12   GLI ESPONENZIALI

UNITA’ 13. GLI ESPONENZIALI

1. Le potenze con esponente intero, razionale e reale. 2. Le proprietà delle potenze.

3. Equazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base. 4. La funzione esponenziale.

5. Il grafico della funzione esponenziale con base positiva minore di 1. 6. Il grafico della funzione esponenziale con base maggiore di 1.

7. Le disequazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base. 8. Sistemi con equazioni esponenziali.

9. Sistemi con disequazioni esponenziali. 10. Il dominio delle funzioni esponenziali.

11. Trasformazioni geometriche applicate alla funzione esponenziale. 12. Applicazioni pratiche della funzione esponenziale.

13. La capitalizzazione composta. 14. La crescita di una popolazione.

1. Le potenze con esponente intero, razionale e reale.

Dato un numero reale a tale che a0 e a1, sappiamo già che la potenza con esponente intero positivo è definita così:

an =aaa...a n volte La potenza con esponente intero negativo è definita così: n n n a a a 1 = 1      = −

La potenza con esponente razionale è definita così: n n m

m

a

a

=

Si può anche definire la potenza con esponente reale, in cui l’esponente può essere un numero reale qualsiasi, cioè un numero razionale o un numero irrazionale come

ecc. , , 3 , 2 

Il valore approssimato di una potenza con esponente reale si può determinare con una calcolatrice scientifica, utilizzando l’apposito tasto di elevamento a potenza, indicato col simbolo yx

Per esempio: 3 2 =4,7288....; 5 3 =16,24245....; 2 = 8,82497... . Esercitarsi con la propria calcolatrice.

2. Le proprietà delle potenze.

Per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali, è opportuno ricordare tutte le proprietà delle potenze, che sono valide sia con esponenti interi positivi (1, 2, 3, ….), sia con esponenti interi negativi (-1, -2, -3,…), sia con esponenti razionali 

     ,.... 7 5 , 4 3 , 2 1 , sia con esponenti irrazionali ( 2, , 2 3,....).

Se a e b rappresentano due numeri reali tali che a0 e a1, b0 e b1,

e se x ed y rappresentano due numeri reali qualsiasi, sono valide le seguenti proprietà delle potenze: 1) ax ay =ax+y 2) y x y x

a

a

a

₋

=

3)

a

x



b

x

=

(

a



b

)

x 4) x













=

b

a

b

a

x x 5)

(

a

x

)

y

=

a

xy 6) x x x a a a 1 = 1      = − 7) y y x x

a

a =

8) a0 =1 infatti: 3

1

3 3 3 0

=

−

=

=

a

a

a

a

9) 00 = indeterminato infatti: = − = = = 0 0 0 0 0 0 ₃ 3 3 3 0 indeterminato

3. Equazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base.

Si chiamano equazioni esponenziali quelle equazioni che contengono l’incognita nell’esponente di qualche potenza.

Se è possibile trasformare ambo i membri dell’equazione sotto forma di potenze con la stessa base, queste equazioni si risolvono abbastanza facilmente applicando opportunamente le proprietà delle potenze.

Se ciò non è possibile bisogna utilizzare il concetto di logaritmo e le proprietà dei logaritmi, che studieremo successivamente.

Esempio 1. 2x =8 2x =23 x=3 Esempio 2. 3 3 1 2 1 3 1 3 9 1 3 1 2 2 1 1 _  =  − =−  =−      =  = − − − − x x x x x Esempio 3. 3 8 4 2 3 2 2 2 ) (2 2 8 16 8 2 4 3 4 2 3 4 2 x =  =  =  =  =  = x x x x x

4. La funzione esponenziale.

Dato un numero reale a che sia a0 e a1, si chiama funzione esponenziale quella funzione che ad ogni valore di x R associa il valore y R tale che y = f(x)=ax. Bisogna osservare che affinché la funzione esponenziale sia definita x R è necessario che la base sia a0altrimenti per alcuni valori di x la funzione esponenziale non si potrebbe calcolare. Per esempio se fosse y =(−2) 2 oppure y=(−5) non si potrebbe stabilire il segno di y poiché l’esponente non è pari né dispari.

Inoltre la base deve essere a1 altrimenti se fosse a=1, per qualunque valore di x si avrebbe y =1 =x 1 e la funzione esponenziale avrebbe sempre il valore costante 1.

Quindi la funzione esponenziale può avere la base a tale che:

0 a1 oppure a1

E’ importante distinguere questi due casi perché alcune proprietà della funzione esponenziale sono diverse secondo che la base sia compresa tra 0 e 1 oppure sia maggiore di 1.

5. Il grafico della funzione esponenziale con base positiva minore di 1.

Il grafico della funzione esponenziale è utile per determinare le caratteristiche della funzione esponenziale.

Se la base a risulta 0 a1, possiamo scegliere come esempio il valore

2 1 =

a e la

funzione esponenziale diventa:

x x a y       = = 2 1

. Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile x alcuni valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce una tabella con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della funzione esponenziale.

Se 2 8 2 1 3 3 3 = =       =  − = − y x Se 2 4 2 1 2 2 2 = =       =  − = − y x Se 2 2 2 1 1 1 1 = =       =  − = − y x Se 1 2 1 0 0 =       =  = y x Se 2 1 2 1 1 1 =       =  = y x Se 4 1 2 1 2 2 =       =  = y x Se 8 1 2 1 3 3 =       =  = y x x y -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 → x y 

Dal grafico ottenuto si possono dedurre le seguenti caratteristiche:

Dominio: D=R, cioè la funzione y si può calcolare per qualunque valore di x; Codominio: C =



0; +



, cioè il valore della funzione è sempre positivo; Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica; Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse y nel punto P(0;1)

Segno della funzione: la funzione è sempre positiva (il suo grafico si trova sempre sopra l’asse x);

Asintoti: la funzione ha un asintoto orizzontale destro di equazione y=0 (asse x)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre decrescente, cioè all’aumentare di x diminuisce la y;

Concavità: il grafico della funzione rivolge sempre la concavità verso l’alto;

Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente mentre è limitata inferiormente dal valore y=0.

6. Il grafico della funzione esponenziale con base maggiore di 1.

Se la base a risulta a1, possiamo scegliere come esempio il valore a=2 e la funzione esponenziale diventa: y=ax =2x. Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile x alcuni valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce una tabella con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della funzione esponenziale. Se 8 1 2 1 2 3 3 3 =       = =  − = − y x Se 4 1 2 1 2 2 2 2 =       = =  − = − y x Se 2 1 2 1 2 1 1 1 _ =      = =  − = − y x Se x=0 y=20 =1 Se x=1y=21=2 Se x=2 y=22 =4 Se x=3 y=23 =8 x y -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8 x → y 

Dal grafico ottenuto si possono dedurre le seguenti caratteristiche:

Dominio: D=R, cioè la funzione y si può calcolare per qualunque valore di x; Codominio: C =



0; +



, cioè il valore della funzione è sempre positivo; Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse y nel punto P(0;1)

Segno della funzione: la funzione è sempre positiva (il suo grafico si trova sempre sopra l’asse x);

Asintoti: la funzione ha un asintoto orizzontale sinistro di equazione y =0 (asse x)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre crescente, cioè all’aumentare di x aumenta anche la y;

Concavità: il grafico della funzione rivolge sempre la concavità verso l’alto;

Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente mentre è limitata inferiormente dal valore y=0.

Inoltre si osserva che, rispetto all’asse y, il grafico della funzione y=2x è simmetrico del grafico della funzione x y       = 2 1 .

7. Disequazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base.

Sono disequazioni che contengono l’incognita nell’esponente di qualche potenza.

Se è possibile trasformare ambo i membri della disequazione sotto forma di potenze con la stessa base, si risolvono abbastanza facilmente applicando opportunamente le proprietà delle potenze.

Bisogna ricordare, però, che quando la base è a1 la funzione esponenziale è crescente e quindi alla funzione esponenziale maggiore corrisponde anche l’esponente maggiore, perciò:

1 2

2

1 _{a x x}

ax  x  

mentre quando la base è 0 a1 la funzione esponenziale è decrescente e quindi alla funzione esponenziale maggiore corrisponde l’esponente minore, perciò:

1 2

2

1

_a

_x

_x

a

x



x





Se invece non è possibile trasformare ambo i membri della disequazione sotto forma di potenze con la stessa base, bisogna utilizzare il concetto di logaritmo e le proprietà dei logaritmi, che studieremo successivamente.

Esempio 1. 2 −  4  2 −  4  2 (2 ) 2 −  25  6 3 2 5 3 2 3 -2x 5 3 3 2 5 3 3 2x x x 10 21 0 21 10 0 5 6 15 10 0 5 6 3 2 5 6 3 2 −   − −   − −   −     x x x x x Esempio 2. 3 5 8 2 1 2 1 32 1 2 1 3 3 5_{ −   }                      − − x x x x Esempio 3.   −   + −                       − − 0 2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 2 3 2 x x x x 2 1 3 6 0 3 6 0 2 4 1 6 + −   −       x x x x

8. Sistemi con equazioni esponenziali

Sono sistemi che contengono almeno un’equazione esponenziale. Si possono risolvere col metodo di sostituzione. Esercizi a pag. 594

Esempio 1 {2𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥−𝑦 = 64 { 𝑦 = 3 − 2𝑥 2𝑥−3+2𝑦 = 64 { 𝑦 = 3 − 2𝑥 23𝑥−3 = 26 { 𝑦 = 3 − 2𝑥 3𝑥 − 3 = 6 { 𝑦 = 3 − 2𝑥 3𝑥 = 9 {𝑦 = 3 − 2𝑥 𝑥 = 3 { 𝑦 = 3 − 2 · 3 𝑥 = 3 { 𝑦 = 3 − 6 𝑥 = 3 { 𝑦 = −3 𝑥 = 3 { 𝑥 = 3 𝑦 = −3 Esempio 2 {2 𝑥 _{+ y = 0} 4𝑥 + 𝑦 = 2 { 𝑦 = −2𝑥 4𝑥 − 2𝑥 = 2 { 𝑦 = −2𝑥 22𝑥 − 2𝑥 − 2 = 0

Nella seconda equazione poniamo: 2𝑥 = 𝑡 di conseguenza risulta che 22𝑥 = 𝑡2 E la seconda equazione diventa:

𝑡2− 𝑡 − 2 = 0 Δ=1-4·1·(-2)=1+8=9 1−3 2 = − 2 2 = −1 𝑡 = 1±√9 2 = 1±3 2 = 1+3 2 = 4 2 = 2 Ma 𝑡 = 2 𝑥 _{perciò abbiamo:} 2𝑥 = −1 equazione impossibile

2𝑥 = 2 soluzione x=1. Tornando al sistema, abbiamo: {𝑦 = −2𝑥 𝑥 = 1 { 𝑦 = −2 𝑥 = 1 { 𝑦 = −2𝑥 𝑥 = 1 { 𝑥 = 1 𝑦 = −2

9. Sistemi con disequazioni esponenziali.

Sono sistemi che contengono almeno una disequazione esponenziale. Prima si risolvono tutte le disequazioni del sistema e poi, per risolvere il sistema, si disegna un grafico e si prendono le soluzioni comuni a tutte le disequazioni. Esercizi a pag. 598

10. Il dominio delle funzioni esponenziali.

Per trovare il dominio delle funzioni esponenziali bisogna considerare che la base deve essere positiva e deve essere possibile calcolare l’esponente. Esercizi a pag. 586

11. Trasformazioni geometriche applicate alla funzione esponenziale.

Traslazione, simmetria assiale, simmetria centrale, dilatazione. Esercizi a pag. 587 12. Applicazioni pratiche della funzione esponenziale.

La funzione esponenziale ha numerose applicazioni pratiche in vari ambiti: in ambito economico con la legge della capitalizzazione composta;

13. La capitalizzazione composta.

La capitalizzazione composta è il procedimento matematico utilizzato per calcolare il montante con la condizione che il montante ottenuto ogni anno si calcola considerando il montante dell’anno precedente.

Il montante è la somma di denaro complessiva che il debitore deve versare al creditore al termine del contratto.

Se si presta un capitale C, ad un tasso d’interesse i,

dopo un anno il montante diventa: 𝑦₁ = 𝐶 + 𝑖𝐶 = 𝐶(1 + 𝑖) dopo due anni il montante diventa:

𝑦₂ = 𝑦₁ + 𝑖𝑦₁ = 𝑦₁(1 + 𝑖) = 𝐶(1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 𝐶(1 + 𝑖)2 dopo tre anni il montante diventa:

𝑦₃ = 𝑦₂ + 𝑖𝑦₂ = 𝑦₂(1 + 𝑖) = 𝐶(1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) = 𝐶(1 + 𝑖)3

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero x di anni il montante risulta:

𝑦 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑥

Esempio. Un creditore presta un capitale di 500 € ad un debitore con un interesse di 1,2 %. Scrivi la funzione che descrive l’andamento del montante.

Calcola il montante dopo 3 anni. Calcola il montante dopo 16 mesi. Siccome 𝑖 = 1,2 % = 1,2

100 = 0,012, la funzione del montante risulta: 𝑦 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑥 = 500(1 + 0,012)𝑥 = 500(1,012)𝑥

Dopo 3 anni il montante vale: 𝑦(3) = 500(1,012)3 = 500 ∙ 1,03643 = 518,22€ Dopo 16 mesi il montante vale:

𝑦(16 𝑚𝑒𝑠𝑖) = 500(1,012)1612 = 500 ∙ (1,012)1,3333 = 500 ∙ 1,016 = 508,02 €

14. La crescita di una popolazione.

Se indichiamo con N il numero degli individui viventi in un certo anno e con c il tasso di crescita annuale della popolazione, espresso in percentuale, dopo un anno il numero di individui diventa:

𝑦₁ = 𝑁 + 𝑐𝑁 = 𝑁(1 + 𝑐) Dopo due anni il numero di individui diventa:

𝑦₂ = 𝑦₁+ 𝑐𝑦₁ = 𝑦₁(1 + 𝑐) = 𝑁(1 + 𝑐)(1 + 𝑐) = 𝑁(1 + 𝑐)2 Dopo tre anni il numero di individui diventa:

𝑦₃ = 𝑦₂ + 𝑐𝑦₂ = 𝑦(1 + 𝑐) = 𝑁(1 + 𝑐)2(1 + 𝑐) = 𝑁(1 + 𝑐)3

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero x di anni il numero di individui risulta:

𝑦 = 𝑁(1 + 𝑐)𝑥

Esempio 1. Una popolazione in un determinato anno contiene 10.000 individui viventi e ha un tasso di crescita costante annuo del 3%.

Scrivi la funzione che descrive l’andamento della popolazione. Calcola il numero di individui dopo 5 anni.

Calcola il numero di individui dopo 40 mesi Siccome 𝑐 = 3 % = 3

100 = 0,03, la funzione dell’andamento risulta: 𝑦 = 𝑁(1 + 𝑐)𝑥 = 10.000(1 + 0,03)5 = 500(1,03)𝑥

Dopo 5 anni il numero di individui diventa:

𝑦(5) = 10.000(1,03)5 = 10.000 ∙ 1,1593 = 11.593 Dopo 40 mesi il numero di individui diventa:

𝑦(40 𝑚𝑒𝑠𝑖) = 10.000(1,03)4012 = 10.000 ∙ (1,03)3,3333 = 10.000 ∙ 1,1035 = 11.035