Calcolo della derivata mediante la definizione

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(1)1. www.matematicagenerale.it. Calcolo delle derivate applicando la definizione di alcune funzioni. Sia f(x) = K, calcoliamo la derivata di tale funzione.. Per definizione la derivata è. lim h0. f ( x  h)  f ( x ) h. e nel nostro caso: lim h0. f ( x  h)  f ( x ) k k 0  lim  lim  0 h0 h0 h h h. Quindi f '( k )  0 D (k )  0. info@matematicagenerale.it | G.Grasso.

(2) 2. www.matematicagenerale.it. Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = x.. Applichiamo la definizione di derivata:. lim h0. f ( x  h)  f ( x ) h. Ovvero nel nostro caso:. lim h0. f ( x  h)  f ( x ) ( x  h)  x h  lim  lim  1 h  0 h  0 h h h D( x)  1. Calcoliamo la derivata della funzione f(x)=x2. Applichiamo la definizione di derivata:. lim h0. f ( x  h)  f ( x ) h. Ovvero nel nostro caso:. lim h 0. f ( x  h)  f ( x ) ( x  h) 2  x 2 x 2  2 xh  h 2  x 2 h(2 x  h)  lim  lim  lim  2x h 0 h 0 h 0 h h h h D( x 2 )  2 x. info@matematicagenerale.it | G.Grasso.

(3) 3. www.matematicagenerale.it. La derivata della funzione f(x )= xn ( n ) Applicando la definizione di si può calcolare la derivata della funzione f(x) =xn. f '( x)   x n 1 D( x n )   x n1 Applichiamo la definizione di derivata lim h0. f ( x  h)  f ( x ) h. tenendo conto che:. si ha:. Di seguito proveremo questa regola con il principio di induzione.. Calcoliamo, usufruendo della definizione, la derivata di f(x)=lnx Applichiamo la definizione di derivata: lim h0. f ( x  h)  f ( x ) h. Nel nostro caso f(x+h)= ln (x+h) e f(x) = lnx pertanto:. lim h0. f ( x  h)  f ( x ) ln( x  h)  ln( x ) ln( x  h) ln x  lim  lim  lim h0 h0 h0 h h h h. Mettiamo in evidenza x : info@matematicagenerale.it | G.Grasso.

(4) 4. www.matematicagenerale.it. h   ln  x(1  )  ln x x  lim   lim  h 0 h 0 h h. Applichiamo la proprietà del prodotto di logaritmi:. h h ln(1  )  ln x ln(1  ) ln x x x  lim ln x  lim ln x  lim  lim  lim h 0 h  0 h  0 h 0 h h 0 h h h h. Semplifichiamo i termini simili e riconosciamo il limite fondamentale nel primo limite: lim x 0. ln(1  x ) 1 x. quindi dividiamo e moltiplichiamo per x al denominatore:. h ln(1  ) x 1  lim h 0 h x x x Dunque: D (ln x ) . 1 x. info@matematicagenerale.it | G.Grasso.

(5) 5. www.matematicagenerale.it. Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = senx. Applichiamo la definizione di derivata: lim h0. f ( x  h)  f ( x ) h. Nel nostro caso f(x+h)= sen (x+h) e f(x) = senx pertanto: f ( x  h)  f ( x ) sen( x  h)  sen( x)  lim  h0 h0 h h Applichiamo le formule di addizione: lim.  lim h0. sen( x  h)  sen( x ) senx cos h  senh cos x  sen ( x )  lim  h  0 h h. Mettiamo sen x in evidenza:  lim h0. senx (cos h  1)  senh cos x senx (cos h  1) senh cos x  lim  lim h0 h0 h h h. Riconosciamo 2 limiti notevoli: senh 1  cosh  1 lim 0 x 0 h h e x0. lim. Quindi:. 0.  lim h0. 1. senx (cos h  1) senh cos x  lim  cos x h  0 h h. D ( senx )  cos x. info@matematicagenerale.it | G.Grasso.

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