Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU ... ... ... ... ....
Prova scritta - 13/06/2017 Tempo a disposizione due ore e mezza.
Problema 1
Una nuvola sferica di raggio R, ha una densit`a di carica variabile con la distanza dal centro con legge:
ρ = Ar
2
R2 0 ≤ r ≤ R
ed ha una carica totale di Q.
Determinare: a) il valore di A; b) il valore del campo elettrico a R/2 e a 2R ; c) la differenza di potenziale tra il centro della nuvola e l’infinito. d) Se la nuvola `e circondata da un dielettrico con costante dielettrica relativa pari a εr = 15 tra R e 1.5R come cambia la differenza di
potenziale tra i centro della nuvola e l’infinito? (dati del problema Q = 5 nC, R = 10 cm, εr = 15)
Problema 2
Nel circuito mostrato in figura sono noti i valori dei vari componenti tranne il valore di R4 che `e variabile.
Determinare: a) la massima variazione della corrente in R3 per R4 = 0 ed R4 = ∞; b) R4 in modo che la
caduta di potenziale su R3 sia nulla e di conseguenza,
in questo caso particolare, calcolare la potenza totale fornita dai due generatori.
(Dati del problema R1 = 3 Ω, R2 = R3 = 2 Ω, R5 =
1 Ω, f1 = 15 V , f2 = 10 V )
Problema 3
Due sbarrette conduttrici, ciascuna di resistenza R = 0.1 Ω e massa m = 20 g, appoggiano senza attrito su due bina-ri obina-rizzontali di resistenza trascurabile. La distanza tra i binari `e ` = 15 cm. Il sistema immerso in un campo magnetico uniforme B = 0.4 T , entrante nel piano della figura. La sbarretta di destra 1 , mediante una forza im-pulsiva, viene messa in moto con velocit`a v10= 8 m/s nella
direzione x, l’altra sbarretta `e inizialmente ferma. Deter-minare a) intensit`a della corrente inizialmente circolante; b) la forza iniziale a cui sono soggette le due sbarrette; c)
la velocit`a delle due sbarrette trascorso t1 = 0.5 s dall’istante iniziale; d) l’energia totale
dissipata nelle resistenze trascorso un tempo molto lungo. (suggerimento applicare la legge di conservazione opportuna).
Soluzioni: Problema 1
a)
La carica in ogni guscio sferico di raggio r e spessore di dr vale: dQ = 4πr2drAr3
Quindi la carica totale vale:
Q = 4πA R2 Z R 0 r4dr = 4πA 5 R 3 A = 5Q 4πR3 = 2 · 10 −6 C/m3 b)
Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio 0 < r < R concentrica alla nuvola: Er4πr2 = 4πA εoR2 Z r 0 r04dr0 = 4πAr 5 5εoR2 Segue che: Er= Ar3 5εoR2 per 0 < r < R di conseguenza per r = R/2 Er(r = R/2) = 562 V /m
Mentre per r > R il campo vale in modulo: Er = Q 4πr2 e quindi: Er(2R) = 1124 V /m c)
La differenza di potenziale il centro della nuvola e il suo bordo `e: DV1 = Z 0 R Erdr = A 5εoR2 Z 0 R r3dr = AR 2 20εo = −112 V Il campo fuori della nuvola vale:
Er =
Q 4πεor2
per R < r < ∞ Quindi la d.d.p. tra il bordo della nuvola e l’infinito vale:
DV2 = Z R ∞ Q 4πεor2 dr = − Q 4πεoR = −449 V Quindi tra il centro della nuvola e l’infinito:
d)
La presenza del dielettrico cambia il campo elettrico solo tra R e 1.5R.
Per cui la differenza di potenziale tra il centro e il bordo rimane la stessa DV1. La differenza
di potenziale tra 1.5R e l’infinito (essendo il campo elettrico all’esterno non modificato dalla presenza del dielettrico):
DV3 = −
Q 6πεoR
= −300 V Mentre il campo nel dielettrico diviene:
Er=
Q 4πεoεrr2
per R < r < 1.5R Quindi la differenza di potenziale nel dielettrico vale:
DVd= Z R 2R Q 4πεoεrr2 dr = − Q 8πεoεrR = −10V Quindi la differenza di potenziale tra il centro della nuvola e l’infinito vale:
DV = DV1+ DVd+ DV3 = −422 V
Problema 2 Soluzione:
a) Utilizzando il teorema di Thevenin per il ramo pi`u a sinistra e pi`u a destra: ft1= f1 R1+ R2 R2 = 6 V Rt1 = R1R2 R1+ R2 = 6 5 Ω ft2= f2 R4+ R5 R4 Rt2 = R4R5 R4+ R5
Per R4 = 0 si ha che ft2 = 0 e Rt2 = 0. Quindi il circuito si riduce ad un’unica maglia con un
generatore ft1 ed una resistenza totale di
R3+ Rt1
Quindi la corrente che circola in R3 vale:
I3 =
ft1
R3+ Rt1
= 1.875 A in senso orario.
Per R4 = ∞ si ha che ft2 = f2 e Rt2= R5. Quindi il circuito si riduce ad un’unica maglia con
due generatori (con opposte polarit`a) ft1, f2 ed una resistenza totale di
R3+ Rt1+ R5
Quindi la corrente che circola in R3 vale:
I3 =
f2− ft1
R3 + Rt1+ R5
= 0.95 A in senso antiorario.
b) Se a differenza di potenziale ai capi di R3 `e nulla significa che anche I3 = 0, quindi le maglia
pi`u a destra e a sinistra sono indipendenti (I1 = I2 e I4 = I5) :
I1 = f1 R1+ R2 = 3 A ma anche: I5 = f2 R4+ R5 I5R4 = I1R2 da cui: R4 = I1R2R5 I1R2− f2 = 1.5 Ω I5 = 4 A
Maglia pi`u a sinistra:
P1 = f1I1 = 45 W
Maglia pi`u a destra:
P2 = f2I5 = 40 W
Quindi:
PT = P1+ P2 = 85 W
Problema 3 a)
Dato che l’area aumenta la corrente circolante deve essere tale da generare un campo che si oppone a quello entrante quindi la corrente `e circolante in senso orario. Quindi la f.e.m. generata inizialmente vale:
f = B`v10 = 0.48 V
che genera una corrente iniziale circolante di I0 =
f
2R = 2.4 A b)
Indicando con ~` un vettore diretto lungo l’asse delle y. La forza a cui `e soggetta inizialmente la sbarretta 1 `e:
−→
F1x= −
B2`2
2R v10= −0.144 N Mentre sulla seconda:
−→ F2 = −I0~` × ~B F2x= B2`2 2R v10= 0.144 N c)
Poich`e ho solo forze interne la quantit`a di moto si conserva: mv10= mv1(t) + mv2(t)
quindi istante per istante:
v2(t) = v10− v1(t)
di conseguenza l’equazione del moto della prima sbarretta `e: mdv1 dt = B2`2 2R (v2− v1) = B2`2 2R (v10− 2v1) = − B2`2 R v1 + B2`2 2R v2 da cui detto τ = mR/(B2`2) = 0.55 s: −τdv1 dt = v1− v10 2 dv1 v1− v10/2 = −dt τ Z v1 v10 dv01 v0 1 − v10/2 = − Z t 0 dt0 τ Integrando: v1(t) = v10 2 1 + e−t/τ e v2(t) = v10 2 1 − e−t/τ
Quindi trascorso un tempo t1 = 0.5 s dall’istante iniziale le velocit`a saranno:
v1(t1) = 5.6 m/s v2(t1) = 2.4 m/s
d)
Poich`e trascorso un tempo molto lungo le sbarrette si portano alla stessa velocit`a v10
2 , l’energia
elettrica prodotta `e pari alla variazione di energia meccanica: 1 2mv 2 10− 2 · 1 2 v 10 2 2 = 1 4mv 2 10 = 0.04 J
che `e pari quella dissipata nelle resistenze delle sbarrette. Si poteva anche calcolare anche dalla corrente circolante istantaneamente:
I(t) = B`[v1(t) − v2(t)]
2R =
B`v10e−t/τ
2R E applicando l’effetto Joule:
∆E = Z ∞ 0 I(t)22Rdt = B 2`2v2 10 2R Z ∞ 0 e−2t/τdt = 1 4mv 2 10 = 0.04 J
