

da cui f (x, y) = xf (1, 0) + yf (0, 1). Quindi basta conoscere i valori che f assume su (1, 0) e (0, 1) per determinarla completamente.

Esempio: Consideriamo la trasformazione

f (x, y) = (y, x) .

Geometricamente, essa corrisponde ad una simmetria rispetto alla retta y = x. Verifichiamo che `e una trasformazione lineare:

f (kx, ky) = (ky, kx) = k(y, x) = kf (x, y)

f (x1+x2, y1+y2) = (y1+y2, x1+x2) = (y1, x1) + (y2, x2) =f (x1, y1) +f (x2, y2).

Ora, si pu`o vedere bene che f (1, 0) = (0, 1) e f (0, 1) = (1, 0) e quindi f (x, y) = xf (1, 0) + yf (0, 1) =

x(0, 1) + y(1, 0). ☆

Esempio: Consideriamo la funzione f ∶ R2→R2che ruota il piano attorno all’origine di un angolo di π/6 in senso antiorario. Tale trasformazione è lineare: se OP RQ è un parallelogramma, ruotando P , R, Q attorno all’origine di un angolo fissato, rimarranno i vertici di un parallelogramma con il quarto vertice in O; dunque se P + Q = R, allora anche f (P ) + f (Q) = f (R) = f (P + Q) (che è la seconda richiesta della linearità); inoltre, la rotazione lascia immutate le distanze, dunque se Q e P sono allineati con l’origine e Q = kP , anche f (Q) e f (P ) saranno allineati con l’origine e le loro distanze da essa saranno nello stesso rapporto, quindi f (Q) = kf (P ).

Dunque, per ruotare un generico punto (x, y) ci basta ruotare i punti (1, 0) e (0, 1): un poco di trigonometria rivela che

f (1, 0) = ( √ 3 2 , 1 2) f (0, 1) = (− 1 2, √ 3 2 ) e dunque f (x, y) = xf (1, 0) + yf (0, 1) = x ( √ 3 2 , 1 2) +y (− 1 2, √ 3 2 ) = ( √ 3x − y 2 , x +√3y 2 ) .

In generale, val la pena di osservare che, ruotando (1, 0) di un angolo α in senso antiorario, si ottiene il punto (cos α, sin α) e ruotando (0, 1) si ha (− sin α, cos α). Dunque la rotazione generica si scrive come

f (x, y) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α) ,

ma sapendo la teoria delle trasformazioni lineari, tale formula si pu`o ricavare ogni volta, senza

doverla imparare a memoria. ☆

Tutte le trasformazioni lineari f ∶ R2→R2si possono scrivere come f (x, y) = (Ax + By, Cx + Dy) infatti, se poniamo f (1, 0) = (A, C) e f (0, 1) = (B, D), abbiamo che

f (x, y) = xf (1, 0) + yf (0, 1) = (Ax + By, Cx + Dy) .

Dunque, il fatto che un certo punto (E, F ) sia o meno nell’immagine di f `e legato al fatto che si possa risolvere

f (x, y) = (E, F ) ovvero che si possa risolvere il sistema lineare

{ Ax + By = E Cx + Dy = F

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Più in generale, ci si chiederà se f è iniettiva o surgettiva.

f iniettiva vuol dire che, se f (x, y) = f (s, t), allora (x, y) = (s, t); ovvero che se f (x, y)−f (s, t) = (0, 0) allora (x, y) − (s, t) = (0, 0), ovvero che se f (x − s, y − t) = (0, 0), allora (x − s, y − t) = (0, 0). Ovvero che il sistema

{ Ax + By = 0 Cx + Dy = 0

ha come unica soluzione x = y = 0. Questo accade se e solo se il determinante dei coefficienti è diverso da 0. Quindi f è iniettiva se e solo se il determinante dei coefficienti è diverso da 0.

f surgettiva vuol dire che il sistema di cui sopra si risolve per ogni scelta di (E, F ); anche questo, accade se e solo se il determinante `e diverso da 0.

Esempio: La trasformazione

f (x, y) = (2x − y, x − 3y) `e iniettiva e surgettiva, in quanto

det (2 −1

1 −3) = −6 + 1 = −5 ≠ 0 mentre la trasformazione

f (x, y) = (2x − y, 6x − 3y) non è né iniettiva né surgettiva, in quanto

det (2 −1 6 −3) =0 ed infatti l’insieme dei punti che hanno come immagine (0, 0) `e

{(x, y) ∶ f (x, y) = 0} = {(t, 2t) ∶ t ∈ R}

ovvero una retta. ☆

Esempio: Consideriamo la trasformazione

f (x, y) = (3x + 2y, x + y)

e cerchiamo di determinare le rette passanti per l’origine che non cambiano tramite tale trasforma-zione. Ovvero, cerchiamo dei punti P tali che f (P ) = kP per qualche k: in questo modo, la retta per O e P diventa la retta per O e kP , ovvero rimane la stessa, poich´e O,P e kP sono allineati. Dunque, vogliamo risolvere

f (x, y) = k(x, y)

e vogliamo trovare una soluzione diversa da (0, 0), che ovviamente va bene, ma non ci fornisce nessuna retta; ovvero, vogliamo che il sistema

{ 3x + 2y = kx x + y = ky

abbia delle soluzioni diverse da (0, 0). Questo pu`o succedere, come ben sappiamo, se e solo se il determinante `e uguale a 0; scriviamo il sistema raccogliendo i coefficienti di x e y

{ (3 − k)x + 2y = 0 x + (1 − k)y = 0 Il determinante `e det (3 − k 2 1 1 − k) = (3 − k)(1 − k) − 2 = k 2 −4k + 1

e noi vogliamo che sia nullo; quindi k2−4k + 1 = 0, da cui k = 2 ± √

3. Osserviamo che, per tali valori di k, il determinante `e nullo, quindi il sistema `e fatto dalle equazioni di due rette parallele,

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ma visto che i termini noti sono entrambi 0, in realt`a queste due rette sono coincidenti. Quindi, sostituendo i due valori di k in una delle due equazioni del sistema troviamo le due rette cercate:

(1 −√3)x + 2y = 0 (1 +√3)x + 2y = 0

☆

Esercizio 17 Determinare la trasformazione lineare f tale che f (1, 0) = (2, 2), f (0, 1) = (3, 1). Esercizio 18 Determinare la trasformazione lineare f tale che f (1, 1) = (2, 2), f (−1, 1) = (3, 1). Esercizio 19 Determinare, al variare di t ∈ R, la trasformazione lineare ft tale che ft(1, 0) =

(1 + t, 2), ft(0, 1) = (1 − t, 1).

Esercizio 20 Determinare per quali valori di t ∈ R la trasformazione ft dell’esercizio precedente

non `e iniettiva.

Esercizio 21 Determinare i punti fissi1della trasformazione f (x, y) = (2x + 3y, x + 4y). Esercizio 22 Determinare le rette fisse della trasformazione f (x, y) = (2x + 3y, x + 4y).

Esercizio 23 Determinare per quali valori di t ∈ R la trasformazione ft(x, y) = ((2 + t)x − ty, (1 +

t)x + y) ha un punto fisso diverso da (0, 0).

Esercizio 24 Determinare, al variare di t ∈ R, le rette fisse della trasformazione ft(x, y) = (x + (1 −

t)y, tx + 2y).

4 Tre dimensioni

Tutto quanto fatto finora si pu`o riportare in tre dimensioni, senza troppe modifiche; le principali differenze sono le seguenti.

Un’equazione della forma ax + by + cz + d = 0 non rappresenta pi`u una retta, bens`ı un piano; per individuare una retta, dobbiamo mettere a sistema due piani: ad esempio,

{ x − y = 0 y − z = 0

rappresenta la retta, uscente dall’origine, i cui punti hanno le tre coordinate uguali, ovvero l’insieme {(t, t, t) ∶ t ∈ R} .

Questo secondo modo di scrivere una retta, ovvero la forma parametrica, diventa molto comodo in R3, dove altrimenti una retta deve essere descritta come sistema lineare di due equazioni. Un modo simile di scrivere la retta in questione `e anche il seguente

{t(1, 1, 1) ∶ t ∈ R}

ovvero come l’insieme dei multipli di un punto fissato (sempre che la retta passi dall’origine. Come prima per le rette, ora per i piani vi sarà una corrispondenza tra intersezione di piani e sistemi lineari; ovviamente, ora la casistica è più vasta: dati tre piani, questi possono coincidere, avere una retta comune, avere un punto comune o non avere alcun punto in comune. Nell’ultimo caso, si potranno fare ulteriori distinzioni: due qualsiasi di loro si intersecano in una retta, ma tutti e tre non hanno punti in comune, oppure due tra i tre sono paralleli, oppure ancora tutti e tre sono paralleli.

Queste situazioni geometriche hanno un parallelo con i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite; anche per i sistemi 3 × 3 esiste il determinante, ma `e ovviamente pi`u complicato. Infatti

det ⎛ ⎜ ⎝ a b c d e f g h j ⎞ ⎟ ⎠ =aej + bf g + cdh − ceg − bdj − af h .

Il ruolo del determinante ora però è meno ”determinante”: infatti non distingue tutti i casi a cui si è accennato sopra.

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Esempio: Consideriamo i tre piani x + y + z = 0, x − y − z = 1, x − y + z = −1. La loro eventuale intersezione `e data dalle soluzioni del sistema

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + y + z = 0 x − y − z = 1 x − y + z = −1

Procediamo per somma e sottrazione: utilizziamo la prima equazione per eliminare la x dalla seconda e dalla terza, sottraendo la prima dalle altre due. Otteniamo

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + y + z = 0 −2y − 2z = 1 −2y = −1

La terza equazione implica y = 1/2 e dunque la seconda diventa −1 − 2z = 1, ovvero z = −1. Dunque, dalla prima otteniamo x + 1/2 − 1 = 0, da cui x = 1/2.

In conclusione, i tre piani si intersecano nel punto (1/2, 1/2, −1). ☆ Esempio: Consideriamo i piani

x + y + z = 0 , x − y + z = 1 , x + z = −1 . La loro eventuale intersezione `e descritta dal sistema

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + y + z = 0 x − y + z = 1 x + z = −1 in cui, sottraendo la prima alle altre due, si ottiene

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + y + z = 0 −2y = 1 −y = −1

e si vede bene che le ultime due sono incompatibili, in quanto y dovrebbe essere contemporanea-mente −1/2 e 1. Dunque il sistema `e impossibile, ovvero i tre piani non si intersecano.

Studiamo pi`u nel dettaglio la situazione. I primi due piani hanno come intersezione la retta (in forma parametrica)

{(t, −1/2, 1/2 − t) ∶ t ∈ R} = {(0, −1/2, 1/2) + t(1, 0, −1) ∶ t ∈ R}

ovvero una retta che passa per il punto (0, −1/2, 1/2) ed `e parallela al vettore che collega l’origine al punto (1, 0, −1). Il primo e il terzo piano, invece, si incontrano nella retta

{(t, 1, −1 − t) ∶ t ∈ R} = {(0, 1, −1) + t(1, 0, −1) ∶ t ∈ R}

che passa per il punto (0, 1, −1) ed `e parallela al vettore che collega l’origine al punto (1, 0, −1). Dunque, anche se il secondo e il terzo piano non sono paralleli, una volta intersecati con il primo danno due rette parallele (infatti entrambe sono parallele allo stesso vettore). Per dire che le due rette non sono coincidenti, bisogna trovare un punto dell’una che non sta sull’altra; per far questo, si pu`o osservare che tutti i punti della prima hanno y = −1/2, mentre tutti i punti della seconda hanno y = −1, quindi sono rette diverse.

Un’eventuale intersezione dei tre piani sarebbe stata anche un’intersezione di queste due rette, ma sono parallele e non coincidenti, quindi non si intersecano, dunque nemmeno i tre piani di partenza si intersecano. Osserviamo infine che l’intersezione tra il secondo e il terzo piano `e la retta

{(0, −2, −1) + t(1, 0, −1) ∶ t ∈ R}

che `e ancora parallela alle due precedenti e disgiunta da entrambe, come era logico aspettarsi. ☆ Esempio: Gli stessi piani dell’esercizio precedente, senza termini noti, originano il sistema

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + y + z = 0 x − y + z = 0 x + z = 0

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che si riduce, sottraendo la prima alle altre due, a ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + y + z = 0 −2y = 0 −y = 0 ovvero alla retta

{(t, 0, −t) ∶ t ∈ R} = {t(1, 0, −1) ∶ t ∈ R}

che `e ancora parallela a quelle trovate nel precedente esercizio. ☆ Esercizio 25 Si determini l’equazione del piano parallelo a x + 3y − z = 1 e passante per il punto (1, 1, 1).

Esercizio 26 Si determini, al variare del parametro t ∈ R, l’equazione del piano passante per i punti (1, 0, 1), (1, 1, 0) e (t, t, 1).

Esercizio 27 Si determini, al variare del parametro t ∈ R, l’intersezione tra il piano dell’esercizio precedente e i piani x + y + z = 0, x − y + z = 0.

Esercizio 28 Si scriva un sistema lineare di due equazioni in tre incognite le cui soluzioni siano la retta {(t, t, t + 1) ∶ t ∈ R}.

Esercizio 29 Si scriva in forma parametrica la retta definita dal sistema

{ 2x − 3y + z = 1 x + 5y − z = 2

Esercizio 30 Si determinino le eventuali intersezioni comuni dei piani x + 3y + z = 0, 2x − y − z = 1, −x − y + 2z = 2.

Esercizio 31 Si determino, al variare di t, s ∈ R, le eventuali soluzioni del sistema ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ tx + y + 2z = 1 (2 − t)y + z = s x + (1 − t)y + z = 2 Esercizio 32 (⋆) Scrivere la trasformazione lineare f ∶ R3

→ _R3 tale che f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (0, 1, 0) = (1, 0, 1), f (0, 0, 1) = (−1, −1, 0).

Esercizio 33 (⋆) Trovare le rette fissate dalla trasformazione lineare del precedente esercizio. Esercizio 34 (⋆⋆) Data l’applicazione lineare f ∶ R2→R3 (attenzione agli esponenti!) data da

f (x, y) = (2x + 3y, x − y, −x + 2y) determinare se `e iniettiva e determinarne l’immagine.