Appunti di Geometria - 1
Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it
1
Spazi vettoriali
Richiami Uno spazio vettoriale sul campo K `e un insieme V , su cui abbiamo definito una somma
+ : V × V → V tale che
1. v + w = w + v per ogni due elementi v, w ∈ V (commutativit`a)
2. v + (w + u) = (v + w) + u per ogni tre elementi u, v, w ∈ V (associativit`a) 3. esiste un elemento 0 ∈ V tale che 0 + v = v(elemento neutro)
4. fissato v ∈ V , esiste un elemento −v ∈ V tale che v + (−v) = 0 (inverso) e su cui ho definito un prodotto per scalari
· : K × V → V tale che
1. λ · (µ · v) = (λµ) · v per ogni v ∈ V e per ogni λ, µ ∈ K (associativit`a) 2. 0 · v = 0
3. 1 · v = v
4. λ · (v + w) = λ · v + µ · w (distributivit`a)
Esempio L’insieme Rn di n−uple di numeri reali `e un R−spazio vettoriale, definendo
(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1+ b1, . . . , an+ bn)
e
k · (a1, . . . , an) = (ka1, . . . , kan)
Esempio L’insieme R[x] dei polinomi a coefficienti reali nella variabile x `e uno spazio vettoriale su R, infatti posso definire la somma di due polinomi e la moltiplicazione di un polinomio per un numero reale.
Esercizio 1 Verificare che l’insieme
`
e uno spazio vettoriale su R.
Esercizio 2 Verificare che l’insieme R[x, y] dei polinomi a coefficienti reali in DUE variabili `e uno spazio vettoriale su R.
Esercizio 3 Verificare che l’insieme
C0(R) = {f : R → R | f `e continua} delle funzioni continue da R in R `e uno spazio vettoriale su R. Esercizio 4 Verificare che l’insieme
RN= {(a0, a1, a2, . . . , an, . . .) | ai∈ R ∀ i ∈ N}
delle successioni (anche infinite) di numeri reali `e uno spazio vettoriale su R.
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Basi
Richiami Un insieme di vettori v1, . . . , vmin uno spazio vettoriale V sul campo
K si dice libero (o i vettori si dicono linearmente indipendenti ) se l’equazione vettoriale
λ1v1+ . . . + λmvm= 0
ha come unica soluzione in K λ1= . . . = λn = 0.
Un insieme di vettori v1, . . . , vm si dice insieme di generatori se
Span(v1, . . . , vm) = V
ovvero se l’insieme delle combinazioni lineari finite
{µ1v1+ . . . + µnvn | µi∈ K i = 1, . . . , m}
`
e tutto l’insieme V .
Un insieme di vettori v1, . . . , vmsi dice base di V se `e un insieme di generatori
composto da vettori linearmente indipendenti.
La dimensione di uno spazio vettoriale V `e il numero di vettori che compon-gono una base.
Esempio L’insieme
{(1, 0), (0, 1)} `
e una base di R2; infatti
λ1(1, 0) + λ2(0, 1) = (0, 0)
ha come unica soluzione λ1 = λ2 = 0 (e quindi i vettori sono indipendenti) ed
inoltre, ogni vettore (a, b) si scrive come a(1, 0) + b(0, 1). Esempio L’insieme
{(1, 1), (1, −2)} = {f1, f2}
`
e un sistema libero in R2 in quanto
`
e equivalente a
λ1+ λ2 = 0
λ1− 2λ2 = 0
che ha come unica soluzione λ1 = λ2 = 0. Inoltre, visto che `e composto da 2
vettori e sappiamo gi`a che R2ha dimensione 2.
Esempio L’insieme
{1, x, x2, . . . , xn} `
e un sistema libero in R[x], per ogni n; infatti, per il principio di identit`a dei polinomi, se
a0· 1 + a1· x + . . . + an· xn = 0
allora
a0= . . . = an= 0
Del resto, non `e mai una base (infatti il polinomio xn+1 non si scrive come
somma di multipli reali di potenze pi`u piccole); quindi diciamo che R[x] ha dimensione infinita.
Osservazioni Se uno spazio vettoriale V ha una base formata da n ele-menti, allora tutte le basi sono formate da n elementi. Inoltre un sistema libero di n vettori (ovvero un insieme di n vettori linearmente indipendenti) `
e automaticamente una base.
Inoltre, avendo fissato una base {e1, . . . , en} di V , ogni altro insieme di n
vettori {f1, . . . , fn} `e una base se e solo se la matrice delle loro coordinate
rispetto a {e1, . . . , en} ha determinante non nullo; in pratica, se
f1 = a11e1+ . . . + a1nen
f2 = a21e1+ . . . + a2nen
..
. = ...
fn = an1e1+ . . . + annen
allora dobbiamo verificare che
det a11 . . . a1n .. . ... ... an1 . . . ann 6= 0
Esempio Consideriamo R3 con la base standard; i vettori f1= e1+ e2 f2= e2+ e3 f3= e3+ e1
sono una base, infatti sono 3 e la matrice 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ha determinante 2.
Esempio Del resto, in R4 con la base standard, i vettori
non sono una base, infatti det 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 = 0
Pi`u esplicitamente, si pu`o verificare che
f4= f1− f2+ f3
e dunque
Span{f1, f2, f3, f4} = Span{f1, f2, f3}
Esercizio 5 Verificare che l’insieme
{1, x, . . . , xd} `
e una base per Rd[x].
Esercizio 6 Verificare che i vettori
f1= e1− e2 f2= e1+ e3 f3= e2+ e3
sono linearmente dipendenti.
Esercizio 7 Scrivere un insieme di n vettori indipendenti in R[x, y] per ogni n; scrivere una base per quello spazio.
Esercizio 8 Dire se v1= 5e1+ 3e2+ e3 v2= 4e1+ 2e2 v3= 3e1+ e2− e3 ` e una base di R3. Esercizio 9 Dire se v1= e1 v2= e1+ e2+ e3 v3= e2− e3 v4= e4+ e5 v5= e4− e5 ` e una base di R5.
Esercizio 10 Dimostrare che l’insieme infinito e1= (1, 0, 0, . . .)
e2= (0, 1, 0, . . .)
. . .
en= tutti zeri e un uno in posizione n-esima
. . . `
3
Cambi di base
Richiami Fissare una base {v1, . . . , vk} di uno spazio vettoriale V sul campo
K equivale a scegliere un isomorfismo tra V e Kk, che associa ad ogni vettore le sue coordinate nella base scelta. Scegliendo due diverse basi V = {v1, . . . , vn}
e W = {w1, . . . , wn}, abbiamo due diversi isomorfismi di V con Kn; `e naturale
chiedersi come fare a trasformare le coordinate di un vettore rispetto alla prima base nelle coordinate rispetto alla seconda e vicevera. Tale trasformazione sar`a una applcazione lineare e quindi sar`a espressa come una matrice
A : Kn→ Kn Ora, supponiamo di sapere che
w1= a11v1+ . . . + a1nvn
w2= a21v1+ . . . + a2nvn
. . .
wn= an1v1+ . . . + annvn
ovvero che, nella base V, i vettori della base W si scrivono come a11 a12 . . . a1n a21 a22 .. . a2n · · · an1 an2 .. . ann
Allora la matrice che porta le coordinate rispetto a W nelle coordinate rispetto a V `e quella che ha come colonne le coordinate dei vettori della base W rispetto alla base V, ovvero `e
A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... ... ... an1 an2 · · · ann
Mentre la matrice che porta le coordinate rispetto a V nelle coordinate rispetto a W `e A−1, che ha come colonne le coordinate dei vettori di V rispetto a W. Esempio Consideriamo lo spazio vettoriale R4con la base canonica
e1= (1, 0, 0, 0) e2= (0, 1, 0, 0) e3= (0, 0, 1, 0) e4= (0, 0, 0, 1)
e siano
f1= e1+ e2+ e3 f2= e2+ e3+ e4 f3= e1+ e3+ e4 f4= e1+ e2+ e4
Tale insieme `e una base, in quanto `e fatto di 4 vettori (e sappiamo che R4 ha basi di 4 elementi) che sono linearmente indipendenti, infatti, esprimendo le coordinate di f1, f2, f3, f4 nella base canonica {e1, e2, e3, e4}, si trova
f1= 1 1 1 0 f2= 0 1 1 1 f3= 1 0 1 1 f4= 1 1 0 1
e la matrice A = 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
ha determinante 3. Inoltre, A `e la matrice che trasforma le coordinate di un vettore rispetto alla base F = {f1, f2, f3, f4} nelle coordinate rispetto alla base
E = {e1, e2, e3, e4}; ovvero, il vettore v = f1+ f2+ f3+ f4 (che ha coordinate
(1, 1, 1, 1) nella base F ) ha coordinate
A · 1 1 1 1 = 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 · 1 1 1 1 = 3 3 3 3 ovvero f1+ f2+ f3+ f4= 3e1+ 3e2+ 3e3+ 3e4. Inoltre, l’inversa di A `e A−1= 1/3 −2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 −2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 −2/3 −2/3 1/3 1/3 1/3
e, come ovvio, le colonne sono le coordinate dei vettori di E nella base F , ovvero considerando la prima colonna, come esempio, si ha
e1= 1 3f1+ 1 3f2+ 1 3f3− 2 3f4
e, sostituendo ai vettori fi le loro espressioni in funzione dei vettori ei si pu`o
verificare che tale uguaglianza `e vera.
Esempio Consideriamo lo spazio vettoriale R3 munito della base canonica
{e1, e2, e3}; i vettori u = 1 1 1 v = 1 −1 −1 w = −1 −1 1
sono una base, in quanto
B = 1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1
ha determinante −4. Consideriamo l’applicazione lineare L : R3→ R3 tale che
L(u) = v L(v) = w L(w) = u
Tale applicazione esiste ed `e unica, in quanto abbiamo assegnato i suoi valori su una base. Ora, la matrice associata ad L tra la base {u, v, w} e se stessa `e
A1= 0 0 1 1 0 0 0 1 0
Ovvero, se abbiamo il vettore λ1u + λ2vλ3w, la sua immagine tramite L `e
µ1u + µ2v + µ3w, dove i numeri µ1, µ2, µ3 sono dati da
A1 λ1 λ2 λ3 = µ1 µ2 µ3
Invece, la matrice associata a L dalla base {e1, e2, e3} in s`e `e
A2= BA1B−1
infatti, B−1prende le coordinate di un vettore nella base canonica e le trasforma nelle coordinate dello stesso vettore nella base {u, v, w}, A1 porta le coordinate
di un vettore nella base {u, v, w} nelle coordinate della sua immagine tramite L nella base {u, v, w}, infine B riporta le coordinate dalla base {u, v, w} in quella canonica. Esplicitamente, B−1= 1/2 0 1/2 1/2 −1/2 0 0 −1/2 1/2 A2= 1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1/2 0 1/2 1/2 −1/2 0 0 −1/2 1/2 = = 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1/2 0 1/2 1/2 −1/2 0 0 −1/2 1/2 = 0 0 1 −1 0 0 0 −1 0
Esercizio 11 Calcolare la matrice di cambio di base dalla base {e1, e2, e3} alla
base {f1, f2, f3} data nell’esercizio 6.
Esercizio 12 Calcolare la matrice di cambio di base dalla base canonica {e1, e2, e3, e4, e5} alla base {v1, v2, v3, v4, v5} data nell’esercizio 9.
Esercizio 13 Sia L : R3
→ R3 l’applicazione lineare tale che
L(f1) = f2+ f3 L(f2) = f1+ f3 L(f3) = f1+ f2
dove f1, f2, f3 sono dati dall’esercizio 6. Determinare la matrice associata a L
dalla base {f1, f2, f3} in s`e e la matrice associata a L dalla base {e1, e2, e3} in
s`e.
Esercizio 14 Sia R : R3 → R3 la riflessione nel piano V = Span{v
1, v2} con
v1 = (1, 0, 2) e v2 = (0, 1, 5). Determinare un vettore w ortogonale a V e
dimostrare che
R(v1) = v1 R(v2) = v2 R(w) = −w
Scrivere quindi la matrice di R nella base {v1, v2, w} (in partenza e in arrivo) e
ottenere poi la matrice di R rispetto alla base standard di R3.
Esercizio 15 Sia R3[x, y] l’insieme dei polinomi omogenei di grado 3 (ovvero
formati solo da monomi di grado totale 3) in due variabili a coefficienti reali. Verificare che l’insieme
`
e una base. Sia poi
T (p(x, y)) = x∂p(x, y) ∂x + y
∂p(x, y) ∂y
Verificare che T `e un operatore lineare e scriverne la matrice associata rispetto alla base prima definita in partenza e in arrivo.
Esercizio 16 Consideriamo lo spazio vettoriale R[x], con la base (infinita) {1, x, x2, . . .}; dire se la applicazione T definita da
T (p(x)) = p(x2+ 1) `
e lineare e, nel caso, calcolare le coordinate di T (xn) per ogni n rispetto alla
base sopra fornita.
Esercizio 17 Consideriamo lo spazio vettoriale R[x, y] e l’insieme {1, x, y, x2, y2, xy, x3, y3, xy2, x2y, . . .}
Si dimostri che questo `e una base e si trovi la matrice associata a T in tale base, dove T (p(x, y)) = p(y, x), ovvero T applicata ad un polinomio scambia tra loro x e y.