Equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali

EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Si chiama equazione differenziale una equazione del tipo:

0 Bß Cß C ß C ß ÞÞÞß Cˆ w ww 8‰œ ! ovvero una equazione che coinvolge la variabile indipendente edB una funzione incognita C œ C B , nonchè le sue derivate fino a quella di un certo ordine . L'or-8 dine della più alta derivata presente si dice ordine dell'equazione differenziale. In una equazione del primo ordine compare quindi solo la derivata prima. L'equazione differenziale si dice poi ordinaria se la funzione incognita C B è funzione ‘Ä‘, ovvero funzione di una sola variabile. Se la funzione incognita è funzione ‘8Ä‘, ovvero di più variabili, l'equazione differenziale è detta alle derivate parziali. L'equazione differenziale ordinaria si dice in forma normale se è esplicitata rispetto alla derivata di ordine più alto:

C8 œ 0 Bß Cß C ß C ß ÞÞÞß Cˆ w ww 8" ‰ .

Un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale assume quindi la forma: C œ 0 Bß Cw .

Un sistema di equazioni differenziali è costituito mediante un certo numero di equazioni diffe-renziali in altrettante funzioni incognite. Per soluzione di una equazione differenziale o di un sistema di equazioni differenziali si intende una funzione (o più funzioni) che sia continua e derivabile, con derivate continue, fino all'ordine che occorre, dalla quale (o dalle quali) risulti soddisfatta l'equazione (o le equazioni del sistema) data. Risolvere una equazione differenziale ha per sinonimo quello di "integrare" l'equazione differenziale.

Per soluzione (o integrale) generale di una equazione differenziale si intende una funzione, che vedremo dipendere non solo dalla variabile ma anche da un numero opportuno di costantiB arbitrarie, che rappresenti tutte (o quasi) le soluzioni dell'equazione data. Per soluzione (o integrale) particolare di una equazione differenziale si intende una soluzione dell'equazione che soddisfi ad una o più ulteriori condizioni quali, ad esempio, quella di passare per un assegnato punto e di assumere, in esso, valori assegnati per essa e per le sue derivate.

EQUAZIONI ORDINARIE DEL PRIMO ORDINE IN FORMA NORMALE

Iniziamo con la trattazione delle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma nor-male: C œ 0 Bß Cw . Si dice problema di Cauchy il seguente:

œC œ 0 Bß C_{C B œ C} C B

w

! ! dove, come si vede, alla soluzione si chiede non solo di soddisfare

l'equa-zione data, ma anche di passare per il punto B ß C! ! .

Per l'esistenza e l'unicità della soluzione di un problema di questo tipo vale il Teorema 1 (di Cauchy) Sia À 0 À‘# Ä‘, continua in ‘  ‘+ß , ‚ -ß . e tale che:

k0 Bß C"  0 Bß C# k 5 C  Ck " #k, con 5 − ‘, a B − +ß ,‘  e a C ß C − -ß ." # ‘ .

Allora, a B ß C! ! − +ß , ‚ -ß .‘  ‘  esiste, in un intorno di , una ed una sola soluzioneB!

C œ C B C œ 0 Bß C

C B œ C œ

del problema w .

! !

La condizione k0 Bß C"  0 Bß C# k 5 C  Ck " #k è detta condizione di Lipschitz, oppure si dice che la funzione 0 Bß C è Lipschitziana rispetto a .C

C B œ C ! ( 0 >ß C > .>

B B

!

è soluzione del problema di Cauchy dato. Si definisce una

Succes-sione di funzioni mediante la , si verifica che tale

Suc-Ú Û Ü ( C B œ C C B œ C  0 >ß C > .> ! ! 8 ! 8" B B !

cessione converge uniformemente ad una funzione C B che è la soluzione unica cercata del problema di Cauchy.

Una condizione sufficiente a garantire la validità della condizione di Lipschitz è data dall'essere la funzione 0 Bß C dotata di derivata parziale 0 Bß C_Cw continua, condizione quest'ultima solitamente di più facile verifica che non quella di Lipschitz.

Per quanto riguarda l'esistenza di soluzioni, senza che di queste sia garantita l'unicità, vale il: Teorema 2 (di Peano) Sia À 0 À‘# Ä‘, continua in ‘  ‘+ß , ‚ -ß ..

Allora a B ß C! ! − +ß , ‚ -ß .‘  ‘  esiste almeno una soluzione del problema di Cauchy œC œ 0 Bß C_{C B}w _{! œ C!} .

Passiamo allora a trattare i metodi risolutivi per alcuni tipi di equazioni del primo ordine. EQUAZIONI LINEARI DEL TIPO C  : B C œ ; Bw

Queste equazioni appartengono ad una classe di equazioni, le cosiddette lineari, che riprenderemo nel seguito e tratteremo in generale, qualunque sia l'ordine dell'equazione. Per ora trattiamo solo quelle del primo ordine. Supponiamo : B e ; B funzioni ‘Ä‘ continue in un opportuno intervallo. Se ; B œ ! l'equazione si dice omogenea.

Consideriamo anzitutto questo caso: C  : B C œ !w .

Avremo allora C œ  : B C Ê "C œ  : B , posto C Á !. C

w w

Integrando ambedue i termini dell'equazione rispetto ad otteniamo:B

( "_C C .B œ w ( : B .B  5 5 −, ‘ per avere la totalità delle soluzioni.

Ma ₍ " ₍ " log_{k k (} da cui:

CC .B œ C.C œ C œ  : B .B  5

w

k kC œ / : B .B5' œ / /5  : B .B' œ 7 / : B .B' , avendo posto / œ 75 . Supponendo 7 − ‘ avremo infine:

C œ 7 / : B .B' che è la soluzione generale dell'equazione omogenea.

Dato che C œ ! è anch'essa soluzione (basta sostituire !), si ha che C œ ! è una soluzione par-ticolare, ottenibile dalla soluzione generale per 7 œ !. Si può anche considerarla come ottenuta da /5 per 5 Ä  ∞.

Per trovare la soluzione dell'equazione non omogenea C  : B C œ ; Bw supponiamo che la 7 della soluzione dell'omogenea non sia una costante ma una funzione 7 B À‘Ä‘, e vediamo come debba essere 7 B affinchè una funzione del tipo C œ 7 B / : B .B' sia soluzione dell'equazione non omogenea. Sostituiamo nell'equazione ed avremo:

7 B /w  : B .B'  7 B Š : B / : B .B' ‹ : B 7 B / : B .B' œ ; B . Eliminando i due termini opposti otteniamo:

7 B /w  : B .B' œ ; B Ê 7 B œ ; B /w ': B .B . Integrando infine rispetto ad si ottiene:B

C B œ / : B .B' _Œ( ; B /': B .B .B  5_

rappresenta la totalità delle soluzioni, ovvero la soluzione generale dell'equazione lineare non omogenea.

Come si è visto, sia la soluzione generale dell'equazione omogenea che quella della non omogenea dipendono da una costante arbitraria, e questo dipende dal fatto che l'equazione differenziale è del primo ordine.

Vediamo alcuni esempi.

Esempio 1 Risolviamo l'equazione À C œ Cw ovvero C  C œ !w che è lineare omogenea. Da C œ C, posto C Á ! si ha "C œ " da cui integrando:

C

w w

( " ( k k

C C .B œ " .B  5 Ê C œ B  5

w _{log e quindi:}

k kC œ /B5 œ 7 /B. Considerando 7 −‘ avremo infine C œ 7 /B.

La C œ ! è una soluzione particolare, ottenuta per 7 œ ! o per 5 Ä  ∞. Esempio 2 Risolviamo l'equazione lineare non omogenea À C  " C œsen .B

B

w

Applicando la formula generale per la soluzione: C B œ / : B .B' _Œ( ; B /': B .B .B  5_ avremo:

C B œ /' B".B _Œ( senB /' B" .B .B  5_œ /logB_”( senB /logB.B  5 œ_• œ " B B .B  5 œ "  B B  B .B  5

B”( sen • BŒ cos ( cos  e quindi

C B œ "  B B  B  5 œ 5  B  B

B cos sen B cos B .

sen

Esempio 3 Risolviamo l'equazione lineare non omogenea À C  #B C œ Bw $. Applicando la formula generale per la soluzione avremo:

C B œ / #B .B' _Œ( B /$ '#B .B.B  5_œ /B#_”( B / .B  5 œ$ B# _• œ / B B / .B  5 œ / "B /  #B" / .B  5 # # B# # B# B# # B# B# ”( Š ‹ • ” ( • e quindi: C B œ / "B /  " /  5 œ 5 /  "B  " # # # # Œ  B# # B# B# B# # . EQUAZIONI DI BERNOULLI

Sono equazioni del primo ordine rappresentabili nella forma: C  : B C œ ; B Cw α, α −‘, α Á !, αÁ ", casi già trattati come equazione lineare.

Per risolvere una equazione di questo tipo basta porre: C"α œ A, ovvero operare per sostituzione un cambio di variabile. Otteniamo allora:

C œ A Ê C œ " A A œ " A A

"  " 

" "

"α w "α" w "αα w

α α .

Sostituendo nell'equazione originaria avremo: "

" α A A  : B A œ ; B A

α α

α α α

e dividendo per " si ottiene infine: " α A α α " A  " w α : B A""α"αα œ " α ; B ovvero: A  " w α : B A œ " α ; B

che è un'equazione lineare e si integra mediante la formula generale. Si ricava infine C œ A"α" .

Esempio 4 Risolviamo l'equazione À C  "C œ senB œsenB † C .

B C

w "

In questo caso C œ Cα " e quindi α œ  ". Posto C" " œ C œ A# da cui C œÈA e C œ " A # A w w È , sostituendo, si ha: " " " #ÈAA  B ÈA œ BÈA #ÈA

w _{sen . Moltiplicando tutto per si ha:}

A  # A œ # B B

w _{sen dalla quale, integrando, otteniamo:}

A B œ /' B#.B _Œ( #senB /' B#.B .B  5_œ /#logB_”( #senB /#logB.B  5 œ_• œ " # B B .B  5

B#

#

Œ( sen . Essendo:

œ( B#senB .B œ  B#cosB ( #BcosB .B œ

œ  B#cosB  # BŒ senB ( senB .Bœ  B#cosB  #BsenB  #cos , avremo:B A B œ " % B  %B B  #B B  5 œ % B  % B  # B  5

B# ˆ ‰ B# B B#

#

cos sen cos cos sen cos .

Da C œ A si ha infine C œ %cosB  %senB  #cosB  5 Þ

B B B

È _{Ê # #}

La scelta C œ ÈA genera la stessa equazione lineare con uguale soluzione generale per . LaA soluzione generale per sarà la precedente ovviamente cambiata di segno.C

Esempio 5 Risolviamo l'equazione À C  #BC œ B Cw $ #.

Ponendo C œ C œ A si ha: C œ " da cui C œ  " A dalla quale, sostituendo:

A A

"# " w w

#

 " A  #B " œ B "  A

A# A A#

w $ _{. Moltiplicando per} # _otteniamo:

A  #B A œ  Bw $ ed integrando otteniamo: A B œ /'#B .B Œ(  B /$  #B .B' .B  5 œ /B#”( B /$ B#.B  5•. Essendo ₍ B / .B œ₍ B _ŠB / _‹.B œ  "B / ₍ "#B / .B œ # # $ B# # B# # B# B# œ  "B /  "/ A B œ / "B /  "/  5 # # # # # B# B# B# # B# B# si ottiene: _{Œ } ovvero: A B œ "B  "  5 / C œ " # # A # B#

ed essendo abbiamo infine: C œ "

" " #B  #  5 /

# B#

EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI

Sono equazioni della forma: 0 B 1 C C œ 0 B 1 C" " w # # , dove 0 B" e 0 B# sono funzioni della sola variabile mentre B 1 C" e 1 C# sono funzioni della sola variabile .C

Posto 0 B Á !" e 1 C Á !# , separando le variabili otteniamo:

1 C 0 B

1 C C œ 0 B B C .B œ .C

" #

# "

w _{dalla quale, integrando rispetto ad , ed essendo} w _{, otteniamo:}

( 1 C_{1 C}" C .B œ( 1 C_{1 C}" .C œ( _{0 B}0 B# .B  5 K C J B

# # "

w _{e quindi, dette e le primitive di}

1 C 0 B

1 C 0 B K C œ J B  5 K C

" #

# "

e , risulta: dalla quale poi, se è invertibile, otteniamo: C B œ K" J B  5 .

Imporre 0 B Á !" comporta di escludere dal campo d'esistenza dell'equazione differenziale e-ventuali rette verticali B œ B! con 0 B" ! œ !.

Imporre invece 1 C Á !# porta ad escludere funzioni costanti C œ C!, con 1 C# ! œ !, che, se soddisfano l'equazione differenziale, andranno comunque aggiunte alla soluzione generale, con-trollando se siano ottenibili da questa per un particolare valore, anche infinito, della costante arbitraria. Saranno allora soluzioni particolari. Se non fossero ottenibili dalla soluzione generale per nessun valore, finito o infinito, della costante arbitraria verranno dette soluzioni singolari. Esamineremo questo caso negli esempi presentati nel seguito.

Esempio 6 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ C  "w # .

Risulta C  " Á !ß a C# . Separando le variabili ed integrando otteniamo:

( _{"  C}" _# .C œ( " .B  5 ÊarctgC œ B  5 Ê C œtg B  5 , che è la soluzione generale dell'equazione. Se dovessimo risolvere il problema di Cauchy _œC œ C  " basterà imporre:

C ! œ "

w #

tg !  5 œ " Ê tg5 œ " Ê 5 œarctg" Ê 5 œ che ci porta la soluzione particolare %

1

C œ B   à

% # #

tg_Š 1_‹, avendo scelto l'intervallo ‘ 1 1 per invertire la funzione tangente. Esempio 7 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ C  C Bw ˆ # ‰ .

Risulta C  C Á !# per C Á ! e per C Á ". Separando le variabili e integrando si ha: ( _{C  C#}" .C œ( B .B  5. Essendo ( B .B  5 œ "_#B  5# ed inoltre:

( " ( " " k k k k _ºC  "_º

C  C# .C œ C  "  C .C œlog C  " log C œ log C , avremo: log_ºC  "_º " _ºC  "_º C  " da cui infine:

C œ #B  5 Ê C œ / Ê C œ 7 /

# "_#B 5# "_#B#

C œ " 7 −

"  7 /"#B#

, con ‘.

Si verifica poi che C œ ! è soluzione particolare, in quanto ottenibile per 7 Ä ∞, ed anche C œ " è soluzione particolare, in quanto ottenibile per 7 œ ! Þ

Esempio 8 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ Cw 8"8 ß 8 −. Posto C  ! si ha: ( C .C œ( " .B  5 Ê " C œ 8  " C œ B  5

"  8 8  "

 8 " 8 "

C œ B  5 C œ ! 8  "

Œ 

8"

. La funzione è soluzione dell'equazione differenziale data, ma non è soluzione particolare in quanto non è ottenibile per nessun valore, finito o infinito, del parametro

5 8 " 0 Bß C œ C

8  "

. Dato che l'esponente è minore di , la funzione 8"8 non è derivabile rispetto a nei punti C C œ !. Non sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Cauchy, ovvero, più precisamente, non vale in un intorno dei punti C œ ! la condizione di Lipschitz. La soluzione esiste, ma non è unica. Infatti, se 5 œ ! sia la soluzione C œ ! che la soluzione

C œ B  5 C ! œ !

8  "

Œ 

8"

soddisfano alla condizione , e questa mancanza di unicità di solu-zione si può realizzare imponendo il passaggio per un qualunque punto dell'asse . La solusolu-zioneB

C œ ! infine è una soluzione singolare.

Esempio 9 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ Bw #È"  C#.

Dobbiamo imporre non solo "  C Á !# ma pure "  C  !# , ovvero  "  C  ". Separando le variabili ed integrando otteniamo:

( _È " ( "

"  C# .C œ B .B  5 Ê C œ $B  5

# _arcsen $ _{e da questa infine:}

C œ "B  5 C œ  " C œ " $

sen_Œ $ _. Le funzioni e si verifica, sostituendo, che sono soluzioni dell'equazione differenziale, ma non si ottengono per nessun valore di . Sono quindi soluzioni5 singolari, e si nota che esse costituiscono la frontiera del campo d'esistenza dell'equazione differenziale.

Esempio 10 Risolviamo l'equazione differenziale À C œw cosBÈC  ". Posto C  " si ha: ( _{ÈC  "}" .C œ( cosB .B  5 Ê #ÈC  " œsenB  5 e da questa infine:

C œ "  " B  5 C œ "

% sen . La funzione è soluzione singolare, in quanto non ottenibile per

#

nesun valore di , e giace tutta sulla frontiera del campo d'esistenza dell'equazione differenziale.5 EQUAZIONI DEL TIPO C œ 0 +B  ,Cw

Dati +ß , − , si pone +B  ,C œ A Ê C œ "A  + B da cui C œ "A  + e sostituendo

ot-, , , ,

‘ w w

teniamo: " + che risulta a variabili separabili, per cui: , A  , œ 0 A Ê A œ , 0 A  +

w w

( _{, 0 A  +}" .A œ( " .B  5 Ê J A œ B  5 Ê A œ J" B  5

se J A , primitiva di " , è determinabile e risulta invertibile, da cui infine: , 0 A  +

C œ "J B  5  +B

, ,

" _{risulta la soluzione generale.}

Esempio 11 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ B  Cw #. Posto B  C œ A si ha: C œ B  A Ê C œ "  Aw w e quindi sostituendo:

"  A œ A Ê A œ "  Aw # w #, che risulta a variabili separabili, per cui integrando: ( _{"  A}" _# .A œ( _#"Œ_{"  A}"  _{"  A}" .A œ( " .B  5 da cui poi:

" "  A

# logk"  A k logk"  A œ B  5 Êk log˺"  Aºœ B  5 Ê

Ê "  A œ / œ 7 / Ê "  A œ 2 / 7 2 −

"  A "  A

˺ º B5 B #B_{, avendo sostituito} # _{con ‘, da cui poi}

A œ 2 /  " C œ B  2 /  "

2 /  " 2 /  "

#B #B

#B ed infine #B .

Avendo imposto "  A Á !# , considerate le due funzioni A œ  " e A œ ", si vede che queste sono soluzioni della A œ "  Aw #; sono però soluzioni particolari in quanto si ottengono dalla

A œ 2 /  " 2 Ä  ∞ 2 Ä  ∞

2 /  "

#B

#B rispettivamente per e per . Da queste deduciamo le due

soluzioni C œ B  " e C œ B  ", ottenibili per gli stessi valori di dalla soluzione generale.2 Esempio 12 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ B  Cw # # B  C .

Posto B  C œ A Ê C œ A  B e C œ A  "w w , sostituendo si ha:

A  " œ A  #A Ê A œ A  "w # w # e passando ad integrare, posto A Á  ":

( " " (

A  " # .A œ  A  " œ " .B  5 œ B  5 e quindi:

A  " œ  " Ê A œ  "  " C œ  "  "  B

B  5 B  5 e quindi B  5 .

Essendo A œ  " soluzione della A œ A  "w # ottenibile per 5 Ä ∞ dalla soluzione gene-rale, si ottiene anche la soluzione particolare C œ  "  B.

Esempio 13 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ /w BC. Posto B  C œ A Ê C œ A  B e C œ A  "w w , sostituendo si ha:

A  " œ / Ê A œ /  " Á ! a Aw A w A . Passando ad integrare: ( _{/  "}" .A œ( " .A œ( _/ / _{ "}.A œ  /  " œ B  5 " /  " A A A A A log da cui:

/A " œ /B5 œ 7 /B Ê /A œ 7 /B " e quindi:

A œ " C œ "  B

7 /  " 7 /  "

log_{Œ B } da cui poi log_{Œ B } .

EQUAZIONI OMOGENEE (DI GRADO ) O DELLA FORMA! C œ 0 C B

w _{Š ‹}

Una funzione 0 Bß C si dice omogenea di grado se α 0 5Bß 5C œ 5 0 Bß Cα . Si dirà quindi omogenea di grado se ! 0 5Bß 5C œ 0 Bß C . Essendo 0 5 C œ 0 C ecco spiegata l'altra

5 B B

Œ  Š ‹

espressione equivalente per tali equazioni.

Posto C si ha dalla quale sostituendo otteniamo: B œ A C œ A B Ê C œ A B  A

w w

A B  A œ 0 A Ê A B œ 0 A  Aw w che risulta a variabili separabili, per cui: ( _{0 A  A}" .A œ( "_B.B  5 e quindi: J A œlogk kB  5.

Se J A , primitiva di " , è determinabile e risulta invertibile, otteniamo: 0 A  A

Esempio 14 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ "  C . B

w

Posto C si ottiene da cui sostituendo:

B œ A C œ A B Ê C œ A B  A

w w

A B  A œ "  A Ê A B œ "  #Aw w . Separando le variabili e integrando: ( _{"  #A}" .A œ( _B".B  5 Ê  "_#logk"  #A œk logk kB  5 da cui:

log " log " , per cui:

"  #A œ / B Ê "  #A œ 7 B ß 7 −

Èk k ˆ 5k k‰ # ‘

A œ " "  " C œ "B "  " # Œ 7 B# ed infine # Œ 7 B#.

Avendo posto, per la A B œ "  #A A Á, ", si ottiene da questa la soluzione C œ "B, che è

# #

w

soluzione particolare in quanto ottenibile per 7 Ä ∞. Esempio 15 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ C .

B

w #

#

Posto C si ottiene da cui sostituendo:

B œ A C œ A B Ê C œ A B  A

w w

A B  A œ A B œ A Ê A B œ A  A B

w # # # w #

# . Separando le variabili e integrando:

( _{A  A#}" .A œ( _{A  "}"  _A" .A œ( _B" .B  5 da cui

logkA  " k logk kA œlog _ºA  "_ºœlogk kB  5 œ logˆ/ Bk k‰ e quindi: A

5

A  " " B

A œ 7 Bß 7 −‘Ê A œ "  7B e quindi C œ "  7B.

Le funzioni A œ ! e A œ ", che sono soluzioni particolari della A B œ A  Aw # , generano le soluzioni particolari C œ ! e C œ B, ottenibili dalla soluzione generale per 7 Ä ∞ e per

7 Ä ! .

Esempio 16 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ B  #C . B C

w # #

Essendo B  #C , posto C si ottiene da cui

so-B C œ B œ A Ê C œ A B C œ A B  A "  # C B C B # # # # _{w w} stituendo: A B  A œ "  #A Ê A B œ "  #A  A œ "  A . Integrando: A A A w # w # # ( A ( " " ˆ ‰ ˆ k k‰ "  A# .A œ B .B  5 Ê # "  A œ / B # 5

log log da cui:

"  A œ 7 B Ê A œ „# # È7 B  "# _{e quindi} C œ „ BÈ7 B  "# _.

EQUAZIONI IN FORMA NORMALE DI ORDINE SUPERIORE

Non si conoscono in generale, salvo alcuni casi particolari, tipi di equazioni di ordine superiore al primo con una specifica procedura di integrazione. Ci limitiamo a presentare un caso particolare, ovvero quello dell'equazione C8 œ 0 Bß Cˆ 8" ‰ nella quale, come si vede, mancano la e tutteC le sue derivate fino all'ordine 8  #.

Ponendo C8" œ A si ottiene C8 œ A œ 0 Bß Aw . Se questa è risolvibile, trovata , con A 8  " integrazioni successive si ottiene la soluzione generale .C

Esempio 17 Risolviamo l'equazione differenziale À C œ "C . B

www ww

Posto C œ A Ê C œ A si ha A œ " A, equazione a variabili separabili, ed integrando: B

ww www w w

( " ( " k k k k ˆk k ‰

A.A œ B .B  5 Êlog A œlog B  5 œ log B / Ê A œ - Bß - − .

5

" " ‘

La soluzione particolare A œ ! si ottiene per - œ !" .

Da C œ A segue C œ A .B  - œ - B  - ed infine: # ww w # " # # ( C œ C .B  - œ - B  - .B  - œ - B  - B  - œ 5 B  5 B  5 # ' ( w ( $ $ " # $ " # $ " # $ # $ .

Per quanto riguarda il Teorema di esistenza ed unicità di Cauchy ci limitiamo ad enunciarlo nel caso dell'equazione in forma normale di ordine : 8 C8 œ 0 Bß Cß C ß C ß ÞÞÞß Cˆ w ww 8"‰:

Teorema 3 Sia À 0 Bß Cß C ß C ß ÞÞÞß Cˆ w ww 8"‰ continua in un intervallo di ‘8"; siano continue in tale intervallo le funzioni derivate parziali di fatte rispetto alle variabili 0 Cß C ß C ß ÞÞÞß Cw ww 8" .

Allora esiste ed è unica la soluzione dell'equazione C8 œ 0 Bß Cß C ß C ß ÞÞÞß Cˆ w ww 8"‰ che soddisfa

alle 8condizioni . C B œ C C B œ C ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ C B œ C Ú Ý Ý Û Ý Ý Ü ! ! w w ! ! 8" ! !8"

Si noti come, nell'enunciato del Teorema, la funzione e le sue derivate successive vengano con-C siderate alla stregua di variabili indipendenti. La soluzione generale di una tale equazione dif-ferenziale dipenderà infine da costanti arbitrarie.8

Vediamo ora come ogni equazione differenziale di ordine possa essere portata alla forma di un8 sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Il viceversa è altrettanto vero e lo vedremo nella parte relativa ai sistemi di equazioni differenziali.

Data allora l'equazione di ordine 8 À C8 œ 0 Bß Cß C ß C ß ÞÞÞß Cˆ w ww 8" ‰ poniamo: Ú Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Û Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ü ˆ ‰ C œ C C œ C œ C C œ C œ C C œ C œ C ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ C œ C œ C C œ C œ 0 Bß Cß C ß C ß ÞÞÞß C 8 " w w " # ww w # $ www w $ % 8" w 8" 8 8 w w ww 8" 8 . Le equazioni differenziali: Ú Ý Ý Ý Ý Ý Û Ý Ý Ý Ý Ý Ü C œ C C œ C C œ C ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ C œ C C œ 0 Bß C ß C ß C ß ÞÞÞß C 8 C ß C ß ÞÞÞß C " w # # w $ $ w % 8" w 8 8 w " # $ 8 " # 8

nelle funzioni incognite costituiscono un sistema

Nella sua forma più generale un sistema di equazioni differenziali del primo ordine viene rappre-sentato come: . Ú Ý Ý Û Ý Ý Ü C œ 0 Bß C ß C ß ÞÞÞß C C œ 0 Bß C ß C ß ÞÞÞß C ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ C œ 0 Bß C ß C ß ÞÞÞß C " w " " # 8 # w # " # 8 8 w 8 " # 8

Ogni equazione è del primo ordine in forma normale; trovare una soluzione significa trovare una 8-upla di funzioni C ß C ß ÞÞÞß C" # 8 che soddisfa ciascuna delle equazioni date.

Il problema di Cauchy viene completato con le condizioni iniziali . Ú Ý Ý Û Ý Ý Ü C B œ C C B œ C ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ C B œ C " ! "! # ! #! 8 ! 8!

Se le funzioni sono continue con derivate continue allora è unica la soluzione del problema di03

Cauchy.

Passiamo ora a trattare un tipo di equazioni differenziali per le quali vale una consistente teoria e che, in taluni casi, hanno una metodologia nota di soluzione.

Queste sono le equazioni differenziali lineari.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DI ORDINE 8 Le equazioni differenziali lineari sono quelle esprimibili nella forma:

C8  +8" B C8"  +8# B C 8#  ÞÞÞ  + B C  + B C œ , B" w !

dove + B3 e , B sono funzioni ‘Ä‘ che supponiamo continue. Se , B œ ! l'equazione è detta omogenea, altrimenti non omogenea. Possiamo esprimere queste equazioni differenziali usando l'operatore:

_ œW8 +8" B W8" +8# B W8# ÞÞÞ  + B" W + B!

dove indica l'operatore di derivazione. Avremo quindi:W

_ C œˆW8 +8" B W8" +8# B W8# ÞÞÞ  + B" W + B! ‰ C œ , B

come forma alternativa per rappresentare l'equazione differenziale.

Come facilmente si verifica, l'operatore è lineare (e anche da questo dipende il nome di tali e-_ quazioni) ovvero:

œ_{_ α}_ C  C"_{C œ}#_{α _}œ__{C ß}C"_α_−‘_ C# _{, equivalenti alla:}

_ αC " "C# œα _ C" " _ C ß ß# α "−‘.

Studiamo anzitutto il caso dell'equazione lineare omogenea _ C œ !, dimostrando il

Teorema 4 Le soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea formano uno spazioÀ vettoriale, avente dimensione pari all'ordine dell'equazione.

Dimostrazione: Siano per ipotesi C B" e C B# due soluzioni dell'equazione omogenea. Quindi ._ C" œ_ C# œ !

Da _ C" œ_ C# œ ! segue _ αC " "C# œα _ C" " _ C# œ !  ! œ !, per cui le

so-luzioni di una equazione differenziale lineare omogenea formano uno spazio vettoriale.

Viste le proprietà degli spazi vettoriali, per generare tutti gli elementi di tale spazio (ovvero tutte le soluzioni) occorre conoscere la dimensione dello spazio e disporre di una base, dato che ogni elemento, ovvero ogni soluzione dell'equazione lineare omogenea, è esprimibile in uno ed un solo modo come combinazione lineare degli elementi della base scelta.

Per il Teorema 3 di esistenza ed unicità di Cauchy, fissata la -upla 8 ŠC ß C ß ÞÞÞß C! !w ! ‹, dalla

con-8"

tinuità dei coefficienti + B3 segue che sono soddisfatte le ipotesi del Teorema e quindi esiste, unica, la soluzione che soddisfa alle condizioni date. Ma queste condizioni costituiscono un8

vettore di ‘8, e quindi lo spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea è in corrispondenza biunivoca con ‘8, per cui la sua dimensione è pari a .8

Una base per lo spazio delle soluzioni dell'equazione lineare omogenea è quindi costituita da 8 soluzioni che siano linearmente indipendenti.

Vediamo allora come si esprimono dipendenza ed indipendenza lineare in uno spazio i cui ele-menti sono delle funzioni ‘Ä‘ e non dei vettori di ‘8.

Definizione 1 Siano À C B ß C B ß ÞÞÞß C B 8" # 8 soluzioni dell'equazione lineare omogenea.

Esse si dicono linearmente indipendenti se - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B œ !" " # # 8 8 se e solo se - œ - œ - œ !" # 8 . Altrimenti le soluzioni si dicono 8 linearmente dipendenti.

Consideriamo allora l'espressione:

- C B  - C B  ÞÞÞ  - C B œ !" " # # 8 8 ; derivandola otteniamo:

- C B  - C B  ÞÞÞ  - C B œ !" w" # #w 8 w8 ; derivando ancora:

- C B  - C B  ÞÞÞ  - C B œ !" ww" # ww# 8 8ww e dopo 8  " derivazioni avremo infine:

- C" "8" B  - C# #8" B  ÞÞÞ  - C8 88" B œ !.

Queste equazioni possono essere scritte in forma matriciale come:8

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â C C ÞÞÞ C C C C ÞÞÞ C C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ C C ÞÞÞ C C C " # 8" 8 w w w w " # 8" 8 8# 8# 8# 8# " # 8" 8 8" " # 8" 8" 8" 8" 8 " # 8" 8 C ÞÞÞ C C † œ -ÞÞÞ -â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â .

Considerando - ß - ß ÞÞÞß -" # 8 come un vettore di incognite, questo sistema lineare omogeneo a ma-trice quadrata per il Teorema di Cramer avrà solo la soluzione nulla - œ - œ - œ !" # 8 se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite è diverso da zero.

La condizione: k k â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â – œ C C ÞÞÞ C C C C ÞÞÞ C C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ C C ÞÞÞ C C C C " # 8" 8 w w w w " # 8" 8 8# 8# 8# 8# " # 8" 8 8" " 8" 8" 8" # ÞÞÞ C8" C8 Á ! è la condizione necessaria e

sufficiente per garantire che le soluzioni 8 C B ß C B ß ÞÞÞß C B" # 8 siano linearmente indipendenti. La matrice prende il nome di matrice Wronskiana.–

Vale un Teorema, che qui non dimostriamo, secondo il quale il Wronskiano (ovvero il determi-nante della matrice Wronskiana) di soluzioni di una equazione lineare omogenea o è sempre8 nullo oppure è sempre diverso da zero. Per vedere quindi se soluzioni di una equazione lineare8 omogenea sono indipendenti e quindi costituiscono una base basta calcolare il determinante della loro matrice Wronskiana e vedere se questa è non singolare.

Se lo è, le soluzioni costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni e quindi ogni altra8 soluzione dell'equazione differenziale lineare omogenea sarà esprimibile nella forma:

C B œ - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B" " # # 8 8 , che quindi rappresenta la soluzione generale

del-l'equazione. In teoria quindi conosciamo tutto riguardo alle soluzioni dell'omogenea. Purtroppo nella pratica non si conoscono, salvo pochi casi, metodi pratici per trovare una base, e quindi la maggior parte di queste equazioni rimangono irrisolte.

Vedremo nel seguito un caso importante, quando i coefficienti + B3 sono costanti, per il quale invece esiste una metodologia che consente, in molti casi, di trovare una base.

Prima di esaminare questo caso, però, occupiamoci delle soluzioni dell'equazione lineare non omogenea.

Sia _ C œ ˆW8 +8" B W8" +8# B W8# ÞÞÞ  + B" W + B! ‰ C œ , B una equazione differenziale lineare non omogenea.

Se C B" e C B# sono due sue soluzioni, risulta:

_ αC " "C# œα, B ", B œ α" , B Á , B , tolto il caso α" œ ".

Quindi le soluzioni della non omogenea non formano uno spazio vettoriale. Vale però il seguente:

Teorema 5 Ogni soluzione À C B dell'equazione lineare non omogenea è esprimibile come som-ma della soluzione generale dell'omogenea con una soluzione particolare C B! della non omo-genea.

Dimostrazione: Sia C B œ C B  - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B! " " # # 8 8 . Allora: _ C œ_ C B  - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B! " " # # 8 8 œ

œ_ C B ! _ - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B" " # # 8 8 œ , B  ! œ , B . . Quindi C B è soluzione dell'equazione lineare non omogenea.

Viceversa, siano ora C B e C B! due soluzioni dell'equazione lineare non omogenea.

Risulta _ C B  C B! œ_ C B _ C B! œ , B  , B œ ! e quindi C B  C B! è soluzione dell'equazione lineare omogenea, quindi:

C B  C B œ - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B! " " # # 8 8 per una -upla 8 - ß - ß ÞÞÞß -" # 8 , da cui:

C B œ C B  - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B! " " # # 8 8 .

Alle difficoltà per trovare una base si aggiungono quelle per trovare una soluzione particolare del-l'equazione non omogenea. Questi problemi saranno risolti per buona parte delle equazioni lineari a coefficienti costanti.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

Sono equazioni della forma: C8  +8"C8"  +8#C 8#  ÞÞÞ  + C  + C œ , B" w ! , con + −3 ‘ e , B funzione ‘Ä‘.

Anche ora iniziamo trattando il caso dell'equazione omogenea; sia allora , B œ !.

Supponiamo che una funzione del tipo C œ /-B sia una soluzione di tale equazione, e determi-niamo se esistono valori del parametro che rendono vero questo. Risulta:

-C œw -/-B, C œww -#/-B,..., C 8 œ-8/-B e quindi, sostituendo nell'equazione differenziale do-vrà risultare:

-8/-B +8"-8"/-B +8#-8#/-B ÞÞÞ  +"-/-B + /! -Bœ ! ovvero

/-Bˆ-8 +8"-8" +8#-8# ÞÞÞ  +"- +!‰œ !. Dato che /-B Á !, affinchè C œ /-B

sia una soluzione, il valore di deve risultare una radice del polinomio, detto - polinomio caratteristico: .c - œ-8 +8"-8" +8#-8# ÞÞÞ  +"- + œ !!

Dal Teorema fondamentale dell'Algebra sappiamo che ogni polinomio di grado ammette esat-8 tamente radici, che possono essere reali o complesse, semplici o multiple. Essendo i coefficienti8 +3 reali, le eventuali radici complesse sono sempre in numero pari; infatti la presenza della

soluzione +  3, implica quella della sua coniugata +  3,.

Iniziamo esaminando per brevità il caso dell'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine, e da questo vedremo come costruire una base per lo spazio delle soluzioni di una equazione lineare omogenea a coefficienti costanti di qualunque ordine.

Equazioni lineari del II ordine a coefficienti costanti omogenee

Sono equazioni della forma C  + C  + C œ !ww " w ! che hanno per polinomio caratteristico

c - œ-# +"- + œ !! .

Caso di radici reali e distinte: il discriminante risulta ˜ œ +  %+  !_"# ! .

Il polinomio caratteristico ammette due radici reali e distinte - œ + e - œ ,. Avremo quindi:

c - œ-# +"- + œ! - + - , œ-# +  , - +, œ !.

L'equazione differenziale ha la forma C  +  , C  +, C œ !ww w .

Per quanto visto in precedenza, l'equazione differenziale avrà tra le sue soluzioni le due funzioni C œ /+B e C œ /,B. Verifichiamo anzitutto che esse risultano linearmente indipendenti con il Wronskiano: _º / / _º in quanto . Le due soluzioni quindi

co-+ / , / œ ,  + / Á ! + Á ,

+B ,B

+B ,B +, B

stituiscono una base, per cui ogni soluzione dell'equazione C  + C  + C œ !ww " w ! sarà esprimibile come C B œ - /" +B - /# ,B, con e costanti arbitrarie.-" -#

Quindi C B œ - /" +B - /# ,B è la soluzione generale dell'equazione data. Caso di radici reali e coincidenti: il discriminante risulta ˜ œ +  %+ œ !_"# ! . Il polinomio caratteristico ammette la radice reale doppia - œ +. Avremo quindi:

c - œ-# +"- + œ! - + # œ-# #+  + œ !- # .

L'equazione differenziale ha la forma C  #+ C  + C œ !ww w # .

Una soluzione sarà la C œ /+B. Per l'altra soluzione proviamo la C œ B /+B. Risulta C œ /w +B + B /+B; C œ #+ /ww +B + B /# +B. Sostituendo avremo:

#+ /+B + B /# +B #+ /+B + B /+B  + B /# +B œ !, l'equazione è soddisfatta e C œ B /+B è un'altra soluzione. Verifichiamo infine che C œ /+B e C œ B /+B sono soluzioni linearmente in-dipendenti usando il Wronskiano. Avremo:

º_{+ /}/ _{/  + B /}B / ºœ /  +B /  +B/ œ / Á !

+B +B

+B +B +B #+B #+B #+B #+B . Le due soluzioni quindi

costi-tuiscono una base, per cui ogni soluzione dell'equazione C  + C  + C œ !ww " w ! sarà esprimibile come C B œ - /" +B - B /# +B, con e costanti arbitrarie.-" -#

Quindi C B œ - /" +B - B /# +B è la soluzione generale dell'equazione data.

Prima di passare a trattare il caso delle radici complesse, prendiamo spunto da quanto appena visto e generalizziamo il caso di un polinomio caratteristico con radici reali di molteplicità anche maggiore di due.

L'equazione del terzo ordine: C  $+ C  $+ C  + C œ !www ww # w $ ammette la radice reale tripla - œ + . Omettendo le verifiche analoghe a quelle del caso precedente, si verifica che tre sue so-luzioni linearmente indipendenti sono C œ /+B, C œ B /+B e C œ B /# +B. Quindi la soluzione generale avrà la forma C B œ - /" +B - B /# +B - B /$ # +B.

Notiamo anche come un'equazione differenziale lineare possa essere scritta in altra forma, sfrut-tando le proprietà dell'operatore . Avremo infatti:_

C  +  , C  +, C œww w _ C œˆW# +  , W +, C œ‰ W + W , C œ !; C  #+ C  + C œww w # _ C œ ˆW# #+W +#‰ C œ W + # C œ !;

C  $+ C  $+ C  + C œwww ww # w $ _ C œ ˆW$ $+W# $+#W +$‰ C œ W + $ C œ !. Ovvero _ C può essere fattorizzato mediante prodotto di fattori la cui struttura è analoga a quella che si ottiene fattorizzando il suo polinomio caratteristico.

Se un'equazione lineare ammette la radice reale - œ + di molteplicità pari a , l'equazione sarà8 fattorizzabile nella forma _ C œ W + 8 C œ !, avrà le soluzioni indipendenti:8

C œ /+B, C œ B /+B, C œ B /# +B,..., C œ B8" +B/ e la sua soluzione generale avrà la forma: C B œ - /" +B - B /# +B - B /$ # +B ÞÞÞ  - B8 8" +B/ o anche:

C B œ /+Bˆ-  - B  - B  ÞÞÞ  - B" # $ # 8 8"‰, ovvero sarà esprimibile come prodotto della

fun-zione esponenziale C B œ /+B, con unica radice reale del polinomio caratteristico, per un+ generico polinomio di grado 8  " À C B œ -  - B  - B  ÞÞÞ  - B" # $ # 8 8".

Caso di radici complesse e coniugate: il discriminante risulta ˜ œ +  %+  !_"# ! .

Il polinomio caratteristico ammette le radici complesse coniugate -œ +  3, e - œ +  3,. Ri-sulta:

c - œ-# +"- + œ! - +  3, - +  3, œ -# #+  +  ,- ˆ # #‰œ !.

L'equazione differenziale ha la forma C  #+ C  +  ,ww w ˆ # #‰C œ !.

La soluzione C B œ /-B, con -œ +  3, porta, vista la definizione di esponenziale complessa, alla soluzione /-B œ /+3, B œ / /+B 3,B œ /+B cos,B  3sen,B , che è però una funzione com-plessa della variabile .B

Se consideriamo però separatamente la parte reale C B œ /+Bcos,B e la parte immaginaria C B œ /+Bsen,B, vediamo, sostituendo nell'equazione differenziale, che ambedue le funzioni sono sue soluzioni.

Da C B œ /+Bcos,B segue C B œ + /w +Bcos,B  , /+Bsen,B e da questa: C B œ + /ww # +Bcos,B  #+, /+Bsen,B  , /# +Bcos,B per cui avremo:

C B  #+ C  +  , C œ +  ,ww w ˆ # #‰ ˆ # #‰/+Bcos,B  #+, /+Bsen,B  #+ /# +Bcos,B   #+, /+Bsen,B  +  ,ˆ # #‰/+Bcos,B œ !.

Quindi C B œ /+Bcos,B è soluzione dell'equazione differenziale data.

Similmente, da C B œ /+Bsen,B segue C B œ + /w +Bsen,B  , /+Bcos,B e da questa: C B œ + /ww # +Bsen,B  #+, /+Bcos,B  , /# +Bsen,B per cui avremo:

C B  #+ C  +  , C œ +  ,ww w ˆ # #‰ ˆ # #‰/+Bsen,B  #+, /+Bcos,B  #+ /# +Bsen,B   #+, /+Bcos,B  +  ,ˆ # #‰/+Bsen,B œ !.

Quindi anche la C B œ /+Bsen,B è soluzione dell'equazione differenziale data. Vediamo infine, usando il Wronskiano, che tali soluzioni sono indipendenti:

º_{/ +} / _{,B  ,},B _{,B / +} / _{,B  ,},B _,B ºœ

+B +B

+B +B

cos sen

cos sen sen cos

œ /#+B ˆ+sen,Bcos,B  ,cos#,B  /‰ #+B ˆ+sen,Bcos,B  ,sen#,B œ‰

œ , /#+B ˆcos#,B sen#,B œ , /‰ #+B Á ! in quanto le soluzioni sono complesse e quindi , Á ! . Dato che le due soluzioni sono indipendenti, esse costituiscono una base e quindi la so-luzione generale sarà: C B œ - /" +Bcos,B  - /# +Bsen,B œ /+B -"cos,B  -#sen,B .

Tornando alla fattorizzazione dell'operatore , nel caso di radici complesse e coniugate avremo un_ fattore del tipo ˆW#αW"‰ C œ !, con α# %  !" . Soluzioni complesse e multiple provengono allora da fattori del tipo ˆW#αW"‰7 C œ !, con α# %  !" .

Per trovare una base in caso di soluzioni complesse multiple vale la stessa procedura vista per le soluzioni reali e multiple, ovvero basta moltiplicare la soluzione del caso semplice, C B œ - /" +Bcos,B  - /# +Bsen,B œ /+B -"cos,B  -#sen,B per un generico polinomio il cui grado sia inferiore di uno alla molteplicità delle radici. Avremo quindi, nel caso di soluzione8 complessa di molteplicità pari a :8

C B œ - /" +Bcos,B  - /# +Bsen,B  - B /$ +Bcos,B  - B /% +Bsen,B  ÞÞÞ

 -#8$B8# +B/ cos,B  -#8#B8# +B/ sen,B  -#8"B8" +B/ cos,B  - B#8 8" +B/ sen,B

o anche:

C B œ /+Bˆ-  - B  ÞÞÞ  -" $ #8$B8# -#8"B8"‰cos,B   /+Bˆ-  - B  ÞÞÞ  -# % #8#B8# - B#8 8"‰ sen .,B

Equazioni lineari di ordine a coefficienti costanti omogenee 8

Supponiamo ora che l'equazione differenziale lineare omogenea abbia radici dei vari tipi: reali e complesse, semplici e multiple. Abbiamo visto nei casi precedenti che l'operatore può essere_ fattorizzato mediante prodotto di fattori dei vari tipi, ovvero fattori del tipo W- per la soluzione reale semplice, del tipo - W- 7 per la soluzione reale multipla di molteplicità ,- 7 oppure fattori del tipo ˆW#αW"‰ o ˆW# αW"‰7, con α# %  !" , per soluzioni complesse semplici o di molteplicità .7

Per avere una base dello spazio delle soluzioni dell'equazione lineare omogenea basta prendere le soluzioni relative a ciascun fattore, come visto nei casi precedenti, e costruire, con le costanti arbitrarie, una combinazione lineare di tutte queste. Questa sarà la soluzione generale del-l'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti.

Vediamo alcuni esempi.

Esempio 18 Risolviamo l'equazione differenziale À C  $C œ !www ww .

Il polinomio caratteristico è -$ $-# œ- -#  $ œ !, che ammette la radice reale e semplice - œ $ e la radice reale e doppia - œ !. La soluzione generale dell'equazione sarà allora C B œ - /" !B - B /# !B - /$ $B œ -  - B  - /" # $ $B.

Esempio 19 Risolviamo l'equazione differenziale À C  C  $C  &C œ !www ww w . Il polinomio caratteristico -$-# $  & œ !- ammette la soluzione -œ  ". Dividendo con Ruffini otteniamo -$-# $  & œ- - " ˆ-#  #  & œ !- ‰ .

L'equazione -# #  & œ !- ammette le radici complesse coniugate -" œ "  #3 e

-" œ "  #3. La soluzione generale sarà C B œ - /" B - /# Bsen#B  - /$ Bcos#B.

Esempio 20 Risolviamo l'equazione differenziale À C%  %C œ !. Il polinomio caratteristico è -%  % œ ! Ê-% œ  % Ê-œ È%  %.

Passando alla forma trigonometrica dei numeri complessi avremo:  % œ % cos1 3sen1 da cui poi È% È Š% cosŠ ‹ senŠ ‹‹ , che ci porta alle quattro

 % œ %  5  3  5 ß ! Ÿ 5 Ÿ $

% # % #

1 1 1 1

soluzioni complesse -"ß# œ "„3 e -$ß% œ  "„3. La soluzione generale sarà allora: C B œ - /" BsenB  - /# BcosB  - /$ BsenB  - /% Bcos .B

Esempio 21 Risolviamo l'equazione differenziale À C& œ !.

Il polinomio caratteristico è -& œ ! che ammette la radice reale -œ ! di molteplicità pari a . La& soluzione generale sarà allora: C B œ -  - B  - B  - B  - B" # $ # % $ & %.

Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee

Abbiamo visto con il Teorema 5 che la soluzione generale di una equazione lineare non omogenea si ottiene sommando una soluzione particolare della non omogenea alla soluzione generale dell'omogenea; abbiamo poi visto in quale modo ottenere la soluzione generale dell'equazione omogenea. Rimangono quindi da stabilire opportune metodologie che consentano di determinare una soluzione particolare dell'equazione lineare non omogenea. Cominciamo descrivendo il metodo più generale, quello cioè che può essere applicato ad ogni equazione lineare non omogenea. Gli altri metodi saranno applicabili solo in certi casi particolari, dove però consentiranno un numero di calcoli solitamente più contenuto rispetto al metodo generale.

Metodo della variazione delle costanti

Questo metodo è la generalizzazione di quanto già fatto nel caso dell'equazione lineare non omo-genea del primo ordine.

La soluzione generale dell'equazione omogenea è esprimibile nella forma:

C B œ - C B  - C B  ÞÞÞ  - C B" " # # 8 8 , dove C B ß C B ß ÞÞÞß C B" # 8 sono le soluzioni che8 costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni.

Supponiamo ora che - ß - ß ÞÞÞß -" # 8 non siano costanti arbitrarie, ma siano anch'esse funzioni della variabile : B - B ß - B ß ÞÞÞß - B" # 8 .

Vediamo se è possibile determinare una -upla di funzioni 8 - B ß - B ß ÞÞÞß - B" # 8 in modo che C B œ - B C B  - B C B  ÞÞÞ  - B C B! " " # # 8 8 sia una soluzione particolare

dell'e-quazione lineare non omogenea. Possiamo scrivere:

- B C B  - B C B  ÞÞÞ  - B C B œ" " # # 8 8 ‚ ˜† , con e funzioni ‚ ˜ ‘Ä‘8; ‚ ˜† è quindi il prodotto scalare dei due vettori ‚ B e ˜ B .

Consideriamo allora la funzione‘Ä‘ C B œ! ‚ B †˜ B . Abbreviando: C œ! ‚ ˜† .

Dato che a noi basta trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, possiamo an-che imporre sulla soluzione condizioni particolari an-che semplifichino i calcoli.C!

Da C œ! ‚ ˜† si ha C œw! ‚ ˜w † ‚ ˜† w; poniamo ‚ ˜w† œ !, per cui C œ!w ‚ ˜† w; da C œ_!w ‚ ˜† w si ha C œ_!ww ‚ ˜w † w‚ ˜† ww; poniamo ‚ ˜w† w œ !, per cui C œww_! ‚ ˜† ww; da C œww_! ‚ ˜† ww si ha C œ_!www ‚ ˜w† ww‚ ˜† www; poniamo ‚ ˜w † ww œ !;

e così proseguendo, derivando volte :8 C!

da C_!8" œ‚ ˜† 8" si ha C_!8 œ‚ ˜w† 8" ‚ ˜† 8 ; poniamo ‚ ˜w† 8" œ , B , dove

, B è il termine noto dell'equazione lineare non omogenea.

Vediamo anzitutto che la funzione , in base alle condizioni che su essa sono state imposte, ri-C!

sulta soluzione dell'equazione lineare non omogenea:

C8  +8"C8"  +8#C8#  ÞÞÞ  + C  + C œ , B" w ! . Sostituendo avremo:

, B ‚ ˜† 8  +8"‚ ˜† 8"  ÞÞÞ  +#‚ ˜† ww +"‚ ˜† w  +!‚ ˜† œ

œ‚†ˆ˜8  +8"˜8"  ÞÞÞ  +#˜ww +"˜w  +!˜‰ , B œ !  , B œ , B .

Infatti il termine dentro parentesi è nullo, essendo la soluzione generale dell'equazione omoge-˜ nea. Quindi è soluzione dell'equazione lineare non omogenea.C!

Vediamo infine come ricavare esplicitamente , e per questo utilizziamo le condizioni parti-C! 8

colari che abbiamo via via imposto: . Ú Ý Ý Ý Ý Û Ý Ý Ý Ý Ü ‚ ˜ ‚ ˜ ‚ ˜ ‚ ˜ w w w w 8# w 8" † œ ! † œ ! ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ † œ ! † œ , B

Queste possono essere scritte in forma matriciale, usando la matrice Wronskiana della solu-– zione generale , posto ˜ ‚w œ - ß - ß ÞÞÞß -_"w _#w w₈ , nel seguente modo:

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ˜ ˜ ˜ ˜ w 8# 8 w " w # w 8" w 8 ÞÞÞ _{† œ} -ÞÞÞ -ââ ââ ââ â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ºº ºº ºº ºº ! ! ÞÞÞ ! , B Ê † œ , B , B

– ‚w  , dove  rappresenta un vettore

colonna con tutte le componenti nulle eccettuata l'ultima uguale a , B .

La matrice Wronskiana è non singolare, in quanto – C B ß C B ß ÞÞÞß C B" # 8 sono indipendenti. Quindi esiste l'inversa –" e dalla – ‚_† w _œ  avremo:

, B ºº ºº

‚w œ–"†  ‚œ –"†  .B

, B , B

ºº ºº da cui poi: ( ºº ºº , che permette di ricavare il vettore di funzioni ‚ œ - B ß - B ß ÞÞÞß - B" # 8 . Non occorre inserire costanti additive nell'integrale, in quanto ci basta trovare una soluzione particolare. Se l'integrale indefinito non fosse esplicitabile,

qualcuna delle - B3 rimarrà espressa sotto forma d'integrale. Questo metodo è applicabile qualunque sia il termine noto , B .

Esempio 22 Risolviamo l'equazione differenziale . sen

À C  C œ "

B

ww

Il polinomio caratteristico dell'omogenea è -# " œ ! che ha le radici complesse - œ „3, per cui la soluzione generale dell'omogenea risulta C B œ -"senB  -#cos .B

Per trovare una soluzione particolare della non omogenea, con , usiamo il metodo sen

, B œ " B della variazione delle costanti.

Sarà – B œ _ººcossenB cos_senB _ºº da cui k– B œ  "k e – B œ_ººcossenB cos_senB _ºº.

B  B B  B

"

Avremo poi sen cos e quindi:

cos sen sen cos sen ºº ºº ( ºº ºº ( â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â »» »» - B B B - B œ B  B † .B œ .B ! " B B B  " " # ºº- B_{- B}" ºº ºœ º _{ B}k Bkºº # log sen

per cui la soluzione particolare della non omogenea sarà: C œ log senk B †k senB  Bcos e la soluzione generale dell'equazione non omogenea sarà:B C B œ -"senB  -#cosB log senk B †k senB  Bcos .B

Esempio 23 Risolviamo l'equazione differenziale À C  C œ B  /ww w B. Da C  C œ !ww w ricaviamo -# -œ- - " œ ! Ê- œ ! e -œ ". Quindi la soluzione generale dell'omogenea risulta C B œ -  - /" # B.

Avremo poi – B œ _ºº" / _ºº da cui k– B œ /k e – B œ_ºº"  "_ºº.

! / ! /

B

B B " B

Sarà allora _ºº- B _{ºº ( ºº}"  "_{º ºº º} ! _{ºº ( ºº}  B  / _ºº e quindi:

- B œ ! / † B  / .B œ B /  " .B " # B B B B ºº ºº â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â - B - B œ  B  / #  B /  /  B " # # B B B

per cui la soluzione particolare della non omogenea sarà:

C B œ -  - /   B  / † "   B /  /  B / # Œ  " # B B B B B # ovvero C B œ -  - /  B  /  B  "  B / # " # B B B # o anche C B œ 5  5 /  B  B  B / 5 œ -  " 5 œ -  " # " # B B " " # # #

, avendo posto per brevità e .

Metodo delle integrazioni successive

Questo metodo per la ricerca della soluzione particolare dell'equazione non omogenea è utilizza-bile quando le radici del polinomio caratteristico sono tutte reali, semplici o multiple. Non è uti-lizzabile se il polinomio caratteristico presenta radici complesse. Il metodo consiste nell'eseguire l'integrazione di equazioni lineari non omogenee del primo ordine, le uniche per le quali esiste una procedura risolutiva. Supponiamo, per semplicità, di avere un'equazione del secondo ordine, il cui polinomio caratteristico abbia le due soluzioni reali e , non necessariamente diverse tra loro.α " Possiamo allora fattorizzare l'equazione differenziale come:

_ C œc Wα W" d C œ , B . Posto W" C œ A, si ha Wα A œ , B ov-vero: A w αA œ , B . Troviamo una soluzione di questa, che sappiamo essere della forma:

A B œ /αB_Œ( , B / Bα .B_. Non aggiungiamo la costante additiva all'integrale in quanto vo-gliamo una soluzione particolare e non la soluzione generale. Ottenuta A B avremo poi:

W" C œ C w "C œ A B , che è lineare del primo ordine, e risolvendola avremo:

C B œ /! '".B Œ( A B /'".B .B œ /"BŒ( A B / B" .Bœ 2 B che è la soluzione par-ticolare cercata. Se l'equazione originaria fosse di grado superiore al secondo ci vorranno tante integrazioni successive quanto è l'ordine dell'equazione.

Esempio 24 Risolviamo l'equazione differenziale À C  C œ B  /ww B.

Il polinomio caratteristico è -# " œ ! Ê- œ „" e quindi l'equazione omogenea ha per solu-zione generale C B œ - /  - /" B # B. Fattorizzando possiamo scrivere l'equazione come:

ˆW#W‰ C œ W " W " C œ B  /B. Poniamo W " C œ A da cui avremo: W " W " C œ W " A œ A  A œ B  /w B. Passando alla risoluzione:

A B œ /B( /B B  /B .B œ /B( B /B " .B œ /B  B /B /B B e quindi: A B œ  B   B /1 B. Ma W " C œ C  C œ A œ  B   B /w 1 B e risolvendo: C B œ /! B( /B  B   B /1 B .B œ /B(  B /  /  B / .BB B #B e quindi: C B œ /  B /  /  /  "B /  "/ œ  B  "B /  "/

# % # %

! BŒ B B B #B #B B B che è quindi una

soluzione particolare dell'equazione non omogenea. La soluzione generale dell'equazione non omogenea sarà allora:

C B œ - /  - /  B  "B /  "/ œ 5 /  - /  B  "B /

# % #

" B # B B B " B # B B, avendo posto, per

brevità, .5 œ -  " %

" "

Esempio 25 Risolviamo l'equazione differenziale À C  C  #C œ #  #  "  # .

B B B

ww w

# $

Il polinomio caratteristico è -#- # œ - # - " œ ! Ê -œ #ß- œ  " e quindi l'e-quazione omogenea ha per soluzione generale C B œ - /" #B - /# B. Fattorizzando possiamo scrivere l'equazione come:

ˆW#W # C œ‰ W # W " C œ #  #  "_#  #_$ W " C œ A B B B . Poniamo da cui avremo: .W # W " C œ W # A œ A  #A œ #  #  "  # B B B w # $ Risolvendo: A B œ / / #  #  "  # .B œ B B B ( Œ  #B #B # $ œ / #/  "#/  " /  # / .B œ B B B #B #B #B #B #B # $ ( œ /  /  " /  " / .B  " /  # / .B œ B B B B #B #B #B #B #B #B # # $ Œ ( (  œ /  /  " /  # / .B  # / .B œ B B B #B #B #B #B #B # $ Œ ( (  œ /  /  " /  " /  # / .B  # / .B œ B B B B #B #B #B #B #B #B # $ $ Œ ( (  œ /  /  " /  " / œ  "  "  " œ A B B B B B #B #B #B #B # # Œ  .

Ma W  " C œ C  C œ A œ  "  "  " e risolvendo: B B w # C B œ / /  "  "  " .B œ /  /  " /  " / .B œ B B B B ! B( BŒ _# B( B B _# B œ /  /  " /  " / .B  " / .B œ /  /  " / œ B B B B B B B B B B B B # # Œ ( (  Œ  œ "  " C B œ "  "

B . Quindi ! B è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. La soluzione generale dell'equazione non omogenea sarà allora:

C B œ - /  - /  "  " B

" #B # B .

Metodo degli annichilatori

Questo metodo è sicuramente il più rapido nel consentire di trovare una soluzione particolare per l'equazione non omogenea, ma risulta applicabile solo se il termine noto , B è una funzione del tipo di quelle che costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni di una equazione lineare omogenea, ovvero è una funzione del tipo:

, B œc7 B /αB sen"B cos#B , dove c7 B è un polinomio di grado nella variabile ,7 B e α " #ß ß −‘. Qualcuno dei valori 7ß ß ßα " # può anche essere nullo.

Il termine noto deve quindi essere annichilato, ovvero ridotto a , da uno dei fattori nei quali può! essere fattorizzata un'equazione lineare omogenea.

Esempio 26À /αB è annichilato da _W_α ; Esempio 27À B /# αB è annichilato da Wα $;

Esempio 28À /αBsen"B è annichilato da ˆW# #α Wˆα#"#‰‰; Esempio 29À /αB sen"B cos#B è annichilato da:

ˆW# #α Wˆα#"#‰‰ ˆ† W# #α Wˆα###‰‰;

Esempio 30À B /# αBcos"B è annichilato da ˆW# #α Wˆα#"#‰‰$; Esempio 31À +  ,B  -B  .B# $ è annichilato da W%.

Data allora l'equazione lineare non omogenea _ C œ , B , sia l'operatore che annichila _ , B . Componendo gli operatori avremo: _ _ C œ_ , B œ !.

Si trova allora la soluzione generale dell'equazione omogenea _ _ C œ ! e da questa, sosti-tuendo nella _ C œ , B , si determinano le costanti arbitrarie in modo da trovare la soluzione particolare.

Ci sono alcune importanti osservazioni pratiche da tenere in considerazione.

Anzitutto il cosiddetto principio di sovrapposizione: se fosse , B œ , B  , B" # e se , B" e , B# fossero annichilati da due diversi operatori e , si possono anche risolvere separata-_" _#

mente i due problemi, quello della ricerca della soluzione particolare per la _ _" C œ ! e quel-lo per la _ _# C œ !. La soluzione particolare per l'equazione globale sarà la somma delle due soluzioni particolari dei casi separati.

Occorre poi fare attenzione al caso in cui l'operatore che annichila , B sia uno dei fattori che ri-sulta dalla fattorizzazione dell'equazione omogenea; in questo caso occorrerà dare a tale fattore la sua giusta molteplicità, che è la somma delle due molteplicità trovate.

Come vedremo negli esempi che seguono, il metodo può sempre essere abbreviato con un note-vole risparmio di calcoli.

Si ha WˆB  B#‰ œ "  #BßW "  #B œ  #ßW  # œ ! e quindi il termine noto , B è an-nichilato dall'operatore _œW$.

Inoltre C  C  #C œww w _ C œ W " W # C e quindi avremo: _ _ C œW W$  " W # C œ ! che ha per soluzione generale:

C B œ - /" B - /# #B -  - B  - B$ % & #. Sostituiamo questa nella C  C  #C œ B  Bww w # e troviamo i valori di - ß - ß - ß - ß -" # $ % & che la rendono vera. Avremo quindi:

C œ - /" B - /# #B -  - B  - B$ % & #;

C œ  - /w " B # - /# #B -  # - B% & ;

C œ - /ww " B % - /# #B # -& per cui:

C  C  #C œ -  -  #- /ww w " " " B %-  #-  #- /# # # #B #-  -  #-& % $   #-  #- B  #- B œ #-  -  #-& % & # & % $   #-  #- B   #- B œ B  B& % & # #

per cui dovrà essere: .

Ú Û Û Ü Ú Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ü  #- œ  "  #-  #- œ " #-  -  #- œ ! Ê - œ " # - œ "  #-  " œ  " # - œ " #-  - œ " # & & % & % $ & % & $ & %

Quindi la soluzione particolare per la non omogenea sarà data da C œ "  B  "B . #

#

Si noti come la parte - /" B - /# #B sia scomparsa una volta operata la sostituzione, coerente-mente con l'essere soluzione generale dell'equazione omogenea. Si può allora risparmiare calcoli abbreviando la procedura in questo modo: dato che il termine noto , B è un polinomio di III grado, ovvero è annichilato da W$, e dato che non compare nella fattorizzazione dell'equazioneW omogenea, prendiamo un generico polinomio di II grado, +  ,B  - B#, sostituiamolo nell'equazione non omogenea e troviamo i valori di +ß , e che la rendono soddisfatta; questi -saranno i coefficienti della soluzione particolare. Quindi:

C œ +  ,B  - B#; C œ ,  # - B C œ # -w ; ww e sostituendo: C  C  #C œ #-  ,  #-B  #+  #,B  #-B œ B  Bww w # # da cui: Ú Ú Û Û Û Ü Ü Ú Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ü #-  ,  #+ œ !  #-B  #,B œ B  #-B œ  B Ê Ê #-  ,  #+ œ !  #-  #, œ "  #- œ  " - œ " # , œ "  #-  " œ  " # + œ " #-  , œ " # # # ,

e quindi C œ "  B  "B , esattamente come con il calcolo precedente. #

#

La soluzione generale dell'equazione non omogenea C  C  #C œ B  Bww w # sarà allora: C B  C œ - /  - /  "  B  "B

#

" B # #B #.

Esempio 33 Risolviamo l'equazione differenziale À C  C  #C œ B /ww w $B.

Ancora C  C  #C œww w _ C œ W " W # C . Il termine noto , B è annichilato dall'o-peratore , W  $ # infatti:

W $ # œW# 'W * ed essendo:

WˆB /$B‰œ /$B $B /$B; , W#ˆB /$B‰ œ '/$B *B /$B avremo: ˆW# 'W * B /‰ˆ $B‰ œ '/$B *B /$B '/$B ")B /$B *B /$Bœ ! .

Dato che W  $ # non compare nella fattorizzazione dell'equazione omogenea, prendiamo la so-luzione generale della W  $ # C œ ! che sarà C B œ + /$B ,B /$B.

Quindi ;C œ $+ /w $B , /$B $,B /$B œ $+  , /$B $,B /$B C œ $ $+  , /ww $B $, /$B *,B /$Bœ *+  ', /$B *,B /$B. Sostituendo nella C  C  #C œ B /ww w $B avremo:

*+  ', /$B *,B /$B $+  , /$B $,B /$B #+ /$B #,B /$Bœ œ %+  &, /$B %,B /$B œ B /$B da cui otteniamo:

œ Ú Ý Û Ý Ü %, œ " %+  &, œ ! Ê , œ " % + œ  &, œ  & % "' .

Quindi la soluzione particolare sarà data da C œ  & /  "B / , e la soluzione generale del-"' %

$B $B

l'equazione non omogenea sarà C B œ - /  - /  & /  "B / . "' %

" B # #B $B $B

Se come soluzione particolare avessimo ipotizzato solo la C œ +B /$B, sostituendo, avremmo ot-tenuto: &+ /$B %+B /$B œ B /$B che, per essere soddisfatta, avrebbe richiesto + œ ! e %+ œ ", chiaramente di impossibile soluzione. Questo per ribadire come nella ipotesi di soluzione vada messa la soluzione completa di _ C œ !, in questo caso C œ + /$B ,B /$B.

Esempio 34 Risolviamo l'equazione differenziale À C  $C  #C œ "  B  $/ww w B.

Risolviamo l'equazione omogenea: C  $C  #C œww w W " W # C œ ! e quindi la solu-zione generale sarà: C B œ - /  - /" B # #B.

Il termine noto , B œ "  B  $/B può essere visto, per il principio di sovrapposizione, come una somma , B  , B" # dove , B œ "  B" e , B œ $/# B.

Il termine , B œ "  B" è annichilato dall'operatore W#.

Prendiamo un generico polinomio di I grado C œ +  ,B" e sostituiamolo nell'equazione diffe-renziale C  $C  #C œ "  B  $/ww w B. Si ha: !  $,  #+  #,B œ "  B Ê #, œ  " Ê C œ   B #+  $, œ " , œ  " # + œ  " % " " % # œ Ú Ý Û Ý Ü da cui _"

Passiamo a , B œ $/# B. Esso viene annichilato dall'operatore W " , che però è già presente nella fattorizzazione dell'equazione omogenea, e quindi diviene di II grado: W  " #.

Dovremo allora considerare la soluzione C œ + /  ,B /_# B B, che corrisponde alla radice - œ " doppia. Sostituendo nell'equazione differenziale C  $C  #C œ "  B  $/ww w B si ha:

+/  #,/  ,B /  $+/  $,/  $,B /  #+/  #,B / œ $/B B B B B B B B B da cui:

+  $+  #+  #,  $, /  ,  $,  #, B / œ $/ Ê  ,/ œ $/ Ê , œ  $ß a +B B B B B . Avremo quindi C œ  $B / e da questa infine C œ C  C œ  "  "B  $B / .

% #

# B " # B

Quindi la soluzione generale dell'equazione non omogenea sarà: C B œ - /  - /  "  "B  $B / Þ

% #

" B # #B B

Esempio 35 Risolviamo l'equazione differenziale À C  C œww senB cos#B.

Da , B œsenB cos#B poniamo , B œ" sen e B , B œ# cos#B e troviamo separatamente una soluzione particolare per _ C œ , B" e poi per _ C œ , B# .

Da C  C œ !ww si ha ˆW# " C œ !‰ ovvero -# " œ ! Ê- œ „3.

Quindi la soluzione generale dell'equazione omogenea è C œ -"senB  -#cos .B

Consideriamo , B œ" sen . Anch'esso è annichilato da B ˆW# "‰, quindi occorre considerare la soluzione generale di ˆW#  "‰# C œ ! che sarà:

C œ 5_" "senB  5#cosB  5 B$ senB  5 B% cos . Derivando si ha:B C œ 5  5w_" " % cosB   5  5# $ senB  5 B$ cosB  5 B% sen ;B

C œ  5  5  5ww_" " % % senB   5  5  5# $ $ cosB  5 B$ senB  5 B% cos da cui poi:B C  C œ #5 B  #5 B œ B Ê " ß a 5 ß 5 5 œ ! 5 œ  # " ww " $ % " # $ %

cos sen sen .

Ú Û Ü

Quindi la soluzione particolare relativa a , B sarà: C œ  "Bcos .B #

" "

Consideriamo ora , B œ# cos#B. Esso è annichilato da ˆW# %‰, e quindi consideriamo la so-luzione generale di ˆW# % C œ !‰ , dato che ˆW# %‰ non compare nella fattorizzazione dell'omogenea, ed avremo C œ 5_# &sen#B  5'cos#B.

Quindi C œ #5w_# &cos#B  #5'sen#B e C œ  %5ww_# &sen#B  54 cos' #B. Sostituendo:

C  C œ  $5 #B  $5 #B œ #B Ê 5 œ ! 5 œ  " $ # ww # & ' & '

sen cos cos , per cui la soluzione particolare

Ú Û Ü

relativa a , B sarà: C œ  "cos#B. La soluzione generale dell'equazione di partenza sarà $

# #

infine: senC B œ - B  - cosB  "BcosB  "cos#B.

# $

" #

Se avessimo dovuto risolvere il problema di Cauchy: , una volta tro-sen cos Ú Û Ü C  C œ B  #B C ! œ " C ! œ ! ww w

vata la soluzione generale C B œ - senB  - cosB  "BcosB  "cos#B, basterà imporre le

# $

" #

due condizioni per avere: da cui:

Ú Ý Û Ý Ü " œ ! † -  " † -  !  " † " œ ! $ ! œ " † -  ! † -  "  " † !  " † ! # # $ " # " # Ú Ý Û Ý Ü - œ "  " œ % $ $ - œ " # # "

per ottenere la soluzione particolare:

C B œ " B  % B  "B B  " #B

#sen $cos # cos $cos .

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL I ORDINE

Si considerino equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma normale, in funzioni8 8 incognite C B ß C B ß ÞÞÞß C B" # 8 . Tali equazioni formano un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine che possiamo scrivere come:

Ú Ý Ý Û Ý Ý Ü C œ + B C  + B C  ÞÞÞ  + B C  + B C  , B C œ + B C  + B C  ÞÞÞ  + B C  + B C  , B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ w " "" " "# # "8" 8" "8 8 " w # #" " ## # #8" 8" #8 8 # ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ C œ +w₈ 8" B C  +" 8# B C  ÞÞÞ # +88" B C8" +88 B C  , B8 8 .

Se , B œ , B œ ÞÞÞ œ , B œ !" # 8 il sistema è detto omogeneo, altrimenti non omogeneo. Le funzioni + B34 che costituiscono i coefficienti delle funzioni incognite C ß C ß ÞÞÞß C" # 8 sono sup-poste continue in un intervallo c d+ß , §‘. Se + B œ + −34 34 ‘ le equazioni lineari sono dette a coefficienti costanti. Sotto l'ipotesi di continuità sulle + B34 vale il seguente Teorema di esistenza ed unicità: