Dipartimento di Ingegneria
Civile e Industriale
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dei Veicoli
TESI DI LAUREA
Studio Comparativo tra Modelli di Pneumatico
per Analisi di Dinamica Verticale
Relatori:
Candidato:
Prof. Massimo Guiggiani
Matteo Pergoli
Ing. Luca Bergianti
Ing. Jacopo Gentile
Ing. Davide Lanzellotti
Anno Accademico
2017/2018
28 Febbraio 2019
ai miei nonni, che avrebbero tanto voluto esserci
Sommario
Nel seguente lavoro di tesi, svolto presso la Dallara Automobili con la collaborazione di MSC Software e Pirelli, si è svolto uno studio comparativo tra alcuni modelli di pneumatico attualmente in commercio per analisi di dinamica verticale. In particolar modo era d’interesse per l’azienda determinare i campi di validità ed i limiti del Pacejka mono-punto di contatto rispetto a modelli più evoluti.
Preliminarmente è stata eseguita una consultazione in letteratura di tutti i modelli sviluppati per lo studio del ride, analizzando pregi e difetti di ognuno. Considerando la diffusione commerciale e la reperibilità dei coefficienti per il loro corretto utilizzo, si sono scelti alcuni modelli da analizzare più approfonditamente: Camme Ellittiche, Anello Rigido (nelle varianti PAC2002-BeltDynamics e MF-Tyre/MF-Swift) e FTire. In una prima fase è stato condotto un confronto in ambiente virtuale utilizzando modelli di simulazione multibody, del tipo quarto di veicolo e veicolo completo. Tale confronto è servito a mettere in luce i principali limiti del modello Pacejka ed allo stesso tempo ad apprezzare le peculiarità dei modelli più evoluti.
Infine nell’ultima parte del progetto, avendo a disposizione dal fornitore la caratte-rizzazione MF-Swift del pneumatico reale della Dallara Stradale, sono state fatte delle prove con la vettura strumentata ed il confronto con le corrispondenti simulazioni in ambiente virtuale. Le analisi comparative tra le simulazioni e le misure reali out-door hanno procurato un feedback utile anche per la casa fornitrice di pneumatici, la quale ha partecipato attivamente alla definizione delle prove sperimentali ed a questo processo di allineamento preliminare del modello.
Abstract
The following thesis has been made in collaboration with Dallara Automobili, MSC Software and Pirelli. The main topic is a comparative study between commercial tire models for vertical dynamics analysis. In particular the goal is to establish the limits of the Pacejka single-point of contact compared to more complex models.
The preliminary step was to collect the informations about all models developed in the last decades. The following models, chosen for the parameters’ availability, were analysed more accurately: Elliptical Cams, Rigid-Ring (in particular PAC2002-BeltDynamics and MF-Tyre/MF-Swift) and FTire.
The first step was a virtual comparison using multibody simulations, that have been conducted with quarter-car and full-vehicle models. The analysis highlight the main limits of Pacejka and, at the same time, the potentiality of advanced models.
In the end, Pirelli provided MF-Swift parameters for Dallara Stradale’s tires. Then it has been made a comparison between simulations and measures taken on the real car. The tires’ manufacturer, which takes part at this preliminary alignment of the model to the real measures, gets an useful feedback by this analysis based on outdoor measures.
Indice
1 Introduzione 6
1.1 Sistemi di Riferimento . . . 7
2 Indagine sui Modelli Presenti in Letteratura 9 2.1 Dinamica Verticale . . . 9
2.1.1 Ruolo del Pneumatico . . . 11
2.2 Panoramica sui Principali Modelli di Pneumatico . . . 11
3 Modelli di Pneumatico Analizzati 15 3.1 Pacejka Mono-Punto di Contatto . . . 15
3.2 Camme Ellittiche . . . 19
3.3 Anello Rigido . . . 22
3.3.1 MF-Tyre/MF-Swift . . . 23
3.3.2 PAC2002-BeltDynamics . . . 27
3.4 FTire . . . 29
4 Modelli di Simulazione in Adams 32 4.1 Modello Adams Quarter-Car . . . 32
4.1.1 Modellazione Corpi . . . 33
4.1.2 Vincoli . . . 34
4.2 Modello Adams Full-Vehicle . . . 35
4.3 Estensioni dei Profili Stradali . . . 37
4.3.1 Comparazione Profili . . . 38
5 Comparazione con Modello Quarter-Car 40 5.1 Rampa . . . 41
5.1.1 Analisi Forze Modello Pacejka . . . 42
5.1.2 Analisi Forze Modello a Camme . . . 43
5.2 Profilo Sinusoidale . . . 44
5.2.1 Mappa al variare di Velocità e Lunghezza d’Onda . . . 45
5.2.2 Analisi a Lunghezza d’Onda Costante . . . 50
5.3 Traversina . . . 53
5.3.1 Risultati . . . 54
5.4 Conclusioni . . . 58
6 Comparazione con Modello Full-Vehicle 59 6.1 Profilo Sinusoidale . . . 59
6.1.1 Mappa al variare di Velocità e Lunghezza d’Onda . . . 59
6.1.2 Analisi a Lunghezza d’Onda Costante . . . 60 4
INDICE 5
6.2 Traversina . . . 61
7 Breve Introduzione all’Utilizzo di FTire 62 7.1 Allineamento Modello FTire . . . 62
7.2 Comparazione tra FTire e Anello Rigido . . . 63
7.2.1 Profilo Sinusoidale . . . 64
7.2.2 Traversina . . . 66
7.3 Conclusioni . . . 67
8 Validazione Sperimentale di MF-Swift 69 8.1 Allineamento Modello con Veicolo Reale . . . 69
8.1.1 Assetto Veicolo ed Allineamento Modello . . . 69
8.1.2 Installazione e Modellazione dei Sensori . . . 70
8.2 Modellazione Ostacoli Reali . . . 77
8.3 Prove Eseguite . . . 79
8.4 Analisi Dati e Confronto con le Simulazioni . . . 81
8.4.1 Riepilogo Analisi . . . 83
8.5 Allineamento Modello Swift con Misure Reali . . . 90
8.5.1 Allineamento in Frequenza . . . 94
8.5.2 Risultati Finali . . . 99
8.6 Paragone con il Pacejka Mono-Punto di Contatto . . . 99
9 Conclusioni e Sviluppi Futuri 103 Ringraziamenti 104 A Property File dei Pneumatici Utilizzati 105 A.1 PAC2002-BeltDynamics 205/55 R16 . . . 105
A.2 FTire 205/55 R16 . . . 109
B Risultati Numerici Simulazioni 116 B.1 Confronto Quarter-Car su Profilo Sinusoidale . . . 116
B.1.1 Mappa al variare di Velocità e Lunghezza d’Onda . . . 116
B.1.2 Lunghezza d’Onda Costante . . . 118
B.2 Confronto Quarter-Car su Traversina . . . 119
Capitolo 1
Introduzione
Il seguente lavoro di tesi si occupa dello studio e del confronto tra modelli di pneumati-co avanzati per la valutazione della dinamica verticale. Questa analisi svolta presso la Dallara Automobili è stata fatta con lo scopo di evidenziare i limiti del modello di gom-ma attualmente in uso e valutare successivamente la possibilità di passare all’utilizzo di un modello più complesso, nel caso in cui i vantaggi fossero stati importanti.
Innanzitutto occorre precisare i motivi che hanno spinto l’azienda ad approfondire tale tema. All’interno dell’impresa, con la recente uscita della vettura Dallara Stra-dale ed il sempre crescente coinvolgimento in collaborazioni per la progettazione di auto stradali, è aumentata la necessità di valutare con maggiore precisione il comfort e quindi le accelerazioni che si trasmettono all’interno dell’abitacolo. Ma non è l’unico motivo: con un modello di simulazione più moderno è possibile valutare con maggiore precisione i carichi dovuti alle asperità stradali, così da poter affinare la progettazione strutturale sia statica che a fatica degli elementi sospensione e telaio. I vantaggi che potrebbero derivare da questo tipo di modelli però non riguardano esclusivamente il settore automotive ma hanno molto interesse anche per quello racing. Anche in questo campo si avrebbero i medesimi vantaggi sopracitati per la progettazione strutturale, soprattutto per quanto riguarda la stima dei sovraccarichi statici. Inoltre avere un modello raffinato e non troppo pesante dal punto di vista computazionale, potrebbe permettere la sua implementazione real-time all’interno del simulatore di guida azien-dale. In questo modo si avrebbe una replica molto più realistica della dinamica del veicolo durante i passaggi sui cordoli o sulle buche ed asperità presenti nei circuiti
(a)Dosso artificiale (b)Cordolo di un circuito
Figura 1.1: Esempi di ostacoli che influenzano la dinamica verticale rispettivamente nel settore
automotivee racing
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 7
Figura 1.2: Simulatore di guida presso la Dallara
(per niente rare, soprattutto per quanto riguarda i campionati minori), migliorando il feeling del pilota.
1.1
Sistemi di Riferimento
Per quanto riguarda le forze di contatto tra pneumatico e strada verrà utilizzato il sistema di riferimento ISO (x, y, z), riportato in Figura 1.3, per ogni singola ruota. La sua origine coincide con il centro dell’impronta di contatto. Gli assi x e y risultano tangenti alla superficie stradale e l’asse z ortogonale ad essa. Di conseguenza questo riferimento segue il moto della ruota e l’orientazione degli assi x e y per le ruote anteriori dipende ovviamente anche dall’angolo di sterzo.
Dal momento che verranno fatte analisi con profili stradali variabili, aventi una loro orientazione nello spazio, torna utile definire un sistema di riferimento assoluto fisso nello spazio. Tale sistema, indicato con (x0, y0, z0), ha l’asse verticale z0 diretto come l’accelerazione di gravità ma con verso opposto e gli assi x0 e y0, appartenenti ad un piano ortogonale alla gravità, coincidenti per semplicità agli assi x e y al tempo zero.
Infine per la modellazione del modello multibody del veicolo completo torna utile definire anche un sistema di riferimento veicolo (xv, yv, zv). Esso è solidale alla cassa veicolo ed ha l’asse zvortogonale al manto stradale, l’asse xvin direzione longitudinale puntato verso il retrotreno e l’asse yvdiretto in modo tale da avere una terna destrorsa. L’origine è posta per convenzione in prossimità del centro dell’assale anteriore.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 8
Figura 1.3: Sistema di riferimento ISO
x0 y0 z0 x y z
(a)Esempio vista laterale
x0
y0 z0
x
y z
(b)Esempio vista dall’alto
Capitolo 2
Indagine sui Modelli Presenti in
Letteratura
In una prima fase del progetto, si è condotta un’approfondita analisi dei vari modelli di pneumatico presenti in letteratura, cercando di valutare per ognuno di essi vantag-gi/svantaggi a livello applicativo e loro diffusione commerciale.
Il pneumatico rappresenta l’unica interazione tra veicolo e strada, per questo le sue caratteristiche influenzano la dinamica e le performances di tutta l’auto. Quindi ri-sulta evidente che una loro opportuna descrizione matematica sia necessaria, affinché le simulazioni dinamiche in ambiente virtuale, ormai utilizzate in ogni campo della progettazione, diano risultati il più verosimili possibile.
La modellazione dettagliata di un pneumatico tuttavia è sempre stata uno dei pro-blemi più complessi della meccanica e rimane ancora oggi senza una risposta completa ed esaustiva. Nel corso degli anni sono stati proposti molti modelli, in genere aventi livello di dettaglio e quindi di complessità crescente, ma ognuno di essi ha sia vantaggi che svantaggi rispetto agli altri. Quindi si può anticipare subito che non esiste ancora un modello migliore in assoluto ed il lavoro di questa tesi consiste appunto nel fare un confronto tra alcuni di essi, prevedendo una loro eventuale applicazione aziendale. Un altro fattore molto importante che un’azienda deve tenere conto prima di utiliz-zare un nuovo modello è la sua diffusione a livello commerciale e la reperibilità dei parametri per un suo corretto settaggio. Questo ultimo aspetto non è assolutamente da sottovalutare, in quanto l’acquisto di un set di dati ottenuti per via sperimentale, oltre che a richiedere alcuni mesi di tempo, può avere un costo che varia da qualche migliaio fino a decine di migliaia d’euro.
2.1
Dinamica Verticale
Il pneumatico, mediante l’impronta di contatto, trasmette al veicolo tre componenti di forza e tre componenti di momento. Focalizzandosi principalmente sulle forze, le componenti x e y interessano quasi esclusivamente lo studio della prestazione della macchina, ovvero le accelerazioni longitudinali e laterali in curva. Questo aspetto viene in gergo chiamato handling. La forza verticale lungo z invece ha anche interesse dal punto di vista delle vibrazioni che si trasmettono in abitacolo e quindi il comfort di marcia. Questo aspetto è ciò che viene indicato con dinamica verticale (in inglese ride). Un modellino semplice di prima valutazione per le analisi di tipo ride è riportato in
CAPITOLO 2. INDAGINE SUI MODELLI PRESENTI IN LETTERATURA 10
ctire,f ctire,r
cspring,f kdamper,f cspring,r kdamper,r
m
smns,f mns,r
Figura 2.1: Modello piano per analisi ride
Figura 2.1 [Guigg], dove il pneumatico è stato schematizzato come una semplice molla verticale. Con queste analisi si cerca di valutare le accelerazioni massime verticali al variare della frequenza di eccitazione verticale. Ovviamente tale modellino semplificato non tiene conto della reale cinematica della sospensione e considerare il pneumatico come una molla è un’ipotesi troppo semplicistica. Ai problemi appena detti si può rimediare utilizzando modelli di simulazione multibody.
(a)Primi sei modi propri
(b)Modi e frequenze proprie di ordine maggiore
CAPITOLO 2. INDAGINE SUI MODELLI PRESENTI IN LETTERATURA 11
2.1.1
Ruolo del Pneumatico
Il pneumatico è un componente deformabile con un comportamento dinamico molto complesso. In Figura 2.2 sono riportati i principali modi propri, che si possono innesca-re su strada particolarmente sconnessa. In letteratura si trova scritto che in generale per strade abbastanza regolari e frequenze di eccitazione inferiori agli 8 ÷ 10 Hz (in se-guito verrà fatta molta chiarezza su questo aspetto), il suo comportamento può essere descritto da un sistema molla-smorzatore a singolo punto di contatto. Per frequenze fino a 60 ÷ 100 Hz è necessario tenere conto di almeno le prime 4 frequenze proprie e per questo sono stati proposti modelli ad anello rigido. Per frequenze superiori si innescano tutti gli altri modi di vibrare e quindi è necessario utilizzare un modello tipo FEM. Inoltre esso ha una capacità di filtrare le asperità molto più piccole del suo diametro, con un comportamento analogo ad un filtro passa-basso. Questo ef-fetto diventa di estrema importanza per ostacoli aventi lunghezze d’onda piccole o discontinuità tipo gradino.
2.2
Panoramica sui Principali Modelli di Pneumatico
Il modello deve essere in grado di prevedere le tre componenti di forza e le tre compo-nenti di momento che vengono trasmesse, mediante le sospensioni, alla cassa veicolo. La gran parte dei modelli fino ad oggi diffusi si sono sempre concentrati sull’handling su strada piana, ovvero la descrizione accurata delle forze appartenenti al piano stra-dale. Tra questi il più diffuso in assoluto è la Magic Formula ideata da Hans Pacejka [Pac] (che verrà descritta più approfonditamente nella Sezione 3.1). Questi model-li hanno un mono-punto di contatto con la strada e per quanto riguarda le azioni verticali, sono costituiti semplicemente da una molla ed uno smorzatore in parallelo (vedi Figura 2.3). In letteratura si trova che essi forniscono risultati accurati solo se utilizzati su profili stradali aventi lunghezze d’onda caratteristiche almeno 2/3 volte il diametro del pneumatico e pendenze inferiori al 5 %, con frequenze di eccitazione minori di 8 ÷ 10 Hz [Pac, Zeg, Schm, Swi].
Figura 2.3: Pacejka mono-punto di contatto
Negli ultimi anni, con la sempre maggiore richiesta di comfort nei veicoli ed una volontà a descrivere opportunamente le forze del pneumatico a terra anche su strade molto sconnesse, hanno cominciato a diffondersi modelli più complessi dotati di un’im-pronta di contatto di dimensioni finite, con una moltitudine di punti di contatto. Di seguito è riportato un breve elenco delle maggiori famiglie di modelli in ordine crescente di complessità.
CAPITOLO 2. INDAGINE SUI MODELLI PRESENTI IN LETTERATURA 12
Ruota rigida Come prima evoluzione del mono-punto di contatto, per tenere conto della proprietà del pneumatico di filtrare le asperità di lunghezza d’onda molto piccola, è stato pensato di considerare una ruota rigida che rotola sulla strada e di posizionare il blocchetto molla/smorzatore al centro di essa. Esso tuttavia ha una descrizione troppo semplice delle proprietà di inviluppo dell’ostacolo e non tiene minimamente conto delle deformazioni del pneumatico, cosa che lo hanno condannato ad una rapida esclusione.
Impronta di contatto Un altro tentativo è stato quello di continuare ad utilizzare delle semplici molle verticali, ma utilizzare un numero maggiore di punti di contatto, con un’impronta di dimensioni finite. I risultati di questo modello sono stati interes-santi, ma non ha avuto diffusione a causa del difficile settaggio delle rigidezze delle molle, del tempo di calcolo e della mancata possibilità di avere un’impronta di contatto con dimensioni variabili.
b
Camme Questo modello continua ad utilizzare una singola molla in parallelo ad un unico smorzatore, ma il punto di contatto giace su un profilo strada equivalente. Questa superficie viene calcolata con un algoritmo, considerando la mappa di altezze dei centri di un numero elevato di camme ellittiche distribuite all’interno dell’impronta di contatto, che indagano la strada in molti punti. In questo modo viene emulata la capacità del pneumatico di filtrare le asperità più piccole del suo diametro, allargando il suo campo di validità anche a lunghezze d’onda inferiori rispetto al singolo punto di contatto. Pur essendo un modello empirico senza alcun significato fisico, i suoi
CAPITOLO 2. INDAGINE SUI MODELLI PRESENTI IN LETTERATURA 13 risultati sono molto interessanti e le sue applicazioni molteplici. Per la sua descrizione approfondita vedere la Sezione 3.2.
Rigid-Ring Come dice il nome, esso consiste in un anello rigido collegato al centro ruota mediante molle e smorzatori. Anch’esso ha un mono-punto di contatto, ma presenta il filtraggio del profilo stradale mediante camme ellittiche. Grazie ai gradi di libertà aggiuntivi dovuti alla presenza dell’anello, è in grado di descrivere i modi propri legati a frequenze fino a 60÷100 Hz [Pac, Schm, Swi]. Esso rappresenta uno dei migliori compromessi tra semplicità di calcolo ed accuratezza dei risultati e quindi sarà uno dei modelli presi in esame in questo lavoro. Nel Paragrafo 3.3.1 verrà fatta una descrizione accurata di MF-Tyre/MF-Swift, che ad oggi risulta il modello ad anello rigido con la maggiore diffusione commerciale.
Flexible-Ring Questa ulteriore evoluzione consiste in una discretizzazione ad ele-menti finiti dell’anello circonferenziale ed il collegamento di ognuno di questi eleele-menti al centro ruota mediante molle e smorzatori. L’inviluppo mediante camme ellittiche non è presente ed il compito di filtrare le asperità è lasciato alla dinamica dell’anello stesso. I suoi risultati sono estremamente precisi [Gong, Zeg] ma allo stesso tempo estremamente oneroso dal punto di vista computazionale e complesso per il settaggio dei parametri. Un modello molto conosciuto a livello commerciale per le sue incredibili potenzialità è FTire (per la sua descrizione vedere la Sezione 3.4), il quale si colloca a metà tra un flexible-ring ed un vero e proprio modello FEM. Esso consente di arrivare fino a frequenze di eccitazione pari a 200 Hz [FT].
CAPITOLO 2. INDAGINE SUI MODELLI PRESENTI IN LETTERATURA 14
Elementi finiti Infine il più completo in assoluto consiste nel modello FEM di tut-ta la gomma. Ovviamente esso risultut-ta quello più veritiero e con maggiori aspettut-tative futuristiche, ma a causa dei tempi di calcolo una sua applicazione aziendale è impensa-bile, ed il suo uso rimane confinato ai produttori stessi di pneumatici, i quali al giorno d’oggi lo utilizzano sempre maggiormente per eseguire gli esperimenti di caratterizza-zione in ambiente virtuale. Procedura estremamente più rapida ed economica rispetto alle misure sperimentali.
Capitolo 3
Modelli di Pneumatico
Analizzati
Alla luce di quanto detto nel capitolo precedente, nel seguente lavoro verranno ana-lizzati e confrontati i seguenti modelli:
• Pacejka mono-punto di contatto
Modello attualmente in utilizzo alla Dallara, del quale c’è una profonda cono-scenza
• Modello a camme ellittiche • Modello ad anello rigido
• Modello FTire ad anello flessibile
Poiché tra i primi tre verrà fatto un confronto dettagliato con analisi e deduzioni generali sui modelli, la loro descrizione sarà piuttosto accurata anche dal punto di vista matematico. Riguardo a FTire, a causa della mancanza di coefficienti pneumatico affidabili, il suo utilizzo in questo lavoro sarà purtroppo limitato e la sua descrizione sarà solo di carattere generale senza scendere troppo nei dettagli.
3.1
Pacejka Mono-Punto di Contatto
Il modello di pneumatico più diffuso in campo commerciale è senza dubbio la Magic Formula a singolo punto di contatto proposta dal Prof. Hans Pacejka [Pac]. Come suggerisce il nome, essa è una formula empirica con nessun significato fisico, che riesce tuttavia a descrivere in maniera estremamente accurata il comportamento del pneu-matico in handling.
Di tale formula ne esistono varie versioni, dalla prima, indicata con MF-1.x, fino alla più completa MF-6.x, la quale risulta in continuo sviluppo ed aggiornamento. Esse si differenziano dal numero di parametri che contengono al loro interno; parametri che servono a descrivere la dipendenza da vari fattori, tipo velocità, pressione, convergen-za, camber, ecc. La MF-6.x è quella che tiene conto del maggior numero di fattori e quindi è anche quella con il maggior numero di parametri, tuttavia è anche la più precisa e quindi la più utilizzata.
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 16
Figura 3.1: Magic Formulae significato grafico dei parametri
Nonostante le sopracitate sfumature, tutte le versioni si basano sulla seguente Magic Formula:
F (σ) = D sin {C arctan [Bσ − E (Bσ − arctan (Bσ))]} (3.1) dove con σ si indica lo scorrimento teorico [Guigg] e gli altri coefficienti hanno i seguenti significati [Pac, Guigg, Ada]
• D : peak factor, determina il valore di picco
• C : shape factor, determina il valore asintotico della curva e quindi caratterizza anche la sua forma
• B : stiffness factor, determina la pendenza nell’origine
• E : curvature factor, modifica la caratteristica della curva intorno al valore di picco (è il parametro che ha meno influenza sulla curva e quindi anche il meno significativo)
In Figura 3.1 si riporta il tipico andamento della formula che vale sia in longitudi-nale puro che in laterale puro.
Dal punto di vista della dinamica verticale invece esso è composto da una molla in parallelo ad uno smorzatore, disposti tra il centro ruota ed il punto di contatto con la strada. Importante notare che il punto di contatto viene calcolato sempre conducendo la verticale lungo l’asse z0 dal centro ruota. Di conseguenza, in caso di strada inclinata la molla non risulterà ortogonale al profilo stradale (vedi Figura 3.2).
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 17
b
b
b
b
Figura 3.2: Comportamento di un modello mono-punto di contatto
Il modello ha un valore costante di smorzamento verticale, mentre la rigidezza è variabile e tiene conto di molti fattori a seconda della versione utilizzata.
Di seguito si riporta la formulazione del calcolo della forza verticale a terra Fz per la versione MF-6.2 [Pac, Ada]:
Fz= ( " qREO+ qV 2|Ω| R0 VN OM − qF cx1 Fx FzN OM 2 − qF cy1 Fy FzN OM 2# qF z1+ qF z3γ2 1 R0 + qF z2 ρ R2 0 (1 + qpF z1dpi) FzN OM ) ρ + Kz˙ρ (3.2) dove
• FzN OM: Carico verticale nominale, al quale sono state fatte le misure • Ω: Velocità di rotazione della ruota
• R0: Raggio ruota indeformato
• VN OM: Velocità longitudinale nominale, alla quale sono state fatte le misure • γ: Camber
• ρ: Deformazione del pneumatico
• dpi: Pressione di gonfiaggio normalizzata, definita dpi=
pi− λippN OM λippN OM • pi: Pressione di gonfiaggio
• pN OM: Pressione nominale, alla quale sono state fatte le misure • λip: Fattore di scala
• q: Coefficienti di caratterizzazione del pneumatico
Evitando la spiegazione dettagliata di tutte le dipendenze (che può essere trovata in [Pac]), la formula è stata riportata solo per evidenziare che la rigidezza verticale, ovvero tutta la parte racchiusa nelle parentesi graffe, è ben lungi dall’essere un valore
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 18 costante e nel caso più generale può avere una dipendenza con la velocità di rotazione, le forze Fxe Fy, il camber, la pressione di gonfiaggio e la deformazione del pneumatico. Nel caso, abbastanza frequente, in cui i parametri qV 2, qF cx1, qF cy1, qF z1, qF z2 e qF z3 non siano forniti, la formula si semplifica ad una semplice molla lineare con rigidezza Cz costante, assegnata direttamente nel property file:
Fz= Czρ + Kz˙ρ (3.3)
Invece nel caso in cui nel file tir sia specificato, insieme alla rigidezza verticale Cz, il valore di qF z2, il parametro qF z1 si ricava dalla seguente formula [Pac]
Cz= FzN OM R0
q q2
F z1+ 4qF z2, (3.4)
questo per far si che in condizioni di carico verticale e pressione nominali, il pneumatico abbia rigidezza verticale pari a Cz.
La deformazione a sua volta è definita come ρ = R0 qREO+ qV 1 ΩR 0 VN OM 2 − RL = R0qREO+ ∆r − RL (3.5) dove RL indica il raggio ruota sotto carico. Quest’ultima variabile, che definisce la posizione verticale del centro ruota rispetto al piano stradale, entra direttamente nelle equazioni di equilibrio.
Risulta interessante notare che il fattore qV 1 regola il peso del termine ∆r, il quale corrisponde alla crescita del raggio ruota dovuta alla centrifugazione del pneumatico. Il termine qREO corrisponde al rapporto tra il raggio ruota indeformato misurato e R0, per questo in generale esso è sempre pari ad 1.
Nel caso semplificato in cui qV 1= 0si ottiene l’ovvia relazione ρ = R0− RL b RL ρ R0 ∆r Ω
Figura 3.3: Schema dei raggi ruota e deformazione pneumatico
Per i calcoli successivi torna utile mostrare anche l’equazione del momento dovuto alla resistenza al rotolamento. Questo perché per interpretare al meglio le forze longi-tudinali dovute all’impatto con l’ostacolo, bisogna tener conto della forza di resistenza
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 19 al rotolamento e la sua dipendenza al variare degli altri parametri.
L’equazione del momento resistente è la seguente [Pac, Ada] My,rot= R0FzN OMλM y qsy1+ qsy2 Fx FzN OM + qsy3 Vx VN OM + qsy4 V x VN OM 4 + qsy5γ2+ qsy6 Fz FzN OM γ2 F z FzN OM qsy7 p i pN OM qsy8 (3.6) dove, oltre ai sopracitati parametri, si ha il fattore di scala λM y ed i coefficienti di caratterizzazione q.
La forza di resistenza al rotolamento risulta Fx=My,rot
RL (3.7)
3.2
Camme Ellittiche
Questo modello semi-empirico è uno sviluppo del Pacejka mono-punto di contatto. Esso non è un vero e proprio modello di pneumatico ma è un’estensione della Magic FormulaMF-6.x che permette di aggiungere un metodo di inviluppo del profilo strada-le. Con tale versione risulta possibile scegliere liberamente tra camme e mono-punto, lasciando totalmente invariata ed indipendente la parte di handling.
Esso è stato sviluppato basandosi sulla Basic Function Technique e sul Two-Point Follower Concept [Zeg, Schm, Pac] e consiste nella discretizzazione dell’area di con-tatto in una serie di punti sui quali vengono collocate delle camme rigide di forma ellittica (tandem-cam o tandem-egg). Il moto di queste camme sul profilo stradale definisce una mappa di altezze, con la quale è possibile ricavare una superficie stradale equivalente da cui si estrapola:
• L’altezza del piano stradale effettivo w
• La pendenza longitudinale del piano stradale effettivo βy • La pendenza laterale del piano stradale effettivo βx • La curvatura effettiva longitudinale dβy/ds
• La curvatura effettiva laterale dβx/ds
Il punto di contatto al quale si collega il blocchetto molla-smorzatore giace diretta-mente su questa superficie equivalente e non su quella reale. L’effetto della pendenza locale viene spiegato meglio al Paragrafo 5.1.2, mentre quello della curvatura ha ef-fetto soprattutto sul raggio di rotolamento. Per i dettagli di questo ultimo aspetto si rimanda al libro [Pac].
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 20
Figura 3.4: Metodo di inviluppo dell’ostacolo 3D mediante camme ellittiche
Figura 3.5: Procedimento del calcolo del profilo strada effettivo, caso a singola camma
Tale modello empirico è stato ideato unicamente per cercare di replicare il com-portamento deformabile del pneumatico durante l’attraversamento di un’asperità (vedi Figura 3.6). Esso lavora in modo molto simile ad un filtro passa-basso.
La forma delle camme è quella di un superellisse di equazione
x paeR0 pce + y pbeR0 pce = 1 (3.8)
il cui grafico è riportato in Figura 3.7, dove si mette in luce l’influenza dell’esponente variabile pce.
Il numero delle camme è modificabile dal property file del pneumatico. Esse sono disposte su un’area che non è esattamente coincidente con l’impronta di contatto. Come si può notare dalla Figura 3.4, la larghezza di tale area è coincidente con quella dell’impronta di contatto (2b), mentre la lunghezza ls ha un fattore di scala rispetto alla lunghezza dell’impronta (2a):
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 21
Figura 3.6: Inviluppo dell’ostacolo di un pneumatico
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 p ce=2 pce=1.5 pce=4
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 22 Le dimensioni dell’impronta sono ovviamente funzione della deformazione del pneu-matico e le formule per il calcolo delle sue dimensioni sono le seguenti [Pac]
a = R0 qra2 ρ R0 + qra1 r ρ R0 (3.10) b = W0 qrb2 ρ R0 + qrb13 r ρ R0 (3.11) dove W0 è la larghezza nominale del pneumatico e q sono i consueti parametri di caratterizzazione del pneumatico.
La proprietà di inviluppo dell’ostacolo si esalta moltissimo a velocità molto basse. In Figura 3.8 vengono riportati i risultati [Ada] di un attraversamento traversina di dimensioni (10 x 10) mm a velocità 1 m/s, dove si può notare l’enorme differenza dal mono-punto di contatto. Risulta interessante precisare che con questo metodo di inviluppo la forza verticale subisce un incremento appena una delle camme tocca l’ostacolo, e non deve attendere l’arrivo del centro ruota sull’ostacolo. Inoltre il valore di picco è piuttosto attenuato e l’effetto distribuito nel tempo rispetto al mono-punto, dove si ha invece un incremento piuttosto violento della Fz.
Figura 3.8: Confronto sulle forze Fz e Fx tra il singolo punto di contatto e le camme ellittiche
3.3
Anello Rigido
Il modello anello rigido più diffuso commercialmente è senza dubbio MF-Tyre/MF-Swift, sviluppato dal lavoro del Prof. Pacejka e dei suoi assistenti [Pac, Zeg, Schm]. Come spiegato nel paragrafo successivo, esso consiste in un pacchetto aggiuntivo alla Magic Formula.
Oltre ad esso viene presentato anche il modello PAC2002-BeltDynamics. Consiste in un modello ad anello rigido molto simile allo Swift, sviluppato dalla MSC Software e reso disponibile assieme al software Adams. Viene descritto anche questo modello, perché, pur non avendo una larga diffusione commerciale, essendo estremamente simile allo Swift, si è deciso di usarlo nella prima fase di comparazione virtuale, quando
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 23 ancora non era disponibile una licenza per Swift. Successivamente, una volta arrivati i dati del pneumatico reale da parte di Pirelli e la licenza del programma, si è passati all’utilizzo del modello Swift per la correlazione con le misure in vettura.
3.3.1
MF-Tyre/MF-Swift
Il modello MF-Tyre/MF-Swift nasce dall’unione del modello Pacejka basato sulla Ma-gic Formula, specializzato nella descrizione della parte handling del pneumatico, ed il modello Rigid-Ring SWIFT, specializzato nella descrizione della dinamica verticale [Swi]. Nel corso del seguente lavoro ogni volta che si troverà la parola Swift, ci si riferirà al modello MF-Tyre/MF-Swift.
Figura 3.9: Panoramica storica della nascita del modello MF-Tyre/MF-Swift
Quindi, come schematizzato in Figura 3.9, le versioni del software successive alla 5.x prevedono la possibilità di utilizzare la dinamica dell’anello rigido.
Come anticipato sopra, tale modello di pneumatico tratta in maniera separata la parte handling e la dinamica verticale. Per la prima ci si affida sempre ad una versione della Magic Formula (dalla 1.x alla 6.x), che si può scegliere in modo assolutamente libero, mentre per il verticale si può decidere se utilizzare un mono-punto di contatto, un metodo di inviluppo a camme, un anello rigido o loro combinazioni. Seguendo lo schema logico riportato in Figura 3.10, sarebbe possibile anche utilizzare l’anello rigido senza l’inviluppo delle camme ellittiche (utile per esempio per simulare una frenata con ABS su strada piana).
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 24 stradale Asperit`a Modello di inviluppo Modello anello rigido Sollecitazione verticale Swift Camme Mono-punto
Figura 3.10: Diagramma a blocchi dei vari modelli
Il modello Swift è composto da una parte centrale e da un anello, entrambi parti rigide e dotate di massa. L’anello è collegato al centro ruota mediante tre rigidezze e tre smorzamenti traslazionali e tre rigidezze con tre smorzamenti rotazionali, in modo da vincolare tutti i gradi di libertà aggiunti con l’introduzione dell’anello rigido. Questi sei gradi di libertà aggiuntivi servono a descrivere i primi modi propri di vibrare del pneumatico (Figura 2.2), spingendo il suo campo di validità fino a frequenze di circa 60 ÷ 100 Hz. Occorre un’ulteriore puntualizzazione sulla rigidezza verticale, in quanto in questo modello è presente sia una rigidezza tra l’anello ed il centro ruota (sidewall stiffness), sia una rigidezza tra anello e punto di contatto (residual stiffness), collegate in serie tra loro. Tale ripartizione viene calcolata in automatico dal programma sulla base dei coefficienti nel file tir.
Figura 3.11: Schema modello MF-Tyre/MF-Swift
Si riportano di seguito le principali formule per la determinazione delle varie rigidezze c e smorzamenti k, presenti tra anello e cerchione [Pac].
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 25
Figura 3.12: Indicazione delle variabili in Swift
QV = |Ω| VN OM q x2 b+ z2b (3.12) cbx= cbx0 1 − qbV xpQV (3.13) cbz= cbz0 1 − qbV zpQV (3.14) cbθ= cbθ0 1 − qbV θpQV (3.15) cbx0,y,z0= qcbx,y,z FzN OM R0 (3.16) cbγ,θ0,Ψ = qcbγ,θ,ΨFzN OMR0 (3.17) 1 Cz = 1 cbz + 1 cRz (3.18) kbx,y,z = 2qkbx,y,z r m0 FzN OM R0 (3.19) kbγ,θ,Ψ= 2qkbγ,θ,Ψ q m0FzN OMR30 (3.20) mb= qmbm0 (3.21)
per la simmetria della ruota si ha
qcbxz= qcbx = qcbz qcbγΨ= qcbγ = qcbΨ qkbxz= qkbx= qkbz qkbγΨ= qkbγ= qkbΨ dove
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 26 • xb, zb: Traslazioni dell’anello rispetto al cerchione
• cbx, cby, cbz: Rigidezze traslazionali tra anello e cerchione • cbθ, cbγ, cbΨ: Rigidezze torsionali tra anello e cerchione
• Cz: Rigidezza verticale totale (indicata con VERTICAL_STIFFNESS nel pro-perty file)
• cRz: Rigidezza verticale residua tra anello e punto di contatto • kbx, kby, kbz: Smorzamenti traslazionali tra anello e cerchione • kbθ, kbγ, kbΨ: Smorzamenti torsionali tra anello e cerchione • m0: Massa del pneumatico
• mb: Massa dell’anello rigido
A seconda della versione utilizzata possono essere assegnate in input le frequenze proprie dell’anello ed il modello poi si calcola automaticamente le rigidezze di cui ha bisogno. In questo caso le Equazioni (3.16) e (3.17) sono sostituite rispettivamente con le (3.22) e (3.23). cbx0= 4π2mbflong2 cbz0= cbx0 cby0= 4π2mbflat2 (3.22) cbθ= 4π2Iyy,beltfwindup2 cbΨ= 4π2Izz,beltfyaw2 cbγ= cbΨ (3.23) dove
• flong: Frequenza propria del modo proprio traslazionale dell’anello rigido lungo l’asse x
• flat: Frequenza propria del modo proprio traslazionale dell’anello rigido lungo l’asse y
• fwindup: Frequenza propria del modo proprio rotazionale dell’anello rigido attor-no all’asse x
• fyaw: Frequenza propria del modo proprio rotazionale dell’anello rigido attorno all’asse z
Tutte le formule riportate nelle Sezioni 3.1 e 3.2 continuano a valere anche per Swift. Ciò che cambia in questo modello sono le equazioni di equilibrio, poiché è presente un corpo aggiuntivo con le sue rigidezze e smorzamenti. In particolare l’anello riceve dalla strada:
• Forza Fz (Equazione 3.2)
• Forze Fxed Fy (dalle equazioni di handling)
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 27 dal cerchione [Pac]:
Fxb= kbx˙xb+ cbxxb (3.24) Fyb= kby˙yb+ cbyyb (3.25) Fzb= kbz˙zb+ cbzzb (3.26) Tγb= kbγ˙γb+ cbγγb (3.27) Tθb= kbθ˙θb+ cbθθb (3.28) TΨb = kbΨΨ˙b+ cbΨΨb (3.29)
3.3.2
PAC2002-BeltDynamics
Tale modello è tratto dallo Swift e per questo risulta molto simile ad esso. Tutte le equazioni riportate nelle Sezioni 3.1 e 3.3.1 valgono anche per questo modello [Ada]. Le uniche differenze si hanno per la nomenclatura ed il tipo di coefficienti in input, mentre, per quanto riguarda la matematica, le uniche equazioni diverse sono quelle per la stima delle dimensioni dell’impronta di contatto. Le (3.10) e (3.11) vengono sostituite rispettivamente dalle seguenti equazioni [Ada]:
a = pA1R0 ρ R0 + pA2 r ρ R0 (3.30) b = pB1W0 ρ R0 + pB2 r ρ R0 + pB3 ρ R0 r ρ R0 (3.31) Come sarà mostrato nel seguito, i risultati di questo modello sono di notevole interesse, ma occorre sottolineare ciò che lo differenzia dallo Swift, che, nonostante a prima vista potrebbero sembrare dettagli di poco conto, sono a livello pratico differenze importanti da tenere conto.
Per prima cosa il PAC2002-BeltDynamics non ha un’ottimizzazione del settaggio delle condizioni iniziali, come ha invece Swift. Di conseguenza, come si può osservare in Figura 3.13, nei primi istanti di tempo della simulazione dinamica il PAC2002-BeltDynamics presenta delle forti oscillazioni, che vanno poi a smorzarsi fino alla condizione di equilibrio. Anche se ciò non comporta una minore precisione nei risultati, ne consegue uno spreco di tempo di calcolo e di memoria, oltre all’onere di ricordarsi di aggiungere ogni volta un intervallo di tempo (non sempre uguale) per far stabilizzare il sistema, dopo il quale è possibile far iniziare la manovra di interesse.
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 28 Punto a favore del PAC2002-BeltDynamics è che, essendo un modello creato da MSC Software, esso risulta molto user-friendly e ben implementato all’interno del pro-gramma (il suo utilizzo è ben automatizzato e i messaggi di errore sono generalmente di facile comprensione). Swift invece, come primo approccio, è risultato ben più ostico. Esso infatti richiede particolari impostazioni all’interno del solutore e del property file del pneumatico, che, se non vengono assegnate correttamente ad ogni utilizzo, possono portare al fallimento della simulazione, con messaggi di errore di difficile interpreta-zione. Altro aspetto molto scomodo di Swift è che, ogni volta che si utilizza un set di coefficienti nuovo, si deve sottrarre manualmente dalla massa della ruota del modello il valore della massa dell’anello rigido, specificata all’interno del file .tir, cosa che invece viene fatta in automatico dal software quando si utilizza il PAC2002-BeltDynamics.
Tuttavia occorre dire che MF-Swift, proprio grazie ad alcune delle ulteriori impo-stazioni che richiede, ha un’ottimizzazione di calcolo maggiore. In particolar modo esso presenta la possibilità di utilizzare due solutori diversi a seconda che si stia utiliz-zando un profilo stradale 2D o 3D. Nel primo caso il tempo di calcolo è notevolmente inferiore e questo rappresenta uno strumento di notevole utilità.
Altro punto di forza dello Swift è la possibilità di poterlo utilizzare anche conoscen-do pochissimi dati del pneumatico [Swi]. Infatti inserenconoscen-do la taglia del pneumatico e pochi altri dati base facilmente reperibili (l’elenco completo è riportato in Figura 3.14), il modello è in grado di autocalcolarsi, con relazioni empiriche, gli altri parametri di cui ha bisogno e di fornire risultati abbastanza sensati. Il PAC2002-BeltDynamics non offre questa opportunità e questo fattore, combinato alla difficile reperibilità di una sua caratterizzazione, ha rappresentato in questo progetto il suo principale punto debole. Dal momento che i parametri di cui ha bisogno in input sono differenti da quelli di Swift e poiché la sua diffusione commerciale è notevolmente inferiore, non è stato possibile ottenere un set di coefficienti per tale modello dalla casa fornitrice di pneumatici, né tanto meno convertire uno di quelli in possesso, dimostrando di fatto la sua attuale inutilizzabilità in campo aziendale. Nel caso in cui si trovasse il modo di superare tale inconveniente, il modello risulta una valida alternativa gratuita in sostituzione a Swift da tenere in considerazione per il futuro.
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 29
3.4
FTire
FTire è un modello semi-fisico ad anello flessibile in grado di spingere il suo campo di validità fino a frequenze di circa 200 Hz [FT]. Con le sue versioni più complete si possono analizzare moltissimi fenomeni anche estremamente complessi, come usura locale, analisi termica, moti di cavità, deformabilità del cerchione, ecc. Parlando con gli esperti di pneumatici che hanno seguito questa tesi, si è annotato più volte che per determinati tipi di ostacolo per cui si ha un urto energeticamente violento, per ottenere dei risultati ben allineati con la realtà occorre tener conto di aspetti complessi come deformabilità del cerchio o disuniformità della pressione all’interno del pneumatico. Fenomeni che al giorno d’oggi si riescono a simulare solo con un modello FTire. Nella sua forma base è formato da una discretizzazione ad elementi finiti dell’anello e un modello di battistrada. L’anello esterno è suddiviso in tanti elementi dotati di massa, che sono collegati tra loro da una serie di rigidezze non lineari in piano e fuori piano, funzione della pressione e di altre variabili caratteristiche. Si riporta un breve elenco delle principali rigidezze:
• Rigidezza flessionale in piano
Tale rigidezza vincola la rotazione relativa tra gli elementi lungo un asse di rotazione parallelo a quello ruota.
• Rigidezza flessionale fuori piano
Tale rigidezza vincola la rotazione relativa tra gli elementi lungo un asse di rotazione disposto in direzione radiale.
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 30 • Rigidezza flessionale laterale
Tale rigidezza vincola la rotazione relativa tra gli elementi affiancati, lungo un asse di rotazione tangente alla circonferenza esterna.
• Rigidezza torsionale e rigidezza twist
La rigidezza torsionale vincola la rotazione relativa tra elemento e cerchione lungo un asse di rotazione tangente alla circonferenza esterna. La rigidezza twist vincola la rotazione relativa tra due elementi successivi lungo un asse di rotazione tangente alla circonferenza esterna.
La rigidezza radiale non è modellata con l’utilizzo di molla ma è tenuta di conto me-diante l’assegnazione di una pressione interna e della sua variazione con deformazione, temperatura, ecc.
Per la parte handling non viene utilizzata la Magic Formula, ma una formulazione propria simile ad un modello a spazzole [Guigg]. Ad ogni elemento dell’anello sono collegate alcune decine di stringhe senza massa. Tali stringhe, aventi una lunghezza variabile, permettono di riprodurre esattamente la forma del battistrada e di tutti gli eventuali tasselli (vedi Figura 3.15). Tali filetti sono dotati di rigidezze e smor-zamenti non lineari in direzione radiale, tangenziale e laterale. L’effetto integrato delle loro deformazioni produce le forze risultanti di handling, evitando l’utilizzo del-la Magic Formudel-la. L’impronta di contatto viene valutata mediante del-la deformazione punto-punto del battistrada. Ovviamente la sua forma può assumere le forme tridi-mensionali più complesse ed è funzione della geometria del battistrada e della strada (vedi Figura 3.16). In questo modo si può valutare anche l’usura e la temperatura locali.
CAPITOLO 3. MODELLI DI PNEUMATICO ANALIZZATI 31
Figura 3.15: Esempio di modellazione di un pneumatico con FTire
(a) (b)
Figura 3.16: Esempi di impronta di contatto
Si capisce subito come questo modello sia estremamente diverso dai modelli semi-empirici proposti in precedenza e si anticipa subito che su alcune prove un loro con-fronto, senza una misura reale, risulta di difficile interpretazione. Tuttavia è chiaro che, nonostante la complessità nel padroneggiarlo, le sue potenzialità sono notevol-mente elevate. Uno tra i principali ostacoli che può presentarsi durante il suo utilizzo, è la difficoltà di reperire i dati dei pneumatici ed il costo per le caratterizzazioni sperimentali.
Capitolo 4
Modelli di Simulazione in
Adams
Come accennato nel Sommario, il progetto sarà diviso in una prima fase di compa-razione dei modelli in ambiente virtuale, eseguendo le medesime manovre su profili strada sconnessi e confrontando successivamente gli output, ottenuti con modelli di pneumatico diversi. Questa prima parte è stata decisa di farla utilizzando un modello di veicolo semplificato, tipo quarter-car, in modo tale da avere un maggior controllo sul sistema ed essere in grado di prevedere e comprendere più facilmente i risultati delle simulazioni. Una volta tratte le conclusioni per il quarto di veicolo, sono state fatte anche alcune simulazioni mirate con il modello veicolo completo per verificare che valessero le stesse deduzioni. La seconda fase consisterà invece in un confronto tra simulazioni eseguite con un modello Swift caratterizzato da Pirelli e le misure reali in vettura. Per questa parte, ovviamente, è stato necessario creare il modello multibody di tutto il veicolo, così da poter replicare in ambiente virtuale le stesse manovre fatte su strada, e poter confrontare le misure dei sensori in vettura con le misure dei sensori virtuali.
Nelle seguenti sezioni verranno descritti i due modelli multibody utilizzati ed i files per generare i profili stradali.
4.1
Modello Adams Quarter-Car
L’obiettivo della seguente modellazione multibody è quello di ottenere un semplice modellino quarter-car [Guigg], composto da una massa sospesa ms, una massa non sospesa mns, una molla e uno smorzatore che collegano tra di loro le due masse ed un modello di pneumatico tra la massa non sospesa ed il profilo stradale (vedi Figura 4.1). Esso è un modello piano e gli unici gradi di libertà che ha sono:
• traslazione verticale della massa sospesa zs • traslazione verticale della massa non sospesa zns
CAPITOLO 4. MODELLI DI SIMULAZIONE IN ADAMS 33 ms mns pneumatico c k zs zns h
Figura 4.1: Schema modello quarter-car
In Adams la strada non sarà fornita come una funzione spostamento h(t), ma verrà modellata fisicamente nello spazio. A tutto l’assieme sarà poi assegnata una velocità di avanzamento longitudinale, così da evidenziare le proprietà di inviluppo ostacolo di ogni tipo di pneumatico.
Tutti i parametri sono stati ricavati dal modello multibody di un veicolo esisten-te, in modo tale da utilizzare dati sensati e scongiurare comportamenti irrealistici. Una prima validazione del modello qarter-car è stata fatta eseguendo le medesime manovre su Adams View con il modellino semplificato e su Adams Car con il veicolo completo, confrontando successivamente gli output delle grandezze principali. Dalle comparazioni è risultata una differenza dell’ordine del 10 %, valore più che ragionevole considerando le approssimazioni del modello quarto di veicolo (moto sospensione ine-sistente, camber e convergenza sempre identicamente nulli, rigidezza e smorzamento riportati a terra con rapporto di installazione costante).
Per motivi di riservatezza nel seguito descriverò come sono stati ricavati tutti i dati, senza però riportare i loro valori numerici.
Figura 4.2: Modello quarter-car in Adams
4.1.1
Modellazione Corpi
La massa sospesa è stata modellata come una sfera a cui è stato cambiato solo il valore della massa, in quanto è l’unico parametro inerziale che entra in gioco in questo tipo di prove.
Per quanto riguarda la massa non sospesa, su Adams View, analogamente ad Adams Car, è possibile creare un elemento Tire, all’interno del quale si inseriscono diretta-mente le proprietà di massa ed inerzia della massa sospesa ed il file .tir del pneumatico.
CAPITOLO 4. MODELLI DI SIMULAZIONE IN ADAMS 34 A tale elemento è possibile associare un profilo stradale (in uno dei formati standard (.rdf, .xml o .crg), con il quale il software crea automaticamente il vincolo di contatto unilaterale con attrito.
4.1.2
Vincoli
Oltre al sopracitato vincolo tra ruota e strada, si è imposto un point-on-curve tra il marker del centro ruota ed una retta verticale solidale alla massa sospesa e passante per il suo baricentro. In questo modo la ruota può traslare verticalmente, lasciando libera la rotazione attorno al proprio asse (unico grado di libertà aggiuntivo rispetto allo schema di Figura 4.1). Per bloccare i moti fuori piano si è assegnato un planar joint tra la ruota ed un piano x0-z0 solidale al ground. Il piano è stato vincolato al ground mediante una cerniera completa e non un incastro, per evitare di avere un vincolo ridondante. L’unica accortezza da prendere è quella di evitare, durante le si-mulazioni, che l’assieme passi dall’asse di rotazione della cerniera, altrimenti il sistema di equazioni diventa singolare.
Tra la ruota e la massa sospesa è anche presente un elemento spring, dotato di una rigi-dezza costante e di uno smorzamento variabile, funzione della velocità. La rigirigi-dezza k è stata ricavata, dal valore della rigidezza della molla kme dal rapporto d’installazione i, nel seguente modo [FrBu]:
k ' kmi2
Il rapporto d’installazione è stato determinato mediante una simulazione parallel wheel travel con Suspension Testrig, svolta su Adams Car (vedi Figura 4.3). In questa ana-lisi si è assegnata la stessa escursione verticale ad entrambe le ruote di un singolo assale. Linearizzando l’escursione dell’ammortizzatore in funzione dell’escursione ver-ticale della ruota è stato possibile ricavarsi un valore linearizzato del rapporto di installazione.
Figura 4.3: Suspension Testrig
Per quanto riguarda lo smorzamento, dal veicolo completo si aveva una funzione di forza damper funzione della sua velocità di traslazione:
Fd= f1(vd)
Dalla definizione del rapporto d’installazione è possibile ricavarsi la caratteristica a terra Fz= f2(vz):
CAPITOLO 4. MODELLI DI SIMULAZIONE IN ADAMS 35 Quindi dividendo per i la vd e moltiplicando per i la Fd, si ricava punto per punto la nuova curva.
Successivamente è stata creata una parte "fittizia", avente una massa molto pic-cola, vincolata al ground con una guida prismatica orientata longitudinalmente. A quest’ultimo vincolo è stato assegnato un motion con un valore costante di velocità. Questa massa "fittizia" serve solo per assegnare il moto longitudinale alla massa so-spesa, lasciando libero il moto verticale.
Questo obiettivo è stato raggiunto vincolando con una guida prismatica verticale il baricentro della massa sospesa alla massa "fittizia".
Per concludere in Figura 4.4 si verifica che il modello ha effettivamente tre gradi di libertà: le traslazioni verticali delle due masse e la rotazione della ruota attorno al proprio asse.
Figura 4.4: Verifica del modello Adams
4.2
Modello Adams Full-Vehicle
Il database di Adams mette a disposizione dei modelli di veicoli completo pronti al-l’uso, i quali potevano essere tranquillamente utilizzati per il confronto in ambiente virtuale. Tuttavia, dal momento che successivamente sarà necessario la modellazio-ne del veicolo reale per la comparaziomodellazio-ne con le misure sperimentali, è stato deciso di implementare su Adams Car un modello multibody veicolo completo della Dallara Stradale e di utilizzarlo anche per la comparazione virtuale. Grazie alla preimposta-zione del software alla modellapreimposta-zione di veicoli, una volta raccolti tutti i dati necessari, la creazione di tale modello è stata abbastanza lineare.
CAPITOLO 4. MODELLI DI SIMULAZIONE IN ADAMS 36 Per la creazione delle sospensioni è stato utilizzato il template double-wishbone pre-definito in Adams, modificato solo per avere la corretta posizione dell’ammortizzatore e della barra antirollio, all’interno del quale sono stati inseriti:
• Punti sospensione • Rigidezze molle
• Curve caratteristiche degli ammortizzatori • Curve caratteristiche delle boccole (bushings)
• Curve caratteristiche dei tamponi di bumpstop e reboundstop • Corse libere di ogni ammortizzatore prima di avere tamponamento • Rigidezze torsionali delle barre antirollio
Ai bracci della sospensione è stata assegnata una massa molto bassa e tutta la massa non sospesa è stata collocata nella ruota. I momenti d’inerzia di quest’ultima invece sono quelli reali.
Figura 4.6: Modello multibody della sospensione anteriore
Per quanto riguarda il sotto-assieme dello sterzo e del motore, sono stati utilizzati quelli di esempio presenti nel database, in quanto per le analisi fatte in questo lavoro, non è di interesse che questi sistemi siano perfettamente fedeli alla realtà.
Dal momento che le simulazioni che verranno fatte in seguito sono tutte a velocità piuttosto basse e generalmente costanti, è stato deciso per semplicità di trascurare le forze aerodinamiche, impostando un valore nullo di Cx e Cz.
La cassa veicolo è stata modellata come massa concentrata avente posizione e proprietà inerziali calcolate in automatico dal software, in modo tale che l’assieme completo abbia determinati valori di massa ed inerzia ed il baricentro sia in una posizione desiderata.
Infine Adams Car mette a disposizione il tool Static Vehicle Set-Up, con il quale il software si calcola in automatico i precarichi delle molle e le regolazioni dei portamozzi in modo tale da avere dei valori desiderati di
• Altezza veicolo da terra anteriore e posteriore • Camber
CAPITOLO 4. MODELLI DI SIMULAZIONE IN ADAMS 37 In Figura 4.7 si riporta il modello multibody ottenuto. L’implementazione dei sensori e l’allineamento con l’assetto reale sono descritte dettagliatamente nella Sezione 8.1.
Figura 4.7: Modello veicolo completo della Dallara Stradale
4.3
Estensioni dei Profili Stradali
All’interno di Adams esistono tre estensioni diverse per descrivere un profilo stradale: • .rdf
• .xml • .crg
Il file .rdf serve per creare profili analitici mediante l’utilizzo di funzioni preimpo-state all’interno del software. Esistono molte funzioni per descrivere gli ostacoli più comuni, come per esempio dossi, gradini, buche, salite, sinusoidi ecc. Mediante la scel-ta di alcuni parametri è possibile modificare le dimensioni dell’osscel-tacolo a piacimento, oltre a definire le caratteristiche generali della strada: grip, curvatura, carreggiata, bank, ecc. Esistono sia ostacoli 2D, ovvero con estensione infinita lungo la direzione laterale della strada (Figura 4.8), sia 3D.
La particolarità che caratterizza questo tipo di file è che è possibile definire solo un ostacolo per ogni profilo stradale.
Figura 4.8: Profilo sinusoidale 2D in estensione .rdf
I files .xml sono molto simili agli .rdf. Anche loro costruiscono il manto stradale mediante le medesime funzioni analitiche sopra citate, ma in essi è possibile suddividere
CAPITOLO 4. MODELLI DI SIMULAZIONE IN ADAMS 38 la strada in settori, ognuno dei quali con le proprie caratteristiche. Inoltre si possono aggiungere quanti ostacoli si vuole. Ovviamente con questo tipo di file si ha molta più libertà nella modellazione della strada, grazie anche al tool Road Builder presente nel software, che facilita con una finestra di interfaccia la creazione dei files .xml. Molto utile in caso di circuiti di notevoli dimensioni (Figura 4.9).
Figura 4.9: Circuito di Imola modellato in estensione .xml
Infine i files .crg costituiscono delle mesh tridimensionali, ordinate secondo un particolare algoritmo. La loro particolarità è quella di ottenere profili strada estre-mamente complessi, come ad esempio il pavé (vedi Figura 4.10), pur mantenendo un’ottima velocità di calcolo. Al fine di velocizzare le simulazioni, Adams mette a disposizione un tool in grado di convertire un qualsiasi file stradale in estensione .crg, scegliendo una discretizzazione della mesh.
Pur presentando delle interessanti doti dal punto di vista computazionale (di fatti è piuttosto diffuso in questo campo), il suo utilizzo in questa attività di ricerca è stato limitato il più possibile, al fine di evitare, come illustrato in seguito, gli inevitabili errori dovuti alla discretizzazione della superficie stradale, poiché anche all’interno dell’azienda non c’era grande esperienza in merito.
Figura 4.10: Pavé modellato in estensione .crg
4.3.1
Comparazione Profili
Prima di iniziare l’attività di confronto tra i modelli di pneumatico si è ritenuto ne-cessario fare qualche simulazione preliminare per confrontare i suddetti tipi di strada, evidenziando se ci fossero differenze nei risultati.
CAPITOLO 4. MODELLI DI SIMULAZIONE IN ADAMS 39 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time [s] 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 [N] Fz0 - Seno acc=const. .rdf .xml .crg
(a) Forza di contatto verticale su profilo
sinusoidale 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 Time [s] 8500 9000 9500 10000 10500 11000 [N] Fz0 - Seno acc=const. .rdf .xml .crg
(b) Forza di contatto verticale su profilo
sinusoidale - dettaglio 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time [s] 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 [N] Fz0 - Gradino Vx0=const. .rdf .xml .crg
(c)Forza di contatto verticale su strada con
gradino 1.509996 1.509998 1.51 1.510002 Time [s] 1.70636 1.70638 1.7064 1.70642 1.70644 1.70646 1.70648 1.7065 [N] 104 Fz0 - Gradino Vx0=const. .rdf .xml .crg
(d)Forza di contatto verticale su strada con
gradino - dettaglio
Figura 4.11: Risultati di alcune simulazioni
A tal fine è stato preso un modello di veicolo completo presente nel database di Adams con un pneumatico Pacejka mono-punto di contatto e sono state eseguite delle ma-novre a velocità costante e ad accelerazione costante, su profili strada sinusoidali e con gradino, generati con estensioni diverse. I profili .rdf e .xml sono stati generati da zero utilizzando le opportune funzioni, mentre la .crg è stata creata mediante la discretizzazione del file .xml precedentemente creato.
In Figura 4.11 sono riportati solo alcuni dei risultati più significativi, dove si evi-denzia che con le estensioni analitiche i risultati vengono esattamente identici e quindi la preferenza di uno rispetto all’altro è indifferente. Al contrario la mesh .crg presenta delle piccole differenze dovute alla discretizzazione del manto stradale. Ovviamente tale errore è riducibile mediante l’infittimento dei punti della mesh e nel caso riportato in Figura 4.11.d la griglia discretizzata ha un’ottima qualità, infatti l’errore è estre-mamente piccolo.
In simulazioni così brevi il vantaggio nel tempo di calcolo dovuto all’utilizzo della .crg non è stato apprezzato, inoltre per apprezzare asperità di dimensioni molto piccole come delle traversine, occorrono delle mesh molto fitte, che implicano dei file .crg di dimensioni molto elevata e mal gestibili con computer ordinari. Per questi motivi si è deciso di non utilizzarla nelle successive analisi.
Capitolo 5
Comparazione con Modello
Quarter-Car
In una prima fase si è deciso di operare il confronto tra pneumatici utilizzando un modello piano semplificato del tipo quarter-car. Questo è stato fatto per avere più controllo sulle simulazioni ed essere in grado di interpretare meglio i risultati delle analisi, cosa che sarebbe stata alquanto difficile con un modello di veicolo completo. A causa della mancanza dei dati e delle licenze necessarie nella prima fase del pro-getto, le seguenti analisi comparative sono state fatte utilizzando i modelli di pneu-matico presenti nel database Adams. In particolare si è utilizzato un PAC2002-BeltDynamics di un pneumatico 205/55 R161(indicato con BELT), il suo equivalente Pacejka mono-punto di contatto (indicato con PAC) ed il medesimo Pacejka ma con l’implementazione delle camme ellittiche per l’inviluppo stradale (indicato con CAM). Nelle successive comparazioni è stato preso il modello ad anello rigido come riferi-mento (assumendo che esso sia quello più preciso) e gli errori degli altri due modelli sono stati calcolati rispetto ad esso.
L’errore percentuale è stato valutato con la seguente formula e(x) = x − xBELT
xBELT (5.1)
in modo che
• se e > 0 il modello in esame sta sovrastimando la grandezza • se e < 0 il modello in esame sta sottostimando la grandezza
In tutte le analisi seguenti, si è fatto in modo che l’ostacolo impattasse la ruota almeno 0.5 s dopo dall’inizio della simulazione, così che tutti gli elementi fossero a regime e ben stabilizzati. Infatti è cosa nota che i modelli di pneumatico più complessi, in particolar modo il modello PAC2002-BeltDynamics, hanno notevoli oscillazioni negli istanti successivi all’inizializzazione.
Le grandezze analizzate sono
• Fz0, forza verticale a terra lungo il sistema di riferimento assoluto • Fx0, forza longitudinale a terra lungo il sistema di riferimento assoluto
1Per il set completo di coefficienti vedere Appendice A.1
CAPITOLO 5. COMPARAZIONE CON MODELLO QUARTER-CAR 41 • zcr
0 , posizione verticale del centro ruota rispetto al sistema di riferimento assoluto • amns
z0 , accelerazione verticale della massa sospesa rispetto al sistema di riferi-mento assoluto
• ams
z0, accelerazione verticale della massa sospesa rispetto al sistema di riferimento assoluto
• Fms
x0 , forza longitudinale scambiata tra la massa sospesa e la guida prismatica Il motivo per cui viene monitorata la Fms
x0 è che, per come è modellato il sistema, risulta impossibile valutare le accelerazioni longitudinali trasmesse in abitacolo, che rimangono sempre costantemente a zero. Per questo motivo si prende in esame la forza longitudinale, che in assenza del vincolo, si tramuterebbe in accelerazione della massa sospesa.
5.1
Rampa
Queste analisi, svolte su strade aventi un profilo a rampa con pendenza variabile, sono state utili a mettere in luce una differenza tra i modelli, che in letteratura non era ben evidenziata.
Vx0
α
Figura 5.1: Simulazione quarter-car su profilo a rampa
Analizzando i risultati riportati in Figura 5.3, si nota uno strano offset del Pacejka rispetto agli altri due modelli sul grafico della Fx0. A titolo di esempio, i calcoli e le considerazioni successive verranno fatte sulla prova svolta a 40 km/h su una rampa con inclinazione 5 %, ma esse valgono anche per tutte le altre prove.
Questa differenza deriva dal fatto che il modello mono-punto dispone la molla sempre in senso verticale rispetto al sistema di riferimento assoluto, indipendentemente dal-l’inclinazione della strada, mentre l’inviluppo con le camme calcola un piano effettivo di contatto ortogonalmente al quale dispone la molla (in caso di rampa a pendenza costante, il piano effettivo coincide esattamente con il piano stradale).
CAPITOLO 5. COMPARAZIONE CON MODELLO QUARTER-CAR 42 b b
F
z0F
x0R
L(a)Mono-punto di contatto
b b
F
z0F
x0F
zF
xR
L (b)Camme ellitticheFigura 5.2: Disposizione della molla radiale a seconda del metodo di inviluppo
5.1.1
Analisi Forze Modello Pacejka
In condizioni stazionarie la componente Fz0deve essere sempre uguale alla somma dei pesi di massa sospesa e non sospesa, nel caso in esame 4531 N.
Dal momento che il pneumatico in esame ha Cz= 209 200 N/m Kz= 500 Ns/m R0= 316.9 mm FzN OM = 4700 N qREO = 1 qV 1= 0 λM y= 1 qsy1= 0.01
qsy2= qsy3= qsy4= qsy5= qsy6= 0 qsy7= qsy8= 1
pi= pN OM = 2.5 bar
Dal momento che i parametri qV 2, qF cx1, qF cy1, qF z1, qF z2 e qF z3 non sono forniti, si applicano la (3.3) e la (3.5), per le quali si ottiene a regime ( ˙ρ = 0):
RL= 295 mm
La Fx0 dipende unicamente dalla resistenza a rotolamento. Per i suddetti valori, la (3.6) si semplifica nella classica formulazione proporzionale al carico verticale:
My,rot= R0λM yqsy1Fz= 14.4 Nm Fx0=My,rot
RL
= 48.6 N
CAPITOLO 5. COMPARAZIONE CON MODELLO QUARTER-CAR 43 0 1 2 3 4 5 6 7 Time [s] 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 [N] Fz0 PAC CAM BELT X: 5.8 Y: 4531 X: 1.28 Y: 4531
(a)Forza verticale a terra
1.42 1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 1.54 Time [s] 4500 5000 5500 6000 6500 7000 [N] Fz0 PAC CAM BELT
(b)Forza verticale a terra - dettaglio
0 1 2 3 4 5 6 7 Time [s] 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 [mm] Z0cr PAC CAM BELT
(c)Posizione verticale del centro ruota
1 2 3 4 5 6 Time [s] -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 [N] Fx0 PAC CAM BELT X: 5.01 Y: -48.82 X: 5.01 Y: -275.1
(d)Forza longitudinale a terra
Figura 5.3: Principali risultati della simulazione a 40 km/h su una rampa del 5 %
5.1.2
Analisi Forze Modello a Camme
Anche in questo caso la Fz0 è pari al peso totale, ovvero 4531 N, ma, dal momento che la molla è disposta ortogonalmente al profilo stradale (Figura 5.2), la resistenza a rotolamento si ha come componente Fx.
Quindi, con un procedimento analogo a quello precedente, riferendosi allo schema di Figura 5.2, si impostano le seguenti equazioni.
Fz= Cz(R0− RL) My,rot= R0λM yqsy1Fz My,rot= FxRL Fx0= Fzsin α + Fxcos α Fz0= Fzcos α − Fxsin α si ricava RL= 295 mm My,rot= 14.4 Nm Fz= 4538 N Fx0= 275 N Fx= 48.7 N
CAPITOLO 5. COMPARAZIONE CON MODELLO QUARTER-CAR 44 Dai valori numerici si evidenzia che la Fx0coincide con l’output della simulazione in Figura 5.3.
Utile evidenziare che il raggio ruota deformato ed il momento resistente a rotolamento vengono identici al mono-punto di contatto, ma solamente perché l’inclinazione della strada è piccola e di conseguenza la forza normale alla strada varia poco nei due casi. Infatti la pendenza del 5 % è il valore massimo che viene consigliato di usare con il modello Pacejka [Zeg, Schm]. Tuttavia occorre notare che, nonostante il piccolo valore di inclinazione, il modello continua a commettere un errore molto grande sulla forza longitudinale Fx0a causa della predominante componente longitudinale della forza Fz.
5.2
Profilo Sinusoidale
Per identificare i campi di utilizzo in frequenza dei vari modelli si è deciso di fare una serie di simulazioni su strade con profilo sinusoidale. Tutte le prove sono state fatte in rettilineo a velocità costante su profili aventi caratteristiche diverse.
Vx0
A
λ
Figura 5.4: Simulazione quarter-car su profilo sinusoidale di ampiezza A e lunghezza d’onda λ
In questo caso, dal momento che non si è interessati al valore di picco dovuto all’impatto, ma ai valori di sollecitazione a regime, le simulazioni sono state fatte partendo con il modello molto a ridosso del profilo sinusoidale. Tuttavia gli errori sono stati valutati solo dopo che il transitorio dovuto all’impatto si era esaurito ed il sistema era giunto a regime (vedi Figura 5.5). Dal momento che la fonte di eccitazione è un seno a pulsazione costante, anche tutte le grandezze in output a regime saranno sinusoidi con la medesima pulsazione. Per questo motivo gli errori tra i modelli sono stati valutati considerando il valore di picco a regime.
Transitorio Regime
b
Valore di picco a regime
CAPITOLO 5. COMPARAZIONE CON MODELLO QUARTER-CAR 45
5.2.1
Mappa al variare di Velocità e Lunghezza d’Onda
Per delimitare al meglio le differenze tra i vari modelli, è stata fatta una campagna di simulazioni con velocità d’avanzamento compresa tra 5 km/h e 50 km/h e lunghezze d’onda che vanno da valori inferiori al diametro del pneumatico Dp fino a 4Dp.
Dp= 2R0= 634 mm
L’ampiezza è mantenuta costante. Durante il lavoro si è osservato che aumentare l’ampiezza del seno comporta una leggera amplificazione degli errori, soprattutto tra mono-punto di contatto ed anello rigido. Queste differenze sono ancora più evidenti quando l’altezza dell’ostacolo è tale da comportare il distacco del pneumatico dal terre-no. Nelle successive analisi si è scelto un’ampiezza pari a 10 mm, valore dello stesso or-dine di grandezza delle altezze degli ostacoli utilizzati per le prove di caratterizzazione e tale per cui non si ha mai perdita di contatto tra ruota e strada.
In Tabella 5.1 si riporta la mappa delle frequenze di eccitazione f = Vx0
λ , (5.2)
per tutti i casi simulati. Si può osservare che esse vanno da 0.55 Hz, per la quale i modelli dovrebbero dare i medesimi risultati, a 44 Hz, per la quale ci si aspetta di vedere delle differenze.
Si ricorda che, basandosi su quanto trovato in letteratura, il Pacejka mono-punto di contatto è valido per strade abbastanza lisce e frequenze fino a 8 Hz, mentre lo Swift è in grado di arrivare almeno fino a 60 Hz.
f λ 4Dp 3Dp 2Dp Dp 12Dp Vx [km/h] 5 0.55 Hz 0.73 Hz 1.1 Hz 2.2 Hz 4.4 Hz 10 1.1 Hz 1.5 Hz 2.2 Hz 4.4 Hz 8.8 Hz 20 2.2 Hz 2.9 Hz 4.4 Hz 8.8 Hz 18 Hz 30 3.3 Hz 4.4 Hz 6.6 Hz 13 Hz 26 Hz 50 5.5 Hz 7.3 Hz 11 Hz 22 Hz 44 Hz
Tabella 5.1: Frequenze di eccitazione
Risultati
Per far vedere gli andamenti delle soluzioni, si riportano in Figura 5.6 e Figura 5.7 due casi esempio dove si ha rispettivamente poca e tanta differenza tra i modelli. Già da questi grafici si deduce che il modello che si differenzia di più dagli altri è il Pacejka mono-punto di contatto, mentre le camme e l’anello rigido sono in genere molto simili tra loro.
CAPITOLO 5. COMPARAZIONE CON MODELLO QUARTER-CAR 46 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Time [s] 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 [N] F z0 PAC CAM BELT (a) 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Time [s] -10 -5 0 5 10 [m/s 2] a z0 mns PAC CAM BELT (b) 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Time [s] -200 -100 0 100 200 300 400 [N] Fx0ms PAC CAM BELT (c) 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Time [s] -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [m/s 2] a z0 ms PAC CAM BELT (d) 4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 Time [s] 240 242 244 246 248 250 252 254 256 [mm] Z 0 cr PAC CAM BELT (e)
