Appunti sulle equazioni diﬀerenziali

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Appunti sulle equazioni differenziali

1 Introduzione

Spesso in matematica o in fisica capita di dover affrontare equazioni la cui l’incognita sia una funzione y(x) e in cui compaiano alcune delle sue derivate y^′(x), y^′′(x) e succes- sive. Esse vengono definite equazioni differenziali, in quanto l’incognita `e una funzione differenziabile e le sue derivate fanno parte dell’equazione stessa.

Diversi esempi di equazioni differenziali sono dati dalla cinematica. Consideriamo un punto materiale che si muova lungo una traiettoria rettilinea e sia y(t) la coordinata che esprima la sua posizione al tempo t. La velocit`a istantanea del punto `e data da:

v(t) = lim

∆t→0

y(t + ∆t) − y(t)

∆t = dy(t)

dt , (1)

ossia essa `e la derivata rispetto al tempo della coordinata y(t). Per indicare la derivata temporale useremo la notazione ˙y(t). L’accelerazione istantanea `e data da:

a(t) = lim

∆t→0

v(t + ∆t) − v(t)

∆t = dv(t)

dt = d²y(t)

dt² , (2)

cioè è la derivata seconda rispetto al tempo della coordinata y(t). Similmente, la indiche- remo con ÿ(t).

Consideriamo ora un moto rettilineo uniforme, in cui dunque la velocità del punto materiale sia costante. Detta v tale velocità, il moto del punto è descritto dalla relazione:

˙y(t) = v. (3)

L’equazione (3) è un esempio di equazione differenziale nell’incognita y(t), di cui voglia- mo trovare una soluzione. In questo caso, la funzione y(t) non compare nell’equazione differenziale ma vi è solo la sua derivata prima. La soluzione generale dell’eq.(3) è data da:

(4) dove c `e qualsiasi costante avente le dimensioni di una lunghezza. Associamo ora all’eq.(3) la condizione iniziale y(0) = y0, ossia la posizione del punto al tempo t = 0. Consideriamo quindi il sistema di equazioni:

(˙y(t) = v y(0) = y0

. (5)

E facile convicersi (verificarlo per esercizio) che soluzione del sistema (5) `e data da:`

y(t) = vt + y0, (6)

che esprime la legge oraria del moto rettilineo uniforme. La soluzione (6) `e unica e di tale unicit`a nei paragrafi successivi daremo una giustificazione.

Consideriamo ora invece un moto rettilineo uniformemente accelerato, in cui cio`e l’accelerazione sia pari ad un valore costante a. L’equazione differenziale che esprime tale moto `e:

1

(2)

¨

y(t) = a. (7)

La soluzione generale di questa equazione `e data da:

y(t) = 1

2at²+ c1t + c2. (8)

Se associamo all’equazione (7), le condizioni iniziali y(0) = y0e ˙y(0) = v0, cio`e la posizione e la velocit`a del punto all’istante t = 0, abbiamo il sistema:







¨

y(t) = a y(0) = y0

˙y(0) = v0

, (9)

di cui soluzione `e:

y(t) = 1

2at²+ v0t + y0. (10)

Torniamo ora alle equazioni differenziali in generale e diamone una definizione pi`u ri- gorosa. Data una variabile x su un dominio A ⊆ ℜ ed una funzione y(x), derivabile n volte su A, un’equazione differenziale di ordine n nell’incognita y(x) `e un’espressione del tipo:

F£x, y(x), y^′(x), . . . , y⁽ⁿ⁾(x)¤ = 0, (11) dove i termini y⁽ⁱ⁾(x) rappresentano le derivate i-esime di y(x).

2 Problema dell’esistenza e dell’unicit`a di una soluzione

Come per le equazioni numeriche, anche per le equazioni differenziali, un primo problema da affrontare è se esista o meno una soluzione. In secondo luogo, in caso di esistenza di una soluzione, occorre verificare se essa sia unica. A questo proposito, abbiamo già visto che equazioni differenziali come l’eq.(3) o l’eq.(7) hanno infinite soluzioni, a meno che non si definiscano delle opportune condizioni iniziali. Occorre definire una condizione iniziale sulla funzione nel caso di un’equazione del prim’ordine e due condizioni iniziali sulla funzione e sulla sua derivata prima nel caso di un’equazione del second’ordine. Ciò è dovuto al numero di costanti che compaiono nelle soluzioni generali date rispettivamente dall’eq.(4) e dall’eq.(8). In generale, per un’equazione differenziale di ordine n, studieremo il sistema:











F £x, y(x), y^′(x), . . . , y⁽ⁿ⁾(x)¤ = 0 y(0) = y₀

y^′(0) = y₀^′ ...

y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = y⁽ⁿ⁻¹⁾₀

(12)

2

(3)

e di tale sistema saremo interessati a sapere innanzitutto se esista una soluzione e se essa sia unica.

In tal proposito, esiste un teorema di analisi matematica che definisce condizioni suffi- cienti per l’esistenza e l’unicità della soluzione del sistema (12). Tuttavia, enunciare tale teorema (e tanto meno dimostrarlo) è fuori dallo scopo di questi appunti. D’ora in poi, comunque, studieremo equazioni differenziali che rientrano nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità. Per tali equazioni quindi, dato un sistema del tipo (12), possiamo direttamente procedere a cercarne la soluzione, essendo sicuri che essa sia unica.

3 Equazioni differenziali lineari

Un esempio di equazioni differenziali che ammettono un’unica soluzione `e dato dalle equazioni differenziali lineari, che descrivono numerose relazioni matematiche e fisiche. In questo paragrafo, tuttavia, ci disinteresseremo delle condizioni iniziali da imporre sulle soluzioni per ottenerne l’unicit`a e cercheremo la soluzione generale di un’equazione.

Un’equazione differenziale lineare di ordine n ha la forma:

y⁽ⁿ⁾+ a_n−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a1(x)y^′+ a0(x)y = b(x), (13) dove, per semplicit`a, abbiamo omesso la dipendenza da x della funzione y. In questa espressione quindi y e le sue derivate compaiono come termini di primo grado. Nel caso in cui b(x) = 0, l’equazione si dice omogenea. Nel caso in cui i coefficienti ai non dipendano dalla variabile x, l’equazione si dice a coefficienti costanti.

Consideriamo ora un’equazione differenziale lineare omogenea:

y⁽ⁿ⁾+ a_n−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a1(x)y^′+ a0(x)y = 0. (14) Una proprietà fondamentale di un’equazione omogenea è la linearità delle soluzioni, ossia se y₁ e y₂ sono soluzioni dell’eq.(14), allora ∀ c₁, c₂ ∈ ℜ, la funzione y = c₁y₁+ c₂y₂, detta combinazione lineare di y1 e y2, è soluzione della stessa equazione. È immediato verificare tale proprietà: sostituendo la combinazione lineare di y1 e y2 nell’espressione della funzione incognita che compare al primo membro della (14), abbiamo:

(c1y1+ c2y2)⁽ⁿ⁾+ · · · + a0(x)(c1y1+ c2y2) = c1y₁⁽ⁿ⁾+ c2y⁽ⁿ⁾₂ + · · · + a0(x)(c1y1+ c2y2) = c1

hy⁽ⁿ⁾₁ + · · · + a0(x)y1

i+ c2

hy₂⁽ⁿ⁾+ · · · + a0(x)y2

i= c10 + c20 = 0,

dove la penultima uguaglianza segue dal fatto che y₁ e y₂ sono entrambe soluzioni dell’e- quazione omogenea, cio`e soddisfano l’eq.(14). Nel linguaggio dell’algebra lineare, si dice che le soluzioni di un’equazione differenziale lineare formano uno spazio vettoriale.

Diamo ora un’altra definizione importante, quella di indipendenza lineare. Date due soluzioni y1 e y2 di un’equazione differenziale lineare omogenea, esse si dicono linearmente indipendenti se, data una loro combinazione lineare, essa `e una funzione iden- ticamente nulla solo se i coefficienti sono entrambi nulli. In simboli, c₁y₁+ c₂y₂ = 0 ∀x solo se c1 = c2 = 0. Illustriamo meglio questa definizione con un esempio. Consideriamo l’equazione:

y^′′+ y = 0. (15)

3

(4)

Si nota subito che le funzioni y1 = sin x e y2 = cos x sono entrambe soluzioni dell’equazione (verificarlo per esercizio). In questo caso, abbiamo che ogni combinazione lineare c1sin x+

c2cos x `e diversa da zero, a meno che non siano c1 = c2 = 0. Se invece considerassimo la funzione y3 = 2 sin x, anch’essa soluzione della (15), avremmo che la combinazione lineare c1sin x + c22 sin x sarebbe nulla per c2 = −c1/2, quindi y1 e y3 non sono linearmente indipendenti.

Possiamo quindi definire la soluzione generale di un’equazione differenziale lineare omogenea come l’insieme delle combinazioni lineari delle sue soluzioni linearmente indipendenti. Una particolare combinazione lineare di esse è invece detta soluzione particolare. Ci poniamo allora il problema di sapere quante siano le soluzioni indipendenti di un’equazione differenziale lineare omogenea. Ad esempio, tornando all’equazione (15), ci chiediamo se, oltre a sin x e cos x, esistano altre soluzioni indipendenti. La risposta a questo interrogativo ci è data da un teorema, di cui non vedremo la dimostrazione, che afferma che il numero delle soluzioni linearmente indipendenti di un’equazione differenziale lineare omogenea è pari al suo ordine n. In algebra lineare, si dice che la dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni è pari ad n. Quindi un’equazione differenziale lineare del primo ordine avrà una sola soluzione indipendente; un’equazione del secondo ordine, come l’eq.(15), ne avrà due e cos`ı via. Possiamo sintetizzare l’enunciato di questo teorema, dicendo che, date n soluzioni y1, . . . , yn linearmente indipendenti di un’equazione differenziale lineare omogenea, la sua soluzione generale si scrive come:

y_g^om = c1y1+ · · · + cnyn ∀c1, . . . , cn∈ ℜ. (16) Resta il problema, a questo punto, di determinare la soluzione generale di un’equazione differenziale lineare non omogenea come l’equazione (13). Indichiamo con y1 e y2 due soluzioni dell’equazione non omogenea. Sostituendo entrambe nella (13), consideriamo il sistema:

(y₁⁽ⁿ⁾+ a_n−1(x)y₁⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a₁(x)y^′₁+ a₀(x)y₁ = b(x)

y₂⁽ⁿ⁾+ a_n−1(x)y₂⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a₁(x)y^′₂+ a₀(x)y₂ = b(x) . (17) Sottraendo membro a membro e usando la linearit`a della derivata, abbiamo:

(y₁−y₂)⁽ⁿ⁾+ a_n−1(x)(y₁−y₂)⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a₁(x)(y₁−y₂)^′+ a₀(x)(y₁−y₂) = 0, (18) ossia la funzione y1 −y2 è soluzione dell’equazione omogenea associata all’eq.(13), cioè l’equazione che si ottiene dalla (13) ponendo b(x) = 0. Allora, se prendiamo y1 = y_g^n.om, ossia la soluzione generale dell’equazione non omogenea e y2 = y_p^n.om, ossia una soluzione particolare della stessa, la loro differenza ci dà la soluzione generale dell’equazione omogenea associata: y^n.om_g −y_p^n.om = y_gôm. Da questa relazione ricaviamo immediatamente che:

y_g^n.om= y^om_g + y^n.om_p , (19)

cioè la soluzione generale di un’equazione differenziale lineare non omogenea è data dalla somma della soluzione generale dell’equazione omogenea associata con una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Abbiamo quindi trovato come affrontare il problema della determinazione della soluzione generale di un’equazione differenziale lineare non omogenea: si tratterà prima di risolvere l’equazione omogenea associata, cercando- ne la soluzione generale, e poi di cercare una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.

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