FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2015/2016 I Prova in itinere – 15 aprile 2016
1) CINEMATICA
Un razzo giocattolo viene lanciato orizzontalmente, rasoterra, lungo un percorso rettilineo di lunghezza L = 70 m, con velocità iniziale nulla ed accelerazione costante a = 3 m/s2. Giunto alla fine del percorso il razzo cade per effetto della sola gravitàda una altezza h = 20 m, rispetto al suolo. Determinare:
a) Il tempo impiegato a raggiungere la fine del percorso L, il tempo di volo dalla fine del percorso L orizzontale e l’impatto con il suolo e la distanza d, orizzontale, a cui tocca il suolo;
b) La velocità all’impatto con il suolo, in modulo, componenti e angolo rispetto all’orizzontale.
2) DINAMICA
Un corpo di massa m=500g si muove lungo un piano inclinato di 30 gradi. Il piano è liscio tra il punto A (sommità del piano) ed un punto intermedio B, mentre è scabro tra B e C (base del piano). Si determini:
a) La normale N e la tensione T della fune che lo trattiene lungo il moto nel tratto AB, in modo da garantire una velocità costante e pari a v=2 m/s;
b) Il valore del coefficiente µ di attrito dinamico che fa si che il moto durante il tratto scabro avvenga ad accelerazione costante a = 1 m/s2, senza che il corpo sia trattenuto dalla fune, ed il tempo impiegato a raggiungere una velocità pari al doppio della velocità posseduta all’inizio del tratto scabro.
2) LAVORO-ENERGIA
Data la guida mostrata in figura , in cui il tratto OA, rettilineo e orizzontale, ha lunghezza L = 2m, mentre il tratto curvilineo ABC è una semicirconferenza di diametro AC = 1m e B è il punto medio della semicirconferenza. Si determini:
a) la minima velocità che occorre impartire ad una particella di massa m = 100 g, posta in O, affinché raggiunga il punto C alla sommità della guida, supponendo l’intera guida perfettamente liscia. Come si muoverà la particella dopo aver lasciato la guida nel punto C?
b) la velocità della particella nei punti A e B qualora le venisse impartita in O una velocità di 6 m/s ed il tratto OA fosse scabro con coefficiente di attrito µ = 0.1.
O A
B C
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega, www.mi.infn.it/~sleoni
Soluzione Cinematica
a) Lungo il tratto orizzontale L il modo è rettilineo ed uniformemente accelerato e le leggi orarie per spazio e velocità sono:
asse x :
x(t) = x
0+ v
oxt + 1
2 at
2; v
x(t) = v
0 x+ at
da cui si ricava:L = 1 2 at
2t = 2L / a = 6.8s v
x(t) = at = 20.4 m / s
Giunto alla fine del tratto L, il moto è parabolico e le leggi orarie sono le seguenti:
asse x :
x(t) = x
0+ v
oxt v
x(t) = v
0 x+ at asse y :
y(t) = y
0+ v
oyt − 1
2 gt
2; v
y(t) = v
0 y− gt
ve (x0,y0) = (0,h).Il tempo di volo si ottiene dalla legge oraria relativa alla coordinata y:
0 = h − 1 2 gt
2t = 2h
g = 2s
e la distanza d orizzontale, di impatto al suolo, dalla legge oraria in x, in corrispondenza la tempo di volo:
x(t) = v
oxt = 20.4m / s × 2s = 40.8m
b) Dalle leggi orarie sulle velocità, valutate in corrispondenza al tempo di volo, si ottengono le componenti x ed y della velocità di impatto al suolo:
v
x(t) = v
0 x= 20.4 m / s v
y(t) = −gt = −19.6 m / s
da cui segue che il modulo e l’angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale sono:
v = v
x2
+ v
y2= 28.3m / s
θ = tg
−1v
yv
x"
# $ %
&
' = −43.9°
Soluzione Dinamica
a) Lungo il tratto AB la velocità è costante, quindi la forza netta risultante (applicata al corpo) è nulla:
F = ! ! T + m !
g + ! N = 0
L’equazione precedente, proiettata sugli assi (x, parallelo al piano ed Y perpendicolare al piano) fornisce le seguenti equazioni:
assex : − T + mgsin30° = 0 assey : N − mgcos30° = 0
da cui segue:T = mgsinθ = 0.5 x 9.8 m/s2 x 1/2. = 2.5 N N = mgcosθ = 0.5 x 9.8 m/s2 x √3/2. = 4.2 N
b) Lungo il tratto BC l’accelerazione è costante, quindi la forza netta risultante (applicata al corpo) è pari a:
F = ! ! f
k+ m !
g + ! N = m !
a
L’equazione precedente, proiettata sugli assi, è pari a:
assex : − f
k+ mgsin 30° = ma assey : N − mgcos30° = 0
da cui segue:fk = µN = mgsinθ -ma
µ = (mgsinθ -ma)/N = (mgsinθ -ma)/mgcosθ = (gsinθ -a)/gcosθ = 0.46
La velocità all’inizio del tratto scabro del piano inclinato è 2 m/s . La velocità v varia nel tempo secondo la v= at + vo e pertanto il tempo necessario affinchè raddoppi è t = 2 s.
3) Soluzione Lavoro-energia
a) La minima velocità che permette alla particella di raggiungere il punto C alla sommità della guida (con velocità nulla) si calcola uguagliando l’energia cinetica in O (pari all’energia meccanica della particella) all’energia potenziale della particella in C.
Si ha quindi :
mv
O 2/2 = mgh
Cda cui si ricava v
O= 4.4 m/s
La particella giunta in C e lasciata la guida, cadrà lungo la verticale terrestre (ha infatti velocità nulla in C)
b) Qualora il tratto OA fosse scabro, si calcola l’energia cinetica in A applicando il teorema Lavoro- Variazione dell’energia cinetica al tratto OA ,dove l’unica forza che compie lavoro è quella di attrito. Si ha quindi :
E
cin A- E
cin O= -µ mg OA da cui si ricava E
cin A= 1.6 J e v
A= 5.7 m/s
L’energia cinetica in B si determina applicando il teorema della conservazione dell’energia meccanica ai punti A e B della guida liscia :
E
cin A= E
cin B+ U
Bda cui si ricava E
cin B= 1.1 J e v
B= 4.7 m/s.
