Sfera di dielettrico in campo uniforme

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Sfera di dielettrico in campo uniforme Carica puntiforme e semispazio dielettrico

Energia elettrostatica

Lezione n. 17 – 27.11.2020

Sfera di dielettrico in campo uniforme

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y z

x

• Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme

• Dielettrico lineare, omogeneo e isotropo

• È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva )

• Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche

• C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ)

• Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico

• Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale

• Il campo uniforme è distorto

• Il campo rimane uniforme all'infinito

• All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione

Sfera di dielettrico in campo uniforme

• Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula utilizzata per il problema della sfera conduttrice

• La seconda formula è necessaria perché adesso stiamo risolvendo il problema elettrostatico in due regioni con permittività diverse (ε sfera - ε₀ vuoto)

• Le condizioni al contorno sono

• All'infinito campo uniforme

• Potenziale continuo sulla sfera

• Discontinuità della componente normale

• Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V₀ = 0, la prima condizione permette di porre a zero tutti gli A_l escluso A₁ = −E₀ ( P₁(cosθ) = cosθ )

• Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha che per tutti gli l deve essere D_l = 0

Sfera di dielettrico in campo uniforme

• La condizione di continuità diventa

• L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei corrispondenti polinomi di Legendre P_l (P₁ = cosθ)

• Per l = 1

• Per l ≠ 1

Sfera di dielettrico in campo uniforme

• Veniamo adesso alla condizione di discontinuità

• Ricordiamo che sulla sfera ∂/∂n = ∂/∂r

• Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei polinomi di Legendre dello stesso ordine l

• Per l = 1

• Per l ≠ 1

• Confrontiamo con la precedente equazione per l ≠ 1

• Concludiamo che

• Per l = 0 → B₀ = 0 che perché V₀ = 0

• Da B₀ = 0 segue C₀ = 0

• Per l ≠ 0,1 le due relazioni per B_l implicano che

Sfera di dielettrico in campo uniforme

• Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1

• Eliminiamo C₁ inserendo la prima equazione nella seconda

• Per finire inseriamo il valore trovato per B₁ nell'equazione di C₁

• Abbiamo trovato il potenziale

Sfera di dielettrico in campo uniforme

• Calcoliamo le componenti del campo elettrico

• All'interno

• All'esterno

• Sulla superficie della sfera

Campo uniforme

Componente tangenziale continua Campo uniforme

Campo dipolo

Polarizzazione uniforme

Carica e dielettrico

• Consideriamo un materiale dielettrico lineare (di costante κ) che riempie tutto lo spazio per z < 0

• Consideriamo una carica positiva +q posta ad una altezza h

• Calcoliamo potenziale e campo elettrico in tutto lo spazio

• Il problema può essere risolto considerando

• Una soluzione particolare dell'equazione Poisson

• Il potenziale di una carica puntiforme posta in

• Una soluzione dell'equazione di Laplace che consenta di soddisfare le condizioni al contorno

• Potenziale che si annulla all'infinito

• Potenziale continuo sul piano z = 0

• Discontinuità delle derivate normali

• Risolviamo questo problema con una generalizzazione del metodo delle immagini

Carica e dielettrico

• Descriviamo qualitativamente cosa succede

• La carica +q genera un campo che polarizza il dielettrico

• Il dielettrico è lineare:∇⋅ P = 0 → _{non ci} sono cariche di volume

• Compare una carica superficiale di polarizzazione sul piano di separazione dielettrico - vuoto

• Il campo elettrico in tutto lo spazio è la somma di due campi elettrici

• Il campo E′ generato dalla densità di carica superficiale

• Il campo E′′ generato dalla carica puntiforme

• È il problema equivalente nel vuoto del problema iniziale

• La densità di carica superficiale è determinata dalla polarizzazione ed è da calcolare

• Dato che il dielettrico è lineare

• Per effetto della polarizzazione compare una densità superficiale di carica

• La densità di carica superficiale ha una simmetria azimutale

• È determinata dalla componente normale del vettore P

Carica e dielettrico

• Il campo elettrico E_z che compare è il campo totale

• La componente normale del campo elettrico E′_z(x,y) dovuto alla densità superficiale di carica σ_p(x,y) è

• Per convincerci della correttezza di questa espressione osserviamo che

• La carica superficiale è equivalente all'effetto del dielettrico

• Il campo elettrico generato dalla densità superficiale di carica ha la seguente simmetria

• Infine, come per tutti i campi elettrici, sappiamo che la componente normale ha una discontinuità attraverso lo strato di carica

• Possiamo pertanto concludere che

Carica e dielettrico

• La componente del campo elettrico E′′_z(x,y) dovuta alla carica elettrica +q è

• Abbiamo pertanto

• Possiamo determinare la densità di carica superficiale σ_P

• Osserviamo che, a meno del fattore dipendente dalla costante dielettrica, è la stessa densità di carica trovata nella diapositiva

• Piano conduttore infinito e carica puntiforme con il metodo della carica immagine

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Carica e dielettrico

• Nel caso della carica puntiforme e piano conduttore avevamo trovato

• La carica superficiale di polarizzazione è pertanto

• Il potenziale del campo elettrico è

• Tuttavia esiste un metodo più' semplice che calcolare l'integrale

• L'effetto dell'integrale è equivalente a porre una carica immagine q_P< 0 nella posizione −h

Carica e dielettrico

• Quindi il potenziale nel semispazio z > 0 è

• A differenza del problema della carica e il piano conduttore il campo nel semispazio z < 0 non è nullo

• Calcoliamo il potenziale per z < 0

• C'è il campo della carica +q posto a r₊

• C'è anche il campo dovuto alla carica di polarizzazione q_P

• Questa volta calcolato nel semispazio z < 0

• Equivalente ad una carica q_P posta nel punto r₊

• Quindi il potenziale nel semispazio z < 0 è

Carica e dielettrico

• Riepilogando

• Il potenziale φ(r) soddisfa l'equazione di Poisson

• Il termine dovuto a q per z > 0 soddisfa l'equazione di Poisson

• Gli altri tre termini sono soluzioni dell'equazione di Laplace nei rispettivi domini

• Il potenziale è continuo per z = 0

• Il potenziale va a zero all'infinito

• Verifichiamo l'ultima condizione sulle derivate normali

Carica e dielettrico

• Calcoliamo le derivate normali

• Ovviamente

• Iniziamo con z > 0

Carica e dielettrico

• Adesso il caso z < 0

• E naturalmente

Carica e dielettrico

• Naturalmente le due derivate calcolate sono anche, a meno del segno, la componente z del campo elettrico all'interfaccia

• La componente parallela è continua

• Calcoliamo ad esempio E_x

• Calcoliamo l'angolo che E fa con l'asse z, ad esempio nel piano y = 0

• Nel vuoto

• Nel dielettrico

Carica e dielettrico

• Per finire calcoliamo la forza che agisce sulla carica

• La carica di polarizzazione è negativa

• È equivalente ad una carica negativa q_P posta a distanza –h

• La forza è attrattiva

• La forza è

Energia elettrostatica

• Riprendiamo il problema del condensatore con dielettrico fra le armature (vedi diapositiva )

• Ricordiamo che a parità di differenza di

potenziale V il campo elettrico è sempre E = V/s

• Inoltre la carica nella regione delle armature è Q₀ che è la somma algebrica

• Della carica Q sulle armature (Q = κ Q₀)

• Della carica di polarizzazione Q_pol = −(κ − 1)Q₀

• L'energia del condensatore è

• Rispetto al caso senza dielettrico l'energia è cresciuta

• La capacità è cresciuta di un fattore κ

• D'altro canto abbiamo visto che l'energia può essere espressa come energia del campo elettrico

• Quale delle due espressioni è corretta?

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Energia elettrostatica

• La soluzione della contraddizione sta nel fatto che le due energie rappresentano cose differenti

• L'energia del campo elettrico rappresenta l'energia immagazzinata in un sistema di cariche (vedi )

• L'energia necessaria per "costruire" la disposizione delle cariche (sia libere che di polarizzazione)

• L'energia del condensatore rappresenta invece il lavoro che è stato fatto

• Per caricare i condensatore con una carica Q

• Per polarizzare il dielettrico e fare in modo che fornisca una carica Q_pol

• Per polarizzare il dielettrico è necessario fare un lavoro

• Il lavoro necessario per deformare gli atomi o le molecole

• Il lavoro necessario per allineare i dipoli

• Troviamo adesso un sistema per esprimere il secondo lavoro con una formula analoga a quella dell'energia del campo elettrico

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Energia elettrostatica

• Definiamo esattamente cosa vogliamo fare

• Consideriamo lo stato finale che vogliamo ottenere

• Un sistema di cariche libere descritto da una densità di carica ρ_f

• Un dielettrico (lineare) polarizzato

• Il sistema ( ρ_f + dielettrico) genera un potenziale φ(r)

• Per costruire questo sistema

• Iniziamo da un sistema scarico: ρ_f = 0

• Trasportiamo una carica dρ_f infinitesima dall'infinito nel nostro sistema

• Disponiamo la carica in modo che in ogni parte del sistema la densità di carica sia una frazione α di quella finale

• Per un dato valore di α la densità di carica libera è una frazione di quella finale

• Anche il potenziale elettrico φ_k(r) = αφ(r) sarà una frazione di quello finale

• Anche le cariche di polarizzazione saranno una frazione α di quelle finali

• Anche i campi P e D saranno una frazione α di quelli finali

Energia elettrostatica

• Il lavoro dW fatto per trasportare la carica dρ_f è

• Sottolineiamo che il potenziale φ_α(r) è generato anche dal dielettrico

• Il lavoro dW è diverso da quello che si avrebbe senza il dielettrico

• Il lavoro dW contiene anche il lavoro necessario per polarizzare il dielettrico

• Elaborando

• Sottolineiamo ancora una volta la differenza con la trattazione della diapositiva

• In quel caso nella formula era presente TUTTA la carica ρ (sia libera che di polarizzazione)

• L'energia trovata era quella del sistema di cariche ρ_f + ρ_pol e non includeva il lavoro fatto per polarizzare il materiale

• Nel caso del condensatore con dielettrico è l'energia dei due strati di carica ± [κσ − (κ − 1)σ ] = ± σ

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Energia elettrostatica

• Elaboriamo adesso la formula trovata per metterla in funzione del campo elettrico E e dello spostamento elettrico D

• Ricordiamo innanzitutto la legge di Gauss per il campo D

• Introduciamo nell'integrale

• Ricordiamo che

• Otteniamo

• Il primo integrale

• Pertanto

Per campi che si annullano velocemente all'infinito

Energia elettrostatica

• La formula che abbiamo ricavato vale per dielettrici lineari

• Per un dielettrico lineare si ha D = εE = κ ε₀ E

• W₀ è il lavoro fatto in assenza di dielettrico

• Pensiamo all'esempio iniziale del condensatore con dielettrico

• Riepilogando

• Rappresenta l'energia associata ad un campo elettrico E generato da un sistema di cariche ρ = ρ_f + ρ_pol

• Non include il lavoro che è stato fatto per polarizzare il dielettrico

• Per includere anche il lavoro che è stato necessario per polarizzare il dielettrico si calcola

• Include l'energia del campo elettrico E generato da ρ = ρ_f + ρ_pol