EM: fatti e leggi empiriche; campi elettrici e magnetici

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

1 Appunti ed esercizi su:

Elettromagnetismo

19 gennaio 2012

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/

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Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perciò può capitare che: un paragrafo sia lasciato a metà, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilità: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il più che puoi da questi materiali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.

Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’`e una sola risposta giusta!). Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verr`a richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai “costruirti gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.

In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si `e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.

Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS (francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica.

Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi afra.marchi@yahoo.it.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.

Versione finale

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Capitolo 1

Fatti sperimentali e loro descrizione

fenomenologica

1.1 Vero o falso

1.2 Quesiti a risposta multipla

1. Si considerino due cariche elettriche, q1 = +2 · 10−4C e q2 = −3 · 10−5C, poste alla distanza

d = 1, 2m. La forza F tra di esse `e: (a) attrattiva e vale F = 37, 5N . (b) repulsiva e vale F = 37, 5N . (c) attrattiva e vale F = 45N .

(d) repulsiva e vale F = 37, 5 · 10−8N .

2. L’unit`a di misura della costante k che compare nella legge di Coulomb `e: (a) N · m2_{· C}−2_.

(b) N .

(c) N · m2· C2_.

(d) N · m2· C−1_.

3. Due cariche, q1= 4, 5 · 10−6C e q2= 3, 2 · 10−5C si respingono, nel vuoto, con una forza F = 10−3N.

(a) Non `e possibile determinare la distanza fra le due cariche.

(b) Le due cariche in realt`a non possono respingersi, in quanto nel vuoto non vale la legge di Coulomb.

(c) La distanza tra le due cariche vale circa 3, 8 · 10−4m. (d) La distanza tra le due cariche vale circa 14, 4 · 10−8m.

4. Due cariche elettriche, q1e q2, poste ad una distanza d l’una dall’altra, si attraggono con una forza

F . Se si raddoppia l’intensit`a di entrambe le cariche, mantenendole sempre alla stessa distanza: (a) La forza tra di esse quadruplica.

(b) La forza tra di esse raddoppia. (c) La forza tra di esse rimane invariata.

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(d) Nessuna delle precedenti risposte `e corretta.

5. Due cariche elettriche, q1e q2, poste ad una distanza d l’una dall’altra, si attraggono con una forza

F . Se si dimezza la distanza fra le due cariche: (a) La forza tra di esse raddoppia.

(b) La forza tra di esse diventa un quarto. (c) La forza tra di esse dimezza.

(d) La forza tra di esse quadruplica. 6. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

(a) L’ago di una bussola, posto in prossimit`a di un filo percorso da corrente elettrica, si muove per l’effetto che le cariche del filo hanno sulle cariche dell’ago.

(b) L’esperienza di Oersted consiste nello studio dell’effetto di un magnete su di un conduttore percorso da corrente.

(c) Due fili percorsi da correnti di verso opposto si respingono.

(d) L’esperienza di Amp`ere consiste nello studio dell’interazione fra correnti elettriche.

7. Un filo conduttore `e piegato su stesso in modo da formare un circuito a forma di spira. In quale dei seguenti modi non `e possibile generare una corrente cosiddetta indotta nel filo?

(a) Ponendo un generatore lungo il percorso del circuito. (b) Avvicinando un magnete al circuito.

(c) Facendo ruotare la spira all’interno di un campo magnetico. (d) Deformando la spira.

8. Dei principali fenomeni dell’elettromagnetismo può essere data una descrizione “a diversi livelli”; in quale dei seguenti elenchi essi sono messi in ordine, dal più “intuitivo” al più “astratto”?

(a) Forza, equazioni di Maxwell, campo. (b) Equazioni di Maxwell, campo, forza. (c) Forza, campo, equazioni di Maxwell. (d) Equazioni di Maxwell, forza, campo.

9. Si pone una carica elettrica in prossimit`a di un filo percorso da corrente; cosa accadr`a?

(a) La carica rimane ferma, visto che non sussistono interazioni tra cariche elettriche e correnti elettriche.

(b) Se la carica `e dello stesso segno della corrente, essa viene respinta, se di segno opposto ne viene attratta.

(c) La carica viene attratta dalla corrente, in base alla legge di Amp`ere. (d) La carica viene attratta dalla corrente, in base alla legge di Coulomb.

10. Si considerino due fili, entrambi lunghi 4 metri, percorsi da correnti di 2A e da 0,035A. Se essi sono posti a 10cm di distanza fra loro, la forza che tra essi sussiste vale circa:

(a) 5, 6 · 10−7N. (b) 56 · 10−8N. (c) 3, 2 · 10−8N. (d) 32 · 10−8N.

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11. Si considerino due fili, entrambi lunghi 6 metri, posti ad una distanza di 30cm fra loro. Sapendo che tra di essi sussiste una forza repulsiva pari a 2, 3 · 10−4N e che uno di essi `e percorso da una corrente di 3,4A:

(a) Possiamo dedurre che il secondo è percorso da una corrente di qualche Ampère di intensità. (b) Non è possibile calcolare l’intensità di corrente che percorre il secondo filo.

(c) Possiamo dedurre che il secondo `e percorso da una corrente che procede nello stesso verso. (d) Possiamo calcolare che la corrente che passa nel secondo filo `e pari a 0,023A.

12. Una calamita è in grado di attirare oggetti metallici perché: (a) Essa è percorsa da correnti elettriche che attirano i metalli.

(b) Essa ha un polo positivo ed uno negativo, ed uno di essi `e in grado di elettrizzare il metallo e quindi attrarlo.

(c) Ha propriet`a elettriche, essendo essa stessa carica elettricamente. (d) Nessuna delle motivazioni precedenti `e corretta.

13. Quale delle seguenti formule esprime la legge di Farady-Neumann-Lenz? (a) H CE · dl = − dφS(B) dt . (b) H CE · dl = − dφS(E) dt . (c) H_CB · dl = −dφS(B) dt . (d) H CB · dl = − dφS(E) dt .

14. Due fili, percorsi da correnti elettriche equiverse, sono posti ad una distanza d tra loro. Se si raddoppia l’intensit`a di corrente che scorre in uno solo dei due fili e allo stesso tempo si raddoppia la distanza tra di essi, la forza che sussiste tra i fili sar`a:

(a) Raddoppiata. (b) Dimezzata. (c) Attrattiva. (d) Quadruplicata.

15. Supponiamo di esser riusciti a caricare elettricamente due corpi di dimensioni ragguardevoli, del-l’ordine dei metri. Si pu`o utilizzare la legge di Coulomb (ldc in breve) per descrivere la loro interazione?

(a) No, perch´e la ldc vale solo per corpi microscopici.

(b) No, perché non è possibile caricare elettricamente corpi macroscopici. (c) S`ı, purché i due corpi abbiano carica opposta.

(d) S`ı.

16. La legge di Coulomb `e stata proposta intorno al: (a) 1940.

(b) 1000. (c) 1780. (d) 1500.

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(a) La Francia. (b) L’Italia. (c) La Germania.

(d) Gli Stati Uniti d’America.

18. La legge di Farady-Neumann-Lenz dice che è possibile indurre correnti elettriche grazie a variazioni campi magnetici. Quale dei seguenti termini è più vicino al significato del termine indurre (in questo caso e in generale)?

(a) Generare. (b) Causare.

(c) Ricavare un principio generale attraverso un procedimento logico che parte da fatti particolari. (d) Creare.

1.3 Domande a risposta aperta

1. E’ noto che una bacchetta di vetro ed una di ebanite, strofinate con un panno di lana, si elettrizzano e si attraggono. Generalmente si assume che il vetro si sia caricato positivamente in seguito allo strofin`ıo e l’ebanite si sia caricata negativamente. E’ possibile assumere che il vetro si carichi negativamente e l’ebanite positivamente?

2. Descrivere in sintesi il processo logico con cui si `e giunti, a partire da fatti sperimentali, all’intro-duzione del concetto di carica elettrica e delle leggi relative all’interazione tra cariche elettriche. 3. Illustra le principali analogie tra la legge di Coulomb e quella di Amp`ere per l’interazione di fili

percorsi da corrente.

4. Descrivi in modo sintetico le esperienze di Oersted, Faraday, Ampère, illustrando, per ciascuna di esse, in cosa consiste (ovvero qual è l’apparato sperimentale) e qual’è la conseguenza fisica che se ne deduce.

1.4 Problemi

1.4.1 Esercizio 1

Si considerino i grafici rappresentati in figura 1.1. Le cariche presenti sono tutte fisse, eccetto quella indicata con Q, che `e libera di muoversi. Indicare con una freccia, in modo qualitativo, la direzione verso cui si muover`a la carica Q.

(7)

(a)

(b)

(c)

Figura 1.1: Grafici relativi all’esercizio 1.

1.4.2 Forza di Coulomb: formule inverse

Si risponda ai seguenti quesiti:

• Una carica elettrica q1= −4, 7 · 105C risente di una forza attrattiva F = 15N , dovuta ad una carica

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• Due cariche, q1= 4, 5 · 10−6C e q2= 3, 2 · 10−5C si respingono, nel vuoto, con una forza F = 10−2N.

Determinare la distanza fra le due cariche.

1.4.3 Esercizio 2

Si consideri il sistema di cariche rappresentato in figura 1.2, in cui l’unica carica libera di muoversi `e quella posta al centro del quadrato e vale qE= +6, 4 · 10−6C. Per le altre cariche risulta:

qA= +3 · 10−6C; qB = −4, 3 · 10−6C;

qC = +7, 8 · 10−6C; qD= +2, 5 · 10−6C;

Calcolare le seguenti forze:

1. FA, FB, FC, FD, ovvero le forze esercitate su E da ciascuna singola carica fra quelle ferme;

2. FAC, risultante delle forze esercitate dalla carica A e dalla carica C;

3. FBD, risultante delle forze esercitate dalla carica B e dalla carica D;

4. FT OT, risultante delle forze esercitate da tutte le cariche, e calcolabile a partire dalle forze calcolate

nei due punti precedenti.

Figura 1.2: Configurazione di cariche relativa all’esercizio 2.

1.5 Quesiti a risposta chiusa

1. Si consideri una carica elettrica q = 7, 2 · 10−3C. Si dica quale fra i seguenti valori numerici rappresenta il campo elettrico ad una distanza r = 4m da q (misurata nel SI).

(a) 16, 2 · 106

(b) 16, 2 · 10−12 (c) 4, 05 · 106 (d) 4, 05 · 10−12

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2. Si consideri un filo conduttore percorso da una corrente i = 5A. Dire quale, fra i seguenti, rappre-senta il valore numerico (approssimato) del campo magnetico generato dal filo ad una distanza di 2m. (µ0' 12 · 10−7H/m):

(a) 8 · 107T (b) 5 · 10−7_T

(c) 5 · 10−7H/m (d) 3 · 10−7H/m

3. Si consideri un circuito avente forma di spira circolare di raggio r = 2m e costituito da un generatore di tensione da 6, 7V e da due resistenze in serie di 4, 5Ω e 27, 2Ω.

(a) Al centro della spira `e presente un campo elettrico dovuto alle cariche che circolano nel circuito. (b) In ogni punto interno alla spira `e presente un campo magnetico di 6, 7 · 10−8T .

(c) Al centro della spira `e presente un campo magnetico di 6, 7 · 10−8T

(d) Al centro della spira `e presente sia un campo magnetico che un campo elettrico.

4. Si consideri un circuito avente forma di spira circolare e costituito da un generatore di tensione da 6, 7V e da due resistenze in serie, R1 e R2.

(a) Se aumentiamo sia R1 che R2 il campo magnetico al centro della spira diminuisce.

(b) Se aumentiamo sia R1 che R2 il campo magnetico al centro della spira aumenta.

(c) Se poniamo una carica elettrica al centro della spira essa risentir`a di una forza elettrica. (d) E’ presente un campo magnetico all’interno della spira ma non all’esterno di essa.

5. Un solenoide è costituito da 23 spire ed è lungo 45cm. Esso è posto in un circuito, ma la pila che alimenta il circuito è scarica.

(a) All’interno del solenoide `e comunque presente un campo magnetico, dato dalla formula B = µ0ni.

(b) E’ presente un campo magnetico all’interno del solenoide, ma non al suo esterno. (c) All’interno del solenoide non `e presente alcun campo magnetico.

6. Un solenoide è costituito da 29 spire ed è lungo 87cm. Esso è posto in un circuito in cui passa una corrente di 3 · 10−4A.

(a) All’interno del solenoide è presente un campo magnetico. (b) All’interno del solenoide è presente un campo magnetico di 82T . (c) All’interno del solenoide non è presente alcun campo magnetico.

(d) All’interno del solenoide `e presente sia un campo magnetico che un campo elettrico.

7. Si consideri un solenoide costituito da N spire e di lunghezza L. Si raddoppia sia il numero di spire, che la lunghezza del solenoide. Allora:

(a) Il campo magnetico presente al suo interno raddoppia. (b) Il campo magnetico presente al suo interno quadruplica.

(c) Il campo magnetico presente al suo interno si riduce di un quarto. (d) Il campo magnetico presente al suo interno rimane invariato.

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8. All’interno di un solenoide, percorso da una corrente iS = 7A, viene posto, parallelamente all’asse

del solenoide, un filo rettilineo in cui passa una corrente iF = 0, 2A.

Sapendo che il numero di spire del solenoide `e N=85 e che la sua lunghezza `e l =1,4m, la forza che agisce sul filo vale circa:

(a) 5, 34 · 10−4_N.

(b) 9 · 10−7N. (c) 1, 5 · 10−5N.

(d) Nessuna delle precedenti.

9. Un solenoide è costituito da 29 spire ed è lungo 87cm. Esso è posto in un circuito in cui passa una corrente di 3 · 10−4A. Il campo magnetico all’interno del solenoide varrà:

(a) 1, 26 · 10−8T . (b) 12, 6 · 10−11T . (c) 1, 26 · 10−8A. (d) 1, 26 · 10−4T .

10. Si pongono, all’esterno di un solenoide, una carica elettrica ed un filo percorso da corrente. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

(a) Il filo risente del campo magnetico del solenoide, ma non la carica. (b) La carica elettrica risente di una forza, diversamente dal filo. (c) N´e la carica, n´e il filo risentono di alcuna forza.

(d) Il filo risente di una forza espressa dalla formula F = ilB sin α, con α angolo tra il campo magnetico del solenoide e direzione del filo.

11. In una certa regione di spazio sono presenti due cariche elettriche, dello stesso segno, ed un filo percorso da corrente.

In prossimit`a di tale regione:

(a) Saranno presenti sia un campo magnetico che un campo elettrico.

(b) Sar`a presente un campo magnetico, ma non un campo elettrico, visto che le cariche non risentono di campi magnetici.

(c) Sar`a presente un campo magnetico, ma non uno elettrico, poich´e le cariche sono dello stesso segno.

(d) Sar`a presente un campo elettrico, ma non uno magnetico.

12. Si consideri un circuito alimentato da un generatore di tensione V =4,5V e in cui `e presente una resistenza R=6,2Ω. Il campo magnetico presente ad una distanza di 5cm dal filo del circuito (che pu`o essere considerato, per questo calcolo, come un filo infinito), vale circa:

(a) 9 · 10−6 T (b) 0 T

(c) 9 · 10−6 H/m (d) 3 · 10−6 T

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1.6 Domande a risposta aperta

1. Illustrare sinteticamente gli aspetti fondamentali relativi al concetto di campo magnetico.

2. Illustrare il concetto di campo (vettoriale). Se ritenuto opportuno, fare riferimento al campo elettrico, o a quello magnetico, anche mettendo in evidenza la relazione tra il campo e la forza. 3. Si consideri la seguente affermazione:

“In un dato punto dello spazio, mettendo una carica da +4C si rileva un campo di 5N; mettendo una carica da +400C si rileva un campo di 500N.”

Spiegare, nel modo più puntuale ed esauriente possibile perché tale affermazione è formulata in maniera scorretta.

4. Descrivi qualitativamente l’origine del magnetismo terrestre.

5. Si vuole stabilire se in un certo punto dello spazio, P, `e presente un campo elettrico. Come si pu`o procedere? E se si vuole determinare l’eventuale presenza di un campo magnetico?

6. Si considerino due fili percorsi da corrente che formano un angolo α = 11◦. Si vuole determinare la forza che sussiste tra di essi; `e corretto usare a tale scopo le due formule F = ilB sin α e B = µ0

2π i d?

Argomentare sinteticamente, ma in modo esauriente, la risposta.

7. Al centro di una spira circolare di raggio r = 120cm `e posto un tratto di filo rettilineo, percorso da corrente, che giace sul piano della spira. (Si tratta, chiaramente, di una situazione ideale).

E’ possibile utilizzare la formula F = ilB sin α per calcolare la forza che agisce sul filo nel caso in cui esso misuri 0,2cm? E nel caso in cui misuri 50cm?

Argomentare sinteticamente, ma in modo esauriente, la risposta. (max. 8 righe)

1.7 Problemi

1.7.1 Esercizio 1

Si consideri una carica q1= +3 · 10−6C.

1. Scrivere l’espressione E(r) del campo elettrico da essa generato. 2. Calcolare l’intensit`a del campo ad una distanza d = 1, 3m.

3. Si pone una carica q2= −2 · 10−6C ad una distanza d = 1, 3m da q1. Sia F la forza esercitata da

q1su q2. Quale delle seguenti affermazioni `e vera?

• q2`e respinta con una forza F ' 3, 2 · 10−2N

• q2`e attratta con una forza F ' 3, 2 · 10−2N

• q2`e attratta con una forza F ' 3, 55 · 10−12N

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Capitolo 2

Campi e forze; flusso e circuitazione

di un campo

2.1 Quesiti a risposta multipla

1. Due fili conduttori, percorsi da correnti elettriche equiverse e di diversa intensit`a: (a) Si attraggono.

(b) Si respingono.

(c) Non risentono di alcuna forza.

(d) Si attraggono secondo la legge di Coulomb.

2. In un dato punto nello spazio `e presente un campo elettrico E di intensit`a pari a 6, 3N/C. Si pone in quel punto una carica q = 2 · 10−3C. Quanto vale la forza elettrica che agisce sulla carica?

(a) Non si pu`o determinare in quanto non sappiamo quanto vale la carica che ha originato il campo elettrico

(b) F = 3, 15N (c) F = 12, 6 · 10−6N (d) F = 12, 6 · 10−3N

3. In un dato punto nello spazio è presente un campo magnetico B di intensità pari a 10−4T. Si pone in quel punto, in direzione perpendicolare al campo magnetico, un filo lungo un metro percorso da una corrente di intensità i = 5, 34 · 10−3A. Quanto vale la forza che agisce sul filo?

(a) Non si pu`o determinare in quanto non sappiamo quanto vale la corrente che ha originato il campo magnetico.

(b) Zero, poich´e il filo `e perpendicolare al campo magnetico. (c) F = 5, 34 · 10−7N .

4. La forza che un campo magnetico esercita su di un filo percorso da una corrente elettrica `e dovuta, in ultima analisi:

(a) All’attrazione elettrostatica. (b) Alla forza di Coulomb.

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(c) Alla forza di Lorentz. (d) All’attrazione gravitazionale.

5. Dire quale delle seguenti affermazioni `e falsa:

(a) Una carica elettrica che attraversa perpendicolarmente un campo magnetico si muove su traiettorie circolari.

(b) Una carica elettrica presente in un campo magnetico non risente di alcuna forza se non `e in movimento.

(c) Una carica elettrica che si muove parallelamente ad un campo magnetico non risente di alcuna forza.

(d) Una carica elettrica che attraversa perpendicolarmente un campo magnetico si muove su traiettorie di forma parabolica.

6. Si vuole calcolare la forza magnetica esercitata da un filo rettilineo di lunghezza infinita (filo 1) su un tratto di filo (filo 2), di lunghezza l, ad esso parallelo, percorso da una corrente i e posto ad una distanza d da esso:

(a) La forza pu`o essere determinata tramite la formula F = ilB sin α.

(b) La forza non pu`o essere determinata tramite la formula riportata al punto precedente perch´e il campo magnetico non ha valore uniforme lungo il tratto di filo 2.

(c) Nella formula F = ilB sin α, i si riferisce alla corrente che percorre il filo 1. (d) Sul filo 2 non agir`a nessuna forza perch´e i due fili sono paralleli fra loro.

7. Si vuole calcolare la forza magnetica esercitata da una spira circolare percorsa da corrente su un tratto di filo rettilineo, posto al suo centro e di lunghezza pari alla met`a del raggio della spira.

(a) Per calcolare tale forza si pu`o utilizzare il fatto che il campo magnetico all’interno della spira vale B = µ0i/2r.

(b) Nella formula F = ilB sin α, B indica il campo al centro della spira, che coincide con il punto centrale del tratto di filo.

(c) Il campo magnetico all’interno della spira non è uniforme e perciò non si può utilizzare la formula F = ilB sin α.

(d) Sul filo non agisce nessuna forza poich´e il filo giace nello stesso piano della spira. 8. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

(a) Il flusso del campo magnetico B di una superficie S `e dato dalla formula φB(S) = BS cos α.

(b) Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie `e nullo se il campo `e parallelo alla superficie.

(c) Nella formula per il calcolo del flusso del campo magnetico, α rappresenta l’angolo tra la superficie ed il campo.

(d) All’aumentare della superficie, il flusso del campo magnetico attraverso di essa diminuisce. 9. Una carica q = 5 · 10−12_{C si muove ad una velocit`}_{a di 10}3_{m/s all’interno di un campo magnetico}

uniforme di intensit`a B = 2, 345 · 10−4T.

(a) Si pu`o calcolare la forza che agisce sulla carica tramite la formula F = ilB sin α.

(b) Si pu`o utilizzare la formula di Lorentz per calcolare la forza sub`ıta dalla carica, a patto di conoscere l’angolo tra la direzione del moto e la direzione del campo magnetico.

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(d) La carica non risente di alcuna forza.

10. Una carica q si muove ad una certa velocit`a all’interno di un campo magnetico uniforme. Se la particella raddoppia la sua carica, la forza che esse risente da parte del campo magnetico:

(a) Dimezzer`a. (b) Raddoppier`a.

(c) Non si pu`o dire niente riguardo a tale forza con i dati forniti. (d) Nessuna delle precedenti risposte `e corretta.

2.2 Quesiti a risposta aperta

1. All’interno di un solenoide `e presente, oltre ad un campo magnetico, un campo elettrico (generato tramite un condensatore). Si pone una carica elettrica all’interno del solenoide.

Descrivere il comportamento della carica (se rimane ferma, se si muove), spiegandone le ragioni. 2. Illustrare la relazione sussistente fra la formula in che senso la formula “macroscopica” F = ilB sin α

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Appendice A

Richiami di teoria

A.1 Introduzione

La descrizione dei fenomeni dell’elettromagnetismo può essere fatta a diversi livelli, dal più “vicino al senso comune” (ma poco generale) al più astratto (ma più generale). In particolare, sono possibili le seguenti descrizioni:

1. Descrizione qualitativa dei fatti sperimentali e leggi empiriche: si tratta di formule che si basano sul concetto di forza e sono pertanto deducibili da semplici esperimenti (Coulomb, Oersted etc.). 2. Descrizione tramite il concetto di campo.

3. Descrizione tramite le equazioni di Maxwell, in cui si utilizzano i concetti di flusso e circuitazione di un campo vettoriale.

Di seguito sono presentati i principali fatti relativi all’elettromagnetismo in ciascuna delle descrizioni appena elencate; pi`u avanti mostreremo nel dettaglio come si passa da una descrizione all’altra. Per passare da una descrizione all’altra `e fondamentale la legge di forza (forza di Lorentz), che, affiancata alle equazioni di Maxwell, ha proprio la funzione di “ponte” fra le varie descrizioni.

A.2 Principali fatti sperimentali e leggi empiriche

A.2.1 Fenomeni elettrici

Attraverso un elettroscopio `e possibile studiare in modo sistematico i principali fenomeni elettrostatici; in particolare si osserva che:

• Corpi elettricamente carichi si attraggono o si respingono a seconda che le loro cariche siano rispettivamente uguali o opposte.

I vari fenomeni sono sintetizzabili nella legge di Coulomb: F = kq1q2

r2 ; k ' 9 · 10 9N m2

C2 (costante di Coulomb) (A.1)

Al posto della costante di Coulomb si pu`o considerare la seguente: ε0≡

1

4πk ' 8, 85 · 10

−12F

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A.2.2 Interazioni magnete-magnete, magnete-corrente, corrente-corrente

• Materiali magnetici, quali l’ago di una bussola, risentono dell’effetto di particolari materiali in cui `

e presente magnetite;

• L’ago di una bussola posto in prossimit`a di un filo percorso da corrente subisce uno spostamento (esperienza di Oersted);

• Un magnete esercita una forza su un conduttore percorso da corrente (esperienza di Faraday); • Due fili percorsi da corrente si attraggono o si respingono a seconda che le correnti siano

rispetti-vamente equiverse o opposte (esperienza di Ampere).

L’interazione tra fili percorsi da corrente `e sintetizzabile nella legge di Amp`ere: F = µ0

2π li1i2

r ; µ0' 12, 56 · 10

−7H

m (permeabilit`a magnetica del vuoto) (A.2)

A.2.3 Correnti indotte

Si pu`o notare che in una spira viene generata una corrente indotta in uno dei seguenti casi: • La spira viene trascinata fuori dalla regione occupata dal campo magnetico;

• La spira viene fatta ruotare all’interno del campo magnetico; • Un magnete viene avvicinato alla spira.

Tutti questi fenomeni sono sintetizzabili nella legge di Faraday-Neumann-Lenz: I

C

E · dl = −dφS(B)

dt (A.3)

A.3 La descrizione tramite il concetto di campo

A.3.1 Il concetto di campo

I fatti sperimentali descritti nel paragrafo precedente si basano sostanzialmente su concetti abbastanza vicini all’intuizione comune, come la carica elettrica, la corrente elettrica e la forza. Quegli stessi fatti possono essere descritti, oltre che dalle formuleA.1eA.2, introducendo il concetto di campo. Anzich´e mettere in relazione diretta le due cariche o le due correnti, si introduce un mediatore della loro interazione, che `e appunto il campo. Cos`ı, in questo quadro concettuale, invece che dire che le due cariche o le due correnti si attraggono o respingono tra loro, diremo che:

• Le cariche e le correnti generano rispettivamente campi elettrici e campi magnetici.

• A loro volta, le cariche e le correnti risentono di forze generate da campi elettrici e magnetici. Questo quadro concettuale `e sintetizzato in figura A.1e nelle tabelle A.1eA.2, che proponiamo qui di seguito.

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Figura A.1: Schema delle relazioni tra sorgenti, campi, forze.

Tabella A.1: Sintesi concettuale delle relazioni tra sorgenti e campi.

campo elettrico campo magnetico

sorgenti statiche

legge di Gauss legge di Amp`ere

q → E i → B

campi variabili

legge di Faraday legge di Amp`ere

dB dt → E

dE dt → B

Tabella A.2: Forze esercitate dai campi su cariche e correnti elettriche.

campi elettrici campi magnetici

su cariche elettriche F = qE

su correnti elettriche F = ilB sin α

A.3.2 Campi generati da particolari configurazioni

Nella tabellaA.3, invece, sono riportate le formule per i campi generati da alcuni particolari configurazioni di cariche e di correnti elettriche.

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Tabella A.3: Campi generati da particolari configurazioni di cariche e correnti.

Campi elettrici _{E = k}q

r2 campo elettrico di una carica puntiforme

Campi magnetici

B = µ0i

2r campo al centro di una spira circolare

B = µ0i

2πr campo di un filo rettilineo di lunghezza infinita

B = µ0ni = µ0N_li campo all’interno di un solenoide

A.4 Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell sintetizzano tutti i fenomeni dell’elettromagnetismo e li descrivono in un modo concettualmente unitario.

Tabella A.4: Equazioni di Maxwell.

campo elettrico campo magnetico

campi statici φS(E) = _εQ₀ φS(B) = 0

campi variabili H CE · dl = − dφS(B) dt H CB · dl = µ0i + µ0ε0 dφS(E) dt

A.5 Strumenti matematici e concettuali

Per formalizzare e tradurre in formule i fatti sperimentali illustrati sopra, risulta utile l’introduzione dei seguenti concetti:

• Campo vettoriale (vedi tabellaA.5).

– Campo uniforme: un campo si dice uniforme se `e uguale in ogni punto dello spazio.

– Campo statico: un campo si dice statico se `e uguale in ogni istante di tempo; in altre parole se `e costante nel tempo.

• Flusso di un campo attraverso una superficie; • Circuitazione di un vettore lungo un percorso chiuso.

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Tabella A.5: Campi statici e non; uniformi e non uniformi.

statico uniforme

(non dipende da t) (non dipende da r)

E(r) = k X X

E(r) = kq_r2 X

E(t) =kt

q X

E(r, t) =kq_r2 sin(ωt)

A.6 Collegare le varie descrizioni

Prendiamo l’esempio di due cariche elettriche che interagiscono fra loro:

• Descrizione classica: la forza fra le due cariche `e data dalla legge di Coulomb e vale F = kq1q2

r2 .

• Descrizione tramite il concetto di campo:

– La carica q1genera un campo elettrico E(r) = kq_r12;

– La carica q2risente di una forza che `e data dalla formula F = q2· E;

– Avremo perci`o che la forza risentita dalla carica q2 `e F = q2· kq_r12 = k

q1q2

r2 , in accordo con il

risultato trovato precedentemente tramite la legge di Coulomb. • Descrizione tramite le equazioni di Maxwell

– Consideriamo una superficie sferica attorno alla carica q, di raggio r: tale superficie vale S = 4πr2_;

– Il campo elettrico, su tale superficie, `e costante, essendo tutti i suoi punti equidistanti dalla carica posta al centro; pertanto, il flusso del campo sar`a φS(E) = 4πr2E;

– La prima equazione di Maxwell diventa allora: 4πr2_{E =} q

ε0; da cui si ricava facilmente il valore

del campo gi`a trovato al punto precedente;

– Per trovare la forza, si procede come nell’ultimo punto dell’elenco precedente.

Questo modo di procedere pu`o essere seguito anche negli altri casi, come ad esempio nell’interazione fra fili percorsi da corrente.